難點(diǎn)08與圓有關(guān)的位置關(guān)系?？碱}型

（8大熱考題型）

題型一：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

題型二：確定圓的條件

題型三：三角形的外接圓問(wèn)題

題型四：直線與圓的位置關(guān)系

題型五：切線的證明

題型六：切線的性質(zhì)

題型七：三角形內(nèi)切圓問(wèn)題

題型八：切線長(zhǎng)定理

題型一：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，O中，弦AB的長(zhǎng)為43，點(diǎn)C在O上，OCAB，

ABC30．O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP5，則點(diǎn)P與O的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)P在O上B．點(diǎn)P在O內(nèi)C．點(diǎn)P在O外D．無(wú)法確定

【變式1-1】（2022·吉林·中考真題）如圖，在VABC中，ACB90，AB5，BC4．以點(diǎn)A為圓心，r

為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在A內(nèi)且點(diǎn)B在A外時(shí)，r的值可能是（）

A．2B．3C．4D．5

【變式1-2】（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB4,AD3，圓B的半徑為1，圓A

與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)C,D與圓A的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi)B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外

C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi)D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外

【變式1-3】（2021·青?！ぶ锌颊骖}）點(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最小距離是4cm，最大距離

是9cm，則O的半徑是．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2023九年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知O的半徑是4，OP3，則點(diǎn)P與O的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)P在圓上B．點(diǎn)P在圓內(nèi)C．點(diǎn)P在圓外D．不能確定

2．（2024·云南怒江·一模）平面內(nèi)，O的半徑為cm，若點(diǎn)P在O內(nèi)，則OP的長(zhǎng)可以是（）

A．8cmB．cmC．1120cmD．14cm

3．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)10）已知O的半徑為1，點(diǎn)A到圓心O的距離為a，若關(guān)于x的方程x22xa0

不存在實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)A與O的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)A在O外B．點(diǎn)A在O上

C．點(diǎn)A在O內(nèi)D．無(wú)法確定

4．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）小明手中有幾組大小不等的三角板，分別是含45度，30度的直角三角板．從

中選擇兩個(gè)各拼成如圖所示的圖形，則關(guān)于兩圖中四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的說(shuō)法，正確的是（）

A．甲圖四點(diǎn)共圓，乙圖四點(diǎn)共圓B．甲圖四點(diǎn)共圓，乙圖四點(diǎn)不共圓

C．甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)共圓D．甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)不共圓

5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，X，Y，Z是某社區(qū)的三棟樓，XY40m，YZ30m，XZ50m．若在XZ

中點(diǎn)M處建一個(gè)5G網(wǎng)絡(luò)基站，該基站的覆蓋半徑為26m，則這三棟樓中在該基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

A．X，Y，ZB．X，ZC．Y，ZD．Y

6．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為l）中選取9個(gè)格點(diǎn)（格線的交點(diǎn)

稱為格點(diǎn)），如果以A為圓心，r為半徑畫(huà)圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，則r的取值范圍為

（）

A．17r32B．22r17

C．17r5D．5r29

7．（2024·浙江紹興·二模）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)O，A，B，C在格

點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．

(1)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心M坐標(biāo)為_(kāi)_____；

(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷點(diǎn)D(3,2)與M的位置關(guān)系．

題型二：確定圓的條件

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023·江西·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在直線l上，點(diǎn)P在直線l外，則經(jīng)過(guò)其中任

意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫(huà)出圓的個(gè)數(shù)為（）

A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)

【變式2-1】（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；

玉璧，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；

肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見(jiàn)圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩

種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．

(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；

(2)利用圓規(guī)與無(wú)刻度的直尺，解決下列問(wèn)題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若

一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫(huà)出內(nèi)孔．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2023·山東青島·二模）已知：如圖，點(diǎn)P是ABC的邊BC上的一點(diǎn)．

