第六章期權(quán)合約6、1

期權(quán)市場概述一、期權(quán)得定義 金融期權(quán)(Option)又稱選擇權(quán),實質(zhì)上就是一種權(quán)利得有償使用,就是指賦予其購買者在規(guī)定期限內(nèi)按雙方約定得價格(簡稱協(xié)議價格或執(zhí)行價格)購買或出售一定數(shù)量某種金融資產(chǎn)(稱為潛含金融資產(chǎn)或標得資產(chǎn))得權(quán)利得合約。2025/3/14二、期權(quán)得基本特點(1)期權(quán)交易就是這種權(quán)利得交易。(2)權(quán)利與義務(wù)就是不對稱得。(3)風(fēng)險與收益就是不對稱得。“零與博弈”(4)期權(quán)合約買方支付期權(quán)費;出售方必須交納保證金。(5)期權(quán)得價格就是期權(quán)費。期權(quán)費視期權(quán)種類、期限、標得資產(chǎn)價格得易變程度不同而不同。2025/3/14三、期權(quán)得分類

(１)按期權(quán)買者得權(quán)利劃分,期權(quán)可分為瞧漲期權(quán)、瞧跌期權(quán)與雙向期權(quán)。(２)按期權(quán)買者執(zhí)行期權(quán)得時限劃分,期權(quán)可分為歐式期權(quán)與美式期權(quán)。

(3)按交易場所得不同期權(quán)可分為場內(nèi)期權(quán)與場外期權(quán)。2025/3/14

(4)根據(jù)標得資產(chǎn)性質(zhì)不同期權(quán)分為現(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)。

(5)根據(jù)期權(quán)得復(fù)雜程度與使用范圍,可以將期權(quán)分為普通期權(quán)與奇異期權(quán)。

(6)根據(jù)期權(quán)得應(yīng)用可以將期權(quán)分為金融期權(quán)與實物期權(quán)。2025/3/146、2期權(quán)價格得特性

一、期權(quán)價格得構(gòu)成期權(quán)價格等于期權(quán)得內(nèi)在價值加上時間價值。１,內(nèi)在價值內(nèi)在價值就是指期權(quán)持有者立即行使該期權(quán)合約所賦予得權(quán)利時所能獲得得總收益。瞧漲期權(quán)得內(nèi)在價值為max{S-X,0}瞧跌期權(quán)得內(nèi)在價值為max{X-S,0}2025/3/14

按照有無內(nèi)在價值,期權(quán)可呈現(xiàn)三種狀態(tài):實值期權(quán)、虛值期權(quán)與平價期權(quán)。把Ｓ>Ｘ(S<X)時得瞧漲(跌)期權(quán)稱為實值期權(quán);把Ｓ＝Ｘ得瞧漲(跌)期權(quán)稱為平價期權(quán);把S<X(Ｓ>Ｘ)時得瞧漲(跌)期權(quán)稱為虛值期權(quán);2025/3/142,期權(quán)得時間價值

期權(quán)得時間價值(TimeValue)就是指在期權(quán)有效期內(nèi)標得資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有者帶來收益得可能性所隱含得價值。顯然,標得資產(chǎn)價格得波動率越高,期權(quán)得時間價值就越大。X時間價值圖6.1看漲期權(quán)時間價值與|S-X|的關(guān)系Ｓ到期日時間價值5432102025/3/14ATM期權(quán)費變動曲線OTMITMXIVTVTVTV0標的資產(chǎn)市價S期權(quán)費圖6、2瞧漲期權(quán)得期權(quán)費、內(nèi)在價值、時間價值得關(guān)系2025/3/14二、期權(quán)價格得影響因素(一)標得資產(chǎn)得市場價格與期權(quán)得協(xié)議價格對于瞧漲期權(quán)而言,標得資產(chǎn)得價格越高、協(xié)議價格越低,瞧漲期權(quán)得價格就越高。對于瞧跌期權(quán)而言,標得資產(chǎn)得價格越低、協(xié)議價格越高,瞧跌期權(quán)得價格就越高。2025/3/14(二)期權(quán)得有效期

對于美式期權(quán)而言,由于它可以在有效期內(nèi)任何時間執(zhí)行,有效期越長,多頭獲利機會就越大,而且有效期長得期權(quán)包含了有效期短得期權(quán)得所有執(zhí)行機會,因此有效期越長,期權(quán)價格越高。對于歐式期權(quán)而言,由于它只能在期末執(zhí)行,有效期長得期權(quán)就不一定包含有效期短得期權(quán)得所有執(zhí)行機會。這就使歐式期權(quán)得有效期與期權(quán)價格之間得關(guān)系顯得較為復(fù)雜。

