難點(diǎn)06特殊平行四邊形的?？碱}型

（7大熱考題型）

題型一：矩形的性質(zhì)與判定

題型二：菱形的性質(zhì)

題型三：菱形的判定

題型四：菱形的性質(zhì)與判定

題型五：正方形的性質(zhì)

題型六：正方形的判定

題型七：正方形的性質(zhì)與判定

題型一：矩形的性質(zhì)與判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·山東青島·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，

ABDCDB，BEAC于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，且BEDF．

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

BC

(2)若ABBO，當(dāng)ABE等于多少度時(shí)，四邊形ABCD是矩形？請(qǐng)說明理由，并直接寫出此時(shí)的值．

AB

【變式1-1】（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，C90，AC12，BC5，點(diǎn)P是邊AB上任

意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDAC，PEBC，垂足分別為點(diǎn)D，E，連接DE，則DE的最小值是（）

13601230

A．B．C．D．

213513

【變式1-2】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，ABE30，將ABE

沿BE折疊得FBE，連接CF，DF，若CF平分BCD，AB2，則DF的長(zhǎng)為．

【變式1-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，ABC90．

(1)求證：ACBD；

(2)點(diǎn)E在BC邊上，滿足CEOCOE．若AB6，BC8，求CE的長(zhǎng)及tanCEO的值．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2025·湖北十堰·一模）如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線、相交于點(diǎn)E．則線段BE的長(zhǎng)為（）

????

A．8B．443C．422D．82

2．（2023·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，ABBC，AD2，將腰CD以D為

中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至DE，連接AE，CE，VADE的面積為3，則BC長(zhǎng)（）

A．3B．4C．5D．6

1

3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，ABC90，O是AC的中點(diǎn)，求證：BOAC．

2

證明：如圖，延長(zhǎng)BO至點(diǎn)D，使ODBO，連接AD，CD．

……

ACBD2OB，

1

BOAC．

2

下面是“……”部分被打亂順序的證明過程：①∴四邊形ABCD是平行四邊形；②∵ABC90；③∵

OAOC，OBOD；④∴四邊形ABCD是矩形，則正確的順序是（）．

A．③①②④B．③②①④C．②③①④D．②①③④

4．（2024·福建三明·二模）如圖，在VABC中，ABC90，BABC，把VABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VADE，

點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，點(diǎn)D恰好落在AC上，過E作EF∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BD并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)

G，連接CE交BG于點(diǎn)H．下列結(jié)論：①BDDG；②CE2BD；③CHEH；④FG2EG．其中

正確的有（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

5．（2024·廣東深圳·一模）如圖，矩形ABCD中，AB4，BC3，將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

矩形ABCD，當(dāng)點(diǎn)C，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，AB交DC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)度是（）

725725

A．B．C．D．

8844

6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，有兩個(gè)全等的矩形ABCD和矩形ABCD重合擺放，將矩形ABCD

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，延長(zhǎng)AD交AD于點(diǎn)E，線段AE的中點(diǎn)為點(diǎn)F，AB的長(zhǎng)為2，BC的長(zhǎng)為4，當(dāng)CF取

最小時(shí)，AF的長(zhǎng)為（）

A．2B．4C．6D．8

7．（2024·貴州黔東南·二模）在矩形ABCD中，AB5，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作對(duì)角線AC的垂線，與邊BC分別

交于點(diǎn)G，H．若AECF，BG1，CH4，則EGFH．

8．（2023·天津·一模）如圖，矩形ABCD對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，E為OB上一點(diǎn)，連接CE，F(xiàn)為CE的

中點(diǎn)，EOF90．若OE3,OF2，則BE的長(zhǎng)為．

9．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AD16，AB10，EF在邊AD上，EF8，連接EB，F(xiàn)C，

則線段EBFC的最小長(zhǎng)度為．

10．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ABCD中，AB2，BC5，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)E，使CEDC，連接AE，

交BC于點(diǎn)F，連接AC，BE，AFC2D．

(1)求證：四邊形ABEC是矩形；

(2)求ABCD的面積．

11．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AOC中，OD垂直平分AC．延長(zhǎng)AO至點(diǎn)B，作COB的角平分線OH，

過點(diǎn)C作CFOH于點(diǎn)F．

(1)求證：四邊形CDOF是矩形；

4

(2)連接DF，若sinA，DF15，求AC的長(zhǎng)．

5

12．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB4，BC8，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE，