求作：O，使點(diǎn)O在ABC的角平分線上，且O經(jīng)過(guò)B、P兩點(diǎn)．

2．（2024·江西上饒·一模）平面上有4個(gè)點(diǎn)，它們不在同一直線上，過(guò)其中3個(gè)點(diǎn)作圓，可以作出不重復(fù)的

圓n個(gè)，則n的值不可能為（）

A．4B．3C．2D．1

3．（2023·貴州貴陽(yáng)·二模）下列四個(gè)命題，正確的是（）

①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)一定可以畫(huà)一個(gè)圓；

②三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)；

③三角形的外心一定在三角形的外部；

④三角形的外心到這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等．

A．①②B．①④C．②④D．③④

4．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）將邊長(zhǎng)為2的小正方形ABCD和邊長(zhǎng)為4的大正方形EFGH如圖擺放，使得C、

E兩點(diǎn)剛好重合，且B、C、H三點(diǎn)共線，此時(shí)經(jīng)過(guò)A、F、G三點(diǎn)作一個(gè)圓，則該圓的半徑為．

5．（2024·上海奉賢·二模）上海之魚(yú)是奉賢區(qū)的核心景觀湖，湖面成魚(yú)型．如圖，魚(yú)身外圍有一條圓弧形水

道，在圓弧形水道外側(cè)有一條圓弧形道路，它們的圓心相同．某學(xué)習(xí)小組想要借助所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)探索上

海之魚(yú)的大小．

(1)利用圓規(guī)和直尺，在圖上作出圓弧形水道的圓心O．（保留作圖痕跡）

(2)如圖，學(xué)習(xí)小組來(lái)到了圓弧形道路內(nèi)側(cè)A處，將所攜帶的200米繩子拉直至圓弧道路內(nèi)側(cè)另一點(diǎn)B處，

并測(cè)得繩子中點(diǎn)C與圓弧形道路內(nèi)側(cè)中點(diǎn)D的距離為10米，圓弧形水道外側(cè)到道路內(nèi)側(cè)的距離DE為22

米（點(diǎn)D、C、E在同一直線上），請(qǐng)計(jì)算圓弧形水道外側(cè)的半徑．

6．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）圖①、圖②、圖③中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F、

G分別是圓上的格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度直尺，分別確定圖①、圖②、圖③中的圓心O（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）

題型三：三角形的外接圓問(wèn)題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2020·河北·中考真題）有一題目：“已知；點(diǎn)O為的外心，BOC130，求A．”嘉嘉的

????

解答為：畫(huà)以及它的外接圓O，連接OB，OC，如圖．由BOC2A130，得A65．而淇淇

說(shuō)：“嘉嘉考?慮??的?不周全，A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值．”，下列判斷正確的是（）

A．淇淇說(shuō)的對(duì)，且A的另一個(gè)值是115°

B．淇淇說(shuō)的不對(duì)，A就得65°

C．嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，A應(yīng)得50°

D．兩人都不對(duì)，A應(yīng)有3個(gè)不同值

【變式3-1】（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，VABC是O的內(nèi)接三角形．若ABC45，AC2，

則O的半徑是．

【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，O是銳角三角形ABC的外接圓，ODAB,OEBC,OFAC，

垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DEDF6.5,△ABC的周長(zhǎng)為21，則EF的長(zhǎng)為（）

A．8B．4C．3.5D．3

【變式3-3】（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過(guò)點(diǎn)B作

1

BEAC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則CPBP的最小值為．

2

【變式3-4】（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，在57網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B，C，

D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是VABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除VABC外把你認(rèn)為外心也是O

的三角形都寫(xiě)出來(lái)．

【變式3-5】（2023·山東日照·中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過(guò)探究得出：

在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問(wèn)題：

如圖1，VABC中，ABAC，BAC（60180）．點(diǎn)D是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重

合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段AE，連接BE．

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；

(2)如圖2，當(dāng)ADCD時(shí)，O是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是O的切線；

