第11講導數(shù)綜合問題：證明不等式、恒成立問題、零點問

題

【知識點總結(jié)】

一、證明不等式常用的方法和思路

作差構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題

二、不等式恒成立問題常用的方法和思路

(1)直接法

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

三、零點問題常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后

數(shù)形結(jié)合求解.

【典型例題】

例1.(2022?全國?高三專題練習)設(shè)函數(shù)/(x)=(x2-2x)e，+aex-e21nx,其中e為自然對

數(shù)的底數(shù)，曲線V=了(力在(2)(2))處切線的傾斜角的正切值為|/+2e.

(1)求。的值；

(2)證明：/(%)>0.

【詳解】

2

解：(1)因為/(%)=(Y-2%)e'+aex—/lnx,所以廣(工)=卜之一2)/——,

/'(2)=+=+2e,解得a=2.

(2)由(1)可得=—2x)e"+2ex-e21nx

即證/(%)=(必—2xjex+2ex—e2Inx>0o(x—2)ex-1+—>.

令g(x)=(x-2"2+；g<x)=(x_l)eL2,于是g(無)在(0,1)上是減函數(shù)，在。收)上

是增函數(shù)，所以g(x)2g⑴=,(無=1取等號).

e

又令可k=處，則"(X)=匕坐，于是/i(x)在(0,e)上是增函數(shù),在(e,—)上是減函數(shù)，

XX

所以Mx)4/7(e)=1(x=e時取等號).

所以g(x)>〃(x)，KP/(x)>0.

例2.(2022?全國?高三專題練習)已知關(guān)于x的函數(shù)〃元)=依-瓦-(l+ln2).

(1)討論〃力的單調(diào)性；

(2)證明：當“wN*時，In(lx2x3x…x〃)<〃2一〃ln2.

【詳解】

(1)由/(x)=ox-lnx-(l+ln2)得尸(x)=a--(x>0)

知當“MO時((x)<0n〃x)在(0,+動上單調(diào)遞減

當a>0時，、ax-\

???當X>!時/(x)>o"(x)在仕,+8)上單調(diào)遞增,

a)

當。〈龍<工時尸(x)<0,“X)在I0,-|上單調(diào)遞減.

a\a)

(2)由⑴知”2時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

/(x)>/l|Uo,即有l(wèi)nx42A：—l—ln2(%>0),

/.Inl<2-l-ln2=l-ln2,

In2<4-l-ln2=3-ln2

In3<6-l-ln2=5-ln2

lnn<2n—l-ln2

以上相力口:Ini+ln2+ln3+.......+Inn<(l+3+5+.?,+(2〃-1))—nln2,

In(lx2x3x---xn)<zt2-/tln2.

例3.(2022?浙江?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=x3+2V+尤+2.

(1)求函數(shù)“X)的極值；

(2)若對任意的xe-1,1都有f(x)<c成立，求c的取值范圍.

【詳解】

(1)因為〃x)=V+2x?+x+2,所以=+4x+l,.

令/'(同=0,解得x=—;或x=-l,

當/''(x)〉。，即或X<—1；當((x)<0,即.

33

故〃力的單調(diào)遞增區(qū)間為和,5+”!，單調(diào)遞減區(qū)間為，1,-；

所以，%=-1時,“X)有極大值〃-1)=2,.

當』;時，〃x)有極小值(jw.

(2)由⑴知〃x)在卜上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.

又di,『ax，.

1

所以內(nèi)-p時，〃x)1mx=6,.

2

因為對任意的xe-1,1都有〃x)<c成立，所以c>6.

例4.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)f(x)=e'—ar—1.

(1)當。=2時，求曲線在(1,/。))處的切線方程；

(2)若g(x)=/(x)-尤2,且g(x)在[0,y)上的最小值為0,求。的取值范圍.

