試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages100100頁(yè)難點(diǎn)11銳角三角函數(shù)的?？碱}型（6大熱考題型）題型一：正弦概念的辨析與應(yīng)用題型二：余弦概念的辨析與應(yīng)用題型三：正切的概念辨析與應(yīng)用題型四：特殊角三角函數(shù)值的應(yīng)用題型五：解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算題型六：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題型一：正弦概念的辨析與應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過(guò)點(diǎn)作，證明，得到，再證明，分別求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用正弦的定義，求解即可．【詳解】解：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴過(guò)點(diǎn)作，則：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；故選A．【變式1-1】（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）第屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（）會(huì)標(biāo)如圖所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)全等三角形，正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，即可求出的值．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，∵，四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)值的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知兩條平行線、，點(diǎn)A是上的定點(diǎn)，于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接交線段于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，則當(dāng)最大時(shí)，的值為．【答案】【分析】證明，得出，根據(jù)，得出，說(shuō)明點(diǎn)H在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取線段的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明當(dāng)與相切時(shí)最大，得出，根據(jù)，利用，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵兩條平行線、，點(diǎn)A是上的定點(diǎn)，于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B為定點(diǎn)，的長(zhǎng)度為定值，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)H在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，取線段的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)與相切時(shí)最大，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡．【變式1-3】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，由角平分線可得，又由可得，即得，由得，進(jìn)而可得，即得，即可求證；（）是的直徑可得，又由（）知，由，，進(jìn)而可得，再根據(jù)，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的有關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：∵是的直徑，∴，∴，即，∵，∴，∴∵，，∴，∵，，，∴∴，，在中，，∴，∴，在中，，∴，即的直徑為．【變式1-4】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）上有一點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．

(1)求k與m的值；(2)過(guò)點(diǎn)A作直線軸與直線交于點(diǎn)C，求的值．【答案】(1)，；(2)．【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）把B的坐標(biāo)代入，求出n，然后把B的坐標(biāo)代入，求出k，最后把A的坐標(biāo)代入求出m即可；（2）根據(jù)軸求出C的縱坐標(biāo)，然后代入，求出C的橫坐標(biāo)，利用勾股定理求出，最后根據(jù)正弦的定義求解即可．【詳解】（1）解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，把代入，得；（2）解：由（1）知：設(shè)l與y軸相交于D，

∵軸，軸軸，∴A、C、D的縱坐標(biāo)相同，均為2，，把代入，得，解得，∴，∴，，∴，∴．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·河北張家口·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟知銳角三角函數(shù)正弦的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．由勾股定理得進(jìn)而利用三角函數(shù)定義即可得解．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理得，故選．

2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）正方形網(wǎng)格中，如圖所示放置（點(diǎn)A，O，C均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且點(diǎn)C在上），則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，勾股定理逆定理，找出邊上的格點(diǎn)，連接，利用勾股定理求出、、的長(zhǎng)度，再利用勾股定理逆定理證明是直角三角形，然后根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可得解．【詳解】如圖，為邊上的格點(diǎn)，連接，根據(jù)勾股定理，，，，所以，，所以，是直角三角形，．故選：B．3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)在直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義解答．【詳解】在中，，，，，．故選：A．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）直角三角形的斜邊與一直角邊的比是，且較大的銳角為，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．設(shè)斜邊與一直角邊分別為、，利用勾股定理列式求出另一直角邊，再根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：設(shè)斜邊與一直角邊分別為、，由勾股定理得，另一直角邊，較大的銳角為，∴，故選：D．5．（2025·上海奉賢·一模）在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)，射線與x軸正半軸的夾角為，如果，那么點(diǎn)P坐標(biāo)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，利用三角函數(shù)的定義，勾股定理，點(diǎn)的坐標(biāo)的意義解答．本題考查了正弦函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，坐標(biāo)的確定，熟練掌握正弦函數(shù)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)．故答案為：．6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，M是AD的中點(diǎn)，將四邊形沿翻折得到四邊形，連接，則的值等于．【答案】【分析】延長(zhǎng)CF，AD交于G，過(guò)D作于H，則，，由折疊得，有，設(shè)，則，利用勾股定理求得和，根據(jù)等面積求得，即可得，，，根據(jù)解直角三角形得，結(jié)合平行線的判定和性質(zhì)得即可．【詳解】解：延長(zhǎng)CF，AD交于G，過(guò)D作于H，如圖：∵正方形的邊長(zhǎng)為2，M是AD的中點(diǎn)，∴，，∴，∵將四邊形沿翻折得到四邊形，∴，，，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，；【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形和平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做輔助線和找到對(duì)應(yīng)的邊角關(guān)系．7．（2024·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)M是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，連接．若，則的正弦值為．【答案】【分析】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)可知，，，證明得，設(shè)，，則，，代入比例式求出，則，然后根據(jù)正弦定義求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)G，

