空間動(dòng)態(tài)問題突破

空間動(dòng)態(tài)問題，是高考?？碱}型，常以客觀題出現(xiàn).常見題型有空間位置關(guān)系判定、軌

跡問題、最值問題、范圍問題等.

題型一空間位置關(guān)系的判定

例1（1）（2023?昆明模擬）已知尸，。分別是正方體481cbDi的棱CQ上的動(dòng)點(diǎn)

（不與頂點(diǎn)重合），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AB±PQ

B.平面8PQ〃平面/DA4

C.四面體/8P0的體積為定值

D./尸〃平面CDD?

答案C

解析對(duì)于A,'：AB±BC,ABtBBi，BCCBB]=B,BC,平面

平面2CG2i，平面5CC/i，C.ABLPQ,故A正確；

對(duì)于B,二?平面4094〃平面BCCpBi，平面3P0與平面3CGS重合，

平面AP0〃平面4DD/1，故B正確；

對(duì)于C,到平面AP0的距離48為定值，0到的距離為定值，AP的長(zhǎng)不是定值，

四面體48尸。的體積不為定值，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,:平面/8叢4〃平面CDAG，4PU平面/8名小，

〃平面CDD1G，故D正確.

（2）（多選）己知等邊△/3C的邊長(zhǎng)為6,M,N分別為邊NC的中點(diǎn)，將△如W沿AW折

起至△/'MN,在四棱錐/'—MNCB中,下列說法正確的是（）

A.直線〃平面HBC

B.當(dāng)四棱錐-MNC5體積最大時(shí)，平面〃N_L平面

C.在折起過程中存在某個(gè)位置使平面HNC

D.當(dāng)四棱錐T—MNC8體積最大時(shí)，它的各頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為

39K

4

答案AB

解析因?yàn)镸N〃BC,MNQ平面4,BC,3CU平面BC,所以直線〃平面BC,

故A正確；

因?yàn)樗睦忮F-MNC8的底面積為定值，所以當(dāng)點(diǎn)4,到平面MNC5距離最大時(shí)，體積最

大，此時(shí)平面MN1平而MNCB,滿足題意，故B正確；

對(duì)于C,如圖，若2NJ_平面NC,則BALL//',又D±MN,AD±MN,A'￡>n4D=

D,可知MALL平面HAD,所以HALMN,又MNCBN=N,所以H/_L平面MNCB,

這顯然不可能，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)四棱錐/'—MNC8體積最大時(shí)，平面HMV_L平面MNCB,如圖，

71

由/〃3。=一，取5C的中點(diǎn)5則E是等腰梯形MNC5外接圓的圓心，尸是△%,的外

3

心，

作OE_L平面MNC5,連接0G則。9_L平面4,MN,則。是四棱錐—A/NC5外接球的

球心，

且。尸=￡>￡=￥，/'尸=石，設(shè)四棱錐T—MVC8外接球的半徑為七則R2=/'產(chǎn)+。尸2

_39

—4,

故球。的表面積為4位?2=39兀故D錯(cuò)誤.

思維升華解決空間位置關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)問題

⑴應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化.

（2）建立“坐標(biāo)系”計(jì)算.

跟蹤訓(xùn)練1（2022?杭州質(zhì)檢）如圖，點(diǎn)尸在正方體421cs的面對(duì)角線3G上運(yùn)動(dòng),

則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.三棱錐/—4尸￡）的體積大小與點(diǎn)P的位置有關(guān)

B.4P與平面/ci相交

C.平面平面48G

D.AP±DiC

答案C

解析對(duì)于選項(xiàng)A,匕"=%叱

在正方體中，8cl〃平面441。，所以點(diǎn)尸到平面44Q的距離不變，

即三棱錐P—/小。的高不變，又△44pD的面積不變，

因此三棱錐P—AAQ的體積不變，

即三棱錐A—AXPD的體積與點(diǎn)P的位置無關(guān)，故A不成立；

對(duì)于選項(xiàng)B,由于2ci〃4Di，平面/CD],2。收平面/C",

所以2cl〃平面NCDi，同理可證24〃平面NCDi，又24nBe1=3,

所以平面24cl〃平面/CDi，因?yàn)?PU平面24G，

所以小尸〃平面/CDi，故B不成立；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?G_L3。，AiCrLBBi，BDCBBi=B,

所以4G，平面88Q,則小。，氏。；同理小3，周。，

又4cle48=4，所以80_L平面/18G，

又30U平面尸￡囪，所以平面平面48G，故C成立；

71

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)2與尸重合時(shí)，AP與DC的夾角為一,故D不成立.