【詳解】

解：(1)當a=2時，f(x)=ex—2x—l,f(1)=e—3

Af'(x)=ex-2,r(l)=e-2,

???切線方程為y-(e—3)=(e—2)(xT),

即(e-2)x-y-l=0

(2)Vg(0)=/(0)-0=0)

...原條件等價于：在(。,+8)上，gG)=，—f一6一120恒成立.

pX—Y2―]

化為aw，'

X

令心)

則〃⑺=尤(，2同一!/一無2—1)=(尤T(e；"l)

令機(X)=/-X-1,貝U加(％)=/-1

在(0,+力)上，m(x)>0,

???在(0,+8)上，ex—x—l>0

故在(0,1)上，〃(x)<o；在(1,+8)上，//(x)>0

，的最小值為/z(l)=e-2,/.a<e-2

例5.(2021?北京市第八中學怡海分校高三階段練習)已知函數(shù)/(X)=X3+3X2-9X+〃7

(me7?)

(1)求“X)在(1，〃1))處的切線方程；

(2)當有3個零點時，求加的取值范圍.

【詳解】

(1)/(l)=m-5,切點為(l,〃z—5).

/,(X)=3X2+6X-9,后=/(1)=0,

所以切線方程為：y=m-5.

(2)/,(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-l),

令/'(x)=0,解得無1=一3,x2=1.

XW(YO,-3),/,(x)>0,為增函數(shù)，

xe(-3,l),/,(x)<0,為減函數(shù)，

xe(l,+oo),/(x)>0,f(x)為增函數(shù),

所以的極大值為〃-3)=27+帆，極小值為〃=

/、f27+m>0

因為〃尤)有3個零點時，所以加_5<0，解得一27<7”<5.

例6.(2021?黑龍江?牡丹江市第三高級中學高三階段練習(理))已知函數(shù)

/(x)=ax+lnx(aeR).

(1)若4=2,求曲線y=/(x)在X=1處切線的方程；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)g(x)=d-2x+2,若對任意匹((0,+oo),均存在使得,

求。的取值范圍.

【詳解】

(1)由已知((x)=2+,(x>0),

X

/(1)=2+1=3,/(1)=2

曲線，=/(》)在尤=1處切線方程為y-2=3(x-l),即3x—y—l=0.

(2)r(x)=a+^=無>0).

XX

①當a20時，由于x>0,故ax+l>0,>0

所以，/⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+s),無單調(diào)遞減區(qū)間.

②當。<0時，由尸。)=。，得X=-L

a

在區(qū)間(0,-上1)上,/V)>0,在區(qū)間(——1,+8)上廣。)<0,

aa

所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(。,-3,單調(diào)遞減區(qū)間為(-L+8).

aa

(3)由已知,轉(zhuǎn)化為FOOmax〈gOOmax,gCOmax=2

由(2)知，當“20時，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，值域為R,故不符合題意.

(或者舉出反例：存在//)=碇3+3>2,故不符合題意.)

11

當a<0時，/(九)在(0,)上單調(diào)遞增，在(,+°°)上單調(diào)遞減,

aa

故F(X)的極大值即為最大值，/(--)=-1+ln(—)=-1-In(-fl),

a-a

所以2>-l-ln(-“)，

解得av--.

e

例7.(2020.四川省內(nèi)江市第六中學高三階段練習(理))已知awR,函數(shù)

/(尤)=+g(a-2)x?+。,g(x)=2alnx.

(1)若曲線>=/(力與曲線y=g(x)在它們的交點(l,c)處的切線互相垂直，求。,6的值;

(2)設(shè)P(x)=/'(x)-g(尤)，若對任意的占,%?0,收),且國/%,都有

F(jq)-F(x2)>a(^-x,),求。的取值范圍.

【詳解】

(1)?."'(x)=gx2+(a-2)x,;./''⑴=。-3，：8'(尤)=彳，，811)=2。,依題意有

117

尸(1)=一1,且/(l)=g(l),可得｛，解得。=1/=§,或。=5/=五

(2)/⑺=^/+但/卜/.也廠不妨設(shè)占卜，*%)—*%)”^-馬),

等價于/(龍2)2>/(西)-以1.設(shè)G(x)=P(尤)-改,則對任意的西，當e(0,+oo),且無產(chǎn)馬,

都有等價于G(x)=/(x)一如在(°，+8)上是增函數(shù)?