由折疊的性質(zhì)可知，，．∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，，則，∴，∴，∴或（舍去）∴，∴．故答案為：．8．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，四邊形的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)求的值．(2)操作與計(jì)算：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，并直接寫出的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）【答案】(1)(2)圖見解析，【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂線，熟練掌握正弦的定義是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以為直角的直角三角形，再根據(jù)正弦的定義求解即可得；（2）先以點(diǎn)為圓心、為半徑畫弧交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，然后畫直線，交于點(diǎn)，則即為所作；最后利用正弦的定義即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，，，∴，∴是以為直角的直角三角形，∴．（2）解：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)作，垂足為，作圖如下：在中，．9．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等腰三角形，．已知，用兩種方法表示的面積______【探究】你能否從這里得出的計(jì)算公式呢？【答案】題空：，探究：【分析】此題主要考查了銳角三角形函數(shù)恒等式．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積證法，正弦和余弦定義，是解題的關(guān)鍵．填空：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，其面積的兩種表示法為，，探究：得到，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得到，根據(jù)，，，，，即得．【詳解】題空：∵是等腰三角形，，∴，，故答案為：，；探究：∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，∴．題型二：余弦概念的辨析與應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，求角的三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確利用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)，可求得，，從而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得結(jié)果．【詳解】解：四邊形是矩形，，，把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，，，，，在中，，由勾股定理，得，，，，，故選：A．【變式2-1】（2023·四川攀枝花·中考真題）中，、、的對(duì)邊分別為、、．已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷是直角三角形，再根據(jù)余弦的定義可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦，熟練掌握求一個(gè)角的余弦值是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長(zhǎng)可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8【答案】C【分析】如圖，作，，則，，，，由是銳角三角形，可得，即，然后作答即可．【詳解】解：如圖，作，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

∴，，∴，，∵是銳角三角形，∴，即，∴滿足條件的長(zhǎng)可以是6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了余弦，銳角三角形．解題的關(guān)鍵在于確定的取值范圍．【變式2-3】（2024·山東青島·中考真題）如圖，中，，以為直徑的半圓O分別交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)E作半圓O的切線，交于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．若，，則半徑的長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于證明，根據(jù)等邊對(duì)等角推出，則可證明得到，再由切線的性質(zhì)得到，則解求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴，∴，∴，∵是的切線，∴，∴在中，，∴，∴半徑的長(zhǎng)為6，故答案為：．【變式2-4】（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，與交于點(diǎn)F，若，，則的值是．【答案】【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．折疊問(wèn)題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，證，再利用求出邊長(zhǎng)，從而求解即可．【詳解】解：∵折疊，，∵四邊形是矩形，，，，，，在中，，，解得，，故答案為：．【變式2-5】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，若，則．【答案】或/或【分析】本題考查了平行四邊形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進(jìn)行求解．【詳解】解：當(dāng)在之間時(shí)，作下圖，根據(jù)，不妨設(shè)，由翻折的性質(zhì)知：，沿直線翻折至所在直線，，。，過(guò)作的垂線交于，，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作下圖，根據(jù)，不妨設(shè)，同理知：，過(guò)作的垂線交于，，，故答案為：或．【變式2-6】（2023·山東·中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，，則．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由，求得，即可求得結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于H，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2025·湖南婁底·一模）若是一個(gè)銳角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求角的余弦值，可根據(jù)題意作出直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖所示：設(shè)，∵，∴，設(shè)，則，∴．故選：C．2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形面積為，小正方形面積為，則的值為（

）A． B．43 C． D．45【答案】D【分析】本題主要考查了求角的余弦值，勾股定理，設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，直角三角形的短直角邊為，長(zhǎng)直角邊為，根據(jù)正方形面積計(jì)算公式可得，則，再由勾股定理得到，解方程求出的值，進(jìn)而求出的值，最后根據(jù)余弦的定義求解即可．【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，直角三角形的短直角邊為，長(zhǎng)直角邊為，∵大正方形面積為，小正方形面積為，∴，∴，∴，由勾股定理得，∴，∴或（舍去），∴，∴，故選：．3．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理得出的長(zhǎng)，由三角函數(shù)定義即可得出答案．本題考查了解直角三角形以及勾股定理的運(yùn)用；熟練掌握勾股定理，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示：則，∴，故選：C．4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直徑為10的經(jīng)過(guò)點(diǎn)C0,6和點(diǎn)O0,0，是軸右側(cè)上一點(diǎn)，則的余弦值為（

