重難點08解直角三角形之“疊合式”模型

【知識梳理】

【考點剖析】

1、如圖，一艘輪船在A處時觀測得小島C,在船的北偏東60。方向，輪船以40海里/時的速度向正東方向航

行1.5小時到達(dá)B處，這時小島C在船的北偏東30。方向.已知小島C周圍50海里范圍內(nèi)是暗礁區(qū).

(1)求B處到小島C的距離

(2)若輪船從B處繼續(xù)向東方向航行，有無觸礁危險？請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：后1.73)

2、金橋?qū)W?！翱萍俭w藝節(jié)”期間，八年級數(shù)學(xué)活動小組的任務(wù)是測量學(xué)校旗桿A8的高，他們在旗桿正前方

臺階上的點C處，測得旗桿頂端A的仰角為45。，朝著旗桿的方向走到臺階下的點尸處，測得旗桿頂端

A的仰角為60。，已知升旗臺的高度3E為1米，點C距地面的高度為3米，臺階CP的坡角為，

30°,且點E、F、。在同一條直線上，求旗桿的高度（計算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：加

-1.41,A/§S1,73）

3.如圖，小明在熱氣球A上看到橫跨河流兩岸的大橋BC,測得8,C兩點的俯角分別為60。和45。，已知

熱氣球離地面的高度為L20m,且大橋與地面在同一水平面上，求大橋8C的長度.（結(jié)果保留整數(shù)，小

=1.73）

解：如圖，作AOLC8交C8所在直線于點D

4、廣州塔又稱廣州新電視塔，昵稱小蠻腰，位于廣州市海珠區(qū)赤崗塔附近，是中國第一高塔，世界第四

高塔.如圖，,廣州塔8。附近有一大廈AC高150米，張強在樓底A處測得塔頂。的仰角為45。，上到

大廈頂C處測得塔頂。的仰角為37。，求廣州塔8D.的高.（參考數(shù)據(jù)：sin37%0.60,cos37%0.80,

tan37°=0.75)

5、如圖，小明為了測量小河對岸大樹2C的高度，他在點A測得大樹頂端B的仰角為45。，沿斜坡走3加

米到達(dá)斜坡上點。，在此處測得樹頂端點B的仰角為30。，且斜坡AP的坡比為1：2.求大樹8C的高

度約為多少米？（遮幻.732,結(jié)果精確到0.1）

【過關(guān)檢測】

一、填空題

1.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線/上有相距4切?的A,2兩個觀測站，8站在A站

的正東方向上，從A站測得船C在北偏東60。的方向上，從8站測得船C在北偏東30。的方向上，則船C到

海岸線I的距離是km.

南

60°

2.（2023?湖北黃石?校考一模）永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，

游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌.如圖，在A處測得回CAD=30。，在B處測得回CBD=45。，并測得AB=

52米，那么永定塔的高CD約是米.（后=1.4,73=1.7,結(jié)果保留整數(shù)）

二、解答題

3.（2023秋,九年級單元測試）如圖所示，在一個坡度7=1:2的山坡CB的頂端B處豎直立著一個電視發(fā)射

塔A3.為測得電視發(fā)射塔的高度，小明站在山腳的平地。處測得電視發(fā)射塔的頂端A的仰角為40。，若測

得斜坡BC長為1006米，點C到點。的水平距離CD=20米，求電視發(fā)射塔的高度.（參考數(shù)值：

sin40"0.64,cos40°~0.77,tan40。a0.84,結(jié)果保留整數(shù)）

4.（2022春?北京東城?八年級?？茧A段練習(xí)）一副直角二角板如圖放置，點C在FD的延長線上,

AB0CF,EF=0ACB=9O°,E￡=45°,EIA=60°,AC=10,試求C￡>的長.

5.（2020秋?山東德州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在社會實踐活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組想測量在樓房CD頂上

廣告牌DE的高度，他們先在點A處測得廣告牌頂端E的仰角為60。,底端D的仰角為30。，然后沿AC方向

前行20m,到達(dá)B點，在B處測得D的仰角為45°（C,D,E三點在同一直線上）.請你根據(jù)他們的測量數(shù)

據(jù)計算這廣告牌DE的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：0=1.414,73?1.732）.

E

6.（2022春?江蘇鹽城?九年級?？茧A段練習(xí)）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂A測得C處的

俯角為45。，。處的俯角為30。，乙在山下測得C,。之間的距離為100米.已知8,C,。在同一水平

面的同一直線上，求山高（結(jié)果保留根號）.