4

題型二軌跡問題

例2(1)(2023?韶關(guān)模擬)設(shè)正方體488—4與。01的棱長(zhǎng)為1,P為底面正方形/BCD內(nèi)

的一動(dòng)點(diǎn)，若△4PG的面積S=；,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是()

A.圓的一部分B.雙曲線的一部分

C.拋物線的一部分D.橢圓的一部分

答案D

1/31/3

解析設(shè)"是△/七邊垢上的高,則S“G=”G「公爭(zhēng)所以公：,即點(diǎn)夕

/3/3

到直線NC1的距離為定值L,所以點(diǎn)尸在以直線為軸，以L為底面半徑的圓柱側(cè)面上,

33

直線/G與平面既不平行也不垂直，所以點(diǎn)P的軌跡是平面N2CD上的一個(gè)橢圓，其

中只有一部分在正方形/BCD內(nèi).

(2)如圖所示，正方體NBCD—4SGD1的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別為44i，的中點(diǎn)，M點(diǎn)是

正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若CiM〃平面CDiER則"點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為

答案V2

解析如圖所示，取小氏的中點(diǎn)區(qū)歷2的中點(diǎn)G,連接G77,CXH,GG,EG,HF,可得

四邊形EGC01是平行四邊形，所以CiG〃A￡,又CiGC平面CDpEF,O|￡U平面CQEF,

所以CiG〃平面CDiEE同理可得CiH//CF,CXH//平面CDXEF.

因?yàn)镚8nCiG=G，所以平面GG8〃平面CDyEF.

由“點(diǎn)是正方形4aBi4內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)可知，若G”〃平面CAEF,則點(diǎn)M在線段G8上，所以

M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度GH=1懺12=母.

思維升華解決與幾何體有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定.

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進(jìn)行計(jì)算.

⑶特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長(zhǎng)度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

71

跟蹤訓(xùn)練2⑴(2022?濱州模擬)如圖，斜線段與平面a所成的角為-，8為斜足.平面a

71

上的動(dòng)點(diǎn)尸滿足/尸/8=-，則點(diǎn)尸的軌跡為(

A.圓B.橢圓

C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

答案B

解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)08=04=1,

則3(0,1,0),/(0,0,1),尸(X,%0),

則48=(0/，—1),

4P=(x,y,—1),

所以cos<AB,AP)

拉?，―+儼+12

8-2)2

即X2+^——-=1,

3

所以點(diǎn)尸的軌跡是橢圓.

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在棱長(zhǎng)為1的正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且尸

記點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為y(r),則人1)+大血)=.

答案3兀

解析如圖，當(dāng)r=l時(shí)，點(diǎn)P在正方體表面上的軌跡分別是以/為圓心，1為半徑的三個(gè)面

上的三段弧，分別為麗，港,4D,

13兀

則大1)=3義］><2兀=萬，

當(dāng)r=時(shí)，點(diǎn)尸在正方體表面上的軌跡為在平面421cl上以4為圓心，1為半徑的

而,

在平面BpBCCi上為以8為圓心，1為半徑的就，

在平面DCGA上為以。為圓心，1為半徑的函，

13兀

則人物=3X—X2TI=—,

42

所以人1)+40)=；+彳=3兀.

題型三最值、范圍問題

例3(1)如圖所示，菱形N3CD的邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)將△/CD沿對(duì)角線/C折起，使平面

ACD'，平面/C8,則此時(shí)空間四面體/BCD'體積的最大值為()

D'

16735J3D叵

A.-------B.-----C.1

2794

答案A

解析取4C的中點(diǎn)O,連接。'。（圖略）.

aa1

設(shè)/4BC=a,a￡（0,兀），所以O(shè)=AD'cos-=2cosS^=-X2X2sina=2sina.

22ABC2

,14aSaa8

因?yàn)椤?O_L平面45c,所以/四面體=-S&43cX。'O=-sinotcos-=-sin-cos2-=-

3323223

aa\a71'

sin—

2

設(shè)sin—,則0W1,V四面體NBCZT=~（^一玲.

8、

設(shè)次。=3（，一戶），0<?<1,

8

則，（尸3?）,0</<1.

所以當(dāng)0</<彳-時(shí)，f（o>o,大。單調(diào)遞增；

當(dāng)g</<i時(shí)，/（0<0,八。單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)，黃。取得最大值3f.

