難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)08二次函數(shù)與三角形、相似三角形、四邊形的存在性

（5大熱考題型）

題型一：等腰三角形的存在性問(wèn)題

題型二：直角三角形的存在性問(wèn)題

題型三：相似三角形的存在性問(wèn)題

題型四：平行四邊形的存在性問(wèn)題

題型五：特殊平行四邊形存在性問(wèn)題

題型一：等腰三角形的存在性問(wèn)題

頂點(diǎn)確定法

1.確定等腰三角形頂點(diǎn)位置的常見(jiàn)方法

已知點(diǎn)A,B和直線l,在l上找點(diǎn)P,使APAB為等腰三角形

（1）如圖①,若AB為腰,分別以點(diǎn)A,B為圓心,以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,與直線l的交點(diǎn)P1,P2,P3,P4即為所求;

（2）如圖②,若AB為底,作線段A8的垂直平分線與直線l的交點(diǎn)P5、即為所求

2.求點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法

(1)代數(shù)法(三角形三邊長(zhǎng)度可直接表示)分別表示出點(diǎn)A,B,P的坐標(biāo),再表示出線段AB,BP,AP長(zhǎng)度,由①AB=AP;

②AB=BP;③BP=AP,分別列方程解出坐標(biāo):

(2)幾何法

作等腰三角形底邊的高(即底邊的垂直平分線),用勾股定理或相似建立等量關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】易錯(cuò)點(diǎn)等腰三角形的邊不確定,則需分情況討論

（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bx3的圖象與x軸交于A1,0，B3,0

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖①，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，

當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)如圖②，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且CQD2OCQ．在y軸上是否存在

點(diǎn)E，使得BDE為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式1-1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究

33

如圖，拋物線yx2x6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，D是第一

42

象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，連接AC，BC，BD，CD．

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式．

(2)當(dāng)四邊形ACDB的面積有最大值時(shí)，求出m的值．

(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使△ADM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

1

【變式1-2】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，直線y2x4交y軸于點(diǎn)A，交拋物線yx2bxc于點(diǎn)B(3,2)，

2

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,0)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作PEDB交所在直線于點(diǎn)E．

??

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時(shí)，求：P點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)在（2）的條件下，連接PB，將△PBE沿直線翻折，直接寫(xiě)出翻折后點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)．

??

1

【變式1-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于

4

點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，其中C(0,3)，且BOC為等腰直角三角形．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDAC于點(diǎn)D，求PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個(gè)單位，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)

F，Q為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫(xiě)出所有使得以QF為腰的△QEF是等腰三角形的點(diǎn)Q的

坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22xc與x軸交于點(diǎn)A3,0和點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)，

?0,3

點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)A，點(diǎn)C）．

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，且在直線AB上方，求ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移2.5個(gè)單位，點(diǎn)F為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于

點(diǎn)E，Q為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，若△QFE是以QE為腰的等腰三角形，求出所有符合條

件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

2．（2024·山東青島·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bxc交x軸于點(diǎn)，B2,0，

??4,0

交y軸于點(diǎn)，在y軸上有一點(diǎn)E0,2，連接AE．

?0,6

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求VADE面積的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為以AE為底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)即

可；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

題型二：直角三角形的存在性問(wèn)題

頂點(diǎn)確定法

1.確定直角三角形頂點(diǎn)位置的常見(jiàn)方法已知點(diǎn)A.B和直線l,在l上找點(diǎn)P,使△PAB為直角三角形

(1)如圖①,分別過(guò)線段端點(diǎn)A,B作AB的垂線,與直線l的交點(diǎn)P1,P2即為所求;

(2)如圖②,以AB為直徑畫(huà)圓,與直線l的交點(diǎn)P3,P4即為所求.