D

BC

7.（2021?貴州銅仁?統(tǒng)考三模）如圖，小明去觀賞一棵千年古銀杏樹，當(dāng)走到點A處時，測得銀杏樹CD

的仰角為30。，當(dāng)向樹前進(jìn)40米到8處時，又測得樹頂端C的仰角為75。.請求出這棵千年古銀杏樹的

高.（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：tan75-=2+6，高=1.732,夜=1.414）

8.（2020?天津和平?三模）學(xué)完三角函數(shù)知識后，某校"數(shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華決定用自己學(xué)到的知識測量

紀(jì)念塔的高度.如圖，8是高為1m的測角儀，在。處測得塔頂端A的仰角為40。，向塔方向前進(jìn)40m在

E處測得塔頂端A的仰角為63.4。，求紀(jì)念塔的高度（結(jié)果取整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40?0.84,tan63.4°?2.00.

9.（2020?天津紅橋?三模）如圖，垂直于地面的燈柱A3被一鋼纜8固定，現(xiàn)需要在點C的上方2m的E

處增加一條鋼纜ED進(jìn)行加固.已知NCD3=45。，NEDB=53°,求OE的長（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù):

sin53°?0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33.

10.（2020,河南?九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）周日，媽媽帶小嵐到商場的攀巖墻處玩耍如圖，AD是一攀巖墻，

小嵐從攀巖墻底部。處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻3機(jī)的8處，當(dāng)他到達(dá)C處時，媽媽看向他的仰角

為30°,當(dāng)他到達(dá)墻頂A處時，媽媽看向他的仰角為75°（小嵐媽媽的身高均忽略不計），此時攀巖教練開始

釋放手中的繩子，使小嵐以1.5m/s的速度下落到C處，再減速下落到地面，則他從A處下落到C處需要

多長時間？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

sin75°?0.97,cos7s?0.26,tan7s?3.73,布?1.73）30°?

11.（2021秋?山東濟(jì)寧?九年級統(tǒng)考期末）如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點A處測得小島。在北

偏東60。方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛1.5/z到達(dá)8處，這時小島。在船的北偏東30。方向36海里

處.

（1）求輪船從A處到8處的航速.

（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時間輪船才恰好位于小島。的東南方向？

12.（2020,河南?模擬預(yù)測）二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場，是獨特的仿古，它是為紀(jì)念京漢鐵路工人大

罷工而修建的紀(jì)念性建筑物.學(xué)完三角函數(shù)知識后，某校"數(shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識

測量二七紀(jì)念塔的高度.如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為40。，向塔方向前

進(jìn)38米在E處測得塔頂端A的仰角為60。，求二七紀(jì)念塔AB的高度（精確到1米，參考數(shù)據(jù)

13.（2020春?內(nèi)蒙古通遼?九年級?？计谀┠橙嗽贏處測得大廈的仰角回BAC為30。，回ACB=90。沿AC方

向行40米至D處，測得仰角E1BDC為45。，求此大廈的高度BC.（百~1.7）

14.（2023春?重慶渝北?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌AB,小明在斜坡的

坡腳D處測得宣傳牌底部B的仰角為45。，沿斜坡OE向上走到E處測得宣傳牌頂部A的仰角為31。，已知

斜坡DE的坡度3:4,￡>E=10米，￡>C=22米，求宣傳牌A3的高度.（測角器的高度忽略不計，參考數(shù)

據(jù)：sin31%=0.52,cos31°^0.86,tan31°?0.6）

15.（2023春?湖南永州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)?？萍夹〗M計劃測量一處電信塔的高度，小明在A處用

儀器測得到塔尖D的仰角aDAC=15。，向塔正前方水平直行260m到達(dá)點B,測得到塔尖的仰角前8。=

30。，若小明的眼睛離地面1.6m,你能計算出塔的高度。E嗎？寫出計算過程.

16.（2022?河南周口,周口市第一初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）（如圖所示，城關(guān)幼兒園為加強安全管理，決定

將園內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45。降為30。，已知原滑滑板的長為4米，點。、B、C在同一水平地面上.

（1）改善后滑滑板會加長多少米？

（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造

是否可行？請說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：0=1.414,若=1.732,指=2.449,以上結(jié)果均保留到小數(shù)點后兩位）

17.（2015?上海?統(tǒng)考中考真題）（本題滿分10分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分）

如圖，MN表示一段筆直的高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓.已知點A到〃N的距離為

15米，54的延長線與相交于點Z）,且/3DN=30。，假設(shè)汽車在高速道路上行駛時，周圍39米以內(nèi)

會受到噪音的影響.