所以四面體N5C。'體積的最大值為"走.

27

（2）在三棱錐P—N8C中，PA,AB,NC兩兩垂直，。為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，PA=AC=2,AB=

3.當(dāng)BD與平面尸/C所成角最大時(shí)，AD與平面網(wǎng)C所成角的正弦值為.

答案十「

解析因?yàn)樵谌忮F尸一4BC中，PA,AB,NC兩兩垂直，所以平面尸/C,則AD與平

AB3

面P4C所成的角為tan//D8=——=—,當(dāng)/。取得最小值時(shí)，/4D8取得最大

ADAD

值.在等腰Rt△尸/C中，當(dāng)。為尸C的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值.

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,4P所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,

'\￡_

則/(0,0,0),5(3,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),￡>(0,1,1),

則4D=(0,l,l),PC=(0,2,-2),5C=(-3,2,0).

設(shè)平面PBC的法向量為"=(x,y,z),

n-PC=Q,

n-BC=Q,

2z=0,

【一3x+2y=0,令尸3,得修=(2,3,3).

nAD3+3

因?yàn)閏os5,4D〉

所以/。與平面尸8c所成角的正弦值為耳I

思維升華在動(dòng)態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小卜角的范圍等問題，常用的思

路是

(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即

可求解.

(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求

目標(biāo)函數(shù)的最值.

跟蹤訓(xùn)練3(1)在四面體/BCD中，若4D=DB=4C=CB=1,則四面體體積的最大

值是()

答案A

解析如圖，取的中點(diǎn)E,連接CE,DE,

c

設(shè)A8=2x(0<x<l),則CE=DE=d、一x2,

當(dāng)平面N2C_L平面48。時(shí)，四面體/BCD的體積最大,

111

此時(shí)，四面體45cZ)的體積/=]—X—X3

33

1

所以廠=――%2,令7=0,得

3

當(dāng)xe0,時(shí)，憶單調(diào)遞增，當(dāng)xd時(shí)，%單調(diào)遞減.故當(dāng)x,憶有最大值,

一27'

(2)如圖，正方體/BCD—//1CQ1的棱長(zhǎng)為1,E,尸分別為SG，GA的中點(diǎn)，尸是底面

481aoi上一點(diǎn).若"〃平面8EF,則N尸長(zhǎng)度的最小值是,最大值是

答案或叵

42

解析如圖，取45的中點(diǎn)N,45的中點(diǎn)連接NM,AN,MN,NE,BQi，

在正方體49。一421GD1中，E,N分別為昂G，的中點(diǎn),

：.EN//AiBi//AB,EN=AB=AB,

：.四邊形ABEN為平行四邊形，

J.AN//BE,

火ANQ平面BEF,BEU平面BEF,

...NN〃平面BEF,

?：E,二分別為々Ci,GA的中點(diǎn),

由中位線性質(zhì)知所〃BQi，

同理可知MN〃叢。1，

：.MN//EF,

又MNQ平面BEF,EFU平面BEF,

.?.MV〃平面BEF,

又ANCMN=N,AN,MNU平雨4MN,

.?.平面/兒W〃平面BEF,

?.?尸是底面N/iCQi上一點(diǎn)，且4P〃平面

:.PGMN,

在等腰△/胸中，當(dāng)/P的長(zhǎng)度最大時(shí)，尸在M點(diǎn)或N點(diǎn),

即AP=AM=AN=P+

mm(|

3J2

‘^APmm=~

課時(shí)精練

1.如圖，在正方體ABCD一中，點(diǎn)M是平面4SC01內(nèi)一點(diǎn)，且2M〃平面

ACD?則tan/DMJi的最大值為（）

答案D

解析因?yàn)楫?dāng)M在直線4cl上時(shí)，都滿足3M〃平面NCDi，

DDiDDi

所以tanZDMDr當(dāng)MD、最小時(shí)，tan/DM?i取得最大值，此時(shí)tan/DA?i

MD\冢

-y[2.