G(x)=!無2-2aInx-2x,可得G'(x)=x—四一2=廠f"，依題意有，對任意x>0,

2xx

_2]

有好一2x—2a20恒成立.由2。4元2一2了=(尤-1)-1,可得

【技能提升訓練】

1.(2021?西藏?拉薩中學高三階段練習(文))己知函數(shù)〃x)=x+6—alnx在x=l處的極

值為2,其中a>0.

(1)求。，6的值；

(2)對任意的xe[l,+co),證明恒有v/-2x+l.

【答案】(1)a=l,b=l.(2)證明見詳解.

【分析】

(1)先對函數(shù)求導，然后結(jié)合極值存在條件即可求解.

(2)由于禮2-〃切-x2+2x-l=-2x2+3x+xlnx_l,要證不等式成立，轉(zhuǎn)化為求解

g(0=-+3x+xlnX-1在x21時的最值，結(jié)合導數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)即可求解.

【詳解】

(1)(紅)=1-幺，

X

⑴

由題意可得717(1)==lj+b==2。,

解得。=1,6=1.

(2)x[2—/(%)]—爐+2x—1=—2x2+3x+xlnx—1,

令g(x)=—2%2+3%+xlnx-l,%>1,

貝！Jg'(x)=-4x+lnx+4,

令〃(x)=-4%+lnx+4,貝ij7i(x)=—4+，<0,恒成立，

x

所以在口,+8)上單調(diào)遞減且g”)=0,

所以兄21時，g(x)<g(l)=。，

所以冗[2—〃切4爐—2x+l,即證.

2.(2021?新疆師范大學附屬中學高三階段練習(理))已知函數(shù)/(尤)=詈，

g(尤)=w-￡,曲線y=〃x)與曲線y=g(x)在x=i處的切線互相平行.

(1)求。的值;

(2)求證：“力2g(尤)在(0,+8)上恒成立.

【答案】(1)a=l；(2)證明見解析.

【分析】

(1)先對函數(shù)求導，然后結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求解;

(2)轉(zhuǎn)化為證〃x)-g(x)20,構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，可證.

【詳解】

解:⑴因為，(小詈，g(上看/

X+11

--------Inx—2a

所以r")=Y,g，3=^717+/

(尤+1)2

由題意得八l)=g'(l),

所以品〃一.解得"1;

證明(2)〃龍)-8(尤)=吟一告+:=x\nx-x+l

人i-L人"IA人x(x+l)

令〃(力=%1口%-％+1,x>0,

貝[J/zr(x)=lnx,

當xe(l,+co)時，/i,(x)>0,無⑺單調(diào)遞增,當xe(O,l)時，//(x)<0,力(無)單調(diào)遞減,

故當x=l時,可力取得最小值〃。)=0,

所以力(力20,

故"X)-g(x)20,

所以f(x)Zg(x).

3.(2021,全國?高三專題練習(理))已知函數(shù)/⑶=lnx+--ax.

(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)”的取值范圍；

(2)若<7=0且xe(0,l),求證：尤-口+V-/(*)]<(l+x-d).".

【答案】(1)(-OO,272];(2)證明見解析.

【分析】

(1)函數(shù)〃x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則/'。)20恒成立，分離參變量，利用基本不等式

得出最值，可得實數(shù)〃的取值范圍；

3x

(2)要證『口+V-/(x)]<(1+x-尤3).",即證：x-(1-Inx)<(1+x-X)-ef構(gòu)造

g(x)=B(l-lnx),/i(x)=(l+x-x3)-e\分別利用導數(shù)判斷出單調(diào)性和最值，即可得原命

題成立.