）A． B． C． D．45【答案】D【分析】此題考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的知識(shí)．連接CD，結(jié)合圓周角定理及勾股定理可知，由圓周角定理可知，結(jié)合余弦的定義即可求解．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【詳解】解：如圖，連接CD，，為的直徑，，，，在中，由勾股定理得，，，，，故選：D．5．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，E是直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切于點(diǎn)，若，則的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、勾股定理等知識(shí)，根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．連接，由切線的性質(zhì)得，則，由，得，所以，于是得，即可求得，則，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：連接，切于點(diǎn)，，，，，，，，整理得，，，，，的余弦值為，故選：B．6．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）在中，，于D，若和的面積比為，則的余弦值為【答案】

/【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、余弦的求解，根據(jù)題意證，根據(jù)和的面積比為可得和的面積比為，結(jié)合即可求解；【詳解】解：如圖所示：∵∴∵和的面積比為，∴和的面積比為，∵∴∴故答案為：7．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理以及相似三角形的判的性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理以及相似三角形的判的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及切線的判定方法進(jìn)行解答即可；（2）設(shè)的半徑為r，則，，由證出．由得，求出，即，由勾股定理得出的值．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為r，則，．由（1）知，∴．∵，∴，∴，解得，∴，∴．題型三：正切的概念辨析與應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·云南·中考真題）在中，，已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了銳角三角形函數(shù)的定義，熟練掌握正切等于對(duì)邊比鄰邊是解題的關(guān)鍵．根據(jù)銳角三角函數(shù)正切的定義求解即可．【詳解】如圖：在中，，，，，故選：C．【典例2】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，那么．

【答案】43/【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，在中，利用勾股定理計(jì)算出，則，設(shè)，則，然后在中根據(jù)勾股定理得到，解方程即可得到x，進(jìn)一步得到的長(zhǎng)，再根據(jù)正切數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，∵矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上的處，∴，，∴在中，，∴，設(shè)，則∵在中，，∴，解得，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，正切的定義．【變式3-1】（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】連接交于點(diǎn)F，設(shè)，則，利用勾股定理求得，由折疊得到，垂直平分，則，由代入求得，則，所以，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：連接交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵四邊形是矩形，∴，∴∵將四邊形沿翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處，∴點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱，∴，垂直平分，∴，，，∵，∴∴，∴∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)均為2，，其中點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，延長(zhǎng)交格點(diǎn)于點(diǎn)，連接，分別在格點(diǎn)上，根據(jù)菱形的性質(zhì)，進(jìn)而得出，解直角三角形求得的長(zhǎng)，根據(jù)對(duì)頂角相等，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交格點(diǎn)于點(diǎn)，連接，分別在格點(diǎn)上，依題意，，∴∴又，∴∴故選：B．【變式3-3】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)E、F．若，，則．【答案】【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)與相交于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】解：的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)E、F．，，，，，，，，，，，，令，，解得或（舍去），．故答案為：．【變式3-4】（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．【答案】/【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，如圖，設(shè)等腰直角的直角邊為，利用圖形的位置關(guān)系求出大正方形的邊長(zhǎng)和大等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)等腰直角的直角邊為，則，小正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，∴，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，由圖（）可得，，，∴，，∴，∴，故答案為：．【變式3-5】（2023·江蘇·中考真題）如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無(wú)縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到，則的值是．

【答案】【分析】如圖所示，補(bǔ)充一個(gè)與已知相同的正六邊形，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，補(bǔ)充一個(gè)與已知相同的正六邊形，

∵正六邊形對(duì)邊互相平行，且內(nèi)角為，∴

過(guò)點(diǎn)作于，∴設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．(1)求證：；(2)點(diǎn)E在邊上，滿足．若，，求的長(zhǎng)及的值．【答案】(1)見解析(2)，【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)矩形的判定證明即可；（2）先利用勾股定理結(jié)合矩形的性質(zhì)求得，．進(jìn)而可得，再根據(jù)等腰三角形的判定得到，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理分別求得，，，然后利用正切定義求解即可．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，所以四邊形是矩形．所以；?）解：在中，，，所以，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，．因?yàn)?，所以．過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，則，所以，在中，，所以．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、、都在小正方形格點(diǎn)的位置上，連接，相交于點(diǎn)，根據(jù)圖中提示所添加的輔助線，可以求得的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．由題得：，，，根據(jù)勾股定理求出，，進(jìn)而求出，即可求解．【詳解】解：由題得，，，，，，，，在中，，則，故選：C．2．（2023·四川樂山·模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，則的正切值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，如圖，取格點(diǎn)K，連接，．觀察圖形可知，，，推出，解直角三角形求出即可．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)K，連接，，則，觀察圖形可知，，，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：B．3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．利用此圖，可算出的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可求，由勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及外角求得，最后在中，．【詳解】解：在中，，，，，，，在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)與點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖像上，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，根據(jù)值的幾何意義，得到，，證明，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出的值，即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，則：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖像上，∴，，∴，∴，∵，∴；故選C．5．（2024·陜西渭南·一模）在中，，，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵；如圖，由題意易得，則有，然后根據(jù)余弦的定義可進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為．6．（2025·山東青島·一模）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)分別在邊上．連接，將四邊形沿翻折，點(diǎn)分別落在點(diǎn)處．則的值是．【答案】2【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，勾股定理；連接交于點(diǎn)F，設(shè)，則，求出，結(jié)合點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱，得到，垂直平分，求出，即可求出．【詳解】解：連接交于點(diǎn)F，

