江門市2018年普通高中高二調(diào)研測(cè)試（一）數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.非充分非必要條件D.充要條件【答案】B【解析】求解指數(shù)不等式有：，則，據(jù)此可得：“”是“”的必要非充分條件本題選擇B選項(xiàng).2.與向量平行的一個(gè)向量是（）A.B.C.D.【答案】C........................本題選擇C選項(xiàng).3.在中，若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意結(jié)合正弦定理有：，不妨設(shè)，由余弦定理有：.本題選擇C選項(xiàng).4.若，則的（）A.最大值是9B.最小值是9C.最大值是18D.最小值是18【答案】D【解析】由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則有：，由均值不等式的結(jié)論有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，據(jù)此可得：的最小值是18.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．5.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.4033B.4034C.4035D.4036【答案】A【解析】由通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系有：.本題選擇A選項(xiàng).6.下列命題中，真命題是（）A.，函數(shù)都是奇函數(shù)B.，使函數(shù)是奇函數(shù)C.，函數(shù)都是偶函數(shù)D.，使函數(shù)是偶函數(shù)【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，即，使函數(shù)是偶函數(shù).若函數(shù)是奇函數(shù)，則：恒成立，即：恒成立，明顯矛盾.綜上可得，只有選項(xiàng)D的說法正確.本題選擇D選項(xiàng).7.預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，為預(yù)測(cè)人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率，為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)。如果在某一時(shí)期有，那么在這期間人口數(shù)（）A.呈下降趨勢(shì)B.呈上升趨勢(shì)C.擺動(dòng)變化D.不變【答案】A【解析】若，則，結(jié)合類指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，即在這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì).本題選擇A選項(xiàng).8.若拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相切，則正常數(shù)（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其準(zhǔn)線為：，直線與橢圓相切，則橢圓過點(diǎn)，即：，據(jù)此可知：正常數(shù)2.本題選擇B選項(xiàng).9.若的三邊互不相等且邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，則它的最小邊與最大邊比值的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)度為：，三角形滿足兩邊之和大于第三邊，則：，恒成立，恒成立，最小邊與最大邊的比值：，，很明顯，據(jù)此可得：最小邊與最大邊比值的取值范圍是.本題選擇B選項(xiàng).10.若，均有，則常數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可得：對(duì)于恒成立，則，由一次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，據(jù)此可得，常數(shù)的取值范圍是.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.11.若圓錐曲線的焦點(diǎn)在圓上，則常數(shù)（）A.4B.6C.4或6D.或【答案】D【解析】若，則圓錐曲線為雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得：，利用排除法可知選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤，本題選擇D選項(xiàng).12.如圖，空間四邊形的每條邊和、的長(zhǎng)都等于，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖所示，將正四面體補(bǔ)形為正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，正方體的棱長(zhǎng)為，則：，，，，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式有：，，則.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：1．用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想．2．兩種思路：(1)選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運(yùn)算進(jìn)行判斷．(2)建立空間坐標(biāo)系，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問題．第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13.命題“奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的否命題是__________．【答案】若一個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)，則它的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【解析】要得到一個(gè)命題的否命題，需要同時(shí)否定條件和結(jié)論，據(jù)此可得：命題“奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的否命題是：“若一個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)，則它的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”.14.若滿足約束條件．則的最大值__________．【答案】5【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值.15.以橢圓焦點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程是__________．【答案】【解析】由題中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)在軸上，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即雙曲線的焦點(diǎn)位于軸，且：，則該雙曲線的方程是.16.數(shù)列滿足，，則__________．【答案】1【解析】由數(shù)列的遞推關(guān)系可得：，，，則數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，結(jié)合可得：.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是等差數(shù)列，，，，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若單調(diào)遞增，且的前項(xiàng)和，求的最小值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）11.