(3)已知120，BC6，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，此時(shí)P是四邊形AEBD的外接圓，直接寫(xiě)出圓心P與點(diǎn)

M距離的最小值．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2023·河北秦皇島·一模）在VABC中，B45，AB6．甲、乙、丙分別給出了一個(gè)條件，想使BC

的長(zhǎng)唯一，其中正確的是（）

甲：AC4；

乙：AC8；

丙：VABC的外接圓半徑為4

A．只有甲B．只有乙C．只有丙D．乙和丙

2．（2024·寧夏固原·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在已知的VABC中，按以下步驟作圖：①分別以B,C為圓心，以大于

1

BC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M,N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若CDAD，B25，

2

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A．ACD65B．ACB90

C．CAD50D．點(diǎn)D是VABC的外心

1

3．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，已知BC42，cosA，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是VABC

3

的外接圓圓心，則OD（）

2

A．2B．2C．1D．

2

4．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，正方形紙片ABCD的中心O剛好是ABM的外心，則AMB（）

A．135B．125C．115D．105

5．（2024·山東淄博·二模）如圖，在VABC中，BAC60，ADBC于點(diǎn)D，且AD4，則VABC面積的

最小值為．

6．（2023·廣東湛江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知VABC．

(1)用直尺和圓規(guī)作VABC的外接圓O；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

(2)若AB2，ACB45，求O的半徑．

7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1，已知點(diǎn)A為線段BC外一點(diǎn)，連接AB，AC，且BAC45，

BC6，求VABC面積的最大值；

（2）如圖2，某城市有一個(gè)廢舊機(jī)車(chē)工廠，現(xiàn)在想利用這個(gè)廢舊機(jī)車(chē)工廠改造為機(jī)車(chē)主題公園，其中AP為

原有機(jī)車(chē)的鐵軌，長(zhǎng)500m，計(jì)劃保留放置各種年代的機(jī)車(chē)頭作為網(wǎng)紅留念打卡地標(biāo)．AP兩側(cè)為面積相等

的現(xiàn)代與未來(lái)兩個(gè)主題活動(dòng)區(qū)，要求BAC120，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，按照設(shè)計(jì)要求，求出符合條件的

VABC的最大面積．

題型四：直線與圓的位置關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2022·四川涼山·中考真題）如圖，已知半徑為5的⊙M經(jīng)過(guò)x軸上一點(diǎn)C，與y軸交于A、B兩

點(diǎn)，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6

(1)判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求AB的長(zhǎng)；

(3)連接BM并延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)D，連接CD，求直線CD的解析式．

【變式5-1】（2022·貴州六盤(pán)水·中考真題）如圖是“光盤(pán)行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤(pán)與筷子可看成直線和圓

的位置關(guān)系是（）

A．相切B．相交C．相離D．平行

【變式5-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知一次函數(shù)ykx2的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，以坐標(biāo)原

點(diǎn)O為圓心、r為半徑作O．若對(duì)于符合條件的任意實(shí)數(shù)k，一次函數(shù)ykx2的圖像與O總有兩個(gè)公

共點(diǎn)，則r的最小值為．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·江蘇南京·二模）如圖，一輛汽車(chē)的輪胎因?yàn)槁獍T掉了，將輪胎外輪廓看作一個(gè)圓，則這個(gè)圓和

與它在同一平面內(nèi)的地面（看作一條直線）的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相切C．相離D．包含

2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）VABC的三邊AB，AC，BC的長(zhǎng)度分別是3，4，5，以頂點(diǎn)A為圓心，2.4為

半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相離C．相切D．以上都不是

3．（2023·湖北孝感·一模）已知O的半徑是一元二次方程x23x40的一個(gè)根，圓心O到直線l的距離

d6，則直線l與O的位置關(guān)系是（）

A．相切B．相離C．相交D．相切或相交

1

4．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是函數(shù)yx0的圖象上的一點(diǎn)，P的半徑為2，當(dāng)P與

x

直線yx有公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是（）

A．1x2B．21x2

C．21x1D．21x21

5．（2024·上海嘉定·三模）設(shè)以3，4，5為邊長(zhǎng)構(gòu)成的三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多

為個(gè).

