專題04函數(shù)的概念及其表示（考點(diǎn)清單）

目錄

一、思維導(dǎo)圖........................................................2

二、知識(shí)回歸........................................................2

三、典型例題講與練..................................................3

考點(diǎn)清單01定義域................................................3

【期末熱考題型1】求常規(guī)函數(shù)的定義域..........................3

【期末熱考題型2】求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域................4

考點(diǎn)清單02值域..................................................6

【期末熱考題型1】一次、二次、反比例函數(shù)的值域................6

【期末熱考題型21根式型值域..................................7

【期末熱考題型31分式型值域..................................9

考點(diǎn)清單03解析式...............................................11

【期末熱考題型1】待定系數(shù)法.................................11

【期末熱考題型2】換元法.....................................13

【期末熱考題型3】方程組（消去）法...........................14

【期末熱考題型4】賦值法求抽象函數(shù)的解析式...................15

一、思維導(dǎo)圖

二、知識(shí)回歸

知識(shí)回顧1:函數(shù)的定義

一般地，設(shè)A,3是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)》,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,

在集合8中都有唯一確定的數(shù)V和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:Af3為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù)(function),

記作y=/(x)，xeA.其中，了叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的V值

叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/COIxeA｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合8的子集.

函數(shù)的四個(gè)特征：

①非空性：A，5必須為非空數(shù)集(注意不僅非空，還要是數(shù)集)，定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在

的.

②任意性：即定義域中的每一個(gè)元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個(gè)自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)(可以多對(duì)一，不能一對(duì)多).

④方向性：函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向，那么新的對(duì)應(yīng)所確定

的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.

知識(shí)回顧2：數(shù)的三要素

（1）定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍.

（2）對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系/是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量X實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”.

（3）值域：與x的值相對(duì)應(yīng)的丁值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/（x）|xeA｝叫做函數(shù)的值域（range）.

知識(shí)回顧3：求函數(shù)解析式

（1）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例等），可用待定系數(shù)法.

（2）換元法：主要用于解決己知/（g（x））這類復(fù)合函數(shù)的解析式，求函數(shù)/（尤）的解析式的問題，在使用

換元法時(shí)特別注意，換元必?fù)Q范圍.

（3）配湊法：由已知條件/（g（x））=E（x）,可將/（天）改寫成關(guān)于g（x）的表達(dá)式，

（4）方程組（消去）法：主要解決已知/（%）與/（—九）、fI的方程，求/（%）解析式。

三、典型例題講與練

I考點(diǎn)清單01定義域

【期末熱考題型11求常規(guī)函數(shù)的定義域

【解題方法】使得函數(shù)有意義的范圍

2x

【典例1】（2023上?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期中）函數(shù)/⑺=&二a+x的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(l,+oo)B.(-1,1)C.(-1,4-00)D.(-oo,-l)u(l,+oo)

【答案】A

【詳解】因?yàn)?(x)=Jx[J]+X

x-l>0

所以解得％>1，

l+x>0

故選：A

【典例2】（2023上?廣東廣州?高一廣州市第六十五中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)“力=1工）一的定義域

L7-X2-3X+4

為.

【答案】

f—X?—3x+4〉0

【詳解】由題意知，《，c，解得T<X<1且XH-1,

x+1wO

故函數(shù)/（x）=/>+1）的定義域?yàn)椋?4,-1）U（-1,1）.

V-x2-3x+4

故答案為：（-4,—1）口（—1,1）.

【專訓(xùn)1-1]（2016上嚀夏銀川?高三階段練習(xí)）函數(shù)〃x）=八：的定義域?yàn)開________.

Jl-logz%

【答案】（。，2）

【詳解】因?yàn)椤o）=",

<l-log2x

fl-log9x>0

所以n,

[x>0

flogx<l

即162?

[x>0

解得0<x<2,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2）,

故答案為：（0,2）

【專訓(xùn)1-2]（2023上?北京朝陽?高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)>=^/5=1?7^萬的定義域是—；函數(shù)

〃x）=￡1的定義域?yàn)?