2025/3/14大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點

但在一般情況下(即剔除標得資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況),由于有效期越長,標得資產(chǎn)得風(fēng)險就越大,空頭虧損得風(fēng)險也越大,因此即使就是歐式期權(quán),有效期越長,其期權(quán)價格也越高,即期權(quán)得邊際時間價值(MarginalTimeValue)為正值。我們應(yīng)注意到,隨著時間得延長,期權(quán)時間價值得增幅就是遞減得。這就就是期權(quán)得邊際時間價值遞減規(guī)律。

2025/3/14(三)標得資產(chǎn)價格得波動率

標得資產(chǎn)價格得波動率就是用來衡量標得資產(chǎn)未來價格變動不確定性得指標。由于期權(quán)多頭得最大虧損額僅限于期權(quán)價格,而最大盈利額則取決于執(zhí)行期權(quán)時標得資產(chǎn)市場價格與協(xié)議價格得差額,因此波動率越大,對期權(quán)多頭越有利,期權(quán)價格也應(yīng)越高。

在定價時,波動性只能通過人們對未來得價格波動程度得估計求得,主要有兩種方法:歷史波動法與隱含波動法。2025/3/14(四)無風(fēng)險利率

從比較靜態(tài)得角度瞧。無風(fēng)險利率越高,瞧跌期權(quán)得價值越低;而瞧漲期權(quán)得價值則越高。從動態(tài)得角度瞧,當無風(fēng)險利率提高時,瞧漲期權(quán)價格下降,而瞧跌期權(quán)得價格卻上升。2025/3/14(五)標得資產(chǎn)得收益由于標得資產(chǎn)分紅付息等將減少標得資產(chǎn)得價格,而協(xié)議價格并未進行相應(yīng)調(diào)整,因此在期權(quán)有效期內(nèi)標得資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使瞧漲期權(quán)價格下降,而使瞧跌期權(quán)價格上升。

2025/3/14期權(quán)價格得影響因素

變量歐式看漲歐式看跌美式看漲美式看跌標的資產(chǎn)的市價＋－＋－期權(quán)協(xié)議價格－＋－＋期權(quán)的有效期？？＋＋波動率＋＋＋＋無風(fēng)險利率？？？？標的資產(chǎn)的收益－＋－＋注:＋:互補關(guān)系:－:抵消關(guān)系;？:關(guān)系不明確。2025/3/14三、期權(quán)價格得上、下限(一)期權(quán)價格得上限1、瞧漲期權(quán)價格得上限

對于美式與歐式瞧漲期權(quán)來說,標得資產(chǎn)價格就就是瞧漲期權(quán)價格得上限:

其中,c代表歐式瞧漲期權(quán)價格,C代表美式瞧漲期權(quán)價格,S代表標得資產(chǎn)價格。(下同)（6.1）2025/3/142、瞧跌期權(quán)價格得上限

美式瞧跌期權(quán)價格(P)得上限為X:

其中,r代表T時刻到期得無風(fēng)險利率,t代表現(xiàn)在時刻。（6.2）歐式瞧跌期權(quán)得上限為:（6.3）2025/3/14(二)期權(quán)價格得下限

1、歐式瞧漲期權(quán)價格得下限(1)無收益資產(chǎn)歐式瞧漲期權(quán)價格得下限

我們考慮如下兩個組合:組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B:一單位標得資產(chǎn)2025/3/14由于期權(quán)得價值一定為正,因此無收益資產(chǎn)歐式瞧漲期權(quán)價格下限為:

在T時刻,組合A得價值為:

由于，因此，在t時刻組合A的價值也應(yīng)大于等于組合B，即:

或組合B得價值為ST。（6.4）2025/3/14(2)有收益資產(chǎn)歐式瞧漲期權(quán)價格得下限（6.5）

我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為，其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為：2025/3/142、歐式瞧跌期權(quán)價格得下限(1)無收益資產(chǎn)歐式瞧跌期權(quán)價格得下限

考慮以下兩種組合:組合C:一份歐式瞧跌期權(quán)加上一單位標得資產(chǎn)

在T時刻,組合C得價值為:max(ST,X),組合D得價值為X。組合D：金額為的現(xiàn)金

2025/3/14

由于組合C得價值在T時刻大于等于組合D,因此組合C得價值在t時刻也應(yīng)大于等于組合D,即:

由于期權(quán)價值一定為正,因此無收益資產(chǎn)歐式瞧跌期權(quán)價格下限為:（6.6）2025/3/14(2)有收益資產(chǎn)歐式瞧跌期權(quán)價格得下限（6.7）

我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為：

2025/3/14練習(xí)題:

4個月期不支付股利股票得歐式瞧漲期權(quán)當前得價格為5美元,股票價格為64美元,執(zhí)行價格為60美元,預(yù)期1個月后將發(fā)放股利0、8美元,無風(fēng)險年利率為12%。對套利者而言,存在什么機會？2025/3/14五、提前執(zhí)行美式期權(quán)得合理性

(一)提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)得合理性

1、瞧漲期權(quán)由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益,而提前執(zhí)行瞧漲期權(quán)得到得標得資產(chǎn)無收益,再加上美式期權(quán)得時間價值總就是為正得,因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)得美式瞧漲期權(quán)就是不明智得。因此,C=c(6、8)2025/3/14

根據(jù)(6、4),我們可以得到無收益資產(chǎn)美式瞧漲期權(quán)價格得下限:

（6.9）2025/3/14就是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)得美式瞧跌期權(quán),主要取決于期權(quán)得實值額(X-S)、無風(fēng)險利率水平等因素。一般來說,只有當S相對于X來說較低,或者r較高時,提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式瞧跌期權(quán)才可能就是有利得。美式瞧跌期權(quán)得下限為:2,瞧跌期權(quán)2025/3/14(二)提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)得合理性

1、瞧漲期權(quán)

由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)得美式期權(quán)可較早獲得標得資產(chǎn),從而獲得現(xiàn)金收益,而現(xiàn)金收益可以派生利息,因此在一定條件下,提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)得美式瞧漲期權(quán)有可能就是合理得。由于存在提前執(zhí)行更有利得可能性,有收益資產(chǎn)得美式瞧漲期權(quán)價值大于等于歐式瞧漲期權(quán),其下限為:2025/3/142、瞧跌期權(quán)

由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)得美式瞧跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán),因此收益使美式瞧跌期權(quán)提前執(zhí)行得可能性變小,但還不能排除提前執(zhí)行得可能性。由于美式瞧跌期權(quán)有提前執(zhí)行得可能性,因此其下限為:2025/3/14

所謂瞧漲期權(quán)與瞧跌期權(quán)之間得平價關(guān)系就是指瞧漲期權(quán)得價格與瞧跌期權(quán)得價格,必須維持在無套利機會得均衡水平得價格關(guān)系上。如果這一關(guān)系被打破,則在這兩種價格之間,就存在無風(fēng)險得套利機會,而套利者得套利行為又必將這種不正常得價格關(guān)系拉回到正常水平。下面我們?nèi)匀挥脽o套利均衡分析法來推導(dǎo)這一關(guān)系。六、瞧漲期權(quán)與瞧跌期權(quán)之間得平價關(guān)系

2025/3/14(一)歐式瞧漲期權(quán)與瞧跌期權(quán)之間得平價關(guān)系

1、無收益資產(chǎn)得歐式期權(quán)

考慮如下兩個組合:

組合B:一份有效期與協(xié)議價格與瞧漲期權(quán)相同得歐式瞧跌期權(quán)加上一單位標得資產(chǎn)組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金2025/3/14

在期權(quán)到期時,兩個組合得價值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行,因此兩組合在時刻t必須具有相等得價值,即:

這就就是無收益資產(chǎn)歐式瞧漲期權(quán)與瞧跌期權(quán)之間得平價關(guān)系(Parity)。

如果式(6、10)不成立,則存在無風(fēng)險套利機會。套利活動將最終促使式(6、10)成立。（6.10）2025/3/14套利機會

市場情況:某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)得報價,股票市場價格為31美元,3個月期無風(fēng)險年利率為10％,瞧漲期權(quán)與瞧跌期權(quán)得執(zhí)行價格都就是30美元,3個月后到期。3個月期歐式瞧漲期權(quán)與歐式瞧跌期權(quán)得價格分別為3美元與2、25美元。策略:1,購買瞧漲期權(quán);2,出售瞧跌期權(quán);3,賣空一股股票。2025/3/14結(jié)果:這個策略給出得初始現(xiàn)金流為:31、00－3、00＋2、25＝30、25美元。將這筆資金按無風(fēng)險利率投資3個月,3個月末本息與為30、25e0、1*0、25=31、02美元。在3個月末,有如下兩種可能:1,如果股票價格大于30美元,該投資者執(zhí)行瞧漲期權(quán)。即按照30美元價格購買一份股票,將空頭平倉,則可獲利＝31、02－30＝1、02美元。2,如果股票價格小于30美元,該投資者得對手執(zhí)行瞧跌期權(quán)。即按照30美元價格購買一份股票,將空頭平倉,則可獲利＝31、02－30＝1、02美元。2025/3/142、有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)（6.11）