6．（2024·上海黃浦·三模）如圖，半徑為5的O經(jīng)過(guò)VABC的頂點(diǎn)A、B，與邊BC相交于點(diǎn)D，BD8，

ABAD．

(1)求AB的長(zhǎng)；

4

(2)如果tanC，判斷直線AB與以點(diǎn)C為圓心、9為半徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

3

題型五：切線的證明

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將VABC沿過(guò)點(diǎn)A的直線翻折并展開(kāi)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在

邊AB上，折痕為AD，點(diǎn)O在邊AB上，O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D．若ACB90，判斷BC與O的位置關(guān)系，

并說(shuō)明理由．

【變式5-1】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，VABC內(nèi)接于O，D是BC上一點(diǎn)，ADAC．E是O外

一點(diǎn)，BAECAD,ADEACB，連接BE．

(1)若AB8，求AE的長(zhǎng)；

(2)求證：EB是O的切線．

【變式5-2】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，AB,CD為O的直徑，點(diǎn)E在BD上，連接AE,DE，點(diǎn)G在

BD的延長(zhǎng)線上，ABAG,EADEDB45．

(1)求證：AG與O相切；

1

(2)若BG45,sinDAE，求DE的長(zhǎng)．

3

【變式5-3】（2024·西藏·中考真題）如圖，AB是O的直徑，C，D是O上兩點(diǎn)，連接AC，BC，CO平

分ACD，CEDB，交DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：CE是O的切線；

3

(2)若O的半徑為5，sinD，求BD的長(zhǎng)．

5

【變式5-4】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，VABC內(nèi)接于O，AB是O的直徑，點(diǎn)E在O上，點(diǎn)C

是BE的中點(diǎn)，AECD，垂足為點(diǎn)D，DC的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：CD是O的切線；

(2)若CD3，ABC60，求線段AF的長(zhǎng)．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2025·廣西柳州·一模）如圖，AB是O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于O，連接BD，ADCD，過(guò)點(diǎn)

D作DEBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：DE是O的切線；

(2)若BD8，O的半徑為5，求DE的長(zhǎng)．

2．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為10cm的O中，AB是O的直徑，CD是過(guò)O上一點(diǎn)C的

直線，且ADDC于點(diǎn)D，AC平分BAD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE6cm．

(1)求證：CD是O的切線；

(2)求AD的長(zhǎng)．

3．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，AB是O的直徑，AD是O的弦，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)B作BECD交CD于E，交O于F，EBC2DAC．

(1)求證：CD是O的切線；

3

(2)若cosABF，O的半徑為5，求BC的長(zhǎng)．

5

4．（2023·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，在ABC中，D是邊上一點(diǎn)，圓O過(guò)D、B、C三點(diǎn)，

DOC2ACD．??

(1)求證：直線AC是圓O的切線；

(2)若ODOC，ACB75，圓O的半徑為4，求BC的長(zhǎng)．

5．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是O的直徑，半徑為2，O交BC于點(diǎn)D，且D是BC的中點(diǎn)，

DEAC于點(diǎn)E，連接AD．

(1)求證：DE是O的切線．

(2)若C30，求BC的長(zhǎng)．

6．（2023·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，且ACBDCE．

(1)判斷直線CE與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

2

(2)若tanACB，BC2，求O的半徑．

2

7．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)是O上異于A，B的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AF，BE

1

相交于點(diǎn)D，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C，連接BC，已知BDCAFE，CBDCAB，

2

(1)求證：BC是O的切線；

(2)若O的半徑為2，CD6，求AF的長(zhǎng)．

8．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB4，BC6．E為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為

