專(zhuān)題04全等三角形壓軸題（六大題型）

目錄：

題型1：一線(xiàn)三等角構(gòu)造全等模型

題型2：手拉手模型一旋轉(zhuǎn)型全等

題型3：倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型

題型4：平行線(xiàn)+線(xiàn)段中點(diǎn)構(gòu)造全等

題型5：等腰三角形中的半角模型

題型6：對(duì)角互補(bǔ)且一組臨邊相等的半角模型

題型1：一線(xiàn)三等角構(gòu)造全等模型

1.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)MMAM_LMN于點(diǎn)BN_LMN于點(diǎn)N.

（1）若MN在△ABC外（如圖1）,求證：MN=AM+BN；

（2）若MN與線(xiàn)段4B相交（如圖2）,且AM=2.6,BN=L1,則MN=1.5.

圖1圖2

【分析】(1)利用互余關(guān)系證NAMC=NNCB,再證△AMC0ZXCNB(AAS),得到AM=CN,MC=BN,

即可得出結(jié)論；

(2)類(lèi)似于(1)可證△ACM四△CBN(A4S),得AM=CN=2.6,CM=BN=L1,即可得出結(jié)論.

【解析】(1)證明：'：AM±MN,BNLMN,

:./AMC=/CNB=90°.

VZACB=90°,NAMC=90°,

：.ZMAC+ZACM=9O°,ZNCB+ZACM=90°,

:./MAC=/NCB.

在△AMC和△CNB中，

'NAHC=NCNB

<ZMAC=ZNCB，

AC=CB

A

圖2圖3

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到進(jìn)而證明△ADB07\CEA,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得到BO=AE,AD=CE,結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案;

（2）根據(jù)補(bǔ)角的概念、三角形內(nèi)角和定理得到證明四△CEA,根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)得到AD=CE,結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案;

（3）證明△尸△項(xiàng)E,得到FD=FE,ZBFD=ZAFE,進(jìn)而得出/DFE=60°,根據(jù)等邊三角形

的判定定理證明結(jié)論.

【解析［解：（1）DE=BD+CE,

理由如下：VZBAC=90°,

ZBAD+ZCAE=90°,

：.ZADB=ZCEA^90°,

：.ZBAD+ZABD=90°,

ZABD^ZCAE,

在和△CEA中,

，ZADB=ZCEA=90°

<ZABD=ZCAE

AB=AC

：.AADB^ACEA(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(2)結(jié)論DE=BO+CE成立,

理由如下：VZBAD+ZCAE=180°-ABAC,ZBAD+ZABD=\S00-ZADB,ZADB=ZBAC,

：./ABD=/CAE,

在△54。和△ACE中,

，ZADB=ZCEA

，ZABD=ZCAE-

AB=AC

.,.△BAD^AACE(A4S),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=DA+AE^BD+CE-,

(3)ADFE為等邊三角形,

理由如下：由(2)得，△54。之△ACE,

：.BD=AE,NABD=NCAE,

：.ZABD+ZFBA=ZCAE+FAC,即ZFBD=ZFAE,

在A(yíng)FBD和△曲E中，

'BF=AF

-ZFBD=ZFAE-

BD=AE

：./\FBD^/\FAE(SAS),

：.FD=FE,/BFD=/AFE,

：.NDFE=ZDFA+ZAFE^ZDFA+ZBFD^6Q°,

△。尸E為等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定

理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.如圖所示，在Rt^ABC中，NC=90°,點(diǎn)。是線(xiàn)段CA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且.點(diǎn)F是線(xiàn)段

上一點(diǎn)，連接。尸，以。尸為斜邊作等腰Rt△。丘E.連接E4,且EA_LA艮

(1)若NAEF=20。,ZADE^5Q°,則NABC=60°；

(2)過(guò)。點(diǎn)作Z)G_LAE,垂足為G.

①填空：△￡>EGdEFA；

②求證：AE^AF+BC；

(3)如圖2,若點(diǎn)歹是線(xiàn)段8A延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段AE,AF,8c之間的數(shù)量關(guān)

系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

【分析】(1)先由NA所=20°斯=90°得到NDE4=70°,然后由乙4?！?50°得到/D4E=60°,

再結(jié)合/EA8=90°得到/BAC=30°,最后由NACB=90°得到NABC=60°；

(2)①先由OG_LAE得到/Z)EG+/EOG=90°,然后由/?！晔?90°得至l]/OEG+/AEF=9(T,從

而得到NEZ)G=NPEA,再結(jié)合OE=ER/￡>GE=NEAP=90°得證△DEG烏△￡/貝；

②先由/GZM+/GAr>=90°和/GAD+/BAC=90°得到NGD4=N8AC,再結(jié)合AZ)=A8、ZDGA=

ZC=90°得證△GD4g△CAB,進(jìn)而得至!]BC=AC,最后由得至UEC=AF最后得證AE

=AF+BC；

(3)過(guò)點(diǎn)。作。G_LAE,交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,則/。GE=90°,先由AE_LAB,得到/E4f'=/Z)GE

=90°,然后由△DEP是以。尸為斜邊的等腰直角三角形得到N￡)EB=90°,DE=EF,從而得證△GDE

出AAEF,因此有GE=AF，再由/OGE=NE4P=90°得到/GD4=/CA8,然后證明△GD40Z\CA8,

最后得至IJBC^EG+AE^AF+AE.