以CE為邊作矩形CEFG(點(diǎn)D、G在CE的同側(cè))，且CE2EF，連接BF．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AD的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B、E、F在同一直線上，求BF的長(zhǎng)；

(2)如圖2，當(dāng)BCE30時(shí)，求證：線段BF被CE平分．

13．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OCOD．

(1)證明四邊形ABCD為矩形；

(2)若OAD30，BC6，求△OBC的面積；

(3)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段OB，OA上的點(diǎn)，若AEBF，AB5，AF1，BE3，求BF的長(zhǎng)．

題型二：菱形的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·福建·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，BAFDAE，

求證：BEDF．

【典例2】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AECD，垂足為E,CFAD，垂足為F．

求證：AFCE．

【變式2-1】（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，ABC120，邊AB在數(shù)軸上，將AC

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在數(shù)軸上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E表示的數(shù)是3，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

A．1B．13C．0D．323

【變式2-2】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD5，BD8，AEBC于點(diǎn)E，

則AE的長(zhǎng)是（）

2448

A．B．6C．D．12

55

【變式2-3】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)，

連接OE．若OE3，則菱形的邊長(zhǎng)為（）

A．6B．8C．10D．12

【變式2-4】（2024·山東青島·中考真題）如圖，菱形ABCD中，BC10，面積為60，對(duì)角線AC與BD相

交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AEBC，交邊BC于點(diǎn)E，連接EO，則EO．

【變式2-5】（2024·廣東·中考真題）如圖，菱形ABCD的面積為24，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的動(dòng)

點(diǎn)．若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·云南曲靖·一模）菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，邊AB的長(zhǎng)是方程x27x100的一個(gè)根，則

菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A．16B．20C．16或20D．32

2．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O是菱形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐

標(biāo)系，若AD∥x軸，AD8，A60，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A．53,5B．53,5C．4,26D．6,23

3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，A60，AB6，E是AB上一點(diǎn)，把四邊形ADCE

沿CE折疊后得到四邊形ADCE，CDCD，則BE的長(zhǎng)為（）

5

A．B．3C．633D．333

2

4．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，以點(diǎn)D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)E，分

1

別以B，E為圓心，以大于BE長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線DF交AB于點(diǎn)G．連接CG，若

2

DCG30，AG3，則菱形ABCD的面積為（）

935333

A．B．73C．D．

2222

5．（2024·山東棗莊·一模）已知3是關(guān)于x的方程x22mx3m0的一個(gè)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好

是菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，則菱形ABCD的面積為．

6．（2024·湖南株洲·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形ABCD中，BAD120，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為AB

的中點(diǎn)．若菱形ABCD的周長(zhǎng)為32，則△AEO的周長(zhǎng)為．

7．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，AD4,B60，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，將菱形ABCD

沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，EF交BC于點(diǎn)G，當(dāng)AF恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn)H時(shí)，DE的長(zhǎng)為．

8．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C、D作

CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點(diǎn)E．

(1)求證：四邊形ODEC是矩形；

CE

(2)當(dāng)ADB60，AD22時(shí)，求的值．

AE

9．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：在菱形ABCD中，B=60，作MANB，AM，AN分別交BC，

CD于點(diǎn)M，N．

(1)【動(dòng)手操作】如圖①，若M是邊BC的中點(diǎn)，根據(jù)題意在圖①中畫出MAN，則BAM________度；

(2)【問題探究】如圖②，當(dāng)M為邊BC上任意一點(diǎn)時(shí)，求證：AMAN；

(3【)拓展延伸】如圖③，在菱形ABCD中，AB4，點(diǎn)P，N分別在邊BC，CD上，在菱形內(nèi)部作PANB，

連接AP，若AP13，求線段DN的長(zhǎng)．

題型三：菱形的判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．

(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

(2)已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時(shí)直線

AD、CD所夾銳角1的度數(shù)．

【典例2】（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE∥DC交AC的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E．

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作ECM，使ECMA，且射線CM交BE于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作

法）．

(2)證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形

【變式3-1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，以下條件不．能．證明

ABCD是菱形的是（）

A．BACBCAB．ABDCBD

C．OA2OD2AD2D．AD2OA2OD2

【變式3-2】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）四邊形ABCD為矩形，過A、C作對(duì)角線BD的垂線，過B、D作對(duì)角線AC

