重難點(diǎn)專題01函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性

dan

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式.........................................................1

題型2利用奇偶性、周期性對(duì)稱性求值................................................7

題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值........................................................11

題型4對(duì)稱性、奇偶性的運(yùn)用........................................................14

?類型1對(duì)稱軸................................................................15

?類型2中心對(duì)稱+軸對(duì)稱構(gòu)造周期性............................................18

?類型3“類”周期函數(shù)........................................................24

?類型4對(duì)稱性解決恒成立......................................................28

題型5三角函數(shù)中的對(duì)稱性問題......................................................33

題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題...............................................................37

題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題..............................................................41

題型8兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱問題..........................................................45

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式

f（X1）-f（x2）

1、對(duì)于任意乂1多（-8,0]01wx2）,均有-＜。成立，注意功能用來判斷函數(shù)的

￡Xl-X2

單調(diào)性（有具體函數(shù)時(shí)，直接求導(dǎo)可求單調(diào)性）;

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式

3、涉及到偶函數(shù)時(shí)：如果口朝上：誰離對(duì)稱軸。=0）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就大；如果口朝下:

誰離對(duì)稱軸0=0）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就小.

x

【例題1]（2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)益+2）=log3（3+3"），若f（a-l）

2f（2a+1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（—oo,-2]B.[—2,J

C.（-8,-2]u[0,+8）D.（一8，-2]u[：,+8）

【答案】B

x

【分析】設(shè)g（x）=f（x+2）=log3（3+3一町，則可得g（x）為偶函數(shù)，且在［0,+8）單調(diào)遞

增，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，在口，+8）單調(diào)遞增，則將7a-1）2f（2a+1）轉(zhuǎn)

化為性-1-21212a+1-2］,從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

x

【詳解】設(shè)9依）=改+2）=log3（3+3-x）,

因?yàn)間（-x）=iog3（3-x+3x）=g（x）,

所以g（x）為偶函數(shù)，

所以f（x+2）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，

所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

設(shè)丫=3'+3-',則y=3xln3-3-xln3=（3x-3-x）ln3,

令y>o,則3x-3-x>o,得x>0,

所以y=3X+3-x在（0,+8）上遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)y=logs*在定義域上單調(diào)遞增，

所以g（x）在［0,+8）單調(diào)遞增，

所以f（x）在［2,+8）單調(diào)遞增，

因?yàn)?f（2a+1）,

所以|a—1—2|2|2a+1-21,

所以9一3）223-1）2,化簡得9+2）曲一4尸0,解得一2waJ

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為［-2,9，

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出曲）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

在［2,+8）單調(diào)遞增，從而可求解不等式.

【變式1-1】1.（2023?湖南常德?常德市一中?？寄M預(yù)測）定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）

滿足f（x）—f（-x）=x（ex+e-x）,且在（0,+8）上有f（X）+9<。若實(shí)數(shù)a滿足%2a）—,

（a+2）-2ae-2a+ae-a-2+2e-a-2>0,貝Ja的取值范圍為（）

22

A.[—3,2]B.[2,+8）C.8,—③]u[2,+8）D.（—oo,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)g（x）,利用偶函數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)法的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的

關(guān)系，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由'（x）—f（-x）=x（ex+e-x）,得f（x）—3=f（-x廠尹.

令g（x）=f（x）■■爵則g（x）=g（-X）,即g（x）為偶函數(shù).

又X6（0,+8）時(shí)，g（x）=f（X）+—<0.

所以g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減.

f-f-2a2aa-a-2-a-2

S（2a）（a+2）e-+e+2e>0,彳導(dǎo)f（2a）_,Nf（a+2）一受，gp9

（2a）>g（a+2）.

又g（x）為偶函數(shù)，

所以g（2a|）2g（a+2|）,

2

422

所以|2a|W|a+2|,BPa<a4-4a+4,解得一

2

所以a的取值范圍為[一3,2].

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）,利用偶函數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的

單調(diào)性，再利用偶函數(shù)和單調(diào)性即可解決抽象不等式.

【變式1-1】2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x—l）+eXT-eir-x+4,

則滿足反x）+f（3—2x）<6的x的取值范圍是（）

A.（3,+8）B.（1,+oo）C.（-oo,3）D.

【答案】B

sinx

【分析】構(gòu)造g（x）=+ex—e-x—x,xGR,發(fā)現(xiàn)g（x）為奇函數(shù)，然后%x）是g（x）向右平

移1個(gè)單位長度，向上平移3個(gè)單位長度，可得依）的對(duì)稱中心為（1,3）,能得到6=f（x）+f

（2-x）,通過求導(dǎo)可發(fā)現(xiàn)f（x）在R上單調(diào)遞增，繼而求解不等式

【詳解】解：假設(shè)g（x）=sinx+ex—e-x—x,x6R,

所以9（一x）=sin（-x）+e-x_ex+x,所以g（x）+ff（-x）=0,

所以g（x）為奇函數(shù)，

而f（x）=sin（x-l）+ex-1-e1-x-（x-l）+3是g（x）向右平移1個(gè)單位長度，向上平移3個(gè)

