2024-2025學(xué)年湖北省云學(xué)部分重點高中高二12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.橢圓5+卷=1的長軸長為()

A.V7B.3C.2V7D.6

2.在空間直角坐標(biāo)系。一4/z中，點(1,-2,3)關(guān)于>軸的對稱點為()

A.(-1-2-3)B.(-1,2-3)C.(-1-2,3)D.(1,2,3)

3.在四棱臺4BCD-力IBICIDI中，一定能作為空間向量的一個基底的是()

A.B.{AB,AAi,C-^D

C.［^AB,AiA,A^DD.^AA^,AC,CC^

4.樹人中學(xué)參加云學(xué)聯(lián)盟數(shù)學(xué)考試，小明準(zhǔn)備將考試分?jǐn)?shù)制作成頻率分布直方圖，因時間緊未制作完全,

如圖，已知考試分?jǐn)?shù)均在區(qū)間［65,135］內(nèi)，記分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為X,中位數(shù)為匕則()

A.X>YB.X=Y

C.X<YD.X,Y的大小關(guān)系不能確定

5.動直線Z：(k+2)x—(k-l)y-3=。被定圓。截得的弦長等于2,則圓C的方程為()

A.(%+I)2+(y+1/=1B.(x—I)2+(y—1)2=1

C.(x+l)2+(y+1)2=4D.(x—l)2+(y-1)2=4

6.在平面直角坐標(biāo)系中，若點4(-2,0)到直線/的距離為1,點B(2,0)到直線/的距離為3,則這樣的直線/

有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

7.直線/經(jīng)過拋物線C:y2=2px(p〉0)的焦點尸，與拋物線C相交于8兩點，與j，軸相交于點M.若

FM=3FA,\FB\=5,則|48|=()

AZ5B15c20D35

A.3G.2L.3L>.6

8.點尸是正方體4BCD-4/1的。1的表面及其圍成的空間內(nèi)一點，已知正方體的棱長為2,若

AB-AP=2,/尸與平面4BCD所成的角為30°,則點尸的軌跡的形狀是()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.隨機事件/,8滿足P(4)=0.4,P(B)=0.6,PQ4UB)=O.8,則有()

A.PQ4B)=0.2B.PQ48)=0.24C.A,8不是互斥事件D.A,8相互獨立

10.平行六面體力86-4再住1。1所有棱長都等于1,^ArAB=^ArAD=/.BAD=60°,如圖，則有()

A.\BDr\=2

B.BDi1CD

C.平面44iCiC1平面8當(dāng)。1。

D,平行六面體4BCD-a/?/的體積為苧

11.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動點尸到兩定點%(-2,0),&(2,0)的距離之積等于6,點P的軌跡記為曲線C.曲

線。與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于/,8兩點，其部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.曲線C關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱B.\OA\-V6

C.當(dāng)點P位于8點處時，最大D.點P到x軸的最大距離為|

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知4(3,0),5(0,4),直線y=kx+l將△AOB分割成面積相等的兩部分(。為坐標(biāo)原點)，則/c=.

13.在直棱柱力BC-A/iCi中，AB=AC=近,BC=4,BB1=2,。為BiQ中點，則直線AD,&C所成

角的余弦值為.

14.雙曲線民烏―哈=1的左，右焦點分別為％,尸2,P是雙曲線￡的右支上的一點，的內(nèi)切圓圓

心為記△2％/,/的面積分別為Si，S2，則Si-52=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線C經(jīng)過點離心率e=遮.求雙曲線C的方程，及其焦點坐標(biāo)和漸近

線方程.

16.(本小題15分)

甲乙兩人進(jìn)行答題活動，每人各答兩道題.已知甲答對第1道題的概率為心答對第2道題的概率為小乙

答對每道題的概率都為稱.甲乙答對與否互不影響，各題答對與否也互不影響.