【解析】(1)解：VZAEF=20°,/DEF=90°,

：.ZDEA=70°,

VZADE^50°,

：.ZZ)A￡=60°,

VZEAB=90°,

/.ZBAC=30°,

VZACB=90°,

ZABC=60°,

故答案為，60.

(2)①解：'：DG±AE,

：.ZDEG+ZEDG=90°,

VZDEF=90°,

，/DEG+NAEF=90°,

:?/EDG=NFEA,

在△0EG和△EM中，

'NDGE=NEAF

<ZEDG=ZFEA，

DE=EF

：.ADEG^AEFA(AAS),

故答案為：EFA.

②證明：?.?NGDA+NGAD=90°,NGAO+NBAC=90°,

：.ZGDA=ZBAC.

VAD=AB,ZDGA=ZC=90°,

:?△GDA慫△CAB(A4S),

：.BC=AGf

VADEG^AEM,

:?EC=AF,

：.AE=AG-^-GE=AF+BC.

(3)解：BC=AE+AF,理由如下，

如圖2,過(guò)點(diǎn)。作。G，AE,交A石的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,則NOGE=90°,

VAEXAB,

：.ZEAF=ZDGE=90°,

???ADEF是以。尸為斜邊的等腰直角三角形，

:?/DEF=90°,DE=EF,

；?NGDE+NGED=NGED+NAEF=90°,

AZGDE=ZAEF,

：.AGDE^/\AEF(A4S),

：.GE=AF,

?：/DGE=NEAF=9U°,

：.DG//AB,

：.ZGDA=ZCAB9

在△GD4和△CAB中，

rZDGA=ZC

'ZGDA=ZCAB)

AD=AB

.,.△GDA^ACAB(A4S),

J.BC^AG,

：.BC^EG+AE^AF+AE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握一線(xiàn)三等角模型證明三角形全等.

4.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AZ)_LA/N于點(diǎn)。，BE_LMN于點(diǎn)、E.

(1)當(dāng)直線(xiàn)MN繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖1所示的位置時(shí)，

求證：①AADC咨ACEB；

②DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線(xiàn)MN繞著點(diǎn)、C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，

①找出圖中一對(duì)全等三角形；

②DE、AD,BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【分析】(1)根據(jù)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)易證得ND4C=NECB,已知/AOC=/CEB=90°,AC=CB,根

據(jù)全等三角形的判定AAS即可證明△ADC四△CE8,根據(jù)各邊的相等關(guān)系即可得DE=AD+BE.

(2)同理可證得△AOC烏△CEB,再根據(jù)各邊的相等關(guān)系可得DE=AD-BE.

【解析】（1）證明：'：AD±MN,BELMN,

：.ZADC=ZCEB=90°,

AZDAC+ZACD=90°,

VZACB=90°,

/.ZACD+ZBC￡=180°-90°=90°,

ZDAC=/ECB；

在△ADC和△CEB中，

，ZADC=ZCEB

'ZDAC=ZECB）

AC=CB

AADC^ACEB（AAS）①，（7分）

:.DC=EB,AD=CE,

：.DE=AD+BE.（9分）

（2）解:同理可得△ADC0ZXCEB①；（11分）

J.AD^CE,CD=BE,

；.DE=AD-BE②.（14分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到補(bǔ)角和余角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定

方法是解題的關(guān)鍵.

題型2：手拉手模型一旋轉(zhuǎn)型全等

5.【初步感知】：

如圖①，△ABC和△（?￡）￡都是等邊三角形，連接A。、3E.小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：

（1）△AC。與△BCE全等，依據(jù)是SAS（填寫(xiě)全等三角形判定定理）；

（2）線(xiàn)段依據(jù)是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；

【拓展探究】：

如圖②，△ABC和△CZJE都是等腰三角形，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,AD,相交于

點(diǎn)M,連接CM.

（3）線(xiàn)段BE與A。之間是否仍存在（2）中的結(jié)論？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）ZAMB=a（用含a的式子表示），并說(shuō)明理由.