【詳解】

(1)函數(shù)/(X)的定義域為(0，+⑹，f'(x)=-+2x-a,又F(X)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

X

則/'(X)NO恒成立，即。41+2尤恒成立，即。4d+2XU，

XX

又當尤>0時，-+2x>242,當且僅當關(guān)=也時等號成立，/，

即實數(shù)，的取值范圍是；

(2)*.,a=0,則/(x)=lnx+尤z,要證x-U+f-/(x)]<(l+x-x'Ae”,

即證：x-(l-lnx)<(1+尤-/>靖，

設(shè)g(x)=x-(l-lnx),其中xw(0,l),貝I]g<x)=—Inx,當xe(0,1)時g，(x)>0,

故g(x)在(0,1)為增函數(shù)，；.g(x)<g(l)=1,

設(shè)〃(無)=(1+彳-尤3).",其中xe(0,l),

則當0<x<l時x>x，1+x—x3>1,又l<e"<e，二"(無)>1,

貝I]g(x)<1</i(x),；.『(1一111尤)<(1+X-了3)./恒成立，即原不等式成立.

4.(2021?全國?高三階段練習(文))已知/(x)=lnx+ax,aGR.

(I)討論”x)的單調(diào)性；

(II)若。<T,證明:

【答案】(I)答案見解析；(n)證明見解析.

【分析】

(I)分。20,〃<0進行討論，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(II)由“<-1結(jié)合(I)可得/(x)max=ln，J+a，￡|=-ln(-a)-l,構(gòu)造新函數(shù)，利

用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得證.

【詳解】

(I)由題可知尤>0,/(x)=—+a.

X

當“20時，/'(%)>。恒成立，.??函數(shù)/⑴在(0,+8)上單調(diào)遞增；

11

當avO時，令/'(%)=—Fa=0,解得％=—.

xa

當0<x<」時，.?"(無)在(0,二]上單調(diào)遞增；

當x>二時，八尤)<0,.?.函數(shù)/(X)在jL+s]上單調(diào)遞減.

a\a)

綜上可知，當時，函數(shù)/（X）在（。,+8）上單調(diào)遞增；當a<0時，函數(shù)f（x）在［。，-:）上

單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（II）證明：若“<-1,則由（I）可知，/（工）在了=-工處取得極大值,

a

f(x)

令g(%)=-ln%-l.vx>0,=<0,

x

函數(shù)g（%）在（。,+8）上單調(diào)遞減.

又...一a>l,，/(尤)1mx=——1=-1,

fM<-1.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：第問的關(guān)鍵點是：通過構(gòu)造函數(shù)證得

（H）Ax）1mx<-1.

5.（2021?寧夏?青銅峽市高級中學高三階段練習（理））已知函數(shù)/（尤）=依Tnx（°是常

數(shù)）.

（1）當a=2時，求A?的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）若Vx>0J（x）>0,求a的取值范圍；

【答案】

（1）在上單調(diào)遞增，在（0，；］上單調(diào)遞減，極小值是l+ln2,無極大值

⑵

【分析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；

（2）參變分離可得<4,令g（x）=U"，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解;

\%/max%

(1)

解:當［=2時，f（x）=2x-］nx,定義域為（。,+8）,

f（%）—2—,

xx

令/'（x）>0,解得x>L,令/'（x）<0,解得0（尤<_L,

22

所以函數(shù)/（x）在］:,+8）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以/(X)的極小值是/gj=l+ln2,無極大值.

(2)

解：因為Vx>0J(x)>0,即<a.

設(shè)g(x)=也，可得/(元)=心。

XX

當0cx<e時g'(x)>0,當x>e時g'(x)<0,

所以g(元)在(0?上單調(diào)遞增，在(e,+s)上單調(diào)遞減，

所以g(x)max=g(e)=L所以a>，，即“e化+81.

ee\e)

o

6.(2021?福建?莆田第二十五中學高三階段練習)已知函數(shù)〃力=丁+/+區(qū)+。在彳=-1

與x=l處都取得極值.

(1)求。，b的值；

(2)若對任意xe[-1,2],不等式/(X)〈，恒成立，求實數(shù)c的取值范圍.

【答案】(1)0=-：,b=-2；(2)(F,-l)U(2,y).

【分析】

(1)對f(x)求導，根據(jù)極值點列方程組求參數(shù)即可.

(2)由(1)有了'(x)=(3x+2)(x-l),進而判斷〃x)的單調(diào)性并確定最值，結(jié)合不等式

恒成立求參數(shù)范圍.