直徑的O交AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGAE于點(diǎn)G．

(1)若E為BC的中點(diǎn)，求證：FG為O的切線．

(2)若CEm，請(qǐng)直接寫(xiě)出O與線段AB的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)的m的取值范圍．

9．（2024·四川眉山·二模）如圖，P與O相交于A，B兩點(diǎn)，P經(jīng)過(guò)圓心O，點(diǎn)C是P的優(yōu)弧AB上

任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．連結(jié)AB，AC，BC，OC；

(1)證明：ACOBCO；

(2)請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)C在P什么位置時(shí)，直線CA與O相切；

(3)請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)ACB的度數(shù)為何值時(shí)，P與O的半徑相等．

題型六：切線的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在△ABD中，ABBD，O為△ABD的外接圓，BE為O的

切線，AC為O的直徑，連接DC并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)E．

(1)求證：DEBE；

(2)若AB56，BE5，求O的半徑．

【變式6-1】（2024·山西·中考真題）如圖，已知VABC，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，與AC相切于點(diǎn)

A，連接OD．若AOD80，則C的度數(shù)為（）

A．30B．40C．45D．50

【變式6-2】（2024·福建·中考真題）如圖，已知點(diǎn)A,B在O上，AOB72，直線MN與O相切，切點(diǎn)

為C，且C為AB的中點(diǎn)，則ACM等于（）

A．18B．30C．36D．72

【變式6-3】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與O相切

于點(diǎn)D，若C20，則CAD°．

【變式6-4】（2024·浙江·中考真題）如圖，是O的直徑，AC與O相切，A為切點(diǎn)，連接BC．已知

ACB50°，則B的度數(shù)為??

【變式6-5】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，VABC中，ACB90，點(diǎn)O為AC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為

圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點(diǎn)D，連接CD．

(1)求證：ABC2ACD；

(2)若AC8，BC6，求O的半徑．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A的圓心在x軸上，點(diǎn)B4,3在A上，若A

與y軸相切，則A的半徑為．

2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AC是O的直徑，與O相切于點(diǎn)C，交O于點(diǎn)D，連接OD，

若COD84，則ABC的度數(shù)為（）????

A．46B．48C．50D．52

3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AD，CD為O的兩條弦，過(guò)點(diǎn)C的切線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，若D27，

則B的度數(shù)為（）

A．32B．36C．39D．42

4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是我國(guó)明末《崇禎歷書(shū)》之《割圓勾股八線表》中所繪的割圓八線圖．如

圖2，根據(jù)割圓八線圖，在扇形AOB中，AOB90，AC和BE都是O的切線，點(diǎn)A和點(diǎn)B是切點(diǎn)，BE

交OC于點(diǎn)E，OC交O于點(diǎn)D.若ACBE12，則O的半徑長(zhǎng)為（）

A．23米B．2米C．6米D．3米

56．（2023·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，O的半徑為2，圓心在正方形

的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使EA恰好與O相切于點(diǎn)A（△EFA與O除切點(diǎn)外無(wú)重疊部分），

延長(zhǎng)FA交CD邊于點(diǎn)G，則AG的長(zhǎng)是．

6．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，連接AC,BC，過(guò)點(diǎn)B作O的切線

BD，連接AD交BC于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)F，連接BF，且AD平分BAC．

(1)求證：DEBD；

(2)若DE2,BD5，求O的半徑．

7．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，O為邊BC上一點(diǎn)，O過(guò)點(diǎn)C，且與AB相切于點(diǎn)D，連

接CD，OD，ADAC．

(1)求證：VABC為直角三角形．

(2)延長(zhǎng)DO與O交于點(diǎn)E，連接CE，若ADDE6，求CE的長(zhǎng)．

8．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，AC是O的直徑，DCE是四邊形

ABCD的一個(gè)外角，DC平分ACE．

(1)如圖1，BAD56，求BAC的度數(shù)；

(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)D作O的切線DF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AB8，BC6，求CF的長(zhǎng)．