【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意結(jié)合函數(shù)的解析式有，，由等差數(shù)列的性質(zhì)有，據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程，解方程可得或，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為或；(Ⅱ)結(jié)合題意和(Ⅰ)中的結(jié)論可得，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，求解不等式可得的最小值為11.試題解析：（Ⅰ）設(shè)公差為，因?yàn)?，得解得或?dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，（Ⅱ）若單調(diào)遞增，則，，由不等式解得（且）所以的最小值為1118.的角的對(duì)邊分別是、、.（Ⅰ）求邊上的中線的長(zhǎng)；（Ⅱ）求的面積.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：(Ⅰ)在中，由余弦定理得，且，在中，由余弦定理知可得，則所以；(Ⅱ)由題意結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論可得，結(jié)合面積公式有.試題解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得由是邊上的中點(diǎn)知，在中，由余弦定理知所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，三角形中所以的面積是19.一種設(shè)備的單價(jià)為元，設(shè)備維修和消耗費(fèi)用第一年為元，以后每年增加元（是常數(shù)）.用表示設(shè)備使用的年數(shù)，記設(shè)備年平均費(fèi)用為，即(設(shè)備單價(jià)設(shè)備維修和消耗費(fèi)用）設(shè)備使用的年數(shù).（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求這種設(shè)備的最佳更新年限.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）15年【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意可知設(shè)備維修和消耗費(fèi)用構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得(Ⅱ)由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，年平均消耗費(fèi)用取得最小值，即設(shè)備的最佳更新年限是15年.試題解析：（Ⅰ）由題意，設(shè)備維修和消耗費(fèi)用構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，因此年維修消耗費(fèi)用為于是（Ⅱ）∵，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，年平均消耗費(fèi)用取得最小值所以設(shè)備的最佳更新年限是15年點(diǎn)睛：(1)利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函數(shù)的最值時(shí)，若用基本不等式時(shí)，等號(hào)取不到，可利用函數(shù)單調(diào)性求解．20.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，分別是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意可證得，，則平面，由線面垂直的性質(zhì)有，由三角形中位線的性質(zhì)可得，則(Ⅱ)（方法一）為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面的一個(gè)法向量，則直線與平面所成角的正弦值為.（方法二）由等體積法可得點(diǎn)到平面的距離，據(jù)此可得與平面所成角的正弦值為.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)榈酌?，平面，所以又因?yàn)檎叫沃?，，所以平面又因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)榉謩e是、的中點(diǎn)，所以所以（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知，，，兩兩垂直，以為軸，以為軸，以為軸，設(shè)，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，解得設(shè)直線與平面所成角為，則（方法二）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為等體積法求出設(shè)直線與平面所成角為，21.已知為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，的面積為.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若，過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可知四邊形為矩形，由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，消元整理可得，則橢圓的離心率(Ⅱ)由題意結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得橢圓的方程為聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，結(jié)合韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，結(jié)合知點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為：試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦半距為，左焦點(diǎn)為，∵，∴由橢圓的對(duì)稱性可知四邊形為矩形，∴得，由消去上式的得，即，橢圓的離心率（Ⅱ）∵的坐標(biāo)為，由（1）中，∴，，橢圓的方程為設(shè)直線的斜率為，直線不與坐標(biāo)軸垂直，故直線的方程為將方程與橢圓方程聯(lián)立得：，消得：由韋達(dá)定理得：，設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則垂直平分線的方程為.令，點(diǎn)橫坐標(biāo)為：因?yàn)?，所以，故點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為：點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.設(shè)命題；命題關(guān)于的不等式對(duì)一切均成立.（Ⅰ）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍（用集合表示）；（Ⅱ）若命題為真命題，且命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意可知對(duì)一切均成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是；(Ⅱ)由題意可得命題一真一假，據(jù)此分類討論可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題解析：（Ⅰ）當(dāng)命題為真命題時(shí)，不等式對(duì)一切均成立，∴∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；（Ⅱ）由命題為真，且為假，得命題一真一假當(dāng)真假時(shí)，則，；當(dāng)假真時(shí)，則，得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是23.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）8;（Ⅱ）【解析】試題分析：(Ⅰ)繪制不等式組表示的平面區(qū)域，目標(biāo)