【詳解】

(1)由題設(shè)，f\x)=3x2+2ax+b,又《一。/刎&=0,1(l)=3+2a+b=0,解

得〃=--,b=—2.

2

(2)由⑴，知/(X)=d—2%+c,gp=3x2—x—2=(3x+2)(x—1),

當％目-1,2]時，f^x),/(%)隨”的變化情況如下表:

I_2

a11(1,2

X口-：一§H,

+0-0+

x極大極小遞

/()遞增遞減

值值增

在T-劣上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(1,2］上單調(diào)遞增,

7(2\22

..?當X=時，/=旨+C為極大值，又『(2)=2+C,則/(2)=2+c為/(尤)在[-1,2]

上的最大值，

要使對任意x?T,2］恒成立，則只需C2>/(2)=2+C,解得C<—1或C>2,

???實數(shù)c的取值范圍為(f,-l)U(2,心).

7.(2021.全國?高三階段練習(文))已知函數(shù)+(］_q)x_inx.

(1)當a=-2時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當時，證明：彳>1時，當〃x)>(l-a)x+J-l+ga恒成立.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為g，l),單調(diào)遞減區(qū)間為［o,g］,(1,+?)；(2)證明見解析.

【分析】

(1)利用導數(shù)研究“X)的單調(diào)性即可.

(2)由分析法：只需證5a(尤?—1)-Inx---F1>0即可，構(gòu)造=—^x2—-Inx---nl,

利用導數(shù)證明g(x)>o結(jié)論得證.

【詳解】

(1)函數(shù)4％)的定義域為(0,+?),當°=一2時，/(x)=-x2+3x-lnx,

：.f'(x)=-2x+3--=,(2x-1)(-y-1),go),

XX

.?.當0<尤<：或X>1時，/^x)<0,“X)在(1,+?)單調(diào)遞減,

當;〈尤<1時，在/,1］單調(diào)遞增.

故“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為gj，單調(diào)遞減區(qū)間為(L+?).

(2)要證無)>(1—----1H—a,只需證一a(尤2—1)—Inx---1-1>0,

x22'，x

.,?>1,%2一1>。，

-1)—Inx--+1,

x2)x

設(shè)g（無）=;（尤2_i）_1nx—1+i,貝!]g，（尤）=彳_：+《=（x+i）（,I+]>]>0,

2元XXX"

.?.g（x）在（L+?）單調(diào)遞增，g（x）>g（l）=o,

/（無）>（1—O）XH--1H—a,得證.

x2

8.（2019?山西省平遙中學校高三階段練習（理））已知f（x）=4-lnx.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在x使，（無）<〃?成立，求實數(shù)小的取值范圍.

【答案】（1）“X）的遞減區(qū)間為（。，4）,遞增區(qū)間為（4,一）；（2）心2—ln4.

【分析】

（1）求函數(shù)的定義域和導數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可.

（2）根據(jù)存在性問題轉(zhuǎn)化為求機>/（幻的,結(jié)合函數(shù)最值和導數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可.

【詳解】

解：（1）Vf（x）=\fx-lnx,x>0

?___1-4X-2

.?八卜26x一2x-

則當五-2>0,即x>4時，/。）>0；

當石-2<0,即0cx<4時，尸（%）<。，

???的遞減區(qū)間為（0,4）,遞增區(qū)間為（4,^0）.

（2）若存在了使〃x）（加成立,則加〉〃彳心,

由⑴可知/（xLrHbZ-lna

m>2-ln4.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，最值和導數(shù)之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解

決本題的關(guān)鍵.

9.（2021?陜西禮泉?高三開學考試（文））已知函數(shù)/（無）=!丁一：62一2武。€0在x=2處

取得極值.

（1）求Ax）在[-2,1]上的最小值；

（2）若函數(shù)g（尤）=/（x）+，SeR）有且只有一個零點，求b的取值范圍.