A

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=BC,CE=CD,/ACB=/Z）CE=60°,再證明NACDu/BCE,

然后由SAS證明△ACDgZXBCE即可；

（2）由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）先證明/ACO=NBCE,再證明△CBEgZkCAD（SAS）,然后由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

（4）由全等三角形的性質(zhì)得NCAO=NCBE,再由三角形內(nèi)角和定理得N3AC+NABC=180°-a,則

ZBAM+ZABM^1SO°-a,然后由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

【解析】解：（1）「△ABC和△CCE都是等邊三角形，

J.AC^BC,CE=CD,ZACB=ZDCE=6Q°,

,?ZBCE=ZACB-ZECA,ZACD=ZDCE-ZECA,

：./ACD=NBCE,

在△AC。和△BCE中，

M=BC

<ZACD=ZBCE-

CD=CE

AACO^ABCE（SAS）,

故答案為：SAS；

（2）由（1）可知，△AC。絲△BCE,

：.BE=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），

故答案為：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；

（3）存在（2）的結(jié)論BE=A。，理由如下：

VZACB=ZDCE=a,ZACD=a+ZBCD,ZBCE=a+ZBCD

：./ACD=NBCE,

在△CBE和△CA。中，

'CB=CA

<ZECB=ZDCA-

CE=CD

.,.△CBE^ACAf)(SAS),

：.BE=AD；

(4)ZAMB=a,理由如下：

*.?AACD24BCE,

：.ZCAD=ZCBE,

,/ZBAC+ZABC^180°-a,

ZBAM+ZABM=180°-a,

AZAMB=180°-(180°-a)=a,

故答案為：a.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性

質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是

解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

6.【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1,在△ABC與中，AC^BC,CD=CE,NACB=/DCE,連接A。，BE；

求證：△AC。絲△BCE；

【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2,在△ABC與中，AC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=90°,連接AD,

BE,A、D、E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，BC與DE交于點(diǎn)F；

①求/BEA的大?。?/p>

②若。尸=3斯且BE=2,求△BCE的面積；

【拓展提高】(3)如圖3,在△ABC與中，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°，點(diǎn)G為

DE的中點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)H,連接GW,若GHLAB,且S^ABH為18,求CH的長(zhǎng).

BBBE

上卜，

ACACAc

圖1圖2圖3

【分析】(1)利用SAS證明△AC。之△BCE；

(2)①由△ABC和△DEC均為等腰直角三角形,可得N□)￡1=/C瓦)=45°,進(jìn)而得出NAZ)C=180°

-45°=135°,即可求得答案；

②過(guò)點(diǎn)。作。GL4c于G,D7_LBC于J,過(guò)點(diǎn)E作EW_LBC于H,可證得△CDG0zXCEW(AAS),設(shè)

CJ=DG=EH=x,可得DJ=CG=CH=3x,FH=lx,FJ=±x,CF=^-x,再利用勾股定理建立方程求

222

得EH=兇豆,BC=2娓,再運(yùn)用即可求得答案；

52

(3)連接BE,CG,先證得△BEG^^/ZCG(SAS),得出BE=CH,ZGBE=ZGHC,進(jìn)而可得8E〃

AC,推出SACBE=SZV1BE,BPS^BEH+SACEH=S^BEH+S^ABH,tES^CEH=S^ABH=18,即可求得答案.

【解析】(1)證明：：NACB=NOCE,

即ZACD+ZBCD=ZBCD+ZBCE,

：./ACD=/BCE,

在△ACD和△BCE中，

AC=BC

"ZACD=ZBCE.