(1)求甲答對一道題的概率；

(2)求甲乙兩人答對題目的個數(shù)相等的概率.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-HBCD中，平面平面/BCD,平面PAD_L平面NBCD,ABLAD,BC//AD,

AD=2,AB=BC=1,經(jīng)過點C的平面a與側(cè)棱P4、PB、PD分別相交于點。、E、F,且BD〃平面a.

(1)求證：PAI平面力BCD;

(2)若平面a與平面尸/C的夾角為仇且cos8=^,求線段的長度.

18.(本小題17分)

如圖，已知圓M:(x-2)2+0-1)2=25,過坐標(biāo)原點。作圓M的兩條互相垂直的弦48,CD.

(1)求證：\AB\2+|CD12為定值;

(2)當(dāng)月C〃BD時，求直線NC的方程和直線2。的方程.

19.(本小題17分)

已知直線Z：y=kx+b與圓。:/+必=1相切.

(1)求的值；

(2)己知橢圓E4+9=1在點P3，yo)處的切線方程為竽+等=1,若直線/與橢圓E相交于4,2兩

點，分別過/,3作橢圓E的切線，兩條切線相交于點Q,求點。的軌跡方程；

(3)是否存在這樣的二次曲線F：忒2+〃y2=i,當(dāng)直線/與曲線尸有兩個交點M,N時，總有。MLON?若

存在，求出％+〃的值;若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了橢圓的方程以及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)橢圓的方程即可求解.

【解答】

解：由已知可得：。2=9,所以a=3,所以橢圓的長軸長為2a=6,

故選D.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查空間中點的對稱，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)一個點關(guān)于〉軸對稱的點的坐標(biāo)是只有縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，求解即可.

【解答】

解：；一個點關(guān)于V軸對稱的點的坐標(biāo)是只有縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，

???點(1,—2,3)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(—1,—2,—3),

故選：A.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查空間向量的基底，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)空間向量的基底的定義對選項逐項判斷即可.

【解答】

解：對于四棱臺4BCD-A/iCiDi，

/選項中，AB,AD,瓦瓦共面，不符合要求；

5選項中ZB,Ci/可能共線，不符合要求；

。選項中，京，AC,西共面，不符合要求，

故選C.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查頻率分布直方圖，平均數(shù)、中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

計算出y的值，估計出x的范圍，即可判斷.

【解答】

解：r=85+^^x10=88,

X>70x0.2+80X0.225+90X0.25+100X0.125+110X0.1+115X0,1=89.5,

故選4

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

求出動直線/恒過定點(1,1),即圓的圓心，結(jié)合圓半徑即可得圓方程.

【解答】

解：動直線/:(k+2)x-(k-l)y-3=0,即k(x-y)+(2x+y—3)=0,

由｛戛、］_°3=；，即動直線/恒過定點(1,1)，

因為動直線Z：(k+2)x-(fc-l)y-3=0被定圓C截得的弦長等于2,

則定點(1,1)為圓的圓心，半徑為1，

故圓C的方程為(乂―1尸+(y—1)2=1,

故選區(qū)

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題.

根據(jù)點到直線的距離公式分情況即可判斷.

【解答】

解：當(dāng)直線/的斜率不存在時，設(shè)其方程為x=a,

由題意可知|a-(―2)|=1且|a—2|=3,則a=-1使得兩個式子同時成立.

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=kx+6,即依-y+b=0,因為點4(一2,0)到直線/的距離為

1,

\-2k+b\

=1?.

所以JH+(-1)2

因為點B(2,0)到直線/的距離為3,所以jG+(二7=3②.

由父得喘胃=P則°=軌或6="

當(dāng)b=4/c時，

代入①中，得3k2-1=0,該方程有2個不相等的實數(shù)根，即k=±孚；

當(dāng)b=k時，代入①中，得k2=k2+l,該方程無解.

所以這樣的直線/共有3條，

故選C.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查拋物線的定義，考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查拋物線中的線段長問題，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得出以知=?，根據(jù)已知條件得出必=舄利用拋物線的定義得出P，再利用拋物

線的定義即可得出結(jié)論.

