專題06二次函數(shù)目錄01理·思維導圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學科知識體系。 02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（5大模塊知識梳理）知識模塊一：二次函數(shù)的相關(guān)概念知識模塊二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識模塊三二次函數(shù)與a，b，c之間的關(guān)系知識模塊四二次函數(shù)與方程、不等式知識模塊五二次函數(shù)的應用03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（9大考點）考點一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點二：判斷二次函數(shù)圖象a，b，c之間的關(guān)系考點三：二次函數(shù)含參問題考點四：二次函數(shù)解析式的確定及圖象變化考點五：二次函數(shù)最值考點六：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系考點七：二次函數(shù)與不等式關(guān)系考點八：二次函數(shù)的實際應用考點九：二次函數(shù)綜合04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（5大易錯點）易錯點一：忽略題目中的隱含條件易錯點二:混淆二次函數(shù)的增減性與一次函數(shù)的增減性易錯點三：考慮不全,導致出錯易錯點四：求最值時忽略自變量的取值范圍易錯點五：忽略二次函數(shù)圖象中二次項系數(shù)為負數(shù)導致出錯知識模塊一：二次函數(shù)的相關(guān)概念知識點一：二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a是二次項系數(shù),b是一次項系數(shù),c是常數(shù)項。注意：如果已說明該函數(shù)為二次函數(shù),那么隱含條件為a≠0.知識點二：二次函數(shù)解析式的確定1.二次函數(shù)常見表達式名稱解析式適用范圍一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)已知拋物線上的無規(guī)律的三個點的坐標頂點式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標是（h，k）已知拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸、最值交點式y(tǒng)＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)已知拋物線與x軸兩交點坐標注意:拋物線與x軸交點的橫坐標就是方ax2+bx+c=0的解相互聯(lián)系1）以上三種表達式是二次函數(shù)的常見表達式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.2)一般式化為頂點式、交點式，主要運用配方法、因式分解等方法.2.對未給定二次函數(shù)解析式,根據(jù)所給點坐標選擇適當?shù)谋磉_方式(1)頂點在原點,可設(shè)為y=ax2(2)對稱軸是y軸(或頂點在y軸上),可設(shè)為y=ax2+c;(3)頂點在x軸上,可設(shè)為y=a(x-h)2;(4)拋物線過原點,可設(shè)為y=ax2+bx.知識模塊二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識點一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.注意：二次函數(shù)圖象的畫法(1)依據(jù)解析式列表、描點、連線畫出二次函數(shù)圖象;(2)利用配方法找出函數(shù)圖象頂點;利用因式分解法或公式法找出圖象與x軸的交點;利用一般式中的c值找出圖象與y軸的交點,畫出簡易的函數(shù)圖象.基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對稱軸y軸y軸x=hx=hx=?頂點坐標(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(?b2a，最值a>0開口向上，頂點是最低點，當x=?b2a時y有最小值a<0開口向下，頂點是最高點，當x=?b2a時時y有最大值增

減

性a>0在對稱軸x=?b2a的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸x=?a<0在對稱軸x=?b2a的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸x=?知識點二：二次函數(shù)的圖象變換1.二次函數(shù)的平移變換總結(jié)：拋物線的平移規(guī)律左加右減自變量，上加下減常數(shù)項”方法一:(1)將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,其頂點坐標為(h,k);保持拋物線y=ax2的形狀不變,將其頂點平移到(h,k)處,方法二:將拋物線y=ax2+bx+c沿y軸向上(或向下)平移m(m>0)個單位,得拋物線y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m);(2)將拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向左(或向右)平移m(m>0)個單位,得拋物線y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)具體平移方法如下:平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號，h、k均不變繞原點旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號知識點三：二次函數(shù)的對稱性問題拋物線的對稱性的應用，主要體現(xiàn)在：1）求一個點關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標；2）已知拋物線上兩個點關(guān)于對稱軸對稱，求其對稱軸.解題技巧：1.拋物線上兩點若關(guān)于直線，則這兩點的縱坐標相同，橫坐標與x=?b2若二次函數(shù)與x軸有兩個交點，則這兩個交點關(guān)于直線x=?b3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對稱.知識模塊三二次函數(shù)與a，b，c之間的關(guān)系關(guān)系符號圖象特征a決定拋物線的開口方向a>0開口向上|a|越大，拋物線的開口小．a(chǎn)<0開口向下a、b共同決定拋物線對稱軸的位置b=0對稱軸是y軸ab>0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)左同右異ab<0((a，b異號))對稱軸在y軸右側(cè)c決定了拋物線與y軸交點的位置．