CD=CE

:AACD義ABCE(SAS)；

(2)解：①：AC=BC,CD=CE,ZACB^ZDCE^90°,

AABC和△DEC均為等腰直角三角形，

：.ZCDE=ZCED=45°,

/.ZADC=180°-45°=135°,

同(1)可得AACD2ABCE,

/.ZADC=ZBEC=135°,

；./BEA=/BEC-NCED=135°-45°=90°；

②如圖，過(guò)點(diǎn)。作。GJ_AC于G,D/_LBC于J,過(guò)點(diǎn)E作￡7/J_BC于H,

則NCGD=NCJD=NDJF=/EHF=90°,四邊形C/DG是矩形，

：.DJ=CG,CJ=DG,

'：ZDCG+ZBCD=NECH+/BCD=90°,

ZDCG=ZECH,

在△COG和中,

，ZCGD=ZCHE

，NDCG=NECH，

CD=CE

.,.△CDG^ACEH(A4S),

：.DG=EH,CG=CH,

：.CJ=DG=EH,

設(shè)CJ=DG=EH=x,

'：EH//DJ,

:.叢EFHs叢DFJ,

?EH=FH=EF

"DIFJDF，

?：DF=3EF,

??--E-H_F--H_-1,

D.TF.T3

：.DJ=CG=CH=3x,FJ=3FH,

：.FH+FJ=CH-CJ=3x-x=2x,

：.FH=^x,FJ=±x,

22

/.CF—CJ+FJ—X+-X——x,

22

'：EH//AC,

.?.△EFHsAAFC,

?AC=CF

"EHFH，

5_,

.AC=C^EH=1!Z=5X=BC

FH±

2x

2222

在RtZ\CDG中，CD=VCG+DG=V(3X)+X=國(guó)x，

???AABC和△DEC均為等腰直角三角形，

:.AB=HAC=5近x,DE=HCD=2仄x,

?.?AACD^ABCE,

：.AD^BE,

?：BE=2,

：.AD=2,

：.AE=AD+DE=2+2-/Sx,

在RSBE中，AEr+BEr=AB1,

(2+2日x)2+22=(5&x)2,

解得：如=2漁，眼=-2匹(舍去)，

515

.*.￡//=BC=2娓,

5

.,.SABCE=ABC.EH=AX2V5X^ZL=2；

225

(3)如圖，連接BE,CG,

：AC=2C,CD=CE,/ACB=/DCE=90°,

AABC和△DEC均為等腰直角三角形，

/.ZABC=45°,

?.?點(diǎn)G為。E的中點(diǎn)，

：.ZCGE^90°,CG=EG=DG,

'：GHLAB,

：.ZBGH=90°,

4BGH是等腰直角三角形，

：.BG=HG,NBHG=/ABC=45°,

ZBGE+ZEGH=ZHGC+ZEGH,

；*/BGE=NHGC,

在A(yíng)BEG和△HCG中，

'BG=HG

<NBGE=NHGC，

EG=CG

:.ABEG絲AHCG(SAS),

:.BE=CH,NGBE=NGHC,

VZG77C=180°-ZBHG=135°,

：.ZGBE=135°,

：.ZCBE=ZGBE-ZABC=135°-45°=90°,

:.BE〃AC,

S/\CBE=S/\ABEf

即S4BEH+SACEH=SABEH+S4ABH,

:.SACEH=SAABH,

VSAABH=18,

??S/\CEH~18,

：.1CH-BE=1S,

2

?：BE=CH,

.,.CH2=36,

:.CH=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理等，屬于中考?jí)狠S題，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)學(xué)生要求很高；解題關(guān)鍵是熟練掌握等腰直

角三角形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，合理添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形.

7.在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF,連接BE,CF.

【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖①，若NBAC=30°,延長(zhǎng)BE交CP于點(diǎn)D,則BE與CB的數(shù)量關(guān)系是BE=CF,

ZBDC的度數(shù)為30°.

【類(lèi)比探究】如圖②，若N3AC=120°,延長(zhǎng)8E,FC相交于點(diǎn)。，請(qǐng)猜想BE與C尸的數(shù)量關(guān)系及/

BOC的度數(shù)，并說(shuō)明理由.

【拓展延伸】如圖③，若N8AC=90°,且點(diǎn)8,E,F在同一條直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)A作AM,8凡垂足為點(diǎn)

M,請(qǐng)猜想BECF,AM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用SAS證明即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△A8E04AC尸即可得出結(jié)論；

(3)利用SAS證明△ABEg和△ACF,可得8E=CK再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

即EE=2AM,BF=BE+EF,等量代換可得BF=CF+2AM.

【解析】解：(1)BE=CF,NBDC=30°,

理由如下：如圖1所示，設(shè)AC與2。交于點(diǎn)0,

圖1

'：ZBAC=ZEAF=30°,

：.ZBAC+ZCAE=ZEAF+ZCAE,

即NBAE=/CAF,

在△ABE和△AC『中，

，AB=AC

'ZBAE=ZCAF-

AE=AF

.二△ABE義AACF(SAS),

：.BE=CF,ZABE=ZACF,

,//AOE=ZABE+ZBAC,NA0E=ZACF+ZBDC,

：.ZBDC^ZBAC^30°.

故答案為：BE=CF,30°；

(2)BE=CF,ZBDC=60°,

理由如下：如圖2,

F

BC

D

圖2

,：ZBAC=ZEAF=nO°,

ABAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即NBA"/CAR

在△ABE和中，

'AB=AC

<ZBAE=ZCAF-

AE=AF

AABE^AACF(SAS),

:.BE=CF,/AEB=NAFC,

VZEAF=120°,AE=AF,

：.ZAEF=ZAFE=30°,

：.ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+3O0-(ZAFC-30°)=60°；

(3)【拓展延伸】BF=CF+2AM,

理由如下：如圖3,

ABAC-ZEAC=NEAF-ZEAC,

即NBAEu/CAH

在△ABE和尸中，

，AB=AC

<ZBAE=ZCAF-

AE=AF

AABE^^ACF(SAS),

：.BE=CF,

"：AE=AF,ZEAF=90°,AMLEF,

：.AM=EM=FM,即EF=2AM,

,:BF=BE+EF,

：.BF^CF+2AM.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形和等腰直角三角形的

性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

8.在△ABC中，A8=AC,點(diǎn)。是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)(不與8、C重合)，以AO為一邊在A(yíng)D的右側(cè)作

AD=AE,ZDAE=ABAC,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段8C上，如果NA4C=90°.