也？0HQN

C

B

（1）過點A作MN的垂線，垂足為點H.如果汽車沿著從M到N的方向在上行駛，當(dāng)汽車到達(dá)點尸

處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點H的距離為多少米？

（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板.當(dāng)汽車行駛到點。時，它與這一排居民樓的距離

QC為39米，那么對于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？（精確到1米）（參

考數(shù)據(jù)：73?1.7）

18.（2021?福建廈門?廈門一中?？家荒＃┤鐖D，某貨船以24海里/時的速度將一批貨物從A處運往正東方

向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60。的方向上.該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時再測得該島

在北偏東30。的方向上，

（1）求NACB的度數(shù)；

（2）已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁.若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？試說明理由.

（參考：7^=1.414、A/3?1.732）

19.（2023春?江蘇南京?九年級南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1是某商場從一樓到二樓的自動扶梯,

圖2是側(cè)面示意圖，是二樓樓頂，MA0PQ,點C在上，且位于自動扶梯頂端8點的正上方，

BCSMN.測得AB=10米，在自動扶梯底端A處測得點C的仰角為50。，點B的仰角為30。，求二樓的層

高（結(jié)果保留根號）

（參考數(shù)據(jù)：sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.20）

20.（2023?廣東?模擬預(yù)測）某校初三課外活動小組，在測量樹高的一次活動中，如圖所示，測得樹底部中

心A到斜坡底C的水平距離為8.8m.在陽光下某一時刻測得1米的標(biāo)桿影長為0.8m,樹影落在斜坡上的部分

CD=3.2m.已知斜坡CD的坡比i=l：出,求樹高AB.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin68°?0.93,

cos68°?0.37,tan68°=2.50,6=1.73)

21.（2022秋?湖南邵陽?九年級統(tǒng)考期末）2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，成都市天府

廣場舉行了盛大的升旗儀式.我市部分學(xué)生有幸見證了這一激動人心的時刻，并在現(xiàn)場作了如下測量工作；

身高1.8米的某同學(xué)（圖中AE部分）在護(hù)旗手開始走正步的點A處測得旗桿頂部。的仰角為22°，在護(hù)旗

手結(jié)束走正步的點B處測得旗桿頂部。的仰角為45°,又測量得到4B兩點間的距離是30米.求旗桿OC

的高度.（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)；sin22°?0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40.）

22.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）如圖，一艘漁船沿南偏東42。方向航行，在A處測得一個小島P在其南偏

東64。方向.又繼續(xù)航行（40-16g）海里到達(dá)B處，測得小島P位于漁船的南偏東72。方向，已知以小島P

為圓心，半徑16近海里的圓形海域內(nèi)有暗礁.如果漁船不改變航向有沒有觸礁的危險，請通過計算加以

說明.如果有危險，漁船自B處開始，沿南偏東多少度的方向航行，能夠安全通過這一海域？（參考數(shù)

據(jù)：s-220=2'儂22。=嚕'tan22。J)

重難點08解直角三角形之“疊合式”模型

【知識梳理】

【考點剖析】

1、如圖，一艘輪船在A處時觀測得小島C,在船的北偏東60。方向，輪船以40海里/時的速度向正東方向航

行1.5小時到達(dá)B處，這時小島C在船的北偏東30。方向.已知小島C周圍50海里范圍內(nèi)是暗礁區(qū).

（1）求B處到小島C的距離

（2）若輪船從B處繼續(xù)向東方向航行，有無觸礁危險？請說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：V3-1.73）

ABD

解：（1）由題意得NCBO=60。，ZCAB=30°,；./ACB=30。,

：.ZCAB=ZACB,.?.CB=AB=40xL5=60（海里），處到小島C的距離為60海里;

（2）過點C作CELAD,垂足為點E,

CE=CBxsinZCBE=60xsin60°=30A/3~51.96海里，：.CE>50,

輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行，沒有觸礁危險.

2、金橋?qū)W校“科技體藝節(jié)”期間，八年級數(shù)學(xué)活動小組的任務(wù)是測量學(xué)校旗桿A8的高，他們在旗桿正前方

臺階上的點C處，測得旗桿頂端A的仰角為45。，朝著旗桿的方向走到臺階下的點F處，測得旗桿頂端

A的仰角為60。，己知升旗臺的高度BE為1米，點C距地面的高度為3米，臺階b的坡角為，

30。，且點E、F、。在同一條直線上，求旗桿48的高度（計算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：加

=1.41,V3-1-73）

解：過點C作于則四邊形MEDC是矩形，

：.ME=DC=3.CM=ED,

在RtZXAEF中，ZAFE=60°,設(shè)E/=x,則4/=2無，AE=?x,

在Rt△/C￡）中，CD=3,NCFD=30。，

:.DFS

在RtzXAMC中，ZACM=45°,：.ZMAC=ZACM=45°,：.MA=MC,

?:ED=CM,：.AM=ED,

"：AM=AE-ME,ED=EF+DF,：.43x-3=x+343>：-x=6+343>

（6+3&）=6V3+9，-1=18.4米.