單位長度，所以%x）的對(duì)稱中心為（1,3）,所以6=f（x）+f（2—x）,

由f（x）=sin（x-l）+ex-1_e1_x_x+4求導(dǎo)得f⑸=cos（x-l）+ex-1+e1-x-1=

ex-1+#r+cos（x-l）-l

因?yàn)閑XT+AN2jexT.尹=2,當(dāng)且僅當(dāng)eXT=尹即x=1,取等號(hào)，

所以f'（X）>0,所以f（x）在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒（x）+f（3-2x）<6=f（x）+f（2-x）^（3-2x）<f（2-x）

所以3-2X<2-X,解得X>1,

故選：B

【變式1-1]3.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)曲）=eXT+e1-x+x2-2x,

若不等式f（2-ax）</2+3）對(duì)任意xGR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可能是（）

3

A.-4B--c.V2D.V?

【答案】BC

【分析】令t=xT,得到g（t）=et+eT+t2T,推得g（t）為偶函數(shù)，得到依）的圖象關(guān)

于x=l對(duì)稱，再利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)x>1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)X<1時(shí)，f（X）單調(diào)遞減，把不

等式轉(zhuǎn)化為|1-2乂|<乂2+2恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)f（x）=ex-1+e1-x+x2-2x,

令t=x-l,財(cái)c=t+i,可得gO；）=et+eT+t2T,

可得g（-t）=e-t+e[+（-t）2T=e^e^+t2-1=g（t）,

所以g（t）為偶函數(shù)，即函數(shù)%x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，

tt

又由g⑴=e「eT+2t,令叩⑴=g（t）=e-e-+2t（

可得ip'⑴=et+e-t+2>0,所以卬⑴為單調(diào)遞增函數(shù)，且中（0）=°,

當(dāng)t>0時(shí)，g'（t）>0,g（t）單調(diào)遞增，即x>l時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)t<0時(shí)，g'（t）<0,g（t）單調(diào)遞減，即x<l時(shí)，依）單調(diào)遞減，

由不等式f（2-ax）<￡在2+3）,可得|2-ax—l|<牘2+3-1|,BP|l-ax|<x2+2

2

所以不等式|l—ax|<x+2恒成立，即一x?-2<ax-l<x2+2恒成立，

所以I的解集為應(yīng)所以a?-4<。且（_a）2T2<0,

解得-2<a<2,結(jié)合選項(xiàng)，可得BC適合.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法設(shè)t=xT,從而得到g（t）=et+e-t+t2

T,證明其為偶函數(shù)，貝憎到氣）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，再結(jié)合其單調(diào)性即可得到不等式

組,解出即可.

【變式1-1】4.（2021?廣西?廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)f（x）是定義在R

上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=a*（a>1）.若對(duì)任意的xe[Ob+1],均有f（x+b）之f2

（X）,則實(shí)數(shù)b的最大值是（）

A.B.C.0D.1

【答案】B

【解析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得x20時(shí)f2（x）=f（2x）,進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)在

x2。上的單調(diào)性，將不等式很成立問題轉(zhuǎn)化lx+bl22x對(duì)任意的xe[0內(nèi)+口恒成立，若

x+b20,易于得出矛盾，在b+x<0時(shí)利用不等式恒成立的意義不難求得b的最大值.

【詳解】當(dāng)xe[0力+1]時(shí),F（x）=（aX）2=a2x=f（2x），

若對(duì)任意的xc[0R+1],均有￡的+切2￡2（幻即為**+13）2￡（2幻，

由于a>1,當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=a*為單調(diào)遞增函數(shù)，

又?.?函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，

；,f（x+b）2f（2x）等價(jià)于圖+切2|2x|,gp|x+b|>2x（--xG[O,b+1]）,

b

由區(qū)間的定義可知b>一1,若x+>0,于是x+b>2x^3>x；

由于x的最大值為b+1,故b2x顯然不可能恒成立；

...b+x<0,...x+b<_2x,即x<-Ib.-b+1<―>,即b<

故b的最大值為V，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，涉及指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，分類討論思想，關(guān)鍵

是x>0時(shí)f2（x）=%2x），化歸為f（x+b）nf（2x）,再利用偶函數(shù)和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為國+bl>2

x對(duì)任意的xe[0,b+”恒成立，注意對(duì)x+b的符號(hào)的分類討論.

【變式1-1】5.（2020?湖南邵陽?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)九口是定義在R的偶函數(shù)，且在區(qū)間

[°，+8）上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)a滿足f（log3a）+f（i°g1a）22f（D,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

【答案】七,3]

【分析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化簡為￡（11。93可）2*1）,再利用函數(shù)在1°，+8）上

的單調(diào)性即可轉(zhuǎn)化為llogsalW1,然后求得a的范圍.