①則△A3。與△ACE全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②求/BCE的度數(shù)；

(2)如圖2,如果N8AC=60°,當(dāng)點(diǎn)Z)在線(xiàn)段BC上移動(dòng)，則的度數(shù)是120°；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC上，如果/A4c=60°,D點(diǎn)為△ABC中BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(。與8、

C均不重合)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△￡>(?￡的周長(zhǎng)最??？

【分析】(1)根據(jù)NBACu/AOEngO。,易得再證△BA。0△CAE；

(2)證明△54。g△CAE(SAS),推出NACE=NB=45°,再由/BCE=/AC8+/ACE得出結(jié)論；

(3)由△BAD0ZXCAE可得出BZ)=CE,推出O)+EC=Cr)+BD=BC,由△EC￡)的周長(zhǎng)=DE+C￡)+CE

=DE+BC,BC為定值，推出?！曜钚r(shí)，△OCE得到周長(zhǎng)最小，由垂線(xiàn)段最短即可解決問(wèn)題.

【解析】(1)①證明：?.?/54C=/AOE=90°,

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC,

：.ZBAD=ZCAE,

在△BA。和△CAE中,

rAB=AC

，NBAD=NCAE，

AD=AE

(SAS),

②解：'：AB=AC,ZBAC=9Q°,

/.ZB=ZACB=45O,

■:XBADQXCAE,

：.ZACE=ZB=45°,

ZBCE^ZACB+ZACE=90°；

.?.N8CE的度數(shù)為90°；

(2)解：'：AB=AC,AD=AE,ZADE=ZBAC=6Q°,

：.ZBAD=ZCAE,ZB=ZACB=6Qa,

:.XBAD9XCAE(SAS),

：.ZACE=ZB=6Q°,

；./BCE=NACB+NACE=12Q°,

故答案為：120；

(3)由(2)可知：ABAD咨ACAE,

：.BD=CE,

：.CD+CE=CD+BD=BC,

,?AECD的周長(zhǎng)=DE+CD+CE^DE+BC,

為定值，

當(dāng)DE的值最小時(shí)，ADCE得到周長(zhǎng)最小，

'：AD=AE,ZADE^ZBAC^60°,

.?.△AQE是等邊三角形，

J.DE^AD

.?.AO_LBC時(shí)，AO的值最小，此時(shí)8O=CZ),

二當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，△OCE是周長(zhǎng)最小.

A

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂

線(xiàn)段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.

9.感知：如圖①，△ABC和△AEQ都是等腰直角三角形，/54C=/D4E=90°,點(diǎn)8在線(xiàn)段上，點(diǎn)

C在線(xiàn)段AE上，我們很容易得到BD=CE,不需證明.

探究：如圖②，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0<a<90°),連結(jié)8。和CE,止匕時(shí)8O=CE是否依然

成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，說(shuō)明理由.

應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連結(jié)CE.

①乙4CE的度數(shù)為45度;

②線(xiàn)段2C、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=BC+CD；

③若A2=AC=&,CD=1,則線(xiàn)段。E的長(zhǎng)為_(kāi)

圖①圖②圖③

【分析】探究：利用SAS(證明△A3。gZkCAE(SAS),得BD=CE；

應(yīng)用：①同理證明得NACE=NB=45°；

②由全等三角形的性質(zhì)得BD=CE即可;

③首先證明N?BCE=NAC8+/ACE=90°,再利用勾股定理即可得出答案.

【解析】解：探究：成立，證明如下:

,/AABC和△AE。都是等腰直角三角形,

：.AB=AC,AD=AE,

?.,將△AEZ)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0<a<90°),連結(jié)3。和CE,

：.ZBAD=ZCAE,

在△ABD與△&(7￡■中，

'AB=AC

-ZBAD=ZCAE-

AD=AE

/.AABD^ACAE(SAS),

:.BD=CE；

應(yīng)用：①：△ABC和即都是等腰直角三角形,

：.AB=AC,NBAD=/CAE,AD^AE,

在△ACE與△AB。中，

'AB=AC

-ZBAD=ZCAE)

AD=AE

:.△ACEHABD(SAS),

：.ZACE=ZB=45°,

故答案為:45；

②：AACE^AABD,

:.BD=CE,

：.BC+CD=CE,

故答案為：BC+CD=CE；

③：AACE^AABZ),

AZACE=ZABD=45°,

又：/ACB=45°,

：.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

在RtABAC中，

VAB=AC=V2,

，BC=7AB2+AC2=2，

又：C￡)=1,CE=BC+CD=3,

在RtZIkCOE中，DE={2g2,

故答案為：Vio.