2.求點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法

(1)代數(shù)法

分別表示出點(diǎn)A,B,P的坐標(biāo),再表示出AB2,BP2,AP2,分情況討論:①∠PAB=90°,即AB2+AP2=BP2;

②∠ABP=90°,即AB2+BP2=AP2;③∠APB=90°,即AP2+BP2=AB2分別列方程求解即可;

(2)幾何法

過(guò)直角頂點(diǎn)作平行于坐標(biāo)軸的輔助線構(gòu)造“一線三垂直”模型,利用相似或全等三角形解題“一線三垂直”

模型

【中考母題學(xué)方法】

4

【典例2】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線C:yax2x4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D1,1，與x軸交于

13

點(diǎn)A，點(diǎn)B．

(1)求拋物線C1的表達(dá)式；

(2)將拋物線C1向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)D

是否在拋物線C2上；

(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點(diǎn)P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式2-1】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線yax26xc（a、c為常數(shù)，且a0）與x軸

交于A，B(1,0)兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，AB4．拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，

與經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線yx1交于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得BPE是以BE為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有得合條件的點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式2-2】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）小明為了參加學(xué)校舉辦的“趣味數(shù)學(xué)”作品展，用鐵絲擺成如圖①中

拋物線的形狀，并提出以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：

(1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系，如圖②，可知拋物線與x軸交于A3,0，B1,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,3，

求拋物線的解析式；

(2)如圖②，鋼珠P可沿著鐵絲在點(diǎn)A到點(diǎn)C的位置任意滑動(dòng)，點(diǎn)A，C，P構(gòu)成△ACP，試求△ACP面積

的最大值；

(3)若沿拋物線的對(duì)稱軸再擺另一條鐵絲MN（MN足夠長(zhǎng)），鋼珠Q可以沿著鐵絲MN上下滑動(dòng)，點(diǎn)Q，A，

C構(gòu)成△QAC，是否存在某一時(shí)刻，使△QAC為直角三角形．若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式2-3】難點(diǎn)已知邊為斜邊的直角三角形存在性問(wèn)題,可構(gòu)造相似三角形求解

（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若拋物線yax2bxc交x軸于A1,0、B5,0交y軸于C0,5

(1)請(qǐng)求出拋物線的解析式并直接寫(xiě)出ax2bxc0的解集．

(2)在拋物線對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P．當(dāng)三角形ACP為直角三角形時(shí)請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

1

(3)以B為圓心2為半徑做圓，B上有一點(diǎn)M，連接MC、MA．請(qǐng)求出MCMA的最小值．

2

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合運(yùn)用

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx22x3與x軸交于點(diǎn)A．C(點(diǎn)A在點(diǎn)C的右側(cè))．與y

軸交于點(diǎn)B．直線ykxb經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式．

(2)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸交直線AB于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

mm0．PQ的長(zhǎng)為L(zhǎng)．

①求L與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出m的取值范圍；

DQ1

②若PQ與BO交于點(diǎn)D，,求m的值．

OA3

(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，問(wèn)在y軸上是否存在一點(diǎn)N，使得△NAM為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合探究

如圖（1）所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B，C，D在

23

二次函數(shù)yax2（a為常數(shù)，且a0）的圖象上，且ADy軸，BC與y軸交于點(diǎn)E，BC．

3

(1)求AE的長(zhǎng)．

(2)求a的值．

(3)如圖（2）所示，F(xiàn)是射線BA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C，D同時(shí)繞點(diǎn)F按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得點(diǎn)C，D，當(dāng)△ACD

是直角三角形時(shí)，求BF的長(zhǎng)．

3．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A3,0，B1,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

連接AC．

(1)求拋物線的表達(dá)式．

(2)點(diǎn)P是拋物線上位于線段AC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，CP，求△APC面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出

所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

題型三：相似三角形的存在性問(wèn)題

相似三角形問(wèn)題的解題步驟

第一步：找關(guān)鍵點(diǎn)

根據(jù)拋物線的表達(dá)式求出拋物線上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)等

第二步：找等角

找到兩個(gè)三角形中相等的定角，通常定角為直角、對(duì)頂角、公共角同位角、內(nèi)錯(cuò)角，或通過(guò)互余(互補(bǔ))進(jìn)行