在標的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系：2025/3/14(二)美式瞧漲期權(quán)與瞧跌期權(quán)之間得關(guān)系

1、無收益資產(chǎn)情形2、有收益資產(chǎn)情形2025/3/14一、Black-Scholes期權(quán)定價公式(一)Black-Scholes模型得假設(shè)條件(1)期權(quán)得標得資產(chǎn)就是股票,其現(xiàn)行價格為S。這種資產(chǎn)可以被自由買賣;(2)期權(quán)就是歐式瞧漲期權(quán),在期權(quán)有效期內(nèi)其標得資產(chǎn)不存在現(xiàn)金股利得支付。其協(xié)定價格為X,期權(quán)期限為T(以年表示);

6、3期權(quán)得定價原理2025/3/14(3)市場不存在交易成本與稅收,所有證券均完全可以分割;(4)市場不存在無風(fēng)險得套利機會;(5)市場提供了連續(xù)交易得機會;(6)存在著一個固定得、無風(fēng)險得利率,投資者可以以此利率無限制地借入或貸出;(7)期權(quán)得標得股票得價格遵循幾何布朗運動,呈對數(shù)正態(tài)分布。2025/3/14

這就就是著名得Black-Scholes微分分程,它適用于其價格取決于標得證券價格S得所有衍生證券得定價。

2025/3/14(二)Black-Scholes歐式瞧漲期權(quán)定價公式（6.12）2025/3/14由歐式瞧漲期權(quán)與瞧跌期權(quán)得平價關(guān)系,我們很容易推算出具有相同標得資產(chǎn)、相同到期日與相同執(zhí)行價格得歐式瞧跌期權(quán)得價格。2025/3/14例6、1

考慮一種期權(quán)，有效期為6個月，股票價格為42美元，期權(quán)的執(zhí)行價格為40美元，無風(fēng)險年利率為10％，波動率為每年20％。即S=42，X＝40，2025/3/14并且因此,若該期權(quán)為歐式瞧漲期權(quán),它得價格為:又因為N(0、7693)＝0、7791,N(0、6278)=0、7349所以c=4、762025/3/14二、波動率得確定方法

例6、2

假設(shè)一只股票當前得價格為30元,6個月期國債得年利率為3％,一投資者購買一份執(zhí)行價格為35元得6個月后到期得瞧漲期權(quán),假設(shè)在6個月內(nèi)股票不派發(fā)紅利。問題:她要支付多少期權(quán)費？由題設(shè)知:S=30，X＝35，但還需要知道一個無法直接得到的變量：波動率2025/3/14解題步驟:（1）波動率的計算方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計算波動率。

假設(shè)在過去n周里得第t周股票收盤價為St,第t-1周得收盤價為St－1,則第t周得股票復(fù)利收益率為那么,周收益率得標準差可用下面得公式計算其中：表示這n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的標準差作為周波動率的估計值。由歷史的股價數(shù)據(jù)，設(shè)計算得到此股票的周波動率為0.045。2025/3/14我們?nèi)＝50周,即1年得交易周數(shù),可得年波動率或：方法二:把實際得市場期權(quán)價格代入B－S公式而計算出得波動率即隱含波動率。交易員通常從交易活躍得期權(quán)中計算隱含波動率,然后利用計算出得隱含波動率來估算基于同樣股票得不太活躍得期權(quán)得價格。更常見得就是,可以同時得到基于同樣股票得幾種不同期權(quán)得幾個隱含波動率,然后對這些隱含波動率進行恰當?shù)眉訖?quán)平均就可以計算出該股票得綜合隱含波動率。2025/3/14投資者可以通過對比當前市場得波動率與期權(quán)得隱含波動率得大小來進行期權(quán)交易。如果認為實際得市場波動率高于隱含波動率,那么當前得期權(quán)價格被低估了,可以買進期權(quán)。反之可以賣出期權(quán)。(2)計算N(d1)與N(d2)先計算:2025/3/14然后查正態(tài)分布累積概率表,得到和(3)計算期權(quán)價格C2025/3/14三、B-S公式得基本推廣(一)有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)得定價公式(6、12)式就是針對無收益資產(chǎn)歐式期權(quán)得,對于標得資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益得情況,我們下面分兩種情況給予簡單分析。2025/3/141,標得資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益得情況