【答案】{1}（f,O）u（O,2]

/]fl-120,、

【詳解】由丫=71二知]、c，得尤=1,故定義域?yàn)閧1};

[%—12U

Jo_x（%W0

由/（尤）=^------知<,得x<0或0<xW2,

v7x[2-x>0

故定義域?yàn)椋?,0）5。,2]

故答案為：{1}；（f,O）u（O,2]

【期末熱考題型2】求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域

【解題方法】對(duì)應(yīng)關(guān)系“/”作用下的整體取值范圍相同

【典例1】（2022上.江西南昌.高一校考期中）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椋?,2）,則函數(shù)的

Vx-4

定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（3,-HK）B.{2,4}C.（4,5）D.{-2,3}

【答案】C

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)外力的定義域?yàn)椋?,2）,所以〃x-3）滿足0<x-3<2,即3Vx<5,

/\—3）_f3<x<5

又函數(shù)gX=J有意義,得“八，解得4<x<5,

Jx一-4/1x-4>0

所以函數(shù)8（刈=（；祿的定義域?yàn)椋?,5）.

故選：C

【典例2】（2023上?廣東惠州?高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)/（2x-D的定義域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)、=少"的

VX-1

定義域?yàn)?

【答案】（L2]

【詳解】解：因?yàn)椤?x-l）的定義域?yàn)閇-1』，

即所以2尤-le[-3,1],

即函數(shù)Ax）的定義域?yàn)?/p>

所以y的定義域?yàn)椴坏仁浇M的解集，

5/尤-1[尤-1>0

解此不等式組得：1<%W2,

所以函數(shù)>=坐駕的定義域?yàn)椤?2].

y/x-l

故答案為：（1,2]

【專訓(xùn)1-1]（2023下?遼寧?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)/（2x-l）的定義域?yàn)閇-3,1],則y/（二）的

Vx-1

定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.律B.C.[|，|]D.

【答案】D

【詳解】由題意可知一3VxVl,所以—7V2X—1V1,要使函數(shù)y="二）有意義,則[-解得

Vx-1[x-l>0,

l<x<—.

2

故選：D

【專訓(xùn)1-21（2023上?天津北辰?高一天津市第四十七中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)〃力=^/^^，則fX

的定義域?yàn)?

【答案】[4,5]

【詳解】函數(shù)=二的定義域滿足：%-2>0,故X42,+8）,

昌2

2

的定義域滿足：,斗22,解得4WXW5,故定義域?yàn)閇4,5].

xw0

故答案為：[4,5]

I考點(diǎn)清單02值域

【期末熱考題型11一次、二次、反比例函數(shù)的值域

【解題方法】分離常數(shù)法

【典例1】（2023上?貴州黔東南?高一凱里一中校考階段練習(xí)）函數(shù)”到=展的值域是（）

x+2

A.(-℃,1)B.(1,+<?)C.(—0,-2)。(—2收)D.(-00,1)(1,+co)

【答案】D

%+2—22

【詳解】〃尤）=—三------------=1----------

%+2x+2x+1

2#0,

.-.1--—

X+1X+1

X

從而可知函數(shù)/。）=—^的值域?yàn)椋ā?）51，口）.

x+2

故選：D.

【典例2】（2023上?北京?高一校考期中）函數(shù)y=/+2x-8,的值域?yàn)?

【答案】[-9,-5]

【詳解】二次函數(shù)y=/+2x-8的開口向上，對(duì)稱軸為％=-1,

所以當(dāng)尸一1時(shí)，》取得最小值為（T）2+2X（-1）—8=—9,

當(dāng)x=l時(shí)，y取得最大值為1。+2xl-8=-5,

所以函數(shù)的值域?yàn)閇-9,-5].

故答案為：

【專訓(xùn)1-1]（2023上?北京?高一北京市十一學(xué)校?？计谥校┖瘮?shù)y=/的值域?yàn)椋ǎ?/p>

x+3

A.UBJ』）C.[o,1]D,[o,i

【答案】D

【詳解】因?yàn)閅+3N3,

1

所以0<<-

X2+3-3

故函數(shù)y==二的值域?yàn)?/p>

+3I，

故選：D.

【專訓(xùn)1-2]（2023上?廣西南寧?高一南寧市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)ynr-Zx+SeWxWB）的值域

為.

【答案】[2,6]

【詳解】由函數(shù)y=f-2x+3=（x-l）2+2,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x=l時(shí)，得至當(dāng)x=3時(shí)，得至1」%緘=6,

所以函數(shù),=/-2工+3在[0,3]的值域?yàn)閇2,6].

故答案為：[2,6].

