專題07圖形的初步認(rèn)識(shí)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一：幾何圖形基礎(chǔ)知識(shí)模塊二：相交線03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點(diǎn)）考點(diǎn)一：由幾何體展開圖計(jì)算表面積、體積考點(diǎn)二：正方體的展開圖（高頻）考點(diǎn)三：指出現(xiàn)實(shí)問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)（高頻）考點(diǎn)四：線段的和與差考點(diǎn)五：與角平分線有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)六：與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)七：利用平行線的判定進(jìn)行證明考點(diǎn)八：根據(jù)平行線的性質(zhì)求解考點(diǎn)九：根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求解考點(diǎn)十：平行線的形狀在生活中的應(yīng)用（高頻）04破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（3大重難點(diǎn)）重難點(diǎn)一：平行線常見輔助線作法—與“拐點(diǎn)”作平行線重難點(diǎn)二：等積模型重難點(diǎn)三：三角板拼接模型05辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（5大易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)1：不能把握直線、射線、線段的特征而致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)2：計(jì)算線段的長度或角的度數(shù)時(shí)未分類討論，導(dǎo)致漏解易錯(cuò)點(diǎn)3：不注意角的單位未統(tǒng)一而致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)4：三線八角的識(shí)別易錯(cuò)點(diǎn)5：忽略同位角(或內(nèi)錯(cuò)角)相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的前提知識(shí)模塊一：幾何圖形基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一：平面圖形與立體圖形1.立體圖形立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，這個(gè)圖形叫做立體圖形.立體圖形的分類：2.平面圖形平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個(gè)圖形叫做平面圖形.幾何圖形的概念:我們把實(shí)物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形，幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.【補(bǔ)充】幾何圖形不研究物體的顏色、質(zhì)量、質(zhì)地等性質(zhì)，只關(guān)注物體的形狀、大小和位置.【常見的平面圖形的種類】線段、角、三角形、長方形、圓等.知識(shí)點(diǎn)二：直線、射線、線段1.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系直線射線線段定義直線是幾何圖形基礎(chǔ)，是一個(gè)不做定義的原始概念.直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線.直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段.圖形表示方法直線AB或直線BA直線m射線OA射線n線段AB、線段BA線段l端點(diǎn)個(gè)數(shù)無1個(gè)2個(gè)度量情況不可度量不可度量可以度量延伸情況可向兩方無限延伸只能以一方無限延伸不能延伸作法敘述作直線AB作直線m作射線OA作線段AB作線段m連接AB延伸敘述反向延伸射線OA延長線段AB