答：旗桿AB的高度約為18.4米.

3.如圖，小明在熱氣球A上看到橫跨河流兩岸的大橋BC,測得3,C兩點的俯角分別為60。和45。，己知

熱氣球離地面的高度為120m,且大橋與地面在同一水平面上，求大橋BC的長度.（結(jié)果保留整數(shù)，小

=1.73）

解：如圖，作AOLC8交C8所在直線于點D

在RtZXACD中，ZACD=45°,

：.CD^AD^120m.

在RtZXABO中，ZABD=60°,

AZ)

tan60°=^^，

：.BD=^AD=4Q^3m,

.".BC=CD-JB￡?=120-40V3~51(m).

答：大橋BC的長度約為51m.

4、廣州塔又稱廣州新電視塔，昵稱小蠻腰，位于廣州市海珠區(qū)赤崗塔附近，是中國第一高塔，世界第四

高塔.如圖，,廣州塔8。附近有一大廈AC高150米，張強在樓底A處測得塔頂。的仰角為45。，上到

大廈頂C處測得塔頂。的仰角為37。，求廣州塔的高.（參考數(shù)據(jù)：sin37P0.60,cos37yo.80,

tan37°=0.75）

解：如圖，過點C作于點E,即四邊形AC班是矩形，

：.BE=AC=150,CE=AB,

根據(jù)題意可知：

ZDAB=45°,

:.DB=AB=CE,

：.DE=DB-BE=DB-150,

在中，ZDCE=37°,

/.￡）￡=CE-tan37°,

即DB-150-0J5DB,

解得。8=600（米）.

答：廣州塔BD的高約為600米.

5、如圖，小明為了測量小河對岸大樹的高度，他在點A測得大樹頂端8的仰角為45。，沿斜坡走3掂

米到達(dá)斜坡上點D,在此處測得樹頂端點B的仰角為30°,且斜坡AF的坡比為1：2.求大樹BC的高

度約為多少米？（T句.732,結(jié)果精確到0.1）

解：作于點“，作。GLBC于點G,如圖，

則四邊形QGCH為矩形，

在RtZ^AOH中，：型=■1,

AH2

：.AH=2DH,

,：AH2+DH2=AD2,

（2DH）2+DH2=（3V5）2-

：.DH=CG=3m,

:.AH=2DH=6m,

BC=xm,則5G=(x-3)m,

在Rt7\A4C中，ZBAC=45°,

.\AC=BC=xm,

:?CH=DG=(x+6)m,

在Rtz\3DG中，ZBZ)G=30°,

.x-3V3

??----=—,

x+63

解得，x=W交出=15.3.

2

答：大樹BC的高度約為15.3米.

【過關(guān)檢測】

一、填空題

1.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線/上有相距4k〃的兩個觀測站，8站在A站

的正東方向上，從A站測得船C在北偏東60。的方向上，從8站測得船C在北偏東30。的方向上，則船C到

【答案】2上

【分析】過點C作CD0AB于點D,然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用即可求出答

案.

【詳解】過點C作CD0AB于點D,

根據(jù)題意得：0CAD=9O°-6O°=3O°,

0CBD=9O°-3O°=6O°,

回團(tuán)ACB二團(tuán)CBD-團(tuán)CAD=30°,

回團(tuán)CAB二回ACB,

團(tuán)BC=AB=4km,

在Rt團(tuán)CBD中，

0CD=BC?sin6O°=4x—=273（km）

2

團(tuán)船C到海岸線I的距離是.

故答案為：2#）.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題，解題的關(guān)鍵是熟練

運用銳角三角函數(shù)的定義.

2.（2023?湖北黃石?校考一模）永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，

游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌.如圖，在A處測得回CAD=30。，在B處測得回CBD=45。，并測得AB=

52米，那么永定塔的高CD約是米.（亞=1.4,6=1.7,結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】74

【分析】首先證明BD=CD,設(shè)BD=CD=x,在RtEMCD中，由刖=30。，推出AD=?CD,由此構(gòu)建方程即

可解決問題.

【詳解】如圖，0CDEL4D,I3CBD=45°,

00CDB=90°,0CBD=0DCB=45",

0BD=CD,設(shè)BO=CO=x,

在RtMC。中，回蜘=30°,

ELAD=^3CD,

S52+x=&x,

故答案為74,

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

二、解答題

3.（2023秋?九年級單元測試）如圖所示，在一個坡度7=1:2的山坡CB的頂端3處豎直立著一個電視發(fā)射

塔A3.為測得電視發(fā)射塔的高度，小明站在山腳的平地。處測得電視發(fā)射塔的頂端A的仰角為40。，若測

得斜坡長為1006米，點C到點。的水平距離CD=20米，求電視發(fā)射塔A2的高度.（參考數(shù)值：

sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84,結(jié)果保留整數(shù)）

A

、

、

、

CD

【答案】85米

【分析】如圖，根據(jù)坡比設(shè)BE=x,EC=2x,在RtABEC中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于X的方程求出BE和CE；

在RfZXAED中，利用正切的定義求出AE問題得解.