2.（多選）如圖，在長(zhǎng)方體/BCD—42CQ1中，點(diǎn)E,尸分別是棱臺(tái)8上的動(dòng)點(diǎn)（異于

所在棱的端點(diǎn)）.則下列結(jié)論正確的是（）

A.在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，直線廠G可能與NE平行

B.直線NG與所必然異面

C.設(shè)直線NE,/尸分別與平面4SCQ1相交于點(diǎn)尸，Q,則點(diǎn)Ci可能在直線尸。上

D.設(shè)直線4F分別與平面45。功相交于點(diǎn)P,Q,則點(diǎn)。一定不在直線P0上

答案AC

解析在長(zhǎng)方體N8C。一中，AB=CQi，DDi=BBi，BXCX=AD,連接ACX,

EF,

當(dāng)點(diǎn)E,尸分別是棱DDi,ABi的中點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理得/￡=J/D2+0￡2,CjF=Jci^+BiF2,

故AE=GF,

同理可得/尸=GE,

故四邊形AECXF是平行四邊形，

所以在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，直線可能與NE平行，/。1與￡尸相交，A正確，B錯(cuò)誤；

以Ci為坐標(biāo)原點(diǎn)，CQi，Ga,GC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

則當(dāng)點(diǎn)￡,尸分別是棱8周中點(diǎn)且?guī)缀误w/BCD—48CQ1為正方體時(shí),

設(shè)棱長(zhǎng)為2,延長(zhǎng)小，交于點(diǎn)延長(zhǎng)4S交于點(diǎn)N,連接MN,

則C1(O,O,O),M(2,-2,0),N(—2,2,0),

則滿=(2,-2,0),記=(2,—2,0),

則府=而,

又兩向量有公共點(diǎn)G,

所以G，M,N三點(diǎn)共線，

故點(diǎn)G可能在直線P。上，C正確，D錯(cuò)誤.

3.（2023?廣州模擬）點(diǎn)P為棱長(zhǎng)是2套的正方體ABC。一的內(nèi)切球。球面上的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)M為SG的中點(diǎn)，若滿足。尸，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為（）

A.兀B.2兀C.4兀D.20兀

答案C

解析根據(jù)題意知，該正方體的內(nèi)切球半徑為7=石，如圖.取331的中點(diǎn)N,連接CN,

則CAaBM,；.CN為DP在平面SGCS中的射影，.?.點(diǎn)尸的軌跡為過。，C,N的平面與

內(nèi)切球的交線，

D,C,

Ai

AB

:正方體48CD—N/iCpDi的棱長(zhǎng)為26，

二截面圓的半徑為2,

二點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為2兀義2=4兀

4.（多選）如圖，在等腰Rt4/BC中，BC=2,ZC=90°,D,￡分別是線段N8,NC上異于

端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且DE〃BC,現(xiàn)將△/DE沿直線DE折起至△/'DE,使平面H平面

BCED,當(dāng)。從3滑動(dòng)到”的過程中，下列選項(xiàng)中正確的是（）

A./⑷D8的大小不會(huì)發(fā)生變化

B.二面角/'—8D—C的平面角的大小不會(huì)發(fā)生變化

C.三棱錐T—E8C的體積先變小再變大

D.A'8與DE所成的角先變大后變小

答案AB

解析設(shè)/'D=a,則。2=2渡一°,A'￡=?，EC=2-、a,BO+CEZUBE1,A'爐=

A'D2+BD2~A'B21

A'E^+BE2,COSZA'DB=-------------------=一一是定值，；./A'的大小不會(huì)發(fā)生

2BDA'D2

變化，故A正確；

由三垂線法作出二面角—8。一C的平面角，可知其大小為定值，故B正確；設(shè)4,E=

x,則CE—2—x(0<x<2),則%三梭傕⑷-BCE=%三樽隹B-卬CE~~^~BCCE-A'E——(2—x)x—j(2x—

x2)(0<x<2),

由二次函數(shù)的單調(diào)性，可知廠先變大后變小，故C錯(cuò)誤；A'2與所成的角先變小后變

大，故D錯(cuò)誤.

5.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，正四面體P—4BC的頂點(diǎn)/,8分別在x軸、y軸上移動(dòng).若

該正四面體的棱長(zhǎng)是2,則的取值范圍是()

A.[y[3~1>-y3+1]B.[1,3]

C.[73-1,2]D.[1,73+1]

答案A

解析如圖所示，若固定正四面體尸一/3C的位置，則原點(diǎn)。在以N2為直徑的球面上運(yùn)

動(dòng).

設(shè)的中點(diǎn)為則PMfp—36,所以原點(diǎn)。到點(diǎn)P的最小距離等于尸以減去球M

的半徑，最大距離是加上球"的半徑，所以退一即|。尸|的取值范圍是

[A/3-1,V5+1].