c=0拋物線經(jīng)過原點c>0拋物線與y軸交于正半軸c<0拋物線與y軸交于負半軸由b2-4ac確定拋物線與x軸交點的個數(shù)b2-4ac>0拋物線與x軸有兩個交點b2-4ac=0拋物線與x軸有一個交點b2-4ac＜0拋物線與x軸沒有交點注意：當x=1時,y=a+b+c;當x=-1時,y=a-b+c.若a+b+c>0,即當x=1時y>0;若a-b+c<0,即當x=-1時,y<0.知識模塊四二次函數(shù)與方程、不等式知識點一：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c=0圖象與x軸交點的橫坐標.b2-4ac與0的關(guān)系二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況b2-4ac>02個交點有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac=01個交點有一個不相等的實數(shù)根b2-4ac<00個交點沒有實數(shù)根知識點二：二次函數(shù)與不等式的關(guān)系（以a大于0為例）不等式以a大于0為例圖象觀察方法解集ax2＋bx＋c>0的解集情況函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸上方時對應的自變量的取值范圍x<x1或x>x2ax2＋bx＋c<0的解集情況函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸下方時對應的自變量的取值范圍x1<x<x2知識模塊五二次函數(shù)的應用知識點一：用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟1.審：仔細審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實際問題；5.檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.注意：二次函數(shù)在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內(nèi)，應按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．知識點二：方法技巧總結(jié)1.利用二次函數(shù)解決面積最值：利用圖形面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù),利用二次函數(shù)圖象的頂點坐標求出最值，注意解題時必須結(jié)合自變量的取值范圍和函數(shù)的增減性確定最值2.拋物線形問題：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,建立函數(shù)模型,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題3.銷售利潤問題：根據(jù)“利潤=(售價-進價)×銷量列出函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值4.利用二次函數(shù)解決動點問題：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達式設(shè)出動點的坐標或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條件進行計算．5.利用二次函數(shù)解決存在性問題：一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設(shè)出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．考點一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·安徽馬鞍山·二模）下列函數(shù)中，當時，y隨x的值的增大而增大的是（

）A． B．C． D．【典例4】（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①②③對任意實數(shù)m，均成立④若點，在拋物線上，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【典例5】（2024·貴州遵義·二模）已知函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于點，，．若點在軸下方且時，則下列正確的是（）A． B．C． D．【典例6】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．考點二：判斷二次函數(shù)圖象a，b，c之間的關(guān)系【典例1】（2024·山東青島·三模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③m為任意實數(shù)，則；④；⑤若，且，則．其中正確的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【典例2】（2024·湖北武漢·二模）函數(shù)、在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則在該平面直角坐標系中，函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【典例3】（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例4】（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個（

）①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．4【典例5】（2024·山東青島·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸是直線，則過點和點的直線一定不經(jīng)過（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例6】（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程有兩實根，，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）①；②拋物線的頂點坐標為；③；④若，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【典例7】（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③多項式可因式分解為；④當時，關(guān)于的方程無實數(shù)根．其中正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點三：二次函數(shù)含參問題【典例1】（2024·四川內(nèi)江·二模）若二次函數(shù)的圖象與軸有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【典例2】（2024·山東菏澤·一模）若二次函數(shù)經(jīng)過原點，則的值為（