【詳解】解：如圖，

A

、

、

、

、

ECD

作AB，DC交DC的延長線于點E，

在RtABCE中,Si=BE:CE=1:2,設(shè)=則CE=2lx,

BC=10075,

???根據(jù)勾股定理得Y+（2x『=（10075）2,

解得x=100,

0B￡=1OO（米），CE=200（米），

El￡>E=CE+CD=220（米），

在RtAADE中,

.AE

團(tuán)tan40。=——

DE

團(tuán)AE。220x0.84=184.8,

團(tuán)AB=AE—BE。184.8—100=84.8。85（米），

答：電視發(fā)射塔AB的高度約為85米.

【點睛】本題考查了坡比的概念、仰角概念及銳角三角函數(shù)定義，要求學(xué)生能借助仰角、坡比構(gòu)造直角三

角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

4.（2022春?北京東城?八年級校考階段練習(xí)）一副直角三角板如圖放置，點C在FZ）的延長線上，

AB0CF,回F=0AC8=9O°,0￡=45°,EL4=60°,AC=10,試求CD的長.

【答案】15-5,/3

【分析】過點B作于點解R/0AC8求出BC,在RZ08MC中求出CM,BM,推出即

可求得答案.

【詳解】解：

過點B作BMS\FD于點M,

在0AC2中，EIACB=9O0,0A=6O。，AC=10,

0EABC=30°,BC=AC?tan60°=1073,

EL4B0CF,

fflBCM=0ABC=3O°.

L1L

^\BM=BC9sin30°=1073x—=573,

/?

CM=50cos30°=10有x^—=15,

2

在團(tuán)EfD中，回尸=90°,回E=45°,

如ED尸=45°,

^MD—BM—5y/3>

0CD=CM-M￡>=15-5G

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì).關(guān)鍵是能通過解直角三角形求出線段CM,MD

的長.

5.（2020秋?山東德州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在社會實踐活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組想測量在樓房CD頂上

廣告牌DE的高度，他們先在點A處測得廣告牌頂端E的仰角為60。,底端D的仰角為30°,然后沿AC方向

前行20m,到達(dá)B點，在B處測得D的仰角為45°（C,D,E三點在同一直線上）.請你根據(jù)他們的測量數(shù)

據(jù)計算這廣告牌DE的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：75=1.414,73?1.732）.

E

【答案】廣告牌的高度為54.6米.

【分析】由題可知：NDBC=45°,ZC=90°,AB=20,ZQ4C=3O。/E4c=60。，先得至(jCD=CB,在三角

形ACD中，利用正切列出關(guān)于CD的等式并解出，從而求出BC的值，加上AB的值得到AC的值，在三角

形ACE中利用正切得到CE的長度，最后用CE-CD即為所求.

【詳解】解：0ZZ)BC=45°,ZC=90°

ZBDC=45°

/.BC=CD,

DCDC

tanZDAC=-----=

ACAB+BCAB+DC

又???AB=20,ZZMC=30°

?"。°=就先w

Z)C=10+10A/3

BC=10+10A/3,

AC=AB+BC=20+10+10A/3=30+106,

在忒△ACE中,

EC

tanZEAC=——

AC

EC

即tan60°=---------尸,

30+10V3

，EC=304+30

:.ED=EC-DC=2073+20?54.6

答：廣告牌的高度為54.6米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解，注意利

用兩個直角三角形的公共邊求解是解答此類題型的關(guān)鍵.

6.（2022春?江蘇鹽城?九年級?？茧A段練習(xí)）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂A測得C處的

俯角為45。，。處的俯角為30。，乙在山下測得C,。之間的距離為100米.已知3,C,。在同一水平

面的同一直線上，求山高（結(jié)果保留根號）.

【答案】付君+50）米

【分析】設(shè)=由題意可知NAC3=45。，ZADB=3Q°,CD=100米，即可得AB=3C=x,

BD=x+100,在RtAADB中，由tan30。=竺可得走=",由止匕即可求得苫=50若+50,即可得山

BD3x+100

高A3為（506+50）米.

【詳解】解：設(shè)A3=x,

由題意可知：ZACB=45°,NADS=30。，

團(tuán)AB=BC=x

團(tuán)BD—BC+CD=x+\00,

在RtAAD3中，

團(tuán)tan30。=——,

BD

[r?]—V3=---X---

3x+100

解得：X=50A/3+50,

El山高A3為（5。石+50）米.