【答案】

⑵〔f飛刈丁，+，

【分析】

(1)首先求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得1(2)=0,即可求出參數(shù)。的值，即可求出函

數(shù)解析式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出區(qū)間端點的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最小值;

(2)依題意-6=-gf-2x(beR)有唯一解，即函數(shù)>=-匕與y=/(x)只有1個交點，

由(1)可得函數(shù)/(x)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出參數(shù)的取值范圍；

(1)

解：因為/(x)=：尤3-g依2-2x(。eR),所以/'(x)=/-辦-2,

???/(X)在x=2處取得極值，.?"'(2)=0,即22—2a—2=0解得a=l,

:.f(x)=^x3-^x2-2x,所以尸(幻=尤2_彳_2=(苫+1)。_2),所以當x<-L或x>2時

廣(尤)>0,當一l<x<2時/(無)<0,

fkx)在［-2,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,1］上單調(diào)遞減，

121,113

X/(-2)=-X(-2)3--X(-2)92-2x(-2)=--,/(l)=-xl3--xl92-2xl=--,

.?./(%)在［-2,1］上的最小值為-q13.

6

(2)

解：由(1)知，/(尤)=1丁—Qf—lx,

若函數(shù)g(x)=/(%)+b(beR)有且只有一個零點，

則方程-b=eR)有唯一解，即-6=-g/-2無(6eR)有唯一解，

由(1)知，/⑴在(-G-1),(2,+?0上單調(diào)遞增，在(-1,2)上單調(diào)遞減，

710

又/(T)=7〃2)=-丁，函數(shù)圖象如下所示：

63

10.（2021?安徽安慶?一模（理））函數(shù)/。）=/-2辦-4.

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）當。>0時，求函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.

【分析】

（1）求得，'（無）=產(chǎn)-2a,分和。>0兩種情況，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概

念，即可求解；

（2）由（1）得到當a>0時，/（尤）的單調(diào)性和極小值，結(jié)合京小值與。的關(guān)系，三種情

況討論，即可求解.

【詳解】

（1）由題意，函數(shù)/'（x）=/-2依-a,可得廣（x）=e"-2a,

當aVO時，廣（力=爐-2a>0,〃x）在R上為單調(diào)增函數(shù)，此時無極值；

當a>0時，令/'（x）=e*-2a>0,解得x>ln（2a）,

所以/（X）在（M（2a）,+8）上為單調(diào)增函數(shù)，

令/'（x）=e*-2a<0,解得x<ln（2a）,/（x）在（f,ln（2a））上為單調(diào)減函數(shù)，

所以當x=ln（2a）時，函數(shù)取得極小值力及小值=f（ln（2a））="-2aln（2a）,無極大值.

綜上所述:

當aKO時，/(x)無極值，

當。>0時，方及小值^(ln(2a))=a-2〃ln(2a),無極大值.

(2)由(1)知當〃>0時，"X)在(ln(2〃),+oo)上為單調(diào)增函數(shù)，在(ro,ln(2a))上為單

調(diào)減函數(shù)，且其及小值=〃-2aln(2a),

又由/(%)=，一。(21+1)，若%--00時，/(%)-收；

若X—>+30時，于(%)—>+oo；

當a-2aln(2a)>0,即o<a<當時，無零點；

當a-2aln(2a)=0,即°=等時,有1個零點;

當a-2aln(2a)<0,即0>9時，有2個零點.

綜上：當0<°<當時，〃尤)無零點；

當時，””有1個零點；

當時，〃x)有2個零點.

11.(2019?山東日照?高三期中(理))己知函數(shù)r(x)=xlnx-ox,g(x)=-cix^+2x-2.

⑴證明：當。>1時，廠(x)'g(x)對xe[l,y)恒成立；

⑵若函數(shù)="?孚+X?+/恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)見解析；(2)a=-2e或。>0

【分析】

⑴令/z(x)=r(x)-g(x),要證r(x)?g(x)在[1,+=0)上恒成立，只需證人(尤)111taNO,

xe[l,+oo)；

(2)函數(shù)/(x)=alnr+d,定義域為(0,+o)),f(x)=q+2x=生土勺對a分類討論,

XX

研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，以確定圖象與X軸的交點情況.