）A． B．4 C．或4 D．無法確定【典例3】（2024·廣東廣州·一模）二次函數(shù)的圖象開口向．【典例4】（2023·浙江嘉興·中考真題）在二次函數(shù)中，(1)若它的圖象過點，則t的值為多少？(2)當時，y的最小值為，求出t的值：(3)如果都在這個二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．【典例5】（2024·云南·二模）我們約定：若關(guān)于的二次函數(shù)與同時滿足，，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題．(1)若關(guān)于的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求，，的值．(2)對于任意非零實數(shù)，，點與點始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖象上運動，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．①求函數(shù)的圖象的對稱軸．②函數(shù)的圖象是否經(jīng)過某兩個定點？若經(jīng)過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由．考點四：二次函數(shù)解析式的確定及圖象變化【典例1】（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點，則．【典例3】（2024·江蘇徐州·中考真題）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)的圖象向下平移5個單位長度，所得拋物線與x軸有兩個公共點P、Q，則．【典例4】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）對于二次函數(shù)（a是常數(shù)），下列結(jié)論：①將這個函數(shù)的圖像向下平移3個單位長度后得到的圖像經(jīng)過原點；②當時，這個函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的上方；③若，則當時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；④這個函數(shù)的最小值不大于3．其中正確的是（填寫序號）．【典例5】（2024·四川巴中·中考真題）若二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度后關(guān)于軸對稱．則下列說法正確的序號為．（少選得1分，錯選得0分，選全得滿分）①②當時，代數(shù)式的最小值為3③對于任意實數(shù)，不等式一定成立④Px1,y1，Qx【典例6】（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．【典例7】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．(1)若，則_________，通過配方可以將其化成頂點式為_________；(2)已知點在拋物線上，其中．若且，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；(3)若，將拋物線向上平移4個單位得到的新拋物線與直線交于A，B兩點，直線與y軸交于點C，點E為中點，過點E作x軸的垂線，垂足為點F，連接，．求證：．【典例8】（2024·湖南邵陽·模擬預測）如果二次函數(shù)的圖象的頂點在二次函數(shù)為的圖象上，同時二次函數(shù)的圖象的頂點在二次函數(shù)的圖象上，那么我們稱這兩個函數(shù)互為“頂點相容函數(shù)”．(1)若二次函數(shù)與二次函數(shù)互為“頂點相容函數(shù)”，則_______．(2)如圖，已知二次函數(shù)的圖象的頂點為，點是軸正半軸上的一個動點，將二次函數(shù)的圖象繞點旋轉(zhuǎn)得到一個新的二次函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)前后的兩個函數(shù)互為“頂點相容函數(shù)”，且的圖象的頂點為．①求二次函數(shù)的解析式；②點為軸上一點，是否存在一點，使得為直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【典例9】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點，將拋物線向右平移兩個單位長度，得到拋物線，點P是拋物線在第四象限內(nèi)一點，連接并延長，交拋物線于點Q．(1)求拋物線的表達式；(2)設(shè)點P的橫坐標為，點Q的橫坐標為，求的值；(3)如圖②，若拋物線與拋物線交于點C，過點C作直線，分別交拋物線和于點M、N（M、N均不與點C重合），設(shè)點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．【典例10】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），頂點為C．(1)求A、B、C三點的坐標；(2)一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過B、C、三點，其中，該函數(shù)圖像與x軸交于另一點D，點D在線段上（與點O、B不重合）．①若D點的坐標為，則_________；②求t的取值范圍：③求的最大值．【典例11】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點，與軸交于點A，點．(1)求拋物線的表達式；(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．考點五：二次函數(shù)最值【典例1】（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學老師組織同學們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．①請你寫出對應的函數(shù)解析式；②求當x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數(shù)在x取何值時，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*為②的計算結(jié)果．