的垂線，如果四個(gè)垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為（）

A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形

1

【變式3-3】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且ADDCBC，E是

2

BC的中點(diǎn)．下面是甲、乙兩名同學(xué)得到的結(jié)論：

甲：若連接AE，則四邊形ADCE是菱形；

乙：若連接AC，則ABC是直角三角形．

請(qǐng)選擇一名同學(xué)的結(jié)論給予證明．

【變式3-4】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，ECED，AC∥BD．

(1)求證：△AEC≌△BED；

(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形DMCN，使得點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BD上．（不寫作法，保留

作圖痕跡，標(biāo)明字母）

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，VABC中，AB8cm，AC6cm，BC10cm，將VABC沿著直線BC

向右平移6cm到DEF的位置，AC與DE相交于點(diǎn)G，連接AD．下列結(jié)論：

①EC6cm；

②DEF是直角三角形；

③四邊形ACFD的面積是28.8cm2；

④四邊形ACFD是菱形；

⑤ADG≌CEG．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2．（2024·青海西寧·一模）如圖，在四邊形ABDF中，點(diǎn)E，C為對(duì)角線BF上的兩點(diǎn)，ABDF，ACDE，

EBCF．連接AE，CD．

(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

(2)若AEAC，猜測(cè)四邊形AEDC的形狀，并說明理由．

3．（2025·湖北十堰·一模）在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，BEEFFD，

BAFDCE90．

(1)求證：△ABF≌△CDE；

(2)連接AE，CF，已知______（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形AECF的

形狀，并證明你的結(jié)論．

條件①：ABD30；條件②：ABBC．

4．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，AND90，

連接CM交DN于點(diǎn)O．

(1)求證：四邊形CDMN是菱形；

(2)過點(diǎn)C作CEMN于點(diǎn)E，交DN于點(diǎn)P．若PE1，12，求AN的長(zhǎng)．

5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AFCE．

(1)求證：四邊形EBFD是平行四邊形；

(2)若BACDAC,求證：四邊形EBFD是菱形．

6．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知OAOC，OBOD，

過點(diǎn)O作EFBD，分別交AB、DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，BF．

(1)求證：BOE≌DOF；

(2)求證：四邊形DEBF是菱形；

(3)設(shè)AD∥EF，ADAB12，BD43，求AF的長(zhǎng)

7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）在VABC和VADE中，ABAC5，ADAE6，且BACDAE，

sinBAD0.8．

(1)如圖，當(dāng)BAC60時(shí)，連接DC，并延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)F，則DF________．

(2)當(dāng)BAC90時(shí)，求出CD的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)BAC滿足什么條件時(shí)，四邊形ABDC是菱形．

題型四：菱形的性質(zhì)與判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·山東德州·中考真題）如圖，ABCD中，對(duì)角線AC平分BAD．

(1)求證：ABCD是菱形；

(2)若AC8，DCB74，求菱形ABCD的邊長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【變式4-1】（2024·湖北武漢·中考真題）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD：①畫MAN；②以點(diǎn)A為

圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AM，AN于點(diǎn)B，D；③分別以點(diǎn)B，D為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半

徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C；④連接BC，CD，BD．若A44，則CBD的大小是（）

A．64B．66C．68D．70

【變式4-2】（2024·四川自貢·中考真題）如圖，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧，交A兩邊于點(diǎn)M，

N，再分別以M、N為圓心，AM的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，連接MB，NB．若A40，則MBN

（）

A．40B．50C．60D．140

【變式4-3】（2024·四川雅安·中考真題）如圖，點(diǎn)O是ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AD，

BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：△ODE≌△OBF；

(2)當(dāng)EFBD時(shí)，DE15cm，分別連接BE，DF，求此時(shí)四邊形BEDF的周長(zhǎng)．

【變式4-41】（2024·云南·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，且

AB∥CD，AD∥BC，四邊形EFGH是矩形．

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若矩形EFGH的周長(zhǎng)為22，四邊形ABCD的面積為10，求AB的長(zhǎng)．

【變式4-5】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，ABAF，

連接BF，點(diǎn)O為BF的中點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)E，連接EF

(1)求證：四邊形ABEF是菱形：

(2)若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為22,CE1,BAD120，求AE的長(zhǎng)．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，AB10，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)A