【詳解】

(1)證明：令〃(尤)=r(x)-g(x),

要證r(x)Ng(x)在[1,+co)上恒成立,

只需證MxL2O,%e[l,+oo),

因為/z(x)=Hnx+dx2一初一2%+2,

所以//(x)=lnx+l+2G;-a-2=lnx+2辦一4一1.

令根(％)=lnx+2辦一a—1,無+oo),

貝(Jm'(x)=—+2<i,

因為所以加(x)>0,

所以用(力在［1,+8)上單調(diào)遞增，

所以m(x)N機(1)=〃一1,即h!^x)>a-\,

因為a>l,所以〃一1>0,所以/z'(x)>0,

所以7z(x)=%11比+依2-依_2%+2在［l,+oo)上單調(diào)遞增,

所以/z(犬)之九(1)=。，r(x)-^(x)>0,

故r(%)2g(x)在［l,+oo)上恒成立.

(2)函數(shù)〃%)=alnx+%2,定義域為(0,+oo),

f'(x\=-+2x=^^.

XX

①當a=0時，/(X)=X2,XG(0,+oo)無零點.

②當〃>0時，Z(x)>0,所以〃力在(O,y)上單調(diào)遞增,

1…(-1YLI

取％0=6*則/ea=-1+ea<0,(或：因為0〈尤ovJa且X?！?,所以

kJ\Je

/(%())=叫+No2<tzlnx0+q<ain—+a=0.)

因為/(1)=1，所以/(/)?/(1)<。，此時函數(shù)〃X)有一個零點.

③當a<0時，令>f(x)=0,解得x=.

當0＜x＜『］時,r（x）＜o,所以〃x）在上單調(diào)遞減;

三+8上單調(diào)遞增.

當時，f'（x）＞0,所以〃x）在

所以"Ho?

若aln.----<0,即av-2e時,

V22

取外=.<1<Ji，fej=l+e">0,即函數(shù)/(%)在區(qū)間上存在一個零

點；

當%時，因為J—I〉，所以1m<%—1,

則有alnx>ox-a,f(x)=a\nx+x2>x2+ax-a,必然存在%>C|,使得/(司)>0,

即函數(shù)f(x)在區(qū)間］，?，+1?存在一個零點；

故當aln竹-■!<()時，函數(shù)〃x)在(0,內(nèi))上有兩個零點，不符合題意.……11分

所以當a<0時，要使函數(shù)〃x)有一個零點，必有了［忖>?竹-￡=0,

即a——2e.

綜上所述，若函數(shù)“X)恰有一個零點，則a=-2e或a>0.

【點睛】

已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)

形結(jié)合求解.

12.(2020?江西?南昌市第三中學高三階段練習)已知函數(shù)『(x)=xlnx,

g(x)=-：A%2+(i-左)尤+1,曲線y=〃x)與曲線y=g(x)在％=1處的切線互相垂直，記

F(x)=/(x)+g(x).

(1)求實數(shù)上的值；

(2)若方程f(x)="有兩個不相等實根，求小的取值范圍；

(3)討論函數(shù)歹(x)的單調(diào)性.

【答案】(1)1；(2)--<m<0；(3)—(x)在(0,+S)上單調(diào)遞減.

e

【分析】

(1)求出兩函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)g'(l)=-l即可求解.

(2)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可得的值域，從而可得-!<相<0,

(3)求出F'(x)=lnx—x+1,再求導函數(shù),判斷尸'(x)的符號即可求解.

【詳解】

(1)/'(x)=l+lnx,尸(1)=1,g'(x)=—依+1-左

由題意得，g'⑴=T，即g")=—左+1-左=-1,.?.左=1

(2)由廣(x)=l+lnx,可知在［o,j上單調(diào)遞減，在J,+8)上單調(diào)遞增,

.,.當x=，時，“X)有最小值/『|=」，

eyeye

又,?,x-0時，〃x)fO；x—時，/(x)f+co,

函數(shù)的大致圖像，如圖：

若方程/?=機有兩個不相等實根，則有-J<加<0.

e

(3)由(1)可知，F(xiàn)(x)=xlnx-^x2+l,x>0,

ii_r

F,(x)=lnx-x+l,R"(x)=--1=—,

易知，當xe(O,l)時尸(力>0,9(x)單調(diào)遞增，

當xe(L”)時，F(xiàn)"(x)<0,9(x)單調(diào)遞減，

所以k(x)V尸⑴=0

即尸'(x)V0恒成立，所以尸⑺在(0,+功上單調(diào)遞減.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程的根，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)

F(尤)的值域、單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖像，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想.