【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學們結(jié)合學過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”甲同學：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”乙同學：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）請結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學的說法是否合理？（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．【典例2】（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知在正方形中，，點E為邊上一動點（不與點B，C重合），連接，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點G(1)如圖1，當點E為的中點時，求的值；(2)如圖2，若，求的長；(3)連接，求的最小值.【典例3】（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點，點為線段上一點（不與端點重合），直線，分別交拋物線于點，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點是拋物線對稱軸與軸的交點，過點的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點，，過拋物線頂點作直線軸，點是直線上一動點．求的最小值．【典例4】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式及點的坐標；(2)點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設(shè)點的橫坐標為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．【典例5】（2024·江蘇常州·中考真題）將邊長均為的等邊三角形紙片疊放在一起，使點E、B分別在邊上（端點除外），邊相交于點G，邊相交于點H．(1)如圖1，當E是邊的中點時，兩張紙片重疊部分的形狀是________；(2)如圖2，若，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；(3)如圖3，當，時，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．【典例6】（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．【操作發(fā)現(xiàn)】小明作出了的內(nèi)接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．如圖①小明發(fā)現(xiàn)：與的位置關(guān)系是__________，請說明理由：【實踐探究】連接，與相交于點．如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當確定時，線段的長存在最大值．請求出當．時，長的最大值；【問題解決】在圖②中，小明進一步發(fā)現(xiàn)：點分線段所成的比與點分線段DE所成的比始終相等．請予以證明．【典例7】（2024·重慶銅梁·一模）已知，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點B，C，與y軸交于點A，其中．(1)求a，b的值；(2)如圖1，連接AB，點P是直線上方拋物線上一動點，過點P作軸交于點K，過點K作軸，垂足為點E，求的最大值并求出此時點P的坐標；(3)如圖2，點P在拋物線上，且滿足在（2）中求出的點P的坐標，連接，將該拋物線向右平移，使得新拋物線y′恰好經(jīng)過原點，點C的對應點是F，點M是新拋物線上一點，連接，當時，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．考點六：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系【典例1】（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（

）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2C．當時，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，，與y軸交點C的縱坐標在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個交點，則．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【典例3】（2024·寧夏·中考真題）若二次函數(shù)的圖象與軸有交點，則的取值范圍是．【典例4】（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與與相交于點，，點的坐標為，若點在拋物線上，則的長為．

【典例5】（2024·全國·模擬預測）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．素材1：為響應全民健身號召，某校在校運會上開展“8”字長繩比賽．圖1是繩甩到最高處時的示意圖，可以近似的看作一條拋物線，正在甩繩的甲、乙兩位隊員拿繩的手間距6米，到地面的距離均為1米．素材2：如圖2，身高為1.5米的小麗站在距點的水平距離為1米的點處，繩子甩到最高處時剛好通過她的頭頂點．(1)如圖3，以點為原點建立平面直角坐標系，求拋物線的函數(shù)解析式；(2)某班跳繩成員有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，繩子能否順利從每位跳繩成員頭頂越過？請說明理由．(3)身高為1.6米的跳繩成員至少站在離搖繩同學多遠的地方，才能讓繩子順利從頭上越過？【典例6】（2024·云南昆明·一模）已知拋物線(1)求證：拋物線與x軸有兩個不同的交點；(2)當時，拋物線與x軸交于點A，B，求AB的長．【典例7】（2024·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C．(1)________；(2)如圖，已知點A的坐標是．①當，且時，y的最大值和最小值分別是s、t，，求m的值；②連接，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點（點B除外），過點P作軸，垂足為D．作，射線交y軸于點Q，連接．若，求點P的橫坐標．【典例8】（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)求證：不論a為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點；(2)當時，該二次函數(shù)的最大值與最小值之差為9，求此時函數(shù)的解析式；(3)若二次函數(shù)圖象對稱軸為直線，該函數(shù)圖象與x軸交于兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．