【詳解】因?yàn)?)為R上偶函數(shù)，則改)=f(—x)=f(|x|),

a=aa

所以f(logia)=log3)^log3)=^llog3^,

aaa

所以*10932)+fQogi)=2f(llog3D>2f⑴，gpf(llog3l)>f⑴，

因?yàn)閒(x)為[0,+8)上的減函數(shù)，kg3a>°」>0,所以hog3al<1,

^t-l<log3a<1,所以建a33,a的范圍為0,3]

【點(diǎn)睛】1.函數(shù)值不等式的求法：(1)利用函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)將函數(shù)值不

等式轉(zhuǎn)化為f(xj與f&2)大小比較的形式：f(xj>f&2)；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性將f(xJ>f(X2)轉(zhuǎn)化為自變量大小比較的形式，再求解不等式即可.

2.偶函數(shù)的性質(zhì):f(x)=f(-x)=f(|x|).奇函數(shù)性質(zhì)：-f(x)=f(-X).

3.若f(x)在D上為增函數(shù)，對(duì)于任意X/XzCD,都有X]<乂20取1)<f&2)；

若f(x)在D上為減函數(shù)，對(duì)于任意X/X2eD,都有X]<X2=f(xJ>f&2).

題型2利用奇偶性、周期性對(duì)稱性求值

31型重點(diǎn)

函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧

設(shè)函數(shù)丫=*x),xeR,a>0.

①若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的周期T=2a；

②若f(x+a)=—f(x),則函數(shù)的周期T=2a；

③若f(x+a)=/,則函數(shù)的周期T=2a；

④若f(x+a)=-2_z則函數(shù)的周期T=2a；

⑤f(x+a)=f(x+b),則函數(shù)的周期T=|a—b|

【例題2】(2022?全國?高三階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)&(x)是定義在R上的偶函數(shù),

g(3)=2,若對(duì)任意xGR,都有f(x+6)=f(x)+f(3),對(duì)任意m,nGR且m+n=4,者口

有g(shù)(m)=g(n),貝門(99)+g(99)=.

【答案】2

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)f(x)，g(x)的周期性，再利用性質(zhì)計(jì)算作答.

【詳解】因函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且任意xeR,都有f(x+6)=f(x)+f(3),

則當(dāng)x=-3時(shí)，f(3)=f(—3)+f(3)=2f(3),即f(3)=。，有f(x+6)=f(x),

則f(x)是以6為周期的周期函數(shù)，f(99)=f(16x6+3)=f(3)=0,

又函數(shù)g(x)是R上的偶函數(shù)，且任意m,neR且m+n=4,都有g(shù)(m)=g(n),

則對(duì)VxeR,g(x)=g(4-x)=g(x-4),函數(shù)g(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

g(99)=g(24x4+3)=g(3)=2,所以f(99)+g(99)=2

故答案為：2

【變式2-1】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)qx)存在導(dǎo)函數(shù)f'(X),

且滿足f(-x)=f(xyf(4-x)=f(-x),則曲線丫=qx)在點(diǎn)(2022,f(2022))處的切線方程可

能是()

A.y=xB,y=0c,y=x+1D,y=-x+I

【答案】B

【分析】利用f(x)是偶函數(shù)、周期為4,得f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，x=2°22是f(x)的對(duì)稱軸,

即x=2022是f(x)的極值點(diǎn)，從而f'(2022)=0,可得答案.

【詳解】f(X)的定義域?yàn)镽,由f(一X)=f(X)可知，f(X)是偶函數(shù)，

由f(4一x)=f(-x)可知，f(x)周期為4,

因?yàn)閒(x)=f(-x)=f(4-x),故f(x)關(guān)于x=2軸對(duì)稱，

又因?yàn)?022=2+505x4,所以x=2°22也是f0）的對(duì)稱軸，

因?yàn)閒（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'（X）,

所以x=2022是f（x）的極值點(diǎn)，

即f'（2022）=0,曲線y=f（x）在點(diǎn)（2022,f（2022））處的切線斜率為0,

故切線方程可能為y=°.

故選：B.

【變式2-1】2.侈選）（2022?山東濰坊七中高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=%x）的定義域?yàn)镽,

且滿足f（1+x）=f（l-x）,f（x—2）+f（-x）=0,當(dāng)xe時(shí)，f（x）=-|x|+1,則下列

說法正確的是（）

A.y=f（x+1）是偶函數(shù)B.y=%x+3）為奇函數(shù)

ridn『2023

c.函數(shù)y=f（x）—ig|x|有10個(gè)不同的零點(diǎn)D.2^］f（k）=i

【答案】ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可推導(dǎo)得到%x）關(guān)于直線x=1和點(diǎn)（—1,0）對(duì)稱，且周期為8;令

g（x）=f（x+1）,“（X）=f（x+3）=-f（x-l）,由奇偶性定義可得g（xyh（x）的奇偶性，知

AB正確；作出f（x）和y=w四的圖象，根據(jù)圖象可得兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)零點(diǎn)

2023

f（k）=-l,知D錯(cuò)誤.