設(shè)，則，

∵四邊形是矩形，∴，

∴∵將四邊形沿翻折，點(diǎn)分別落在點(diǎn)處，∴點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱，∴，垂直平分，∴，，，∵，∴，，∴∴故答案為：2．7．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，，若，則的值為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理、銳角三角形函數(shù)的定義．先可設(shè)，利用勾股定理求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)正切的定義：銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的正切，記作，求解即可．【詳解】解：如圖：在中，，，∴可設(shè)，∴，故．故答案為：．題型四：特殊角三角函數(shù)值的應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·山東青島·中考真題）計(jì)算：．【答案】/【分析】本題主要考查了二次根式的加減計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和求特殊角三角函數(shù)值，先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【變式4-1】（2024·西藏·中考真題）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算乘方、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減即可得出答案，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：．【變式4-2】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）計(jì)算：．【答案】6【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解：原式．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2025·上海普陀·一模）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．【詳解】解：．2．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整指數(shù)冪以及二次根式的化簡(jiǎn)即可解答本題.【詳解】原式．3．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．【答案】【分析】考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行．利用二次根式的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，再相加減即可．【詳解】解：．題型五：解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且E、F分別在邊，上．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，，結(jié)合角平分線的條件得到，由得到，，根據(jù)平行線的判定得到，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到是平行四邊形；（2）求得是等邊三角形，得到，，證明，求得，作于點(diǎn)，在中，求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵分別是、的平分線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）得，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，作于點(diǎn)，在中，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2024·海南·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)D為圓心作弧，交于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，作直線交于點(diǎn)E，若，則四邊形的周長(zhǎng)是（

）

A．22 B．21 C．20 D．18【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．利用勾股定理求得的長(zhǎng)，再證明，作于點(diǎn)，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，，∴，由作圖知，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，作于點(diǎn)，