作AE∥CD，連接CE，CE∥AD，若四邊形ADCE的周長(zhǎng)為52，則AC的長(zhǎng)為（）

A．24B．26C．15D．13

2．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知AOB60，①以點(diǎn)O為圓心，8cm長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA、OB于點(diǎn)

M、N，②分別以點(diǎn)M、N為圓心畫弧交于一點(diǎn)P，作射線OP，③過M點(diǎn)作OB的平行線交射線OP與點(diǎn)

C，④連接CN；求線段OC的長(zhǎng)（）

A．43B．16C．83D．162

3．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，ABC60，D為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作

DE∥BC，且DEBC，連接CD，BE．

(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說法，并進(jìn)行證明；

(2)若BC2，連接AE，EC，求△AEC的面積．

4．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中（ABBC），對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BC

到點(diǎn)E，使得CEBC，連接DE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF．

(1)求證：四邊形DOCF是菱形；

(2)若矩形ABCD的周長(zhǎng)為20，AC8，求四邊形DOCF的面積．

5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．

(1)求證：四邊形OCED是菱形；

13

(2)若BC3，OA，求四邊形OCED的面積和周長(zhǎng)．

2

6．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，矩形AEBO的對(duì)角線、OE交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)C，使OCOA，

延長(zhǎng)BO到點(diǎn)D，使ODOB，連接、DC、BC．??

??

(1)求證:四邊形ABCD是菱形．

(2)若OE20，BCD60，則菱形ABCD的面積為．

7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

點(diǎn)F在BC上，F(xiàn)AEDAE，連接FE并延長(zhǎng)交AD延長(zhǎng)線于H，連接HG．

(1)求證：四邊形AFGH為菱形；

(2)若DH1，求四邊形AFGH的面積．

題型五：正方形的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，連接

EA、EC．

(1)求證：EAB≌ECB；

(2)若AEC45，求證：DCDE．

【變式5-1】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于

點(diǎn)O．E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接DE,EF．若DEF與DEC關(guān)于直線DE對(duì)稱，則△BEF

的周長(zhǎng)是（）

A．22B．22C．422D．2

【變式5-2】（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，VADE為等邊三角形，EFAB于

點(diǎn)F，若AD4，則EF．

【變式5-3】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD

相交于原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．

2,1

【變式5-4】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為50，以AB為腰作等腰△ABF，ABAF，

AE平分DAF交DC于點(diǎn)G，交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接DE．若BF2，則DG．

【變式5-5】（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，ACBC5．正方形DEFG

的邊長(zhǎng)為5，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在VABC的邊上，則BG的長(zhǎng)為．

【變式5-6】（2024·天津·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在

CA的延長(zhǎng)線上，OE5，連接DE．

（1）線段AE的長(zhǎng)為；

（2）若F為DE的中點(diǎn)，則線段AF的長(zhǎng)為．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，M，N分別是AF，

MN

的中點(diǎn)，連接MN，則的值為．??

AB

??

2．（2025·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，連

接CG，若AB2，則CG的長(zhǎng)為．

3．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，將正方形ABCD沿著BE、BF翻折，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、C，

若ABC14，則EBF．

4．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn)，則sinEAF

5．（2024·四川樂山·一模）如圖，在Rt△ABC中，C90，是Rt△ABC的一條角平分線，點(diǎn)O、E、

F分別在、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形．??

??

(1)求證：OA平分BAC；

(2)若AC5，BC12，求OE的長(zhǎng)．

6．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究：已知正方形ABCD中，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFAE交正

方形的外角DCL的平分線于點(diǎn)F．

(1)【動(dòng)手操作】

如圖①，在BA上截取BPBE，連接EP，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中APE_____度；

(2)【深入探究】

E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖②，過點(diǎn)F作FG∥AE交直線于點(diǎn)G，以CG為斜邊向右作等腰直角三

角形HCG，點(diǎn)H在射線上，求證：FGEF；??

(3)【拓展應(yīng)用】??