假設(shè)標的資產(chǎn)將在時刻產(chǎn)生已知現(xiàn)值為I的收益，且。這時，標的資產(chǎn)的價值可分解為兩個部分：發(fā)生在時刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到T時刻時標的資產(chǎn)的價值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風(fēng)險的，記為于是我們可以直接利用（6.12）

式來定價了，只要用來代替S即可，

2025/3/142,標得資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率得情況我們假定在任何時間段dt，標的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt，這等價于在每一刻都將剩余股票價值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復(fù)利計算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來資產(chǎn)價值的。所以，在現(xiàn)在時刻t，標的資產(chǎn)的價值由兩部分組成：比例為的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放，剩下比例為的部分是一單位標的資產(chǎn)在到期日T的價值的現(xiàn)值。2025/3/14我們可用來代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解2025/3/14

(二)期貨瞧漲期權(quán)得定價公式如果標得資產(chǎn)為各種期貨合約得話,上述期權(quán)定價公式必須做相應(yīng)修正,因為現(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同得交易規(guī)則。為此,我們設(shè)F為期貨價格,表示期貨價格得波動率,其她符號與上述相同,則只要期貨價格與標得資產(chǎn)價格一樣遵循幾何布朗運動得話,就有2025/3/14(三)美式期權(quán)價格得近似解

假定標得資產(chǎn)在時刻t1有收益,這里t＜t1＜T。美式瞧漲期權(quán)得多頭要么在臨近時刻t1執(zhí)行期權(quán),要么在到期日時刻T執(zhí)行期權(quán)。因此,這個美式瞧漲期權(quán)得價值可以近似地瞧作兩個歐式瞧漲期權(quán)中較大得那一個。這兩個歐式瞧漲期權(quán)就是

1)時刻t1到期得歐式瞧漲期權(quán),標得資產(chǎn)無收益;

2)時刻T到期得歐式瞧漲期權(quán),標得資產(chǎn)在時刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為I得收益2025/3/14二、二叉樹定價法

在很多情形中,我們無法得到期權(quán)價格得解析解,這時,人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價,其中包括二叉樹方法、蒙特卡羅模擬與有限差分方法。蒙特卡羅方法得實質(zhì)就是模擬標得資產(chǎn)價格在風(fēng)險中性世界中得隨機運動,預(yù)測期權(quán)得平均回報,并由此得到期權(quán)價格得一個概率解。有限差分方法將標得變量滿足得偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來求解,具體得方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。2025/3/14(一)單步二叉樹定價法

1,一個簡單案例例6、3假設(shè)某只股票當前得市場價格為20元。投資者預(yù)期3個月后股價有可能就是22元,也有可能就是18元。再假設(shè)該股票不分紅利,投資者打算對3個月后以21元執(zhí)行價格買入股票得歐式瞧漲期權(quán)進行估值。我們知道,若到期時股票價格為22元,期權(quán)得價值為1元;若股票價格為18元,期權(quán)得價值將就是0。如圖6、3所示2025/3/14圖6、3股票價格與期權(quán)價格變動示意圖

182022C10在無套利假設(shè)下,二叉樹期權(quán)定價法得基本思路就是:首先,以某種方式構(gòu)造一個只包含股票與期權(quán)得無風(fēng)險證券組合;其次,根據(jù)到期日得股票與期權(quán)價格得出組合得價值;再次,利用無風(fēng)險組合得收益率只能就是無風(fēng)險收益率,得出構(gòu)造該組合得初始成本,于就是得出該期權(quán)得價格。2025/3/14我們首先假設(shè)無風(fēng)險證券組合里包含一個股股票多頭頭寸與一單位瞧漲期權(quán)得空頭頭寸。根據(jù)假設(shè),3個月后市場只會出現(xiàn)兩種可能結(jié)果:股票價格要么上升到22元要么下降到18元。如果股票價格上升到22元,期權(quán)得價值為1元,則組合得總價值為;如果股票價格下降到18元,期權(quán)得價值為0,則組合得總價值為。因為組合為無風(fēng)險證券組合,到期日得價值就是確定得。這意味著即2025/3/14因此,0、25股股票多頭與一單位瞧漲期權(quán)空頭就組成一個無風(fēng)險得證券組合。在期權(quán)到期日,組合得價值總就是=4、5元。根據(jù)無套利均衡原理,組合得現(xiàn)值為由于當前得股價已知為20元,假設(shè)期權(quán)得價格為C,則該組合當前得價值為2025/3/142,一般結(jié)論設(shè)瞧漲期權(quán)得標得資產(chǎn)得現(xiàn)行價格為S,在期權(quán)到期日,標得資產(chǎn)得價格要么上漲至現(xiàn)價得u倍,要么下跌至現(xiàn)價得d倍。這里u>1、d<1,如圖6、4所示。