題型七：三角形內(nèi)切圓問(wèn)題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023·四川攀枝花·中考真題）已知VABC的周長(zhǎng)為l，其內(nèi)切圓的面積為r2，則VABC的面積

為（）

11

A．rlB．rlC．rlD．rl

22

71．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”

譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長(zhǎng)為8步，長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15步．問(wèn)這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的

直徑是多少？書(shū)中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長(zhǎng)和長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)，求得斜邊的長(zhǎng)．用直

角三角形三條邊的長(zhǎng)相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)直

角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長(zhǎng)度單位）

【典例2】（2023·山東聊城·中考真題）如圖，點(diǎn)O是VABC外接圓的圓心，點(diǎn)I是VABC的內(nèi)心，連接OB，

IA．若CAI35，則OBC的度數(shù)為（）

A．15B．17.5C．20D．25

【變式7-1】（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，VABC的內(nèi)切圓I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，

F，若I的半徑為r，A，則BFCEBC的值和FDE的大小分別為（）

A．2r，90B．0，90C．2r，90D．0，90

22

【變式7-2】（2023·山東·中考真題）在VABC中，BC3,AC4，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．1AB7B．SABC6

C．VABC內(nèi)切圓的半徑r1D．當(dāng)AB7時(shí)，VABC是直角三角形

【變式7-3】．（2024·湖南永州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，C90，以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)

1

弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN的定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，

2

作射線BP交AC于點(diǎn)D，作DEAB，垂足為E，則下列結(jié)論不．正．確．的是（）

A．BCBEB．CDDEC．BDADD．BD一定經(jīng)過(guò)VABC的內(nèi)心

【變式7-4】．（2024·湖北·中考真題）如圖，在VABC中，ACB70，△ABC的內(nèi)切圓O與AB，BC分

別相切于點(diǎn)D，E，連接DE，AO的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)F，則AFD．

【中考模擬即學(xué)即練】

4

1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一張Rt△ABC紙片中，ACB90，AC8，tanABC，O

3

是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著O的切線DE剪下一塊三角形ADE，則VADE的周長(zhǎng)為（）

A．9B．12C．15D．18

2．（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，VABC中，C90，點(diǎn)O為VABC的外心，BC6，AC8，P

是ABC的內(nèi)切圓．則OP的長(zhǎng)為（）

12

A．2B．3C．5D．

5

3．（2023·河北邢臺(tái)·二模）如圖，將ABC折疊，使AC邊落在邊上，展開(kāi)后得到折痕，再將ABC折

疊，使BC邊落在邊上，展開(kāi)后得到折痕BE，若與BE的?交?點(diǎn)為O，則點(diǎn)O是（?）?

????

A．ABC的外心B．ABC的內(nèi)心

C．ABC的重心D．ABC的中心

4．（2024·寧夏銀川·二模）如圖，把VABC剪成三部分，邊AB，BC，AC放在同一直線l上，點(diǎn)O都落

在直線MN上，直線MN∥l．在VABC中，若BOC130，則BAC的度數(shù)為（）

A．50B．65C．75D．80

5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在Rt△ABC中，DB=90°，AB6，AC10，點(diǎn)P是Rt△ABC

的內(nèi)心．點(diǎn)P到邊AB的距離為；

6．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，等腰三角形ABC內(nèi)接于O，ABAC，點(diǎn)I是VABC的內(nèi)心，連接BI并

延長(zhǎng)交O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，滿足EADCAD．試證明：

(1)OA所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)I；

(2)點(diǎn)D是IE的中點(diǎn)．

7．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O是VABC的外心，I是VABC的內(nèi)心，連接AI并延長(zhǎng)交BC和O

于D，E．

(1)求證：EBEI；

(2)若AB8，AC6，BE4，求AI的長(zhǎng)．

題型八：切線長(zhǎng)定理