則，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)是，故選：A．【變式5-2】（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為，且有一個(gè)內(nèi)角為，則該菱形的高為．【答案】【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，銳角的正弦的含義，先畫圖，求解，過(guò)作于，結(jié)合可得答案．【詳解】解：如圖，菱形的周長(zhǎng)為，∴，過(guò)作于，而，∴，故答案為：【變式5-3】（2024·山西·中考真題）如圖，在中，為對(duì)角線，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．若，，，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確地添加輔助線構(gòu)造相似三角形并利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．如圖：過(guò)點(diǎn)F作于H，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于K，由得，進(jìn)而得，則，再由得，則，由，得，在中由勾股定理得，則，證明得，則，再證明得，由此可得BG的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)F作于H，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于K，∵四邊形為平行四邊形，∴，，又∵，在中，，∴，由勾股定理得：，即，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．故答案為：．【變式5-4】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)均在軸上．將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作，求出，的值即可得到答案．【詳解】解：作，交y軸于點(diǎn)F，由題可得：，是等邊三角形，，∴是的角平分線，，，在中，，即，解得，，，，，故答案為：．【變式5-5】（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實(shí)踐：九年級(jí)某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個(gè)等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線的長(zhǎng)的度數(shù)腰長(zhǎng)兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1__________________請(qǐng)補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運(yùn)用】（3）如圖④，中，，點(diǎn)D在邊上，．以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧與線段相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點(diǎn)．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并分析的值是否變化？【答案】（1）見解析；，（2），證明見解析；（3）是定值【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別計(jì)算，再填表即可；再由可得結(jié)論；（2）如圖，延長(zhǎng)至使，連接，過(guò)作于，延長(zhǎng)交于，證明為等邊三角形，，，設(shè)，，利用相似三角形的性質(zhì)求解，再進(jìn)一步可得；（3）根據(jù)題目要求畫圖，設(shè)，運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求得，過(guò)點(diǎn)作于，于，過(guò)點(diǎn)作于，利用，即可求得答案．【詳解】解：（1）∵，是的角平分線，，∴，∴；∴，；圖序角平分線的長(zhǎng)的度數(shù)腰長(zhǎng)兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1如圖，由（1）可得：，∴，∴，，∴；（2）猜想：，理由如下：如圖，延長(zhǎng)至使，連接，過(guò)作于，延長(zhǎng)交于，∵，平分，∴為等邊三角形，，，設(shè)，，∴，，而，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∵，∴，即，解得：，∴；，∴；（3）補(bǔ)全圖形如圖所示：設(shè)，，，，，，，，，，解得：，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，于，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，在中，，，，，，，由是確定的，由作圖可得為定長(zhǎng)，而和為定值，為定值，即為定值．【點(diǎn)睛】本題屬于實(shí)際探究題，考查了類比方法的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·浙江寧波·二模）如圖與均為等腰直角三角形，，直線與直線交于點(diǎn)，在與繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先證，進(jìn)而易得出，則點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與以為圓心，為半徑的圓相切時(shí)，點(diǎn)到的距離最小，再解直角三角形求解即可得到答案．【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示：由題易知，，，，，，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且為直徑，設(shè)圓心為，當(dāng)與以為圓心，為半徑的圓相切時(shí)，點(diǎn)到的距離最小，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，，，與切于點(diǎn)，，，，，，，，由得，，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)最值-輔助圓問(wèn)題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形得判定和性質(zhì)、圓的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)處理輔助圓問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．2．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，為對(duì)角線，的平分線交于點(diǎn)E，連接DE交于點(diǎn)F．則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，先根據(jù)勾股定理求出，然后利用三角函數(shù)得到即可判斷A選項(xiàng)，然后利用角平分線和30°的直角三角形的性質(zhì)判斷B選項(xiàng)；利用面積求出判斷C選項(xiàng)；再根據(jù)勾股定理判斷D選項(xiàng)即可解題．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∵∴，故A正確，不符合題意；，∵是的角平分線，，故B正確，不符合題意；，故C錯(cuò)誤，符合題意；，，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，故D正確，不符合題意；故選：C．3．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）如圖中，，，若，，且的面積是面積的10倍，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等．作輔助線，構(gòu)建三角形高線，根據(jù)已知的三角函數(shù)值設(shè)未知數(shù)：設(shè)，則，，證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式，表示出的長(zhǎng)，根據(jù)已知的面積關(guān)系：的面積是面積的10倍，列方程解出即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)F，則，設(shè)，則，，，，，又，，，，，的面積是面積的10倍，，即，整理得，解得（舍），，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，，，由勾股定理得，故選C．4．（2025·上海普陀·一模）已知中，，是邊上的高，．如果，那么．【答案】【分析】本題考查了余切的定義，根據(jù)已知可得，進(jìn)而根據(jù)余切的定義，得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，中，，是邊上的高，∴∵．∴∵，∴，故答案為：．5．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）正方形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則【答案】/0.6【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．連接，過(guò)點(diǎn)于點(diǎn)G，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，由勾股定理得，，設(shè)，則，則由勾股定理得，那么，解得：，再由勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)于點(diǎn)G，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，∵四邊形為正方形，∴，，∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴，∴在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，設(shè)，則，∵，∴，∴，解得：，∴，∴，∴，故答案為：．6．（2024·甘肅嘉峪關(guān)·二模）如圖，已知．(1)尺規(guī)作圖：作的邊AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖（作已知線段的垂直平分線）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和解直角三角形、角平分線的性質(zhì)．（1）利用基本作圖作的垂直平分線即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和正切定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）解：連接，∵是的垂直平分線，，，，，，又，，故的長(zhǎng)為．7．（2023·四川樂山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為的直徑，是的一條弦，D為弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E，連接．(1)求證：是的切線；(2)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于F，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)解直角三角形、勾股定理等：（1）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，根據(jù)D是弧的中點(diǎn)，可得，等量代換得出，推出，結(jié)合得出，即可證明是的切線；（2）先利用三角函數(shù)和勾股定理解求出，再證，求出，再證，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列式即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵D是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；（2）解：在中，∵，，∴，，如圖，連接，∵為直徑，∴，∵，∴，，，∴的半徑為5，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，解得．8．（2024·河北邢臺(tái)·一模）如圖1，四邊形中，，，，為四邊形的對(duì)角線，．

(1)求點(diǎn)到的距離；(2)如圖2，點(diǎn)在邊上，且．以為圓心，長(zhǎng)為半徑作，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接交于．．①當(dāng)與相切時(shí)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)4(2)①；②5或11【分析】（1）由勾股定理求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求出到的距離即可；（2）①連接，由（1）以及可以求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可；②過(guò)作與，所以四邊形為矩形，在中運(yùn)用勾股定理即可求出的長(zhǎng)，從而可以求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：過(guò)作于，如圖：，，，，在中，，，即點(diǎn)到的距離為4；（2）解：①連接，如圖：由（1）知，，，，，，，，，是的切線，，；②過(guò)作于，如圖：