轉(zhuǎn)化等方法得到的等角

第三步：求點(diǎn)坐標(biāo)

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列關(guān)系式

【中考母題學(xué)方法】

【典例3】易錯(cuò)點(diǎn)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊不確定,需分情況討論

（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bxca0的圖像經(jīng)過(guò)

原點(diǎn)和點(diǎn)A4,0．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B1,3，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E，與直線AB交

于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①m為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)P，使得△BPD與△AOC相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式3-1】（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線yx2bxc上點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為，4,0，

0,2

拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，連接AC,AB，點(diǎn)Q為拋物線上的點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．

1

(2)拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得SS？若存在，求出Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

△ABQ2△ABC

(3)點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，且OM2，點(diǎn)D是線段BC（包含點(diǎn)B,C）上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，

交拋物線于點(diǎn)Q，交直線CM于點(diǎn)N．若以點(diǎn)Q,N,C為頂點(diǎn)的三角形與△MOC相似，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【變式3-2】（2023·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx4a0與x軸交于

A1,0、C4,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B．

(1)求該拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足△ABD與△BCD的面積相等．求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)E在第一象限內(nèi)拋物線上，過(guò)點(diǎn)E作EFx軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)P，且滿足△BFP與△CEP相似，

求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．

【變式3-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)yax2bxca0,頂點(diǎn)，與x軸交A，B兩

?1,4

點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A1,0，

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖，連接BC，點(diǎn)P為線段BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線EF∥BC分別交y軸于點(diǎn)E，x軸

于點(diǎn)F，求2ECPF的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)

(3)連接AD，將拋物線沿射線AD平移45個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y,y的頂點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)H作HNx

軸于點(diǎn)N，連接ND，在新拋物線y對(duì)稱軸右側(cè)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得DNQ與△BCD相似，若存

在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合題意點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

【中考模擬即學(xué)即練】

1

1．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于A,0、B4，0兩點(diǎn)，

2

與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)作直線xt0t4，分別交x軸、線段BC、拋物線于D、E、F三點(diǎn)，連接CF，若以B、D、E為頂

點(diǎn)的三角形與以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；

(3)點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且OM2，將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)B，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，CB與CB交于點(diǎn)N．在拋物線平移過(guò)程中，當(dāng)MBMC的值最小時(shí)，試求

BNC的面積．

1

2．（2024·青海西寧·三模）如圖，拋物線yx23x8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y

2

軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AC，BC，BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．

(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．

(2)若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三角形PAB的面積為60時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(3)若點(diǎn)Q是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，試探究在射線ED上是否存在一點(diǎn)H，使以H，Q，E為頂點(diǎn)的三

角形與BOC相似．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

3．（2024·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)yax2bx3a0的圖象與x軸交于點(diǎn)點(diǎn)A3,0

和點(diǎn)B1,0，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)A，點(diǎn)C）．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1，連結(jié)PA，PC，求PAC的面積的最大值；

(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)Q．探究是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、C、Q為頂

點(diǎn)的三角形與△ADQ相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

4．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx22xa與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左

側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C0,3，連接BC．

(1)如圖1，求a的值及直線BC的解析式；

(2)如圖2，點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，AD，CD，設(shè)直線BC交線段AD于點(diǎn)E．當(dāng)

S△CDE1

時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

S△ACE2

(3)在（2）的條件下，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)小于2，在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以A，C，P為頂點(diǎn)的三角

形與△BCD相似，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

題型四：平行四邊形的存在性問(wèn)題

頂點(diǎn)確定法

1.確定平行四邊形中動(dòng)頂點(diǎn)的位置,常見(jiàn)方法如下(1)三定頂點(diǎn)、一動(dòng)頂點(diǎn):

如圖①,分別過(guò)A,B,C三個(gè)定點(diǎn)作對(duì)邊的平行線,所作三條直線兩兩的交點(diǎn)P1,P2,P3即為所求動(dòng)點(diǎn);

(2)兩定頂點(diǎn)、兩動(dòng)頂點(diǎn):

①如圖②,若AB為平行四邊形的邊,平移AB,確定另外兩點(diǎn)位置:

②)如圖③,若AB為平行四邊形的對(duì)角線,取AB中點(diǎn),作過(guò)中點(diǎn)的直線確定另外兩點(diǎn)的位置.