【點睛】本考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是

解決問題的關(guān)鍵.

7.（2021?貴州銅仁?統(tǒng)考三模）如圖，小明去觀賞一棵千年古銀杏樹，當(dāng)走到點A處時，測得銀杏樹

的仰角為30。，當(dāng)向樹前進(jìn)40米到8處時，又測得樹頂端C的仰角為75。.請求出這棵千年古銀杏樹的

高.（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：tan750=2+6，73=1.732,&=1.414）

【答案】27.3米

—cn

【分析】通過解直角AACD得到：AD=V3CD；通過解直角ABCD得到BD=一

tan/5

【詳解】設(shè)CD=x米.

在RSACD中，H3A=30°,

CD

[Utan30=-----,

AD

團(tuán)AD=QX,

團(tuán)BD=AD-AB=6X-40,

4—CD

在Rt回BCD中，tan75°=——,

BD

02+73=^—

岳-40

解得x=27.3,

答：這棵千年古銀杏樹的高為27.3米.

【點睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬

于中考?？碱}型.

8.（2020?天津和平?三模）學(xué)完三角函數(shù)知識后，某校"數(shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華決定用自己學(xué)到的知識測量

紀(jì)念塔的高度.如圖，8是高為1m的測角儀，在。處測得塔頂端A的仰角為40。，向塔方向前進(jìn)40m在

E處測得塔頂端A的仰角為63.4。，求紀(jì)念塔的高度（結(jié)果取整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84,tan63.4°?2.00.

A

【答案】紀(jì)念塔A3的高度約為59m.

【分析】根據(jù)正切的定義分別用AG表示出EG、DG,再在Rt^AEG中列出算式求出AG的長，計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，ZADG=40°,ZAEG=63.4°,DE=CF=40,CD=BG=1.

AQ

在RtAADG中，tanNAZ）G=-----,

DG

DG=AG..

tan40

4G

:.EG=DG-DE=----------40.

tan40

AG

在RtZXAEG中，tan44EG=——，

EG

AG

AG=EG-tan63.4°=tan63.4°|o-40

Itan40）

AG=40xtan63.4°xtan40。?40x2.00x0.84~57g

tan63.4°-tan40°2.00-0.84

AB=AG+BG?57.9+1?59.

答：紀(jì)念塔A3的高度約為59m.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?天津紅橋?三模）如圖，垂直于地面的燈柱A3被一鋼纜CZ）固定，現(xiàn)需要在點C的上方2m的E

處增加一條鋼纜ED進(jìn)行加固.已知NCDB=45。，ZEDB=53°,求。E的長（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：

sin53°?0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33.

E

C

DB

【答案】10m

【分析】在RtZXCBO中，根據(jù)團(tuán)CDB的正切函數(shù)得到BC=BD,在RtAEQB中，根據(jù)團(tuán)EDB的正切函數(shù)和余弦

DjT）O

函數(shù)得到￡B=3Z>tan53。，DE=——,最后根據(jù)EB=EC+BC,得到30=———,即可求解.

cos53°tan530-l

【詳解】解：根據(jù)題意，EC=2.

Be

在Rt^CBD中，tanZCDB=—,^BC=BD-^n45°=BD.

BD

在RSED3中，tanZEDB=—,cosZEDB=—,

BDDE

BD

回石8=BDtan53。，DE=------.

cos53°

2

^EB^EC+BC,^BDtan530=2+BD.回BD=--------.

tan530-l

^DE=BD=--------3-------。10

cos53°（tan530-1）-cos53°

答：DE的長度約為10m.

【點睛】此題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

10.（2020?河南?九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）周日，媽媽帶小嵐到商場的攀巖墻處玩耍如圖，AD是一攀巖墻，

小嵐從攀巖墻底部。處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻3根的B處，當(dāng)他到達(dá)C處時，媽媽看向他的仰角

為30°,當(dāng)他到達(dá)墻頂A處時，媽媽看向他的仰角為75°（小嵐媽媽的身高均忽略不計），此時攀巖教練開始

釋放手中的繩子，使小嵐以L5m/s的速度下落到C處，再減速下落到地面，則他從A處下落到C處需要

多長時間？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

sin!5°x0.97,cos75°?0.26,tan7sa：3.73,6a：1.73）30°?

A

DB

【答案】小嵐從A處下落到C處需要6s

【分析】在曲ABCD中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得CD；在HAAS。中，利用三角函數(shù)解直角三角形

可得AD,進(jìn)而得到AC的長度，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，ZCBD=30°,ZABD=75°

CD

在必ABCD中，tanZCB￡)=—

BD

CD

即tan30。=T

回CD=3tan30°a1.73(m)

AZ)

在中，tanZABD=—

BD

即tan75。=羊

.'.AD=3tan75°~11.19(/ra)

AC=AD-CD^9.46(m)

9.46+1.576（s）

答：小嵐從A處下落到C處需要6s.