，，四邊形為矩形，，，在中，，；同理，，或11．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，合理構(gòu)造直角三角形是本題解題的關(guān)鍵．題型六：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·山西·中考真題）研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng)．同學(xué)們來(lái)到毛主席東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的掃描儀采集紀(jì)念碑的相關(guān)數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)采集：如圖，點(diǎn)是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，的長(zhǎng)表示點(diǎn)到水平地面的距離．航模從紀(jì)念碑前水平地面的點(diǎn)處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)的仰角；然后沿方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)正上方的點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得米；數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，，，三點(diǎn)在同一直線上．請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算紀(jì)念碑頂部點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】點(diǎn)A到地面的距離的長(zhǎng)約為27米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得，四邊形為矩形，，在中，，，，，在中，，，，，設(shè)米．，，，解得，（米）；答：點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)約為27米．【變式6-1】（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬(wàn)平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量潮汐塔的高度，測(cè)量方案如圖所示：無(wú)人機(jī)在距水平地面的點(diǎn)M處測(cè)得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行到達(dá)點(diǎn)N，測(cè)得潮汐塔底端B的俯角為（點(diǎn)在同一平面內(nèi)），則潮汐塔的高度為（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，根據(jù)題意得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C．由題意得．在中，，，．在中，，，．故選B．【變式6-2】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在徐州云龍湖旅游景區(qū)，點(diǎn)為“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地，點(diǎn)為“水族展覽館”，點(diǎn)為“徐州漢畫像石藝術(shù)館”．已知，，．求“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離AB（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離AB約是【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是過(guò)作于，構(gòu)造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法來(lái)解決問(wèn)題．過(guò)作于，設(shè)，由含度角的直角三角形的性質(zhì)得到，由銳角的正切定義得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到AB的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)作于，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．答：“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離AB約是．【變式6-3】（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為．(1)求點(diǎn)離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)；(2)電線塔的高度．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函數(shù)的定義得到，據(jù)此求解即可；（2）作于點(diǎn)，設(shè)，先解得到，解得到米，進(jìn)而得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，，設(shè)，在中，，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴答：電線塔的高度．【變式6-4】（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，為了測(cè)量無(wú)人機(jī)的飛行高度，在水平地面上選擇觀測(cè)點(diǎn)A，B．無(wú)人機(jī)懸停在C處，此時(shí)在A處測(cè)得C的仰角為無(wú)人機(jī)垂直上升懸停在D處，此時(shí)在B處測(cè)得D的仰角為點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在的同側(cè)．求無(wú)人機(jī)在C處時(shí)離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，設(shè)，則，根據(jù)仰角，解直角三角形計(jì)算即可．本題考查了仰角解直角三角形，分式方程的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，設(shè)，則，在中，，則，則；在中，，則解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解．∴．答：無(wú)人機(jī)在C處時(shí)離地面．【變式6-5】（2024·山東青島·中考真題）“滑滑梯”是同學(xué)們小時(shí)候經(jīng)常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發(fā)，小亮同學(xué)對(duì)所在小區(qū)的一處滑梯進(jìn)行調(diào)研，制定了如下改造方案，請(qǐng)你幫小亮解決方案中的問(wèn)題．方案名稱滑梯安全改造測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺等方案設(shè)計(jì)如圖，將滑梯頂端拓寬為，使，并將原來(lái)的滑梯改為，（圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在同一直線上）測(cè)量數(shù)據(jù)【步驟一】利用皮尺測(cè)量滑梯的高度；【步驟二】在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得；【步驟三】在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得．解決問(wèn)題調(diào)整后的滑梯會(huì)多占多長(zhǎng)一段地面？（即求的長(zhǎng)）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】調(diào)整后的滑梯會(huì)多占的一段地面【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)E作于H，則四邊形是矩形，可得，再解直角三角形求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于H，則四邊形是矩形，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，答：調(diào)整后的滑梯會(huì)多占的一段地面．【變式6-6】（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標(biāo)．