【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，證明△人(7￡1絲△A3。是解題的關(guān)鍵.

題型3：倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型

10.在RtZXABC中，AC=BC,ZACB=90°,以8c為斜邊作RtZkEBC,ZBEC=90°,再將BE繞點(diǎn)8

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到8R連接跖分別交BC,AB于點(diǎn)G,點(diǎn)D

(1)如圖1,△BEC在2C右側(cè)，NEBC=3Q°,AC=2,求△8FG的面積；

(2)如圖2,ABEC在BC右側(cè)，點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，求證：DE=圾CE+DF-,

(3)如圖3,△3EC在左側(cè)，BE的延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)的中點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)E在2。的中垂線(xiàn)上時(shí)，CE交AB

于點(diǎn)”，直接寫(xiě)出包照

的值.

^ABDF

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)題意求出CE、8E的長(zhǎng)度，證明是等腰直角三角形，求出△EBP的面積，證明

ACEGs4BFG,從而有S^BEG'應(yīng),根據(jù)比例即可求出△BFG的面積；

^ABFG3

(2)在上截取凡連接AM,CM,先證明會(huì)/XB。凡再證明△CAMgZkCBE,通過(guò)

證明△MCE是等腰直角三角形，得到加￡=&”，從而證明題目結(jié)論；

(3)在。E上截取。朋=。F，連接AM,CM,先證明△CEN是等腰直角三角形，再證明RtZ^ACNgRt

△BCE,仄而有LADN沿LBDF,得到。N=OR設(shè)BE=BF=DE=a,根據(jù)題意用含a的式子表示CE,

證明△。反得到“，過(guò)點(diǎn)8作垂足為點(diǎn)P,證明是等腰直角三角形，表示

BP,利用三角形的面積公式表示兩個(gè)三角形的面積從而解決面積之比.

【解析】⑴解：???AC=8C,

:.BC=2,

"：ZBEC=90°,Z￡BC=30°,

.?.CE=_1BC=I,

2

22

???BE=7BC-CE=M，

,；BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BF,

...△BEP是等腰直角三角形，NEBF=90°,BE=BF=如,

-.SAEBF^1E-BF=3f

'：ZBEC=ZEBF=90°,

J.CE//BF,

：.4CEGS/\BFG,

?EGCEanEG1V3

FGBFFGV33

S

?.?--A-B-E-G-=V3,

S/kBFG3

y_3______9-3V3.

SSaebf

,iB^-3W3——

(2)證明：在OE上截取0M=。尸，連接AM,CM,

VAB,EF交于點(diǎn)D,

JZADM=ZBDF,

■:DM=DF,AD=BD,

：.AADM^/\BDF(SAS),

；.AM=BF=BE,ZMAD=ZFBD,

ZCAM+ZMAD=45°,ZCBE+ZFBD=45°,

：.ZCAM=ZCBE,

\9AC=BC,AM=BE,

:?△CAM絲△C3E(SAS),

:.CM=CE,ZACM=ZBCEf

VZACM+ZBCM=90°,

AZMCE=ZBCE+ZBCM=90°,

???AMCE是等腰直角三角形，

：.ME=y/2CEf

：.DE=DM+ME=DF+近CE；

E

c

F-

(3)解：作NECN=90°,交尸。延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,

?:BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BF,

???叢BEF是等腰直角三角形,

；.BE=BF,NBEF=/BFE=45°,

VZBEC=90°,

：?NCEN=45°,

VZECN=90°,

???ZkCEN是等腰直角三角形，

:.CN=CE,/CEN=NCNE=45°,

?：NECN=NACB=90°,

ZACN=ZBCE,

*：AC=BC,CN=CE,

：.RtAAC^RtABCE(HL),

；?AN=BE=BF,/CNA=NCEB=90°,

?:NCNE=45°,

:?/AND=/BFD=A5°,

*：AD^BD,/ADN=/BDF,

:?△ADN"ABDF(AA5),

:.DN=DF,

??,點(diǎn)E在的中垂線(xiàn)上，

；?BE=DE,

設(shè)BE=BF=DE=a,

??,ABEF是等腰直角三角形，

.\EF=y/2a,

；.DF=DE+EF=(1+V2)a,

：.NF=2DF=(2+2V2)a,

:.NE=NF-EF=(2+V2)a,

：△CEN是等腰直角三角形，

.?“=里=(V2+1)a,

V2

'：ZBEC=ZEBF=9Q°,

C.HE//BF,

.?.△DHEsADBF,

?.?-H-E-=-D--E,即an-H-E-=------a-----

BFDFa(l+v2)a

得HE=(V2-1)a,

：.CH=CE-HE=2a,

過(guò)點(diǎn)B作BPLER垂足為點(diǎn)P,

:/BFE=45°,

:ABFP是等腰直角三角形，

得SABCE=出口吆￡=’?2a,a=7，

=2

SABDF=yDF?BP=/"(1W2)aaa

w2

.^S-=r-\=4-2V2

^ABDF+2./

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角

形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，利用全等和相似表示各邊的長(zhǎng)

度，從而解決面積的比值.