Zki

［詳解］"f（l+x）=f（l-x）,?1-f（2+x）=f（-x）,且f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

又f（x-2）4-f（-x）=0,?<-f（x+2）=-f（x-2）,且%x）關(guān)于（一1,0）中心對(duì)稱；

???f（x+4）=-f（x）,???f（x+8）=~f（x+4）=f（x）,

則f（x）是周期為8的周期函數(shù)；

對(duì)于A,令g（x）=f（x+1）,則g（-x）=f（-x+1）=f（i+X）=g（x）,

.??f（x+1）為偶函數(shù)，A正確；

對(duì)于B,令"（X）=f（x+3）=-f（x-l）,貝m（-x）=~f（-x-l）=-f（2+（x+1））=-f

（x+3）=-h（x）,

???f(x+3)為奇函數(shù)，B正確;

對(duì)于c,作出f(x)和y=ig|x冏圖象如下圖所示,

由圖象可知：%x)與丫=?兇共有i0個(gè)不同的交點(diǎn),

則y=f(x)—ig|x|有i0個(gè)不同的零點(diǎn)，c正確;

對(duì)于D,f（l）+f（2）+--?+f（8）=°,

2023

Zk]f（k）=253Xf（2）+”.+f（8）「t（2024）=。-f（8）=-1,D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【變式2-1】3.(2023?浙江溫州?模擬預(yù)測)定義在R上的函數(shù)宣均滿足

f(x+l)+f(x-l)=f(2022)(f(-2x+l)=f(2x+5)(若()=；則

f（2022）=

【答案］0-50

【分析】依題意可得f(x+4)=*x),即可得到f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，再由

f(—2x+1)=f(2x+5)(可得f(2)=f(4)=f(0),即可求出,2022),從而得到

f(x+1)+f(x-l)=°且f(x+1)=再根據(jù)%)=：即可求出唱)，嗡，｛；),

最后利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)閒(x+1)+f(x-l)=f(2022),所以f(x+2)+f(x)=f(2022),

所以+4)+f(x+2)=f(2022),則依+4)=f(x),

所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以f(2022)=f(2),又f(—2x+l)=f(2x+5),所以%)=4馬=f(0),

又*2)+f(0)=f(2022),所以,2022)=。，

即f(x+1)+f(x-l)=0且f(x+1)=f(l-X),

由f?=;,所以?=;,,)=

1100,]111

所以Zk]kt(k_2)=2(1+2-3-4)+7(5+6-7-8)+…+2(97+98-99-100)

1

=2x(—4)x25=—50.

故答案為：°；一5°

上的最大值和最小值分別為M、m,則M+m=（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】設(shè)g（x）=ln（x+J7T『）+；x——8,8],證明函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，則有g(shù)（x）max

+g（X）min=°，從而可得出答案.

[詳解]解：設(shè)g(x)=ln(x+Ji+x2)+；Xe[_8,8],

]

因?yàn)間（-X）=1n（—x+Ji+x2）V=ln（x+^^）V=-g（x）,

所以函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，

所以g（X）max+g（X）min=°，

所以f（X）max+*X）min=M（X）max+4]+[9（X）min+4]=8-

所以M+m=8

故選：A.

【變式3-1】1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=ax3+bsinx+3,若f3）

=1,則f（一m）=（）

A.TB.2C.5D.7

【答案】C

【分析】令3利用函數(shù)奇偶性計(jì)算作答.

g（x）=ax+bsinx,

【詳解】設(shè)仔）=憫-

93=ax3+bsinx（

則g（-x）=a（-x）3+bsin（_x）=-ax3-t）sinx=-9（x）,即函數(shù)9（x）是奇函數(shù)，

f（x）=g（x）+3,則f（m）+f（-m）=g（m）+3+g（-m）+3=6,而f（m）=1

所以*_m）=5.

故選：C

【變式3-1】2.（2022?河南?高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)f（x）="喀+bsinx+3,若

f（m）=1,則f（一m）=（）

A.TB.2C.5D.7

【答案】C

【分析】設(shè)g（x）=f（x）-3=aln1W+bsinx,再利用函數(shù)的奇偶性求解即可

【詳解】設(shè)g（x）=f（x）-3=al嘿+bsinx,

則g（-x）=aln[x[]+bsin（-x）=-aln_i_-bsinx=一g（x）,

f

故f（—x）-3=-[f（x）-3],即f（—x）-3=-（x）+3,

所以f（一x）+f（x）=6.

故f（-m）+f（m）=6,

因?yàn)閒（m）=1,所以f（-m）=6-1=5.

故選：C

【變式3-1】3.（2022?河南省淮陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)

（x+*）-3,則%x）在上的最大值與最小值之和為.

【答案】-6

【分析】把依）的圖象向上平移3個(gè)單位長度，可得函數(shù)g（x）=-31T-l）cosx的圖象，

可證得g（x）為奇函數(shù)，在[-凡用上g（x）的最大值與最小值之和為0,從而得出答案.

【詳解】由題意，得依）=（4—l）sin（x+^）-3=—（言—i）cosx-3,

把%x）的圖象向上平移3個(gè)單位長度，可得函數(shù)g（x）=一3，一l）cosx的圖象

當(dāng)xe[_n,n]時(shí),g（一X）=-（產(chǎn)廠1產(chǎn)，（一X）=（西廠l）cosx=-g⑸,即g（x）為奇

函數(shù)，

則在[一凡用上g（x）的最大值與最小值之和為o,

故f（x）在[-n,n]上的最大值與最小值之和為一6.

故答案為：一6.