【解答】

解：設(shè)4(右,％0，8(函月?)，

拋物線的焦點F&0),直線AB的方程為x=my+

由卜2一7+名消去x得，y2-2pmy-p2=0,

(片=2px

貝1Jy4yB=",

則有以獨=。蠹"=

由于前=3FA,'FA=(XA-^,%),前=(-?._%)，

所以心=(則=當(dāng)，

所以|FB|=切+"當(dāng)+*==5,所以P=4,

故|4B|=\BF\+\AF\=xA+xB+p=^-,

故選4

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算，直線與平面所成角的向量求法，軌跡方程的求法，屬于中檔題.

由A8-4P=2可得，x-1,由cos(4P,44。=|＞可得3z2-y2=1，故可判斷點尸的軌跡的形狀.

【解答】

解:分別以N5,AD,441所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(x,y,z),由屈?而=2,可得X=1,①

又cos(而，京)=舅梟=",

可得3z2—產(chǎn)=1,②

由①②可知，尸點軌跡為雙曲線，

故選C.

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查概率的性質(zhì)、互斥事件、相互獨立事件，屬于中檔題.

利用PQ4U8)=PQ4)+P(B)-P(48),求出P(48),再對各選項逐項判定，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：由PQ4UB)=P(4)+P(8)—PQ4B)=0.4+0.6—P(4B)=0.8,

得PQ4B)=0.2,故/正確，2錯誤；

因為P(4B)=0.2K0,所以N,8不是互斥事件，故C正確；

因為P(4B)=0.2RP(4)P(B)=04x0.6=0.24,所以/,8不是相互獨立事件，故。錯誤.

故選2U

10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查利用向量求線段的長，利用向量判斷線線，面面垂直，柱體的體積，屬于中檔題.

利用向量對選項逐個計算即可判斷.

【解答】

解：對于選項由|西j=I瓦？+前+西>1=J(BA+AD+~DD[y=Vl+1+1-1-1+1=V2>所以

A錯誤；

對于選項8,~BDi-CD=(BA+AD+DD^)-CD=所以8正確；

對于選項C,麗?痂=(前一同)?京=0,.-.BDlAAi，又BD1AC,AA1CiAC=A,44i，4Cu平面

A41C1C,所以平面44忑修，所以平面441cle，平面故C正確；

由題易知，4-4BD為正四面體，其體積為匕)=9乎.乎=皆

3431Z

所以平行六面體的體積為U=6%=6*吾=苧，故。正確，

故選BCD.

n.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查曲線與方程，利用方程研究曲線的性質(zhì)，屬于較難題.

對于/,分別以-X代X,以-y代修即可判斷；對于8,令y=o即可判斷；對于c,利用余弦定理和基本

不等式即可判斷；對于。，利用三角形的面積公式即可判斷.

【解答】

解：設(shè)P(x,y),由|PFi|,|PFzl=6,可得，(久+2/+產(chǎn),J0一2y+92=6,

對于/,由曲線方程可知，將-x代替x,方程不變;將-y代替力方程不變，故/對；

對于8,令y=0,解得|%-2|?|x+2|=6,即*2=10,故8錯；

對于C,設(shè)用止尸2=仇由余弦定理，有cos。=用;壽俳廣221；假;甑J=一、當(dāng)且僅當(dāng)

|PFil=|PF2l時等號成立,故C對;

112

對于。，仍設(shè)立尸止尸2=方由如%尸2的面積S可知sJ|PFi||PF2|sin8=||FiF2||yp|,|yP|=|sin0,

Wpl最大時為］此時8=90°小于乙38&，故。對.

故選4CD

12.【答案】1

6

【解析】【分析】

本題考查直線的截距式方程，斜截式方程，直線過定點問題，屬于較易題.