11.為了進(jìn)一步探究三角形中線(xiàn)的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1,在

△ABC中，AO是BC邊上的中線(xiàn)，延長(zhǎng)到使QM=A。，連接

【探究發(fā)現(xiàn)】：(1)圖1中AC與的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是ACHBM；

【初步應(yīng)用1(2)如圖2,在△A8C中，若A8=12,AC=8,求8c邊上的中線(xiàn)的取值范圍.(提

示：不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.例如：若3x<6,則x<2.)

【探究提升】：(3)如圖3,AD是△ABC的中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A分別向外作AEL48、AFLAC,使得AE=AB,

AF=AC,延長(zhǎng)ZM交跖于點(diǎn)P,判斷線(xiàn)段所與A。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)證△AOCg/XMDB(SAS),得AC=BM,ZCAD=ZM,再由平行線(xiàn)的判定即可得出AC

//BM,

(2)延長(zhǎng)到M,{JDM=AD,連接BAL由(1)可知，名△AOC(SAS),得8M=AC=8,

再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)到M,使得。連接8M,由(1)可知，ABDMmACDA(SAS),得BM=AC,

再證(SAS),得AM=EF,ZBAM=ZE,則EF=2AD,然后由三角形的外角性質(zhì)證出

ZAPE^ZBAE^90°,即可得出結(jié)論.

【解析】解：(1)是△ABC的中線(xiàn)，

:.BD=CD,

在△AOC和中，

'CD=BD

<ZCDA=ZBDM，

AD=MD

?.AADC^AMDB(SAS),

：.AC=BM,ZCAD=ZM,

J.AC//BM,

故答案為：AC=BM,AC//BM；

(2)如圖2,延長(zhǎng)A。到M,使。M=A。，連接BM,

A

y

M

圖2

由(1)可知，AMDB出AADC(SAS),

：.BM=AC=8,

在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,

.*.12-8VAM<12+8,

即4<2AD<20,

：.2<AD<10,

即BC邊上的中線(xiàn)A。的取值范圍為2<AO<10；

(3)EF=2AD,EFlAD,理由如下：

如圖3,延長(zhǎng)AD到M,使得DM=AD,連接BM,

M

圖3

由(1)可知，ZXBOM之△C0A(SAS),

：.BM=AC,

t

：AC=AFf

：.BM=AF,

由(2)可知，AC//BM,

：.ZBAC^-ZABM=1SO°,

9：AE±AB,AFLAC,

：.ZBAE=ZFAC=90°,

AZBAC+Z￡AF=180°,

ZABM=ZEAF,

在△ABM和產(chǎn)中，

，AB=EA

-ZABM=ZEAF-

BM=AF

AABM^AEAF(SAS),

C.AM^EF,/BAM=NE,

"：AD=DM,

：.AM=2AD,

；.EF=2AD,

,：ZEAM=ZBAM+ZBAE=ZE+ZAPE,

：.ZAPE=ZBAE^90°,

：.EF±AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、倍長(zhǎng)中線(xiàn)法、三角形的三邊關(guān)系、平

行線(xiàn)的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解

題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

12.數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問(wèn)題：如圖1,已知等腰直角△ABC,AB=AC,等腰直角△COE,DC=DE,

連結(jié)BE,F為BE中點(diǎn)，連結(jié)ARDF,請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段AF,。尸之間的關(guān)系.

小明通過(guò)思考，將此探究題分解成如下問(wèn)題，逐步探究并應(yīng)用.請(qǐng)幫助他完成：

(1)如圖1,延長(zhǎng)AF至4,使得AF=A，F(xiàn),連結(jié)A'E,則線(xiàn)段A3與線(xiàn)段A'E的數(shù)量關(guān)系為AB

=A'E,位置關(guān)系為NBIINE；

(2)如圖2,延長(zhǎng)即交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,連結(jié)AD,A'Z).小明的思路是先證明△ACD0AA'ED,

進(jìn)而得出與A'。的關(guān)系，再繼續(xù)探究.請(qǐng)判斷線(xiàn)段AR。尸之間的關(guān)系，并根據(jù)小明的思路，寫(xiě)

出完整的證明過(guò)程.

(3)方法運(yùn)用：如圖3,等邊△ABC與等邊△OEC,點(diǎn)。，E在△ABC外部.AB=4,DE=2j§,連結(jié)

B。，點(diǎn)尸為8。中點(diǎn)，連結(jié)AF,BE,若AF=3,請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的值.