【變式3-1】4.（2022?江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f（x）=aE

（Jx2+1—x）+bsinx-2時(shí)#0）,若，（m）=2,貝畋一m）=.

【答案】-6

【分析】令g（x）=f（x）+2,由奇偶性定義可知g（x）為奇函數(shù)，由g（-m）=—g（m）可構(gòu)造方

程求得f（一m>

［詳解】令g（x）=f（x）+2=aln（Vx2+l—x）+bsinx（ab#0）,

??-9（-x）=aln（V?+T+x）-bsinx,?1?9（-x）+ff（x）=aln（x2+l-x2）+0=0,

???g（x）為R上的奇函數(shù)；

,■?g（m）=f（m）+2=4,，g（_m）=-g（m）=-4,即f（—m）+2=-4,

解得:f（-m）=-6.

故答案為：-6.

【變式3-1】5.若函數(shù)f（x）=t'+2：；：+smx（t>0）的最大值為M,最小值為N,且

M+N=4,則實(shí)數(shù)t的值為.

【答案】2

【詳解】試題分析：由題意，f（x）=—而一=t+F］，顯然函數(shù)g（x）=F］是

奇函數(shù)，,.函數(shù)f（x）最大值為M,最小值為N,且M+N=4,即

2t=M+N=4,*=2,故答案為2.

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義.

題型4對(duì)稱性、奇偶性的運(yùn)用

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)f(x)關(guān)于直線(叢。)對(duì)稱，則

①f(a+x)=-f(a-x)

②f(x)=-f(2a-x)

③f(—x)=-f(2a_]_x)

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)f(x)關(guān)于直線(a，b)對(duì)稱，則

①f(a+x)=-f(a-x)+2b

②f(x)=-f(2a-x)+2b

③f(-x)=-f(2a+x)+2b

?類型1對(duì)稱軸

【例題4-1](2022?寧夏銀川一中高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)y=%x)的定義域?yàn)?/p>

3

(-00,1)U(1,+00),且f(X+1)為奇函數(shù),當(dāng)X<1時(shí)，f(X)=-X2-4x,則f(X)=2的所有

根之和等于()

A.4B,2C.T2D.-6

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性求和即可.

2

【詳解】解：當(dāng)x<1時(shí)，依)=-(x+4x)=-(x+2『+4,

.-.對(duì)稱軸為*=-2,

?■-f(x+1)為奇函數(shù)，

?■?f(X+1)=_f(-X+1),

?■?f(x)=-f(2-x)z

???f(x)關(guān)于(LO)中心對(duì)稱，

設(shè)0,丫)為丫=f(X)(X>1)圖像上任意一點(diǎn)，

2

貝?。?2-x,_y)在f(x)=-x-4xj-(

???—y=—(4—x)2+4,

即y=(x—4)2-4,

對(duì)稱軸為x=支

不妨設(shè)X1<x2<x3<x4,

由二次函數(shù)的對(duì)稱性知

xi+x2=2x(-2)=-4,

+248

x3x4=x=,

...f(x)=3斤有根的和為8-4=4.

故選：A.

【變式4-1】1.已知函數(shù)f(x)=2elx-2|-；a(2x-2+22-x)_a2有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)2=

()

A.-2Bc.TD.一；或T

【答案】A

【解析】函數(shù)％9=2十-2|一具2*-2+22一廠22有有唯一零點(diǎn)，設(shè)x-l=t,

則函數(shù)f(x)=2elt-；a(2t+2-3飛2有唯一零點(diǎn)，貝用陰一b色+2-t)=a23Ma

(■+2力=a2,

設(shè)g(t)=2/-/(21+2-5,?■-g(-1)=24刃一產(chǎn)(2-1+23=g(t)，，g(t)

為偶函數(shù)，

,.函數(shù)f(t)有唯一零點(diǎn)，，y=g(D與y=a2有唯一的交點(diǎn)，

2

,此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,■--2-a=a,解得a=-2或a=l(舍去)，故選A.

【變式4-1】2.已知函數(shù)f(x)(xeR)滿足f(x)=f(a—x),若函數(shù)y=^―ax—5|與丫=*均

的圖像的交點(diǎn)為儼1，丫1)，e2y2)，…，(xm,ym),且Z」［Xi=2m，貝膽=

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】求出f(x)的對(duì)稱軸，y=|x2-ax-5出勺圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)兩圖象的對(duì)稱關(guān)系，求

和，解方程可得所求值.

【詳解】」(x)=f(a-x),

a

.-.f(x)的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，

a

又y=|x2-ax-5冏圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱，

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，兩圖象的交點(diǎn)兩兩關(guān)于直線x=：對(duì)稱，

m

.,.x1+x2+X3+...+xm=^-a=2ml角單得a=4.

aa

當(dāng)m奇數(shù)時(shí),兩圖象的交點(diǎn)有m-1個(gè)兩兩關(guān)于直線x=z對(duì)稱,另一個(gè)交點(diǎn)在對(duì)稱軸x=z上,

m-1a

e—

.,.x-|+X2+X3+...+xm=a2~■i~2=2m.