易知直線丫=依+1經(jīng)過點。(0,1),利用△BCD的面積為aAOB的面積的一半，求出點C的橫坐標(biāo)，由點

C在直線上，求出點C的縱坐標(biāo)，再由直線y=kx+l過點C,即可求出％的值.

【解答】

解:直線y=kx+1經(jīng)過定點。(0,1),設(shè)直線y=kx+1與線段48相交于點C,

SABCD=~2S/X40B='x久CX3=3，久c=2，

易知直線45的方程為卷+1=1,???由點。在直線45上，可得yc=*

?,?直線y=kx+1過點(2)),??.fc=1,

故答案為點

6

13.【答案】0

【解析】【分析】

本題考查異面直線所成角的向量求法，屬于基礎(chǔ)題.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解.

【解答】

解：取3c的中點O,連接NO,DO,因為4B=4C,

所以491BC,以。為坐標(biāo)原點，。/為x軸，OC為)，軸，。。為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為BC=4,AB=AC=近,所以。4=V^，

則①(e0,2),B(0-2,0),C(020),D(0,0,2),

所以布=(一①2,-2),麗=(0,2,2),

所以砧?麗=0+4-4=0,

則直線力1C與8。垂直，即直線AD,41c所成角的余弦值為0,

故答案為0.

14.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查雙曲線與三角形相結(jié)合設(shè)題，雙曲線的定義、三角形的面積公式及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，屬于中

檔題.

由已知求出S1=5|P%|，S2=^\PF2\,作差得到SI—S2=5(|P%|—|PF2l)=ar,進(jìn)一步求廠和a,即可解

決問題.

【解答】

解：由題設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，，則S1=]|P%|,52=2上尸2|，

S1—S2=^(\PFr\-\PF2\)=ar.

過點M作MAIP%于點/,MB1F1&于點2,MC1PF2于點C，

則由△的內(nèi)切圓圓心為1(1,2),知r=2,

故

\AF1\=\BF1\=l+c,\BF2\=\CF2\=C-1,\AP\=\PC\,

|PFI|-|PF2|=\AFr\-\CF2\=1+c-(c-l)=2a,得a=1,

故S]—S2=2.

故答案為2.

15.【答案】解：因為雙曲線離心率e=?=亞貝哈=但=值二1=也

aa7a2

即b=V2afc—V3d.

若焦點在X軸上，則雙曲線方程為與一龍=1,

a22a2

代入點P(l,l)可得4-與=1,解得a?=

CL乙乙

所以雙曲線方程為2/-*=1,焦點坐標(biāo)為(士孚,o),漸近線方程為y=±四居

若焦點在＞軸上，則雙曲線方程為《—蔡=1,

代入點P(L1)可得小一與=1,解得。2=最

CL乙Cv乙

所以雙曲線方程為2y2一/=1,焦點坐標(biāo)為(0,土乎)，漸近線方程為y=±乎x.

【解析】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)離心率可得6=四口，c=ga.分類討論焦點所在位置，設(shè)雙曲線方程代入點P(l,l)求得a,即可得結(jié)

果.

71

16.【答案】解：⑴記甲答對第i題為事件E4i=l,2),貝i]P(Ei)=奈0(&)=!

記甲答對，道題為事件40=0,1,2),貝必1=￡1礪+成石2,

其中EiW與瑁&互斥，力,&相互獨立，

71211

所以甲答對一道題的概率為PQ41)=P(E1五)+P(FZ￡2)=^X1+^X|=1；

(2)記乙答對，道題為事件=0,1,2),

Q1Q1717

W0)=-x-=-,P^=-,P^=-x-=-.

n/n、224n/n、c3212“n、339

^(Bo)=^x-=—,P(B1)=2x-x-=—,P(B2)=-X-=—.

記甲乙兩人答對題數(shù)相等為事件C,則C=A0B0+A1B1+A2B2,

且人員、4隹1、兩兩互斥，4與=0,1,2)相互獨立,

341127939

P(C)=PQ4。%)+P(OBi)+P(7l2F2)=-x-+-x-+^-x-=^-.