在（2）的條件下，若E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB5，CE2，求線段DG的長(zhǎng)．

題型六：正方形的判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，ACBAED90，ACFE，AB平分CAE，AB∥DF．

(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

(2)過點(diǎn)B作BGAE于點(diǎn)G，若CBAF，請(qǐng)直．接．寫出四邊形BGED的形狀．

【變式6-1】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，從①ACBD，②ACBD，

③ABBC，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使ABCD是正方形的概率為（）

2115

A．B．C．D．

3236

【變式6-2】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知菱形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，添加條件

可使菱形ABCD成為正方形．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于下列兩個(gè)結(jié)論正確性的說法正確是（）

（1）矩形各個(gè)角的平分線所圍成的圖形是正方形

（2）平行四邊形各個(gè)角的平分線所圍成的圖像是矩形

A．（1）（2）都錯(cuò)誤B．（1）（2）都正確

C．（1）錯(cuò)誤，（2）正確D．（1）正確，（2）錯(cuò)誤

2．（2024·河北秦皇島·一模）數(shù)學(xué)課上，嘉嘉作線段AB的垂直平分線時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A，B為

1

圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D，則直線CD即為所求．作完圖之后，嘉嘉經(jīng)過測(cè)量

2

發(fā)現(xiàn)ACBCADBD，ABCD，根據(jù)他的作圖方法和測(cè)量可知四邊形ADBC是正方形，嘉嘉的理由

是（）

A．兩組對(duì)邊分別平行的菱形是正方形B．四條邊相等的菱形是正方形

C．對(duì)角線相等的菱形是正方形D．有一個(gè)角是直角的菱形是正方形

3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，BAC90，

點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接CG，CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF．

(1)求證：ABAF；

(2)請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使得四邊形ACDF為正方形．（不需要說明理由）

4．（2024·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，延長(zhǎng)邊CD到點(diǎn)F，使

DFDC，過點(diǎn)F作EF∥AC，連接OF、EC．

(1)求證：ODC≌EDF；

(2)已知ODDC且BEC45，請(qǐng)判斷四邊形OCEF的形狀，并證明你的結(jié)論．

5．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，ACB90，CD為VABC的角平分線．作線段CD的垂直平分線EF，

分別交AC、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．連接DE、DF．則四邊形DECF是正方形．補(bǔ)全圖形（保留作

圖痕跡，不寫作法）并完成以下證明．

證明：CD平分ACB，且ACB90，

ECO45又EF垂直平分CD，

COE90，

CEO45，

同理CFO45，

CEOCFO，

ECFC，

EF垂直平分CD，

EC①，F(xiàn)C②(寫推理依據(jù)③)，

EDECFCFD，

四邊形CEDF是④，

又ECF90，

四邊形CEDF是正方形．

6．（2024·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測(cè)）我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，如

圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，可證中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，如果我們對(duì)四

邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD添加一定的條件，則可使中點(diǎn)四邊形EFGH成為特殊的平行四邊形，請(qǐng)你經(jīng)

過探究后回答下面問題？

(1)當(dāng)AC______BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

(2)當(dāng)AC______BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形；

(3)當(dāng)AC和BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論．

7．（2024·陜西咸陽·三模）如圖，在Rt△ABC中，ABC90，BP平分ABC交AC于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作

PMAB于點(diǎn)M，PNBC于點(diǎn)N，求證：四邊形BMPN為正方形．

題型七：正方形的性質(zhì)與判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在VABC中，ABAC．

(1)尺規(guī)作圖：作BAC的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)D，使得DBDC；（不寫作法，保留痕跡）

(2)在（1）的條件下，若BAC90，AB7，AC5，則AD的長(zhǎng)是多少？（請(qǐng)直接寫出AD的值）

【變式7-1】（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，連接

AG，BH，CE，DF，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形MNPQ的面積為（）

A．1B．2C．5D．10

【變式7-2】（2024·河北滄州·三模）七巧板是一種開發(fā)智力的玩具，為提高學(xué)生的感知能力，老師投影演示

如下：在正方形紙板ABCD中，BD為對(duì)角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，APEF分別交BD，EF于

O，P兩點(diǎn)，M，N分別為BO，DO的中點(diǎn)，連接MP，NF，沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板．通

過觀察演示過程，

甲同學(xué)得出：圖中的三角形都是等腰直角三角形；

乙同學(xué)得出：四邊形MPEB是菱形；

1

丙同學(xué)得出：四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的．

4

則正確的是（）

A．只有甲答的對(duì)B．甲、丙答案合在一起才完整

C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·湖北宜昌·一模）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE．EFDE交BC于點(diǎn)K，

且EFDE，連接DF交BC于點(diǎn)H