13.(2020.全國?高三專題練習(文))已知函數(shù)〃乃=63-法2在點(1"⑴)處的切線方

程為3x+y-l=0.

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)若過點(T,附#7)可做曲線y=/(x)的三條切線，求實數(shù)機的取值范圍.

\a=l

【答案】(1),0;(2)(-4,4).

[6=3

【分析】

(1)根據(jù)切線方程可知/(D和/⑴，由此構(gòu)造方程組求得a,b；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為V=根與〃(x)=-2x3+6x(xw-l)有三個不同的交點，利用導數(shù)可得到

/?。)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)由切線方程知：/(l)=-3xl+l=-2,/(1)=-3,又/'(x)=3涼-2法,

[ci—b——2[ci=1

鼻，解得：k

[3a-2b=-3[b=3

(2)由(1)知：f(x)=x3-3x2,則[。)=3/_6x,

???加wT,(一1,M不在/(%)上,

又/'(-1)=3+6=9,可知切點橫坐標不為-1,

設(shè)切點坐標為(%0芯-3片)，/#-1,

則切線斜率左=止可'=3芯-6%,整理得：m=-2xl+6x0,

無o+l

過(-1,m)可作/(%)三條不同的切線，.?.m=-2x；+6x0有三個不為-1的解;

令h{x}--2九3+6x(%。一1),貝!JA(x)=-6x2+6=-6(x+l)(x-1),

.,.當x￡(-00,-1)和(1,+00)時,hr(x)<0；

.,.當X￡(-1,1)時，/(X)>0,

h(x)在(-0),-1)和(1,+a))上單調(diào)遞減，在(-1,1)上單調(diào)遞增，

由此可得力(%)圖象如下圖所示：

m=-2片+6無。有三個不為-1的解等價于y=：〃與h{x}有三個不同的交點,

由圖象可知：-4<m<4,

???實數(shù)機的取值范圍為（T,4）.

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到根據(jù)切線方程求解函數(shù)解析

式、根據(jù)過某一點曲線切線的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交

點個數(shù)問題，從而利用數(shù)形結(jié)合的方式來進行求解.

14.（2021?陜西?西安一中高三期中（文））已知函數(shù)/（x）=工-尤+olnx.

（1）若/（x）在（0,—）上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）記/（X）的兩個極值點為再，X],求證：++X2-2.

【答案】

（1）?<2；

（2）證明見解析.

【分析】

（1）對/'（%）求導得/（力，由題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為aWx+J（尤>0）恒成立，即可求a的取

值范圍；

（2）由（1）有玉，尤2是無2-ax+l=0的兩個根，應用根與系數(shù)關(guān)系易得%+%=。>2,

西尤2=1，進而可得/（占）+/（々）=。，即可證結(jié)論.

（1）

“力的定義域為（。,內(nèi)），/（耳=一±-1+3=，辦+1,又〃%）單調(diào)，

XXX

：.V—6+1N0對％>0恒成立，即。4芯+工（%>0）恒成立，

X

而x+^?2,當且僅當x=l時取等號，

X

a<2.

（2）

由（1）知：%，％是Y—ax+l=0的兩個根，則再+%=<7>。，再％=1,且公=合一4>。，

a>2,故國+々=。>2,

/（%）+/（尤2）=:一占--z+aln%=aln（玉Xz）=。，而a—2>0,

；./（藥）+/（%）<%+》2—2,得證.

15.（2022?全國?高三專題練習（文））證明⑶+Gsiiw+l（xN0）.

【答案】證明見解析

【分析】

構(gòu)造=X—1(%K)),利用導數(shù)判斷/(X)的單調(diào)性，求得最小值，即可得證；構(gòu)造g(x)

sinx(x>0),利用導數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，求得最小值