【解析】本題考查互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

(1)對甲答對一道題分類：第1題答對且第2題答錯，第1題答錯且第2題答對；

(2)對甲乙兩人答對題目的個數(shù)相等分類：兩人都答對。題，都答對1題，都答對2題.

17.【答案】解：(1)證明：因為平面P4B1平面4BCD,平面PABn平面ABLAD,

4。u平面48cD,所以ADJ.平面尸48,

又PAu平面P48,故4D1P4；

同理因為平面PAD_L平面/BCD,ABIAD,4Bu平面4BCD,

所以4B1平面尸所以4B1P4

又因為42、40是平面4BCD內(nèi)兩相交直線,

所以P21平面4BCD;

(2)以AB、AD、4P所在的直線分別為無軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則8(1,0,0),D(0,2,0),C(l,l,0),設(shè)Q((W)(；l>0),

貝U麗=(-1,2,0),CQ=(-1,-1,A),

因為BD〃平面a,BDu平面尸8。，平面PBDCl平面a=EF,所以BD〃EF,

設(shè)平面a的法向量為?1=(x,y,z),則nlBD,n1CQ,

zfn-BD=—x+2y=0

H取y=/l,則l=(24,；l,3),

寸(n,CQ=-x—y+zA=0

記/。中點為M,則ACIBM,又24IBM,

所以BM1平面P/C,

則可取平面PAC的法向量為前=(-1,1,0),

由cos。=|cos<nM>|=瓦垢=卷’

解得2=3.

線段的長度為3.

【解析】本題考查直線與平面垂直的判定，平面的夾角，屬于中檔題.

(1)利用面面垂直的性質(zhì)得出直線N8,都垂直于尸/,再利用線面垂直的判定定理即可得出結(jié)論;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量根據(jù)平面的夾角即可求出線段N0的長.

18.【答案】解：由題意可知：圓”的圓心為M(2,l),半徑r=5,

(1)設(shè)的中點分別為E,F,

則ME_L4B,MF_LCD,且ABICD,

可知EOFM為矩形,則+\MF\2=\0M\2=5,

所以|AB|2+|CD|2=4(r2-|MF|2)+4(r2-|MF|2)=200-4(|ME|2+|MF|2)=180

為定值；

(2)因為點O在圓M內(nèi)，可知過點。的直線與圓M必相交，

分析可知，當(dāng)直線N8或CD中有斜率不存在時不滿足，

根據(jù)對稱性不妨假設(shè)直線AB的斜率存在，設(shè)直線=kx,4(孫力)鳳*22)兩a%2.

聯(lián)立方程｛，二生?+⑶―1)2=25,消去＞可得(卜2+i)x2-2(fc+2)X-2O=0,

則5+x2=筆詈,為62=一篇'即(1+4)冷=與署，%好=一含,

消去力可得患除=-笠富，整理可得小=建熱，

可知直線CD的斜率不為0,設(shè)直線=-ky,。(%373)，。(%4)4)，丫3=4y4，

聯(lián)立方程｛經(jīng)客一(y_l)2=25,消去X可得(爐+l)y2+2(2fc-l)y-20=0,

則為+V4=-2(既),y3y4=-磊'

即(1+fi)y4=-2黑;;，nyl=-篇,

消十第幣徨4〃(2"_1)2_20(1+〃)2整理可得—E-------5(—+1)

侑去丫4口"寸(H+l)2一H+1'食埋口”寸(1+⑷2-(21)2，

若AC/[BD,則4=〃，可得(i+a)2=(1+〃)2,

即瑞段=碧？，解得仁3或仁一/，

根據(jù)對稱性不妨取k=3,代入求解，不妨取4(—1,—3),B(2,6),C(-3,1),D(6,-2),

所以直線AC的方程為2x+y+5=0,直線BD的方程為2x+y—10=0.

（或直線AC與直線BD互換）

【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于較難題；

（1）取弦的中點，可得|ME『+