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據(jù)氣象觀測(cè)，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請(qǐng)你根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)30；75；5(2)該漁船不改變航線與速度，會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)【分析】本題主要考查了方位角的計(jì)算，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理：（1）根據(jù)方位角的描述和三角形內(nèi)角和定理可求出兩個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度；（2）設(shè)海里，先解得到，再解得到海里，海里，據(jù)此可得，解得海里；證明，則海里；再求出上午9時(shí)時(shí)船與C點(diǎn)的距離即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作于D，由題意得，，∴；∵一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時(shí)從A出發(fā)到上午8時(shí)30分到達(dá)B，∴海里．（2）解：設(shè)海里，在中，海里，在中，海里，海里，∵，∴，解得，∴海里，∵，∴，∴海里；上午9時(shí)時(shí)，船距離A的距離為海里，∵，∴該漁船不改變航線與速度，會(huì)進(jìn)入“海況異常”區(qū)．【變式6-7】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）城市軌道交通發(fā)展迅猛，為市民出行帶來(lái)極大方便，某校“綜合實(shí)踐”小組想測(cè)得輕軌高架站的相關(guān)距離，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過(guò)勘測(cè)得到了如下記錄表：綜合實(shí)踐活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量輕軌高架站的相關(guān)距離測(cè)量工具測(cè)傾器，紅外測(cè)距儀等過(guò)程資料相關(guān)數(shù)據(jù)及說(shuō)明：圖中點(diǎn)，在同平面內(nèi)，房頂，吊頂和地面所在的直線都平行，點(diǎn)在與地面垂直的中軸線上，，．成果梳理……請(qǐng)根據(jù)記錄表提供的信息完成下列問(wèn)題：(1)求點(diǎn)到地面的距離；(2)求頂部線段的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)點(diǎn)到地面的距離為；(2)頂部線段的長(zhǎng)為．【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由得，在中解直角三角形即可得解；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為由平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而得，根據(jù)平行線間的距離處處相等得，從而得，最后在中，解直角三角形即可得解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中答：點(diǎn)到地面的距離為（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，平行線間的距離處處相等，∵，在中答：頂部線段的長(zhǎng)為【中考模擬即學(xué)即練】1．（2025·山東臨沂·一模）某中學(xué)為新操場(chǎng)采購(gòu)了一批可調(diào)節(jié)高度的籃球架，右圖是其側(cè)面示意圖，底座高度忽略不計(jì)．已知其支架，，安裝完畢后小明測(cè)得，，國(guó)家規(guī)定中學(xué)生所用籃球架中籃筐距地面標(biāo)準(zhǔn)高度約為，請(qǐng)你幫小明判斷安裝后的這批籃球架是否符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)？（參為數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，易得四邊形為矩形，四邊形為矩形，在中，求出的長(zhǎng)，在中，求出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)；理由：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，∴，∴四邊形為矩形，同理可得，四邊形為矩形，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴；∴符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)．2．（2025·山東青島·一模）阿代的數(shù)學(xué)研學(xué)日記課題：測(cè)量旗桿的高度地點(diǎn)：青島市山海二十六中學(xué)操場(chǎng)時(shí)間：2025月3月2日昨天上午代興國(guó)老師要帶我們?nèi)ゲ賵?chǎng)測(cè)量旗桿的高度，昨天我們小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案，方案如下：小亮拿著標(biāo)桿垂直于地面放置，我和小聰用卷尺測(cè)量標(biāo)桿、標(biāo)桿的影長(zhǎng)和旗桿的影長(zhǎng)，如圖1所示，標(biāo)桿，影長(zhǎng)，旗桿的影長(zhǎng)，則可求得旗桿的高度為_______．今天測(cè)量時(shí)陰天就不能用昨天的方案了，如圖2所示，張世昌老師將升旗用繩子拉直，使繩子的底端G剛好觸到地面，用儀器測(cè)得繩子與地面的夾角為，然后又將繩子拉到一個(gè)0.5米高的平臺(tái)上，拉直繩子使繩子上的H點(diǎn)剛好觸到平臺(tái)，剩余的繩子長(zhǎng)度為5米，此時(shí)測(cè)得繩子與平臺(tái)的夾角為，利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿的高度嗎？請(qǐng)你回答阿代的問(wèn)題．若能，請(qǐng)求出旗桿的高度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，；，，）【答案】；旗桿高度可求，為米【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握解直角三角形的方法．（1）首先證明出，得到，然后代入即可求出；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)H，作于N，設(shè)米，解直角三角形得到的長(zhǎng)，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以；?）如圖所示，過(guò)點(diǎn)H，作于N，設(shè)米，米，在中，，，在中，，，，，，解得：，答：旗桿高度可求，為米．3．（2024·浙江·一模）圖1是我國(guó)古代提水的器具桔槔（jiégāo），創(chuàng)造于春秋時(shí)期．它選擇大小兩根竹竿，大竹竿中點(diǎn)架在作為杠桿的竹梯上．大竹竿末端懸掛一個(gè)重物，前端連接小竹竿（小竹竿始終與地面垂直），小竹竿上懸掛水桶．其原理是通過(guò)對(duì)架在竹梯上的大竹竿末端下壓用力，從而提水出井．當(dāng)放松大竹竿時(shí)，小竹竿下降，水桶就會(huì)回到井里．如圖2是桔槔的示意圖，大竹竿米，O為的中點(diǎn)，支架垂直地面，此時(shí)水桶在井里時(shí)，．(1)如圖2，求支點(diǎn)O到小竹竿的距離（結(jié)果精確到0.1米）；(2)如圖3，當(dāng)水桶提到井口時(shí)，大竹竿旋轉(zhuǎn)至的位置，小竹竿至的位置，此時(shí)，求點(diǎn)A上升的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)支點(diǎn)O到小竹竿的距離(2)點(diǎn)A上升的高度為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）作于點(diǎn)G，由題意可知，，在中，應(yīng)用特殊角三角函數(shù)值求即可；（2）記交于點(diǎn)H，由題意推出，在中，求，在中求，則點(diǎn)A上升的高度可解．【詳解】（1）解：作于點(diǎn)G（圖1），∵O為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴∵，∴，在中，∴∴支點(diǎn)O到小竹竿的距離．（2）解：記交于點(diǎn)H（圖2），∵，，∴，∴∵，∴，∴在中，，在中，m∴點(diǎn)A上升的高度為．4．