2.根據(jù)平移法或坐標(biāo)公式法求點(diǎn)坐標(biāo),具體如下:(1)平移法:

如圖④,由點(diǎn)B平移到點(diǎn)A的規(guī)律即可得到點(diǎn)C平移到D1,的規(guī)律(點(diǎn)C到點(diǎn)D2,同理);

(2)平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式法

設(shè)平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為AxA,yA,BxB,yB,CxC,yC,DxD,yD,則

xAxCxBxD,yAyCyByD.

【中考母題學(xué)方法】

【典例4】（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：yx2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A3,1，與y軸交于點(diǎn)B0,2．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

CD

(2)在直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接OC交于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

OD

????

(3)作拋物線F關(guān)于直線y1上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象F，拋物線F與F只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），

G為直線上一點(diǎn)，H為拋物線F對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G

點(diǎn)坐標(biāo)．??

23

【變式4-1】（2024·寧夏·中考真題）拋物線yaxx2與x軸交于A1,0，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

2

點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

5

(2)如圖1，過(guò)P作PDx軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)PEBE時(shí)，求m的

2

值；

(3)如圖2點(diǎn)，連接CF并延長(zhǎng)交直線PD于點(diǎn)M，點(diǎn)N是x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，在（2）的條件下，

x軸上是否存?在1,0一點(diǎn)H，使得以F，M，N，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)H的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式4-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線yax2bx3a0與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C，已知A(1,0)，對(duì)稱軸為直線x1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)K(1,3)的直線（不與直線KD重合）與拋物線

交于G，H兩點(diǎn)，直線DG，DH分別交x軸于點(diǎn)M，N，畫(huà)出圖形，試探究EMEN是否為定值？若是，求

出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

【變式4-3】難點(diǎn)平行四邊形的頂點(diǎn)順序不確定,需分情況討論

（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線yx2bxc與直線yx3相交于點(diǎn)B和C，點(diǎn)B在x軸

上，點(diǎn)C在y軸上，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．

(1)求拋物線yx2bxc的解析式；

(2)如圖2，將直線BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90交y軸于點(diǎn)D，在直線BD上有一點(diǎn)P，求△ACP周長(zhǎng)的最小

值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖3，將拋物線yx2bxc沿射線CB方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y，在新拋物線y上有

一點(diǎn)N，在x軸上有一點(diǎn)M，試問(wèn)是否存在以點(diǎn)B、M、C、N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，寫(xiě)出所有符

合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，AOB90，等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A

的坐標(biāo)為2,2，點(diǎn)B在第四象限，邊AB與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M，R分別是線段OA，AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M

的拋物線yx22mxn（m，n為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P．

(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)__________，用含m的代數(shù)式表示n為_(kāi)__________；

(2)如圖2，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，拋物線yx22mxn經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，E，點(diǎn)F在線段OA上，當(dāng)以MR和EF為對(duì)邊

的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在等腰直角三角形OAB的邊上或內(nèi)部，且拋物線yx22mxn與MR有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求

出m的取值范圍．

2．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx2經(jīng)過(guò)A1,0,B4,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物

3

線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m0m，連接AC，CP，BC，BP．

2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)．

3

(2)當(dāng)BCP的面積等于VABC的面積的時(shí)，求m的值．

5

(3)在（2）的條件下，若M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)C，P，M，N為頂點(diǎn)的