6,已知正四面體。一48C,點(diǎn)￡,尸分別為棱CD,NC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段所上的動(dòng)點(diǎn),

設(shè)EM=x,則下列說法正確的是(

A.直線ZX4與直線M2所成的角隨x的增大而增大

B.直線N與直線M3所成的角隨x的增大而減小

C.直線DA/與平面48。所成的角隨X的增大而增大

D.直線DM與平面48。所成的角隨x的增大而減小

答案D

解析因?yàn)镋,尸分別為DC,NC的中點(diǎn)，所以斯〃。4所以直線。/與直線”3所成的角

等于直線EF與2”所成的角.

在等腰△AEF中，直線EF與卸0所成的角隨著x的增大先增大，再減小，當(dāng)“運(yùn)動(dòng)到EF

中點(diǎn)時(shí)取到最大值，故A,B選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；

d

設(shè)〃r點(diǎn)到平面N8D的距離為d,直線DMr與平面NAD所成的角為明則sina=—.因?yàn)?/p>

MD

EF//AD,EF(t平面4BD,/DU平面

所以￡F〃平面/瓦九所以隨著x的增大，“保持不變，兒。在增大，所以sina的值在減小,

即a隨著x的增大而減小，故C選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，D選項(xiàng)說法正確.

7.(多選)如圖，已知正方體/BCD—4氏。。1的棱長(zhǎng)為4,M為DA的中點(diǎn)，N為4BCD所

在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是()

71

A.若與平面48CD所成的角為-，則點(diǎn)N的軌跡為圓

4

B.若MV=4,則MN的中點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為2兀

C.若點(diǎn)N到直線2用與到直線。C的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線

71

D.若"N與所成的角為-，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓

3

答案AC

解析如圖所示，對(duì)于A,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，M)_L平面48c￡),斬以/MND為MN

7111

與平面45CD所成的角，若/MND=-,則。N=Z)M=—Z)Di=-X4=2,所以點(diǎn)N的軌跡為

422

以。為圓心，2為半徑的圓，故A正確；

對(duì)于B,在RtZXMDN中，DN=dMN2—MD?=弋42—?=,取A/D的中點(diǎn)E,連接PE,

1l

因?yàn)镻為九W的中點(diǎn)，所以PE〃DN,且PE=三＞N=6'因?yàn)镈NLED,所以P￡_LED,即

點(diǎn)尸在過點(diǎn)E且與DDi垂直的平面內(nèi)，又尸￡=退，所以點(diǎn)P的軌跡為以石為半徑的圓，

其面積為兀?（、/1）2=3兀，故B不正確；

對(duì)于C,連接A?,因?yàn)锳Bi，平面4BCD,所以所以點(diǎn)N到直線2氏的距離為

NB,因?yàn)辄c(diǎn)N到點(diǎn)2的距離等于點(diǎn)N到定直線CD的距離，又5不在直線CD上，所以點(diǎn)N

的軌跡為以3為焦點(diǎn)，C。為準(zhǔn)線的拋物線，故C正確；

對(duì)于D,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

則/(4,0,0),5(4,4,0),。1(0,0,4),設(shè)N(x,j,0),

則/8=(0,4,0),DiN=(x,y,—4),

71-*---->■71

因?yàn)閆)iN與48所成的角為］所以|cos(AB,DiN)|=cos

4y13y2x2

所以丁=〒=一，整理得上一一=1，所以點(diǎn)N的軌跡為雙曲線，故D錯(cuò)誤.

4y/x2+y2+1621616

8.如圖，在四棱錐尸一43CD中，頂點(diǎn)尸在底面的投影。恰為正方形/8CZ）的中心，且48=

JL設(shè)點(diǎn)M,N分別為線段尸D,P。上的動(dòng)點(diǎn)，已知當(dāng)/N+MN取最小值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M恰為

尸。的中點(diǎn)，則該四棱錐外接球的表面積為（）

9兀16K25兀64兀

A—B.---C.---D.—

2349

答案B

解析如圖，在PC上取點(diǎn)AT,使得，連接W,則N,AN+MN=

AN+M'N,

則當(dāng)/,N,M'三點(diǎn)共線時(shí)，AN+M'N最小，為AM',當(dāng)_LPC時(shí)，AM'取得最

小值，即NN+MW'的最小值.

因?yàn)榇藭r(shí)〃恰為電）的中點(diǎn)，所以為PC的中點(diǎn)，所以尸/=/C=2,因此尸。=，&2―/。2

易知外接球的球心在四棱錐內(nèi)部，

設(shè)外接球的半徑為r