（2024·浙江紹興·二模）隨著時(shí)代的發(fā)展，手機(jī)“直播帶貨”已經(jīng)成為當(dāng)前最為強(qiáng)勁的購(gòu)物新潮流．某種手機(jī)支架如圖1所示，立桿垂直于地面，其高為，為支桿，它可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其中長(zhǎng)為，為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)如圖2，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，時(shí)，且支桿與立桿之間的夾角為，求端點(diǎn)距離地面的高度；(2)調(diào)節(jié)支桿，懸桿，使得，，如圖3所示，且點(diǎn)到地面的距離為，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到）【答案】(1)端點(diǎn)距離地面的高度約為；(2)的長(zhǎng)約為．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)已知易得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意得：，，，從而可得，進(jìn)而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后利用平角定義可得，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，在中，，，，，端點(diǎn)距離地面的高度約為；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得：，，，，，，，，，，，，，在中，，答：的長(zhǎng)約為．5．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）甘肅科技館（如圖）是甘肅省有史以來(lái)投資和建設(shè)規(guī)模最大的社會(huì)公益性科普項(xiàng)目，是實(shí)施科教興國(guó)戰(zhàn)略和創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略的重要基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)．甘肅科技館的建成，標(biāo)志著甘肅省科普陣地建設(shè)邁上了新臺(tái)階．某校學(xué)習(xí)小組把測(cè)量甘肅科技館的高度作為一次課題活動(dòng)，同學(xué)們制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表課題測(cè)量甘肅科技館的高度測(cè)量示意圖說(shuō)明甘肅科技館樓頂一角的D處到地面的高度為，在A點(diǎn)用儀器測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，在E點(diǎn)用該儀器測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，且點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一豎直平面內(nèi)測(cè)量數(shù)據(jù)，，，測(cè)角儀的高度為請(qǐng)你根據(jù)上表的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出甘肅科技館的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】甘肅科技館的高度約為．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題．連接，交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，，，然后設(shè)，則，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算可求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，由題意得：，，，設(shè)，，在中，，，在中，，，，解得：，，，甘肅科技館的高度約為．6．（2024·上海浦東新·一模）如圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長(zhǎng)為，南門設(shè)立在邊的正中央，游樂城南側(cè)有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上，在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點(diǎn)到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過(guò)多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）求出正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，解，求出，解，求出，即可；（3）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，解，求出，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：，∴，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為．∵∴在中，，，∴，．在中，，．答：點(diǎn)到道路的距離為千米．（3）解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．正八邊形的外角均為，在中，．．又，，．∵，∴，，即，，．答：小李離點(diǎn)不超過(guò)，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂城的影響．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．7．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）為推進(jìn)《學(xué)生出入校門智能管理方案》的實(shí)施，圖1是某校安裝的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離．（計(jì)算結(jié)果精確到）(1)頭部高度為、身高的小帥站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)處，請(qǐng)問(wèn)小帥最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別？(2)頭部高度為，身高的小美踮起腳尖可以增高，但仍無(wú)法被識(shí)別，若學(xué)校工作人員及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為，此時(shí)小美能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，【答案】(1)2.9厘米(2)能；理由見解析【分析】此題主要考查了解解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，視點(diǎn)、視角和盲區(qū)．（1）過(guò)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)作的垂線分別交仰角、俯角線于M、N，交水平線于P，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過(guò)C作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)E，D，交水平線于點(diǎn)F，在中，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴小帥最少需要下蹲厘米才能被識(shí)別；（2）解：如圖3，過(guò)B作的垂線分別交仰角、俯角線于M、N，交水平線于P，在中，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴小美踮起腳尖后頭頂?shù)母叨葹?，∴小美頭頂超出點(diǎn)N的高度為：，∴踮起腳尖小美能被識(shí)別．8．（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測(cè)）春天是踏青的好季節(jié)，小明和小華決定去公園出游踏青．如圖，已知為公園入口，景點(diǎn)位于點(diǎn)東北方向米處，景點(diǎn)位于點(diǎn)南偏東方向，景點(diǎn)在景點(diǎn)的正北方向，景點(diǎn)既位于景點(diǎn)正東方向310米處，又位于景點(diǎn)的北偏西方向．景點(diǎn)既位于景點(diǎn)的正東方向，又位于景點(diǎn)的正南方向．米．（參考數(shù)據(jù)：）(1)