【期末熱考題型2】根式型值域

【解題方法】換元法

【典例1】（2023上嘿龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中期中）函數(shù)/（幻=后々=7的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,4]B.（-oo,2]C.[2,+co）D.[0,2]

【答案】D

【詳解】解：令，=-無2+2了+3=-（尤-1）2+4,

當(dāng)尤=1時(shí)，tinax=4,又讓0,

所以te[0,4],即t+2x+3=-（x-1尸+4e[0,4]

2

所以f（x）=yj3+2x-xe[0,2],

故選：D.

【典例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）求函數(shù)y=.+/j20—尤（OV尤V20）的值域?yàn)開_____.

o2

【答案】[75,3]

【詳解】令t=420-x（0MtM2非）,貝鼠=20-2,

二y=型二-+，=」（/_書_20）=」”2）2+3

8288

容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為r=2,

0<t<2^/5,所以該函數(shù)在f=2時(shí)取到最大值3,當(dāng)"2斯時(shí)，函數(shù)取得最小值百，

所以函數(shù)y=9+^^/^7（0WxW20）值域?yàn)閥ep?,3].

O2L」

故答案為：[6,3]

【專訓(xùn)1-1】(2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)/(x)=x-，2x+3的值域

為.

【答案】[-2,+功

______1Q

【詳解】設(shè)后存=/,?>0,則x=

1319

所以y==f等號(hào)成立

所以函數(shù)/(x)=x-72773的值域?yàn)閇-2,+8).

故答案為：[-2,+8).

【專訓(xùn)1-2】(2023?高一課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的值域：

(1)y=x+Jl-2x；

(2)y="\/x—3+J5-x；

【答案】(1)(-8內(nèi)；(2)[3,2].

【詳解】(1)函數(shù)y=x+F石，定義域?yàn)椋?；，

t_____1_產(chǎn)

令％=J1-2%>0,貝!J%=—-—,

[—產(chǎn)產(chǎn)11

所以>?=一萬+.+,=一”-1)2+1/20,

對(duì)稱軸方程為，=1,

所以/=1時(shí)，函數(shù)Wax=-)+1+[=1，

故值域?yàn)?-00」]；

[x-3>0..

(2)由題思得|,解得

p-x>0

貝U丁=2+2j(x-3)(5-x)=2+2^-(x-4)2+1,3<x<5,

山—(x—4)+le[0,1]可得2，-(尤-4)-+1e[0,2],

:.2<y2<4,

由y的非負(fù)性知，V2<y<2,

故函數(shù)的值域?yàn)閇&，2].

【期末熱考題型3】分式型值域

【解題方法】分離常數(shù)法，換元法，△判別法

【典例1］(2023上.浙江寧波?高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)/(*)=竺上亙把在xeR上的值域是

x+X+4

【答案】目,日］

爐+()

23%+8_2%2+%+4+%X

【詳解】函數(shù)f(x)=——=2+

/+%+4/+%+4x2+x+4

當(dāng)x=0時(shí)，八%)=2；

當(dāng)XH0時(shí)，/5)=2+—

XH----F1

X

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知:

11一

4則°<----------<—11

當(dāng)x>0時(shí),x+—>4,.4-----5,所以2V/(x)?-

xxr4十十IJ

X

4-1<——i——<05

當(dāng)xvO時(shí),XH—?—4,則3-^4,所以W？/(%)2,

X------1-13

X

函數(shù)/。)=竺士亞2在xeR上的值域是它當(dāng)?

綜上所述,

x+x+435

故答案為:

(2022上?遼寧?高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=￡^(x>l),則函數(shù)的值域

【典例2】

是

x-11

f(x}=

【詳解】因?yàn)镮)(x-iy+3(x-l)+2(x-l)+(:)+3,

2

因?yàn)椋ァ?,所以%-1>0,則有(1-1)++3>2+3=20+3,

(x-1)V(x-D

7

當(dāng)且僅當(dāng)》-1=-即x=l+0時(shí)取等號(hào),

X-L

1二"乩="20

所以(尤T)+~^2

(1)

因?yàn)閤>l,所以/'(x)>0,則函數(shù)的值域?yàn)?0,3-2應(yīng)］,

故答案為：（0,3-20].

【專訓(xùn)1-1]（2023上?天津紅橋?高一天津市第五中學(xué)校考期中）已知函數(shù)/（力=二^,則函數(shù)的值域

X—1

為.