解得a=4.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次型函數(shù)圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

sinnx

【變式4-1】3.已知函數(shù)%x)=(X2+1)(X2_2X+2”下面是關(guān)于此函數(shù)的有關(guān)命題，其中正確

的有

①函數(shù)f(X)是周期函數(shù)；

②函數(shù)f(X)既有最大值又有最小值；

③函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且其圖象有對(duì)稱軸；

④對(duì)于任意的xe(—LO),f'(x)<0(f'(X)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))

A.②③B.①③C.②④D.①②③

【答案】A

【詳解】函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,當(dāng)*1+8或一8-*時(shí)，￡(幻—0,又x=0,x=±l,

x=±2,x=±3,時(shí)，f(x)=0,且均為變號(hào)零點(diǎn).又因?yàn)楹瘮?shù)滿足f(x)=*+；￡]+2)

=二%?2(1_幻+2]=f(l-X),所以函數(shù)f(X)關(guān)于直線X=；對(duì)稱，函數(shù)圖像如下

故②③正確.

點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的綜合知識(shí)：

①函數(shù)f(x)對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)X,存在非零常數(shù)T,滿足f(x+T)=f(x),則函數(shù)f(x)為

周期函數(shù)；

②函數(shù)f(x)對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)X滿足f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線X=苧對(duì)

稱，特別地當(dāng)女幻=f(2a-x)時(shí)，函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

③在函數(shù)f(x)定義域(a,b)內(nèi)，存在常數(shù)c使得f(c)=0,貝1|x=c叫做函數(shù)的零點(diǎn).

?類型2中心對(duì)稱+軸對(duì)稱構(gòu)造周期性

、1'

-，.!、Tr",#?6、、、

關(guān)于對(duì)稱中心與對(duì)稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論

1.若函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱中心（a,0）與（b,0））,則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.

2.若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸x=a與x=b,則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.

3.若函數(shù)有一個(gè)對(duì)稱中心（a,0）與一條對(duì)稱軸x=b,,則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|.

【例題4-2】已知函數(shù)%x）為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且滿足fG+x）=f（；—x）,當(dāng)xe

［-1o］時(shí),%x）=-x若函數(shù)F（x）=f（x）+，3E在區(qū)間［一91。］上的所有零點(diǎn)之和為

【答案】5

【詳解】??足f（；+X）=f（|-x）,?■-f（x）=f（2-x）,又因函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，；.f（x）=f（-x）

=f（2+x）,即f（x）=f（2+x）,.,.T=2,令F（x）=0,f（x）=,即求%x）與丫=

x+419

交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.XTy=e=2+看，

作出圖象：

由圖象可知有10個(gè)交點(diǎn)，并且關(guān)于G。中心對(duì)稱，..其和為￥=5故答案為：5

/

【變式4-2】1.定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x）,且在［0,1）上單調(diào)遞減，若方程

f（x）=-1在［0,1）上有實(shí)數(shù)根，則方程f（x）=1在區(qū)間上所有實(shí)根之和是（）

A.30B.14C.12D.6

【答案】A

【解析】根據(jù)條件可得出f（x）的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱，f（x）的周期為4,從而可考慮f（x）的一

個(gè)周期，利用［-1,3］,根據(jù)%x）在［0,1）上是減函數(shù)可得出f（x）在（1,2］上是增函數(shù)，f（x）在

（-1,0）上是減函數(shù)，在［2,3）上是增函數(shù)，然后根據(jù)f（x）=-l在［0,1）上有實(shí)數(shù)根，可判斷

該實(shí)數(shù)根是唯一的，并可判斷f（x）=-l在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并得這兩實(shí)數(shù)

根和為2,從而得出%x）=-1在區(qū)間［-1,11］這三個(gè)周期內(nèi)上有6個(gè)實(shí)數(shù)根，和為30.

【詳解】由%2-x）=f（x）知函數(shù)%x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

=f（x）,依）是/?上的奇函數(shù)，

=*x+2）=-f（x）,

+4）=f（x）,

，f（x）的周期為4,

考慮f（x）的一個(gè)周期，例如［—1,3］,

由f（x）在［0,1）上是減函數(shù)知f（x）在（1,2］上是增函數(shù)，

f（x）在（-1,0］上是減函數(shù)，f（x）在［2,3）上是增函數(shù)，

對(duì)于奇函數(shù)f（x）有%0）=0,f（2）=f（2-2）=f（0）=0,

故當(dāng)xe（0,1）時(shí)，f（x）＜*0）=。，當(dāng)xe（1,2）時(shí),f（x）＜f（2）=。，

當(dāng)xe（_i,o）時(shí)，f（x）＞f（0）=。，當(dāng)xe（2,3）時(shí)，f（x）＞f（2）=0,

方程*x）=-1在［0,1）上有實(shí)數(shù)根，

則這實(shí)數(shù)根是唯一的，因?yàn)閒（x）在（0,1）上是單調(diào)函數(shù)，

則由于%2-x）=f（x）,故方程f（x）=-1在（1,2）上有唯一實(shí)數(shù)，

在（一1,0）和（2,3）上%x）＞0,

則方程%x）=-1在（一1,0）和（2,3）上沒有實(shí)數(shù)根，

從而方程f(X)=-1在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)XG[-1,3],方程f(x)=_1的兩實(shí)數(shù)根之和為X+2—X=2,

當(dāng)xe[-1,11],方程%x)=T的所有6個(gè)實(shí)數(shù)根之和為

x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30

故選：4

【點(diǎn)睛】本題考查了由f(2a-x)=*x)可判斷依)關(guān)于x=a對(duì)稱，周期函數(shù)的定義，增函數(shù)

和減函數(shù)的定義，考查了計(jì)算和推理能力，屬于難題.