點C關(guān)于對稱軸的對稱點為D，點M為的中點，過點M的直線l（直線l不過兩點）與二次函數(shù)圖象交于兩點，直線與直線相交于點P．①求證：點P在一條定直線上；②若，請直接寫出滿足條件的直線l的解析式，不必說明理由．考點七：二次函數(shù)與不等式關(guān)系【典例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；③當x>1時，隨的增大而減小；④關(guān)于的一元二次方程的另一個根是；⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川眉山·二模）若拋物線經(jīng)過和兩點，開口向上，且與軸有兩個交點，則的取值范圍是．【典例3】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知二次函數(shù)（a是常數(shù)，且），（1）若點在該函數(shù)的圖象上，則a的值為；（2）當時，若，則函數(shù)值y的取值范圍是．【典例4】（2024·山東煙臺·中考真題）已知二次函數(shù)的與的部分對應值如下表：下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，的取值范圍為；若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為．考點八：二次函數(shù)的實際應用【典例1】（2024·山東濟南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點在邊上，，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)，沿折線勻速運動，到達點后停止，連接．設(shè)點的運動時間為，為．當動點沿勻速運動到點時，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個結(jié)論：①；②當時，；③當時，；④動點沿勻速運動時，兩個時刻，分別對應和，若，則．其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④【典例2】（2024·黑龍江大慶·中考真題）“爾濱”火了，帶動了黑龍江省的經(jīng)濟發(fā)展，農(nóng)副產(chǎn)品也隨之暢銷全國．某村民在網(wǎng)上直播推銷某種農(nóng)副產(chǎn)品，在試銷售的天中，第天且為整數(shù))的售價為(元千克)．當時，；當時，．銷量(千克)與的函數(shù)關(guān)系式為，已知該產(chǎn)品第10天的售價為元千克，第天的售價為元千克，設(shè)第天的銷售額為(元)．(1)，_____；(2)寫出第天的銷售額與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求在試銷售的天中，共有多少天銷售額超過元？【典例3】（2024·貴州·模擬預測）如圖①，灑水車沿著平行于公路路牙方向行駛，噴水口離地面豎直高度為．如圖②，可以把灑水車噴出水的內(nèi)、外邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．內(nèi)邊緣拋物線是由外邊緣拋物線向左平移得到，外邊緣拋物線的最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口．(1)求外邊緣拋物線的函數(shù)表達式；(2)求內(nèi)邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；(3)要使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍．【典例4】（2024·甘肅蘭州·中考真題）在校園科技節(jié)期間，科普員為同學們進行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號水火箭的實物圖，水火箭發(fā)射后的運動路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學們進一步展開研究．如圖2建立直角坐標系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號水火箭與地面成一定角度時，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點O的水平距離的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：水平距離0341015202227豎直高度03.244.168987.043.24(1)根據(jù)上表，請確定拋物線的表達式；(2)請計算當水火箭飛行至離發(fā)射點O的水平距離為時，水火箭距離地面的豎直高度．【典例5】（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點P到的距離（橋塔的粗細忽略不計）(1)求纜索所在拋物線的函數(shù)表達式；(2)點E在纜索上，，且，，求的長．【典例6】（2024·湖北·中考真題）如圖，某校勞動實踐基地用總長為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田，墻長為42m．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設(shè)矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位：m)，與墻平行的一邊長為y(單位：m)，面積為S(單位：)．(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍)；(2)矩形實驗田的面積S能達到嗎？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．(3)當x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？考點九：二次函數(shù)綜合【典例1】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，A、B為一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的公共點，點A、B的橫坐標分別為0、4．P為二次函數(shù)的圖像上的動點，且位于直線的下方，連接、．(1)求b、c的值；(2)求的面積的最大值．【典例2】（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于C點，設(shè)拋物線的對稱軸為直線l．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設(shè)點C關(guān)于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由；(3)如圖（乙），設(shè)