【點睛】此題主要考查利用三角形函數(shù)解直角三角形，熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關(guān)鍵.

11.（2021秋?山東濟(jì)寧?九年級統(tǒng)考期末）如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點A處測得小島。在北

偏東60。方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛1.5/z到達(dá)8處，這時小島。在船的北偏東30。方向36海里

處.

（1）求輪船從A處到B處的航速.

（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時間輪船才恰好位于小島。的東南方向？

【答案】（1）24海里/小時.（2）—叵小時.

4

【分析】（1）過。作利用特殊三角函數(shù)解直角三角形，分別求得OC、BC、AC的長，進(jìn)而可求

得AB的長，再根據(jù)速度=路程+時間解答即可；

（2）如圖，根據(jù)題意可判斷回OCD為等腰直角三角形，則CD=OC,進(jìn)而可得BD的長，再由時間=路程除速

度求解即可.

【詳解】（1）過。作OC_LAB,

由題意得03=36海里，=60°,ZOAC=30°,

OC=OBsin600=18y/3（海里），

BC=OBcos60°=18（海里），

3

ABAC-BC=54-18=36（海里）,

二速度：Ke船=1|=24（海里/小時）.

（2）如圖，

ABD

由題意，ZCOD=45°,。點在。的東南方向，

MOCD為等腰直角三角形，

EIO￡）=OC-tan45°=18百（海里），

.?.BD=BC+C￡>=18+18A/3（海里），

「=18+186=3（小時），

244

...經(jīng)過過3叵小時后到達(dá).

4

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，理解方位角的概念，熟練運用三角函數(shù)解

直角三角形是解答的關(guān)鍵.

12.（2020?河南?模擬預(yù)測）二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場，是獨特的仿古，它是為紀(jì)念京漢鐵路工人大

罷工而修建的紀(jì)念性建筑物.學(xué)完三角函數(shù)知識后，某校"數(shù)學(xué)社團(tuán)"的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識

測量二七紀(jì)念塔的高度.如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為40。，向塔方向前

進(jìn)38米在E處測得塔頂端A的仰角為60。，求二七紀(jì)念塔AB的高度（精確到1米，參考數(shù)據(jù)

【答案】二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米

【分析】由題意根據(jù)正切的定義分別用AG表示出EGDG,進(jìn)而根據(jù)Z）G-EG=38列出算式求出AG的

長，計算即可.

4G

【詳解】解：在RtAAEG中，tanZAEG=——,

EG

EG=———=—AG?0.58AG,

tanZAEG3

AG

在Rt^ADG中,taa/ADG-,

DG

AG

:.DG=——X---=1.2AG,

tanZADG0.84

-.-DG-EG=38,

.?.1.2AG—0.58AG=38,

「.AGa61.3,

/.AB=61.3+1?62.

答：二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的概念以及熟記銳角三角函數(shù)的

定義是解題的關(guān)鍵.

13.（2020春?內(nèi)蒙古通遼?九年級?？计谀┠橙嗽贏處測得大廈的仰角回BAC為30。，回ACB=90。沿AC方

向行40米至D處，測得仰角EIBDC為45。，求此大廈的高度BC.（ga1.7）

【答案】54米

【分析】先設(shè)BC=x米；根據(jù)題意分析圖形：本題涉及到兩個直角三角形RtMBC和RtEIBCD,解三角形可

求得AC、CD的數(shù)值，再根據(jù)AD=AC-CD=40,進(jìn)而可求出答案.

【詳解】解：設(shè)BC=x米，

在RfflABC和RtEIBCD中,

B3BAC=30°,0BDC=45°,AD=40米

0CD=x,AC=BC-tan600=V3X,

0AD=AC-CD=4O,

0>/3x-x=4O,

Elx=20（V3+1）=54米.

答：該大廈的高度是54米.

【點睛】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函

數(shù)解直角三角形.

14.（2023春?重慶渝北?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌AB,小明在斜坡的

坡腳。處測得宣傳牌底部8的仰角為45。，沿斜坡OE向上走到E處測得宣傳牌頂部A的仰角為31。，已知

斜坡DE的坡度3:4,DE=10米，0c=22米，求宣傳牌AB的高度.（測角器的高度忽略不計，參考數(shù)

據(jù)：sin31%=0.52,8s31°-。86,tan31°?0.6)

【答案】宣傳牌AB的高度為2米.