【變式4-2】2.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)依)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(3-x)+f(-x)=。，若

曲線丫=依)在(6,f(6))處切線的斜率為4,則曲線丫=%x)在(_2022,f(-2022))處的切線

方程為()

A.y=-4x-8088B.y=4x+8088c.y=-^x-^lD,y=\+^

【答案】B

【分析】由函數(shù)代幻的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得出f(0)=0,再由f(3-x)+f(-x)=。得出函

數(shù)f(X)的最小正周期為1=6,由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)具有相同的周期性可得函數(shù)f'(x)的最小正

周期為T=6,由此可得選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)*x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(o)=o,

因?yàn)閒(3-x)+f(-x)=0,%6-x)+f(3-x)=0,兩式相減可得，%6-x)=f(-x),故

6,故f(_2022)=f(0)=0;

因?yàn)閒'(-2022)=f'⑼=f'(6)=4,故所求切線方程為丫=4x+8088,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，以及導(dǎo)函數(shù)的周期性，求原函數(shù)的切線問題，屬

于較難題.

【變式4-2】3.若函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，又y=f(x+1)為偶函數(shù)，且—1<X1<X2

wl時(shí)，網(wǎng)2)一%)]&2-X])〉0,比較f(2017),f(2018),f(2019)的大小為()

A.f(2017)<f(2018)<f(2019)Bf(2018)<f(2017)<f(2019)

C.f(2018)<f(2019)<f(2017)Df(2019)<f(2018)<f(2017)

【答案】D

【分析】由題意可知，函數(shù)丫二寅幻的周期丁=4,再由當(dāng)一1WX]<X2<1時(shí)，

[f(X2)—f(X])](X2—X])>°可知函數(shù)丫=f(x)在[—1,1]上為增函數(shù)，然后計(jì)算比較即可.

【詳解】函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，又丫=f(x+1)為偶函數(shù)，

f(一X)=-f(x),f(-X+1)=f(X+1),

f(x)=f(x+4),即函數(shù)y=f(x)的周期T=4,

-16]<乂231時(shí)，X2-X1>o,[f&2)->。，

ffff

(x2)-(x1)>°gp(x2)>(x1),函數(shù)y=f(x)在[一1,1]上為增函數(shù)，

...f(2017)=f(l+4x504)=f(l)(f(2018)=f(2+4x504)=f(2)=f(0),

f(2019)=f(-l4505)=f(-l)

+X/

...f(2019)<f(2018)<f(2017)

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于常考題.

【變式4-2】4.(多選)(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？级?定義在R上的函數(shù)%x)

、g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為f(x)、g(X),若f(x)=f(-x),g(-1)=l，f(x)+g(x-1)=x2-1-f

(x)+g(x+1)=x-sin^x,貝[j()

A.f’(X)是奇函數(shù)

B.g(x)關(guān)于對(duì)稱

c.g（x）周期為4

D.g（i）+g（3）+g（5）+…+g（99）=-1225

【答案】ABD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,利用已知條件f（x）=f（-x）,即得結(jié)果.對(duì)于選項(xiàng)B,由題意可推導(dǎo)出

g'（x—i）為偶函數(shù)，g（x+i）為奇函數(shù)，所以［g（—i+x）+g（—i—x）］'=0,即g（—i+x）

+g（_i—x）=2即可證明；對(duì)于選項(xiàng)c,由g（x）關(guān)于（1,0）對(duì)稱和g（x）關(guān)于（一1」）對(duì)稱，即

得結(jié)果.對(duì)于選項(xiàng)D,通過賦值，利用c中推導(dǎo)的結(jié)論g（x+4）—g（x）=-2和已知條件g

（-1）=1,由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閒（x）=f（-x）可得為f（x）偶函數(shù)，所以f'（x）=-f'（-X）,貝!|f'（X）為奇函數(shù)，