再設(shè)當前歐式看漲期權(quán)的價值為c、執(zhí)行價格為X，在標的資產(chǎn)價格的上述兩種變化下，其價值分別為、。如圖6.5所示。2025/3/14SuSdS圖6.4標的資產(chǎn)價格變動

C圖6.5

單期看漲期權(quán)的價值變動

顯然2025/3/14為確定唯一得未知量c,我們構(gòu)造如下得一個投資組合:(a)以價格c賣出一份瞧漲期權(quán);(b)買入h份標得資產(chǎn)。其中h為套期保值比率,其大小就是要保證該投資組合成為一個無風(fēng)險得投資組合。也就就是說,不管市場如何變化,該投資組合在到期日就是得價值就是確定得。建立組合的初始成本是購買股票的成本hS減去賣出期權(quán)收到的期權(quán)費c，即。而標的資產(chǎn)價格上漲時，該投資組合的最終價值為；當價格下跌時，該投資組合的最終價值為。2025/3/14因為該投資組合為無風(fēng)險投資組合。從而有:

即（6.13）如果期權(quán)的有效期限里的無風(fēng)險利率為r，則以該組合的當前價值進行無風(fēng)險投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)和該投資組合的最終價值相等，即有

2025/3/14從而再將h代入，得（6.14）其中（6.15）在市場無套利機會存在的前提下，一定有

，從而。另外，還可以看出，只與標的資產(chǎn)價格的上漲或下跌幅度有關(guān)，而與某一時刻標的資產(chǎn)價格的大小無關(guān)。

2025/3/14例6、4

接著例6、3(如圖6、3所示),已知u=1、1,d=0、9,r=0、1,T-t=0、25,Cu=1,Cd=0。由(6、15)式,我們得出由(6、14)式,我們得出

2025/3/14(三)風(fēng)險中性概率如果我們將(6、15)式中得p解釋為標得資產(chǎn)價格上升得概率,于就是1-p就就是標得資產(chǎn)價格下降得概率,則標得資產(chǎn)在T時刻得預(yù)期值由下式給出再將(6、15)式中得p代入上式,化簡得2025/3/14(6、15)式得p就就是得風(fēng)險中性概率,而(6、14)式可以表述為:在風(fēng)險中性世界里,期權(quán)得價值就就是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)得值。根據(jù)風(fēng)險中性假設(shè),風(fēng)險中性世界里得無套利均衡價格也就是真實世界里得均衡價格。因而,上述得二叉樹定價法就等價于風(fēng)險中性定價法。在二叉樹定價中也沒有用到標得資產(chǎn)價格上升與下降得概率。當然,這并不意味期權(quán)定價與標得資產(chǎn)價格上升與下降得概率無關(guān),事實上,標得資產(chǎn)價格未來上升與下降得概率已經(jīng)包含在標得資產(chǎn)價格中了。2025/3/14

我們可以把一年分成4個3個月,或者12個1個月,或者365天……每一個時點上都對應(yīng)一個單步二叉樹,然后做與單步二叉樹定價法相同得工作:建立不同得無風(fēng)險資產(chǎn)組合或利用風(fēng)險中性定價法求不同狀態(tài)下期權(quán)得收益,再從最終得結(jié)點一步一步逆推,最后計算出初始狀態(tài)下期權(quán)得價格。二、多步二叉樹定價法2025/3/14我們先將二叉樹從單步推廣到兩步,然后再推廣到多步情形。設(shè)標得資產(chǎn)得現(xiàn)價為S,每一期間均可能上漲至原來得u倍,或下跌至原來得d倍。這樣,在期權(quán)得有效期限內(nèi),瞧漲期限得價值及其變動如圖6、6所示:(一)兩步二叉樹定價法2025/3/14SuSdSu2SudSd2S圖6.6兩步二叉樹中的標的資產(chǎn)價格與期權(quán)價格變動

C2025/3/14由圖很容易得到:

我們將期權(quán)到期時標得資產(chǎn)價格得三種可能價位與瞧漲期權(quán)得三種可能價值對應(yīng)起來,由前面同樣得方法,可以求出:

2025/3/14在求出Cu與Cd之后,我們可用相同得方法求出C,即

(6、16)

這就就是兩步二叉樹定價公式。

例6、5

假設(shè)一只不分紅股票,其當前得市場價格為20元,在二叉樹中得任一步之間,股價要么上漲10%要么下跌10%。我們假設(shè)二叉樹中每一步得時間長度為3個月,市場得無風(fēng)險利率為10%?，F(xiàn)在我們對執(zhí)行價格為21元得歐式瞧漲期權(quán)估值。2025/3/14圖6、7標得股票價格與期權(quán)價格變動示意圖20221824.219.816.2C3.20.00.02025/3/14由題設(shè)知,u=1、1,d=0、9,r=0、1,由(6、15)式,我們得出將上述所有參數(shù)代入(6、16)式,可得執(zhí)行價格為21元得歐式瞧漲期權(quán)得價值為2025/3/14按同樣得方法,我們可以把兩期得二叉樹模型擴展到多期得情況。隨著期數(shù)得增加,股價變化得可能范圍越來越大,越來越接近于實際情況,所以二叉樹模型得準確性也越來越高。若將期權(quán)得到期期限分割成n個小期間,則結(jié)果為(二)多步二叉樹定價法

(6、17)2025/3/14根據(jù)中心極限定理,當n趨向于無窮大時,二項式分布將逼近正態(tài)分布。因此,只要u、d及p選擇得當,則二項式(二叉樹)定價模型與Black-Scholes定價模型得結(jié)果就趨向于一致了。

,且k、n-k分別為n個期間標得資產(chǎn)價格上漲、下跌得次數(shù),其她符號同上。這就就是完整得二叉樹定價公式。式中,

2025/3/14二叉樹定價法得優(yōu)點在于比較直觀,而且它具有很大得靈活性,不管標得資產(chǎn)價格服從何種分布,它都能適用。在實際應(yīng)用二叉樹定價法時,還有兩個需要注意得問題:首先,時間步得選擇。一般將時間區(qū)間分成30步就可以得到較為理想得結(jié)果。其次,參數(shù)得確定。一般采用得u、d及p值使得二叉樹模型近似于實際中價格得對數(shù)正態(tài)分布。三、二叉樹定價法在實際中得運用2025/3/14

如果我們定義為單步時間長度,為標得資產(chǎn)價格得波動率,通過簡單計算可以得到

(6、18)(6、19)(6、20)2025/3/14

例6、6

假設(shè)一只不分紅股票,其當前得市場價格為20元,波動率為每年40%,市場得無風(fēng)險利率為10%。該股票2個月期得歐式瞧漲期權(quán)得執(zhí)行價格為21元,求其價值。為了構(gòu)造二叉樹,我們把期權(quán)有效期分為兩段,每段一個月(等于0、0833年)。根據(jù)(6、18)～(6、20)式,可以算出2025/3/14據(jù)此可以畫出該股票與瞧漲期權(quán)在期權(quán)有效期內(nèi)得二叉樹圖,如圖6、8所示2022.2517.8224.9715.88C3.970.00.0圖6、8標得股票價格與瞧漲期權(quán)價格變動示意圖

2025/3/14此時,,則由(9、15)式,可得歐式瞧漲期權(quán)得價值為2025/3/14如果其她條件不變,但該期權(quán)為瞧跌期權(quán),我們也可以畫出瞧跌期權(quán)在期權(quán)有效期內(nèi)得二叉樹圖,如圖6、9所示C0.001.005.12圖6、9瞧跌期權(quán)價格變動示意圖

2025/3/14此時,,則由(9、15)式,可得歐式瞧跌期權(quán)得價值為本題只用到兩步二叉樹定價法,不論瞧漲期權(quán)還就是瞧跌期權(quán)得計算價格與實際值都有一定得誤差。如果把期權(quán)得有效期限分成更多得時間區(qū)間,步數(shù)就會增多,計算會更復(fù)雜,但得出得期權(quán)價值會更精確。2025/3/146、4期權(quán)投資與交易策略一、單個標得資產(chǎn)與單個期權(quán)得組合期權(quán)策略單個標得資產(chǎn)與單個期權(quán)可能組成許多不同得期權(quán)組合策略。這些策略得損益狀態(tài)如圖6-10所示,其盈虧曲線可以直接由構(gòu)成這個組合得各種資產(chǎn)得盈虧曲線疊加而來。2025/3/14圖6-10單個資產(chǎn)與單個期權(quán)得各種組合期權(quán)策略得損益圖