【分析】(1)證△ABF0ZiAEF(SAS),得/ABF=NAEF,再由平行線(xiàn)的判定得AB〃A；E

即可；

(2)證△AC。絲AVED(SAS),得AD^A'D,ZADC^ZA'DE,再證NAZM占90°,然后由等腰直

角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)C作CPLCB交54的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,連接尸。，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理

得P8=2BC=8,PC=&R,PA=PB=4,再證是尸的中位線(xiàn)，得PD=2AF=6,進(jìn)而由勾股

定理的逆定理證△(?￡)尸是直角三角形，且/CDP=90°,然后證△BCEg/kBC。(SAS),得BE=BD,

ZCBE=ZCBD,延長(zhǎng)BC交。E于點(diǎn)G,貝U8GJ_OE,DG=EG=6,進(jìn)而由勾股定理得CG=3,BD

=2后，即可得出結(jié)論.

【解析】解：⑴?.?F為BE中點(diǎn),

：.BF=EF,

在△ABF和△AEF中,

'BF=EF

-NAFB=NA'FE，

AF=A'F

AAABF^AA'EF(SAS),

：.AB=A'E,ZABF=ZA'EF,

：.AB//A'E,

故答案為：AB=A'E,AB//A'E；

(2)AF=DF,AF±DF,證明如下:

由(1)可知，AB^A'E,AB//A'E,

：.ZAGD+ZA'ED=ISO0,

"：AB=AC,

：.AC=A'E,

由題意可知，ZZBAC=ZCDE=90°,

：.ZCAG=ZCDG=90°,

AZAGD+ZACD=360°-90°-90°=180°,

ZACD^ZA'ED,

在△AC。和△?!'即中，

M=A'E

<ZACD=ZAyED.

CD=ED

AACD^AA/ED(SAS),

：.AD=A'D,ZADC=ZA'DE,

：.ZADC+ZA'DC^ZA'DE+ZA'DC^ZCDE^90°,

即NADA'=90°,

'：AF^A'F,

；.DF^1AA'^AF,DF±AA',

2

BPAF^DF,AFLDF；

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CPLCB交54的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,連接PD

AABC和△￡)口?是等邊三角形，

：.BC^AB=4,ZABC^ZDCE^60°,CD=DE=CE=2M，

在RtZkPBC中，ZPBC=60°,

；.N8PC=90°-60°=30°,

.?.PB=2BC=2X4=8,

.,.PC=\PB2_BC2=、82.42=4、/§,B4=PB=4,

■:版F為BD中點(diǎn),

...AB是△BOP的中位線(xiàn)，

：.PD=2AF=2X3=6,

'：CD2+PD2=(2e2)+62=48,pc2=(4'R)2=48,

CD2+PD2=PC2,

...△COP是直角三角形，且NC￡)P=90°,

'：PC=2CD,

：.ZCPD=3Q°,

：.ZPCD=90°-30°=60°,

AZBCD=ZBCP+ZPCD=900+60°=150°,

360°-/BCD-/DCE=360°-150°-60°=150°,

/BCE=ZBCD,

在△BCE和△BCD中，

'CE=CD

-ZBCE=ZBCD)

BC=BC

」.△BCE絲△BCD(SAS),

:.BE=BD,NCBE=/CBD,

即BC平分NDBE,

延長(zhǎng)BC交DE于點(diǎn)G,

貝lj8G_LZ)E,DG=EG=LDE=6,

2

???CG=VCD2-DG2=V(2V3)2-(V3)2=3,

.?.BG=8C+CG=4+3=7,

在中，由勾股定理得：=yl(^3)22=V13,

BD=^DG2+BG2+72

即BE的值為2小石.

E

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形

的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、勾股定理以及勾股

定理的逆定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角

形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

13.【閱讀理解】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

如圖1,△ABC中，若48=8,AC=6,求BC邊上的中線(xiàn)的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流,

得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

(1)由己知和作圖能得到△ADCgZiEDB的理由是B.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得A求的取值范圍是C.

A.6<AD<8B.6WAZ5W8C.1<AD<1D.1WADW7

【感悟】

解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和

所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

【問(wèn)題解決】

(3)如圖2,AD是△ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E,交AD于凡5.AE^EF.求證：AC=BF.

【分析】(1)根據(jù)/ADC=/BDE,8￡>=OC推出△&￡>(7和全等即可；

(2)根據(jù)全等得出B￡=AC=6,AE=2AD,由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6<2AO<8+6,求出即可;

(3)延長(zhǎng)AD到〃，使連接根據(jù)&4S證△AOCgZX/DB,推出BW=AC,ZCAD=Z

根據(jù)AE=EF,推出求出根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可.

【解析】(1