平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

3．（2024·甘肅嘉峪關(guān)·二模）如圖所示，在Rt△ABC的頂點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C在y軸上正半軸上，且A(1,0)，

B(4,0)，C(0,2)．

(1)求過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式．

(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸l與BC邊交于點(diǎn)D，若P是對(duì)稱軸l上的點(diǎn)，且滿足以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形與

△AOC相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在對(duì)稱軸l和拋物線上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得以A、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

題型五：特殊平行四邊形的存在性問(wèn)題

頂點(diǎn)確定法

1.確定矩形的頂點(diǎn)位置

A,B為兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)C為直線l上的一動(dòng)點(diǎn),D為平面內(nèi)一點(diǎn),以A,B,C,D為頂點(diǎn)作矩形

(1)若AB為矩形的邊,如圖①,分別過(guò)點(diǎn)A,B作AC1⊥AB,BC2,⊥AB確定點(diǎn)C,再利用矩形對(duì)邊平行的性質(zhì)確定

點(diǎn)D

(2)若AB為矩形的對(duì)角線,如圖②,以AB為直徑構(gòu)造輔助圓,圓與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A,B分別

作BC,AC的平行線確定點(diǎn)D.

2.確定菱形的頂點(diǎn)位置

A,B為定點(diǎn),C為直線l上一動(dòng)點(diǎn),D為平面內(nèi)一點(diǎn),以A.B.C,D為頂點(diǎn)作菱形

(1)若AB為菱形的邊,如圖①,以點(diǎn)B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑作⊙B交直線l于點(diǎn)C,再分別過(guò)點(diǎn)A,C作BC,AB的

平行線交于點(diǎn)D;如圖②,以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑作⊙A交l于點(diǎn)C,再分別過(guò)點(diǎn)B,C作AC,AB的平行線交

于點(diǎn)D;

(2)若AB為菱形的對(duì)角線,如圖③,作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)0.再以點(diǎn)0為圓心,以0C

長(zhǎng)為半徑作0,與垂直平分線另一端交于點(diǎn)D.

3.確定正方形的頂點(diǎn)位置

已知兩個(gè)定點(diǎn)A,B,在平面內(nèi)找點(diǎn)C,D,使得以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形為正方形.

(1)若AB為正方形的邊,如圖①,過(guò)點(diǎn)A.B分別作垂直于AB的直線,再利用正方形的邊長(zhǎng)相等,確定另兩點(diǎn)的位

置:

(2)若AB為正方形的對(duì)角線,如圖②.可作AB的垂直平分線,再利用正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分,確定

另兩點(diǎn)的位置。

【中考母題學(xué)方法】

【典例5】（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線yax2bx3經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A3,0，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線x1對(duì)稱．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)1xt時(shí)，y的取值范圍是0y2t1，求t的值；

(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D，在y軸上是否存在

點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

1

【變式5-1】（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知二次函數(shù)yax2xc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,和點(diǎn)B2,1．

2

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)Cm1,y1，Dm2,y2都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較y1和y2的大小，并說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)P，Q在直線AB上，點(diǎn)M在該二次函數(shù)圖象上．問(wèn)：在y軸上是否存在點(diǎn)N，使得以P，Q，M，N

為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式5-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中存在兩條拋物線，拋物線L1交x軸于點(diǎn)

A(1,0)，C(5,0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為Em1,k．拋物線L2交x軸于點(diǎn)B(2,0)，D(10,0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為Fm2,k，（k0）．

(1)求線段EF的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)M(7,d1)在拋物線L1上，點(diǎn)N(16,d2)在拋物線L2上．試討論d1和d2大??；

(3)若點(diǎn)P(n3,f1)，Q(2n1,f2)在拋物線L1上，且滿足f1f2，求n的取值范圍；

(4)若S、T分別為L(zhǎng)1、L2上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BEFC為菱形時(shí)，是否存在S和T，使得以A、D、S、T為頂點(diǎn)的四

邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出S和T的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．