故A正確；

因?yàn)?x）+g'（x—l）=x2-1,%x）偶函數(shù)，丫=乂2-1時(shí)偶函數(shù)，

所以g'（x-1）為偶函數(shù)，所以g'（X）關(guān)于乂=-1對(duì)稱，

因?yàn)閒'（X）+g（x+1）=x-sin5x,f'（X）為奇函數(shù)，丫=x-si4為奇函數(shù)，

所以g（x+1）為奇函數(shù)，g（x）關(guān)于（1,0）對(duì)稱，

g（-1-x）=g（-1+xy［g（-1+x）+g（-1-x）］=g（―1+x）-g（—1—x）—0,

貝+X）+9（-l-x）=c其中c為常數(shù)，又g（_l）=1故c=2,有g(shù)（x）關(guān)于寸稱，B

正確；

令x等價(jià)于x+i,g（x）+g（-2-x）=2，所以g（-2-x）=2-g（x）,

因?yàn)間（x）關(guān)于（i,o）對(duì)稱，所以g（x+1）=-9（-x+1）,

所以令X等價(jià)于x+3,所以g（x+4）=_g（-x-2）,所以g（x+4）-9（X）=-2,

故可看成數(shù)列an+4-an=-2,

而因?yàn)間（x）關(guān)于（1,0）對(duì)稱，所以g（i）=。,g（3）=-g（—i）=-1

故2]65田9，一?出97是以2]=9（1）=°為首項(xiàng)，―2為公差的等差數(shù)列，

23田7W]]廣?出99是以23=9（3）=-1為首項(xiàng)，―2為公差的等差數(shù)列，

所以g（x）沒有周期性，故c不正確；

25x24

g（i）+g（5）+g（9）+…+g（97）=25xo+_2—x（_2）=-6oo

g（3）+g（7）+g（i1）+…+g（99）=25x（-1）H——x（-2）=-625,

所以g（i）+g（3）+g（5）+—+-g（99）=-600-625=-1225,故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)周期性、對(duì)稱性、奇偶性的問題;

對(duì)于與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，有如下結(jié)論：

①若f（x）連續(xù)且可導(dǎo)，那么若f（x）為奇函數(shù)，則f’（X）為偶函數(shù)；若f（x）為偶函數(shù)，則f'（X）

為奇函數(shù)；

②若f（x）連續(xù)且可導(dǎo)，那么若f’（X）關(guān)于x=a對(duì)稱，則f（x）關(guān)于點(diǎn)（a,f（a））對(duì)稱；若f'（X）關(guān)

于（a,0）對(duì)稱，則%x）關(guān)于x=a對(duì)稱.

?類型3“類”周期函數(shù)

、1,I

4重點(diǎn)

"似周期函數(shù)"或者”類周期函數(shù)"，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：

1.是從左往右放大，還是從右往左放大.

2.放大（縮?。r(shí)，要注意是否函數(shù)值有0.

3.放大（縮小）時(shí)，是否發(fā)生了上下平移.j

【例題4-3]設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈,如果存在非零常數(shù)T,對(duì)于任意xeD,都有

f（x+T=T.f（x）,則稱函數(shù)丫=f（x）是"似周期函數(shù)"，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f（x）的“似

周期現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于"似周期函數(shù)"的命題:

①如果"似周期函數(shù)"y=f(x)的"似周期"為一1,那么它是周期為2的周期函數(shù);

②函數(shù)f(x)=2X是"似周期函數(shù)"；

③如果函數(shù)f(x)=C0S3X是“似周期函數(shù)”，那么"3=2kn,keZ或

W=(2k+l)n,keZ”

以上正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意，首先理解"似周期函數(shù)"的定義，逐一分析，從而可判斷命題的真假.

【詳解】

解：①?.?"似周期函數(shù)“y=f(x)的“似周期”為t,

f(x-l)=-f(x),f(x-2)=-f(x-l)=f(x),

故丫=f(x)它是周期為2的周期函數(shù)，故①正確；

②若函數(shù)f(x)=是"似周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)T，使f(x+T)=T,f(x),

即2X+T=T.2X恒成立，故2T=丁成立，但無解，故②錯(cuò)誤；

③若函數(shù)f(x)=cossx是"似周期函數(shù)"，則存在非零常數(shù)T,貝［］f(x+T)=T.f(x),

即COS[3（X+T）]=TCOS3X恒成立，故COS（3X+wT）=TCOS3X恒成立,

即cosoox?coscoT—sincox?sincoT=Tcosoox恒成立

故端篙二:,故3=2kn,keZ或3=（2k+l）n,keZ,故③正確.

所以以上正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.故選：C.

【變式4-3】1.已知函數(shù)式幻滿足當(dāng)xw0時(shí)，2f(x—2)=f(x),且當(dāng)xe(—2,0］時(shí),

f(x)=|x+1|-1.當(dāng)X>0時(shí)，f(x)=10gaX(a>0且a豐1).若函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì)，貝職的取值范圍是()

A.(625,+8)B.(今64)C.(9,625)D.(9,64)

【答案】C

【分析】先作出函數(shù)改)在(一8,0］上的部分圖象，再作出g)Toga*關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,

分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足的條件，解之即可.

【詳解】先作出函數(shù)長均在(一8,0］上的部分圖象，再作出f(x)Toga*關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，

如圖所示，當(dāng)°<a<l時(shí)，對(duì)稱后的圖象不可能與f(x)在(-8,0］的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a>1時(shí)，要使函數(shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

(a>1

則-解得9<a<625

Hoga5<-^

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化

與化歸的思想，是一道中檔題.

【變式4-3】2.設(shè)函數(shù)寅幻的定義域?yàn)镽,滿足f(x+D=2f(x),且當(dāng)xe(。，11時(shí)，

f(x)=x(x—1)若對(duì)任意xe都有f(x)?一；,則〃的取值范圍是()

A.(