【答案】（，,一3）_（-3,y）

【詳解】“X）=定義域?yàn)椋‵,l）L（l,y）,

x—1

2-3x_-3（x-l）-l

小）==-3-￡

X-1X~1

因?yàn)閤-lwO,所以一1-/0,即一3---^-3,

x-1x-1

o=3r

所以“X）=的值域?yàn)椋?,-3）.（-3,內(nèi)）.

X-L

故答案為：（一°，-3）（-3,心）.

【專訓(xùn)1-2】（2。2/浙江杭州.高一校聯(lián)考期中）函數(shù)?。?”

的值域是.

【答案】|a]

【詳解】解：/（力=—+：

x—x+2

因?yàn)辇?-尤+2=（x-g）+：＞0

所以函數(shù)“X）的定義域?yàn)閤eR

令+l,整理得方程：（y-l）x2+（l-y）^+2y-l=0

x-x+2

當(dāng)y=i時(shí)，方程無解；

當(dāng)ywl時(shí)，A=（l-y）2-4x（y-l）（2y-l）＞0

不等式整理得：7y2Toy+3V0

解得：ye*1]

所以函數(shù)八尤）=;111;的值域?yàn)?,1].

故答案為：川

考點(diǎn)清單03解析式

【期末熱考題型11待定系數(shù)法

【解題方法】設(shè)出函數(shù)解析式，對(duì)比系數(shù)求解

【典例1】(2023上?河南南陽?高一河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已已知AM是一次函數(shù)，且

/(/(x))=16x-25,求/(x)=.

25

【答案】4x-5或-4x+

【詳解】設(shè)/(x)=fcv+b(、=。),

貝!J=k{kx+b)+b=lex+kb+b=16x-25,

k~=16

kb+b=-25'

f(x)=4x-5或/(x)=-4x+.

25

故答案為：4%-5或-4x+石.

【典例2】(2022上?江蘇南京?高一江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中)已知二次函數(shù)滿足

f(x+l)-f(x-l)=4x+2,M/(0)=0.

(1)求了(力的解析式；

⑵解關(guān)于x的不等式f(x)>(m+2)x-m.

【答案】(l)/(x)=/+x

(2)答案見解析

【詳解】(1)設(shè)/(x)=加+Zzx+c,awO

由/(。)=0,f#c=O=>f(x)=ax2+bx

X/(x+l)-f(x-l)=4x+2

=a{x+1)2+b(x+l)-[a(x-I)2+b(x-1)]

f4。=4[ci—1

=4雙+2b=4%+2,則L)，解得「[，

[2b=2[b=l

所以/(x)=f+x.

(2)由已知，x2+x>(m+2)x-mBPx2-(m+I)x+m>0,

即(x-m)(x-l)>0,

①當(dāng)m=1時(shí)，原不等式即為：(x-l)2>0,解得XW1：

②當(dāng)機(jī)<1時(shí)，解得x〈加或r>l；

③當(dāng)r>1時(shí)，解得x<l或x>相

綜上，當(dāng)機(jī)=1時(shí)，不等式的解集為：(-?，1)51,物)，

當(dāng)機(jī)<1時(shí)，不等式的解集為：(T?,m)(l,+oo),

當(dāng)R>1時(shí)，不等式的解集為：(-?/)(加,欣).

【專訓(xùn)1-1](2022.全國?高一專題練習(xí))設(shè)是一次函數(shù)，且/[〃x)]=4x+3,求的解析式.

【答案】〃x)=2x+l或〃力=-2尤-3

【詳解】設(shè)〃x)=ox+b(awO),則

=af^x)+b=a^ax+b)+b=a2x+ab+b=^x+3.

a2=4a=2a=-2

所以ab+b=3'解得6=1或

b=-3'

所以函數(shù)〃x)的解析式為〃x)=2x+l或〃x)=-2x-3.

【專訓(xùn)1-2】(2021上.高一課前預(yù)習(xí))(1)已知了⑺是一次函數(shù)，且"/(x))=4x-l,求f(x)；

(2)已知/")是二次函數(shù)，且滿足/(O)=1J(尤+l)-/(x)=2x,求“X).

【答案】(1)/(x)=2x-1^f(x)=-2x+l.(2)/(%)=x2-%+l.