【分析】過E分別作CD、AC的垂線，設(shè)垂足為F、C,則CF=EG,CG=EF,然后在RtAEFD、RtABCD、中

解直角三角形即可.

【詳解】解：過E分別作8、AC的垂線，設(shè)垂足為歹、G,

貝。=EG,CG=EF,

在RtAEFD中，

??,斜坡DE的坡度3:4,DE=10米，

.,.設(shè)￡F=3x米，DF=4x米，

DE=ylEF2+DF2=5x=10，

:.x—2,

:.EF=6^,DP=8米，

在RtABCD中，ZBDC=45°,

，BC=CD=22米，

:.BG=BC-CG=22-6=16（米），

在RtAAEG中，AG=EGtan31°=30x0.6=18（米），

:.AB=AG-BG=18-16=2（米）.

答：宣傳牌A3的高度為2米.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問題，正確作出輔助線、構(gòu)建直角三角形，將實

際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵.

15.（2023春?湖南永州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)?？萍夹〗M計劃測量一處電信塔的高度，小明在A處用

儀器測得到塔尖D的仰角aDAC=15。，向塔正前方水平直行260m到達(dá)點B,測得到塔尖的仰角aDBC=

30。，若小明的眼睛離地面1.6m,你能計算出塔的高度QE嗎？寫出計算過程.

【答案】出塔的高度DE為131.6m.過程見解析.

【分析】先根據(jù)等腰三角形的判定可得比＞=AB=260m,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得

CD=1BD=130m,然后根據(jù)線段的和差即可得.

2

【詳解】解：由題意得：AB=260m,AF=BG=CE=1.6m,DE.LACf

???ZDAC=15°,ZDBC=30°,

ZADB=ZDBC-ZDAC=15°,

:.ZADB=ZDAC,

BD=AB=260m,

在RtZXBCD中，CD=-BD=130m,

2

DE=CD+CE=130+1.6=131.6(m),

即塔的高度OE為13L6m.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，線段和差等知識點，熟

練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵.

16.（2022?河南周口?周口市第一初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）（如圖所示，城關(guān)幼兒園為加強安全管理，決定

將園內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45。降為30。，已知原滑滑板的長為4米，點、D、B、C在同一水平地面上.

（1）改善后滑滑板會加長多少米？

（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造

是否可行？請說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：&=1.414,6=1.732,后=2.449,以上結(jié)果均保留到小數(shù)點后兩位）

【答案】⑴1.66米；（2）這樣改造能行.

【分析】（1）滑滑板增加的長度實際是（AD-AB）的長.在放AABC中，通過解直角三角形求出AC的

長，進(jìn)而在RdACD中求出的長得解；

（2）分別在放反48。、RdAC。中求出BC、C。的長，即可求出8。的長，進(jìn)而可求出改造后滑滑板前方

的空地長.若此距離大于等于3米則這樣改造安全，反之則不安全.

【詳解】（1）在R/EL4BC中，/ABC=45。,

^AC=BC=—AB=—x4=2y/2,

22

RQAC。中，ZADC=30°

f

AD=---------=2AC=4V2,

sin30°

AD-AB=4A/2-4?1.66（米）

答：改善后滑滑板會加長L66米;

（2）RtAACD中,ZADC=30°,

4rr-f—

CD=---------=A/3AC=2V6,

tan30°

0BC+6-CD=2^+6-2A/6?2.828+6-4.898?3.93>3.

團(tuán)這樣改造能行.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在直角三角形中正確利用三角函數(shù)，特別是特殊角的三角函數(shù)

值是解題的關(guān)鍵.

17.（2015?上海?統(tǒng)考中考真題）（本題滿分10分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分）

如圖，MN表示一段筆直的高架道路，線段表示高架道路旁的一排居民樓.已知點A到跖V的距離為

15米，54的延長線與相交于點O,且/3￡W=30。，假設(shè)汽車在高速道路上行駛時，周圍39米以內(nèi)

會受到噪音的影響.

（1）過點A作的垂線，垂足為點”.如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，當(dāng)汽車到達(dá)點P

處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點H的距離為多少米？

（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板.當(dāng)汽車行駛到點。時，它與這一排居民樓的距離

QC為39米，那么對于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？（精確到1米）（參

考數(shù)據(jù)：V3?1.7）

【答案】（1）36米；（2）89米

【分析】（1）聯(lián)結(jié)AP,直接在RAAPH中利用勾股定理解出尸〃即可；（2）從題中可得到的信息是

PA=CQ=39m,因此需要安裝的隔音板至少要包含PQ這一段.第（1）小題中已解得PH,故需要求出

HQ,在用AZ）的和RfADQC中用兩次30。的三角函數(shù)，即可解得D"和代入「。=9+￡>。-計

算即可.