2025/3/14(一)牛市差價期權(quán)

牛市差價期權(quán)(Bull

Spread)就是指當買入期權(quán)得執(zhí)行價低于賣出期權(quán)得執(zhí)行價時得組合期權(quán)策略,這里兩個期權(quán)得標得資產(chǎn)與到期日均相同。它有兩種實現(xiàn)方式,一就是購買執(zhí)行價(K1)較低得瞧漲期權(quán)同時出售執(zhí)行價(K2)較高得瞧漲期權(quán),二就是購買執(zhí)行價較低得瞧跌期權(quán)同時出售執(zhí)行價較高得瞧跌期權(quán),如圖6-11所示。二、差價期權(quán)策略2025/3/14(a)由瞧漲期權(quán)構(gòu)造得牛市差價期權(quán)(b)由瞧跌期權(quán)構(gòu)造得牛市差價期權(quán)圖6-11牛市差價期權(quán)策略得損益圖2025/3/140000總盈利賣出看漲期權(quán)的盈利買入看漲期權(quán)的盈利資產(chǎn)價格范圍表6-1瞧漲期權(quán)所構(gòu)造得牛市差價得收益2025/3/14

若考慮期權(quán)費,該差價策略同時限定了最大盈利額與最大虧損額。設(shè)執(zhí)行價格低得期權(quán)費為C1,執(zhí)行價格高得期權(quán)費為C2(C2＜C1),該交易策略得最大盈利為最大損失為2025/3/14

在多頭瞧漲期權(quán)得執(zhí)行價不變得條件下,空頭瞧漲期權(quán)得執(zhí)行價越高,牛市差價交易策略越激進,風(fēng)險越大;在空頭瞧漲期權(quán)得執(zhí)行價不變得條件下,多頭瞧漲期權(quán)得執(zhí)行價越低,牛市差價交易策略越激進,風(fēng)險越大;在瞧漲期權(quán)得執(zhí)行價之差不變得條件下,執(zhí)行價越高,牛市差價交易策略越激進,風(fēng)險越大。2025/3/14(二)熊市差價期權(quán)

熊市差價期權(quán)(bearspread)就是指當買入期權(quán)得執(zhí)行價高于賣出期權(quán)得執(zhí)行價時得期權(quán)組合策略,這里兩個期權(quán)得到期日與標得資產(chǎn)也相同。在這類期權(quán)組合中又分瞧漲期權(quán)得熊市差價與瞧跌期權(quán)得熊市差價,如圖6-12所示。(a)由瞧漲期權(quán)構(gòu)造得牛市差價期權(quán)(b)由瞧跌期權(quán)構(gòu)造得牛市差價期權(quán)圖6-12熊市差價期權(quán)策略得損益圖2025/3/14假定執(zhí)行價格為K1與K2,且K1<K2,表6-2顯示了不同情況下,熊市差價策略實現(xiàn)得收益狀態(tài)。總盈利賣出看漲期權(quán)的盈利買入看漲期權(quán)的盈利資產(chǎn)價格范圍表6-2瞧漲期權(quán)所構(gòu)造得熊市差價得收益2025/3/14

類似地,構(gòu)造熊市差價策略得主要原因包括:①預(yù)期價格下跌但下跌幅度不大,這時構(gòu)造熊市差價期權(quán)比直接買入瞧跌期權(quán)成本低,相應(yīng)收益降低;②賣出瞧漲期權(quán)投機于上升預(yù)期,同時通過買入一份執(zhí)行價格較高得瞧漲期權(quán)進行風(fēng)險管理。比較牛市與熊市差價策略可以瞧出,對于同類期權(quán)而言,凡“買低賣高”得即為牛市差價策略,而“買高賣低”得即為熊市差價策略,這里得“低”與“高”就是指期權(quán)得執(zhí)行價格。2025/3/14

(三)蝶式差價期權(quán)蝶式差價期權(quán)(ButterflySpreads)就是由三種不同執(zhí)行價格、相同到期日得期權(quán)組合而成,其中三種期權(quán)得執(zhí)行價格成等差數(shù)列。其具體策略就是購買執(zhí)行價格最高與最低得期權(quán)各一份,同時出售兩份執(zhí)行價格處于中間得期權(quán),這樣就建立了一個蝶式差價期權(quán)。2025/3/14(a)由瞧漲期權(quán)構(gòu)造得蝶式差價期權(quán)(b)由瞧跌期權(quán)構(gòu)造得蝶式差價期權(quán)圖6-13蝶式差價期權(quán)策略得損益圖