【詳解】(1)設(shè)洋%)=q+僅aw。),

則/(/(%))-于(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b

因?yàn)?(/(x))=4x-l,所以々2%+4。+。=4%—1

a=2

a2=4

所以解得71或

ab+b=-lb=一一

I3

所以/'(無)=2x-；或f(x)=-2x+l

(2)設(shè)/(x)=ar?+b%+c(〃w0)

由/(。)=1,得。=1

由/(x+l)-/(x)=2x

得a{x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-l=2x

整理，得2tzx+a+b=2x

2Q=2a=1

所以所以

a+b=0b=—l

所以f(x)=x2-x+l

【期末熱考題型2】換元法

【解題方法】換元法

【典例1】(2023上?浙江?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)了(?-2)=彳-46+5,則Ax)的解析式為()

A.f(x)=x2+l(x>0)B./(x)=尤？+l(x2-2)

C.f(x)=x2(x>0)D./(X)=%2(%>-2)

【答案】B

【詳解】令f=?-22-2,則x=(f+2)2,

所以/(。=?+2)2—4?+2)+5=產(chǎn)+1,

綜上，f(x)=x2+l(x>-2).

故選:B

x2

【典例2】（2023上?湖北?高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)/（x）滿足了則函數(shù)/'（X）

2X2+1

值域?yàn)?

【答案】［o,l

1

112

【詳解】令/=上（玲0）,則無=二所以“1

r+2’

*t4+i

所以“X）的解析式為〃尤）=9^，其中無力0.

%2+2>2,0<^—<1,所以f（x）值域?yàn)椋?,：

當(dāng)xw0時(shí),

X十乙乙1乙

故答案為：

【專訓(xùn)1-1］（2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解答下面兩題

⑴已知，（占+D=V+2,求AM的函數(shù)解析式；

［答案】⑴/(X)=/一4/+6x2-4x+3(%>1)

【詳解】(1)令/=y［x+19則/21,X=(1-1)?,

4

代入原式有于(t)=(t—I)+2=八一4尸+6/2—4/+39

所以/(x)=x4-4x3+6x2—4x+3(%>1).

【專訓(xùn)1-2］（2023?全國?高三對(duì)口高考）⑴已知小+￡p+,求小

(2)已知/［：+,=lgx,求F3；

2

【答案】(1)/(X)=X3-3<X>2^X<-2)；(2)/(x)=lg--(x>l);

x-1

【詳解】小+4，+5干一

因?yàn)楫?dāng)尤>0時(shí)XH—>2,當(dāng)尤<0時(shí)XH—<—2,

XX

所以于(x)=x3-3x(x22或x4-2).

⑵令2+1=々>1),

尤

22

則—,.../(r)=lg—

>D

【期末熱考題型3】方程組（消去）法

【解題方法】聯(lián)立方程組消元

【典例1】（2023上?四川達(dá)州?高一校考期中）⑴己知一次函數(shù)/⑺滿足條件/■（x+DtfabZx,求函數(shù)

“X）的解析式；

【答案】（1）〃耳=無一;：

【詳解】（1）設(shè)/（x）=Ax+b,上/0,

〃龍+1）+/（力=2尤，

.?.左（x+l）+b+Ax+Z?=2x,BP2kx+k+2b=2x,

⑵t=2『=1

5?1解得八1，

女+2Z?=0b=——

iI2

【典例2】（2023上?山東泰安?高一泰安一中校考期中）已知函數(shù)y=/（x）滿足：

八村+2/己］=2五+；（x>0）.

⑴求函數(shù)y=/（x）的解析式：

【答案】⑴?。?，”。

【詳解】(1)Vx>0,/(X)+2/Q^|=2^+-^,①

**?—>0,f^—^+2f^x^=2—j=+y/x,②

3“x)W，"(x)=；,

???②x2—①得,x>0.

7x\x

【專訓(xùn)1-1](2023上?寧夏銀川?高一校考期中)分別求滿足下列條件的f(x)的解析式:

⑴已知2〃力—/(2—》)=犬+2彳，求函數(shù)f(x)的解析式；

9Q

【答案】(1)/(%)=%2

【詳解】(1)由2/(%)-/(2-％)=f+2%,2/(2-x)-/(X)=(2-x)2+2(2-x),

2/(x)—/(2-x)=x2+2xOQ

于是消去y(2-x)得“無)=/一,無+，

2/(2—x)—/(x)=x2—6x+8

9Q

所以函數(shù)“X)的解析式為/(x)=V-,x+,

【專訓(xùn)1-2](2023上?吉林通化?高一梅河口市第五中學(xué)校考階段練習(xí))(1)已知/a)+2