反向延伸線段BA聯(lián)系射線和線段都是直線的一部分，線段向一方無限延伸就成為射線，向兩方無限延伸就成為了直線，射線向反方向無限延伸就成為直線.2、有關(guān)直線的基本事實(shí)經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線，簡述為兩點(diǎn)確定一條直線.3、線段的性質(zhì)兩點(diǎn)的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離.它是線段的長度，是數(shù)量（非負(fù)）.線段基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短.知識(shí)點(diǎn)三：角1、角的定義角的定義（靜態(tài)）：由公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．角的定義（動(dòng)態(tài)）：由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.2、角的度量單位和換算角的度量單位：度、分、秒是常用的角的度量單位，1）把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，記為1°；2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，記為1″；3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，記為1′.角的換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°角的換算方法：1）由度化為分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；2）由分、秒化為度的形式（即由低位向高位化）：，.3、角平分線角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.4、方向角方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.方位角：從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，叫做方位角，取值范圍為0°到360°,比如正東方向就是方位角為90°,正西方向就是方位角為270°.5、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)余角的性質(zhì)：同角（等角）的余角相等；補(bǔ)角的性質(zhì)：同角（等角）的補(bǔ)角相等；知識(shí)模塊二：相交線知識(shí)點(diǎn)一：相交線直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.垂線的定義：當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線段的定義：如圖，點(diǎn)P為直線外一點(diǎn),PO⊥m，垂足為0，稱PO為點(diǎn)P到直線m的垂線段.垂線段最短定理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點(diǎn)P與直線m上的各點(diǎn)連線中，線段PO最短.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.【注意】1）垂線段是一個(gè)幾何圖形，而點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，容易出現(xiàn)概念混淆的錯(cuò)誤；2）過直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.知識(shí)點(diǎn)二：相交線中的角1.對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角種類圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)一個(gè)角的兩邊分別是另一角的兩邊的反向延長線∠1=∠2，∠3=∠4鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)兩個(gè)角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長線.∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°2.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征同位角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線同側(cè)形如字母“F”內(nèi)錯(cuò)角在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間形如字母“Z”同旁內(nèi)角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線之間形如字母“U”【補(bǔ)充】1）如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構(gòu)成8個(gè)角，簡稱為“三線八角”，其中共有4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)同旁內(nèi)角.2）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角指的是兩個(gè)角之間的位置關(guān)系，不是大小關(guān)系，它們之間的大小關(guān)系是不確定的.3）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是指具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角，是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)它們的識(shí)別要結(jié)合圖形.4）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角這三類角都沒有公共頂點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)三：平行線平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“∥”表示.如圖，直線AB與CD平行，記作;AB∥CD，讀作：AB平行于CD.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.【拓展】1）平行線具有傳遞性：若多條直線都與同一條直線平行，則這多條直線也相互平行.2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線相互平行，即在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別條件結(jié)論作用判定同位角相等兩直線平行由角的數(shù)量關(guān)系確定直線的位置關(guān)系內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行性質(zhì)兩直線平行同位角相等由直線位置關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)【總結(jié)】從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì).【注意】在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的結(jié)論.這是平行線特有的性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯(cuò)角就認(rèn)為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認(rèn)為互補(bǔ)，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.考點(diǎn)一：由幾何體展開圖計(jì)算表面積、體積1．（2023·江蘇無錫·中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，則該直三棱柱的表面積為．2．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）用相同尺寸的長方形紙板制作一個(gè)無蓋的長方體紙盒．先在紙板上畫出其表面展開圖（需剪掉陰影部分），兩種裁剪方案如圖1和圖2所示，圖中A，B，C均為正方形：下列說法正確的是（）A．方案1中的a=4 B．方案2中的b=6C．方案1所得的長方體紙盒的容積小于方案2所得的長方體紙盒的容積 D．方案1所得的長方體紙盒的底面積與方案2所得的長方體紙盒的底面積相同3．（2024·河北邯鄲·一模）一透明的敞口正方體容器ABCD?A'B'C'D'內(nèi)裝有一些有色液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α．（注：圖探究：如圖①，液面剛好過棱CD，并與棱BB'交于點(diǎn)Q，此時(shí)液體的三視圖及尺寸如圖②所示，那么圖利用圖②中數(shù)據(jù)，計(jì)算出圖①中液體的體積為多少？（提示：V＝底面積×高）拓展：在圖①的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出．若從正面看，液面與棱CC'或CB交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q始終在棱BB'上，設(shè)PC=xdm考點(diǎn)二：正方體的展開圖1．（2024·江西·中考真題）如圖是4×3的正方形網(wǎng)格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）全國兩會(huì)，習(xí)近平總書記在參加江蘇代表團(tuán)審議時(shí)指出，我們能不能如期全面建成社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國，關(guān)鍵看科技自立自強(qiáng)．將“科技、自立、自強(qiáng)”六個(gè)字分別寫在某正方體的表面上，如圖是它的一種表面展開圖，在原正方體中，與“強(qiáng)”字所在面相對(duì)面上的漢字是（

）A．自 B．立 C．科 D．技3．（2023·山東青島·中考真題）一個(gè)不透明小立方塊的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個(gè)這樣的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．344．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，已知骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面展開圖的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)三：指出現(xiàn)實(shí)問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)1．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)O為支點(diǎn)，使其向右傾斜．若在點(diǎn)A處分別施加推力F1、F2，則F1的力臂OA大于F2的力臂A．垂線段最短B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．兩點(diǎn)確定一條直線D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行2．（2024·吉林·中考真題）如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．

3．（2022·河北·二模）下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．B．C． D．考點(diǎn)四：線段的和與差1．（2023·寧夏·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB=2，則點(diǎn)C表示的數(shù)是

2．（2023·河北滄州·三模）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段的長短，則正確的結(jié)果是（

）A．AB>AC B．AB=AC C．AB<AC D．不能確定3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）A，B，C，D四個(gè)車站的位置如圖所示．求：(1)A，D兩站的距離；(2)C，D兩站的距離；(3)若a=3，C為AD的中點(diǎn)，求b的值．考點(diǎn)五：與角平分線有關(guān)的計(jì)算1．（2024·四川·中考真題）如圖，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1=30°，則∠2=（

A．15° B．30° C．45° D．60°2．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，△ABC中，在CA，CB上分別截取CD，CE，使CD=CE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠ACB內(nèi)交于點(diǎn)F，作射線CF，交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為點(diǎn)N，若BN=CN，AM=4，BM=5，則AC的長為

3．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D，點(diǎn)E在BA的延長線上，連接CE．

(1)求證：∠E=∠ECD；(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD，直接寫出△BCE的形狀．4．（2023鄭州市模擬）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時(shí)，由于(1)【知識(shí)運(yùn)用】如圖2，∠AOB=120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=________°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是________．（用含α的代數(shù)式表示）(2)如圖3若∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒5°的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒）使得∠COD的度數(shù)是20°？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．②當(dāng)t的值為多少時(shí)，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線？考點(diǎn)六：與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，直線AB∥CD，直線MN分別與直線AB、CD交于點(diǎn)E、F，且∠1=40°，則∠2等于（

）A．120° B．130° C．140° D．150°2．（2024·山東日照·中考真題）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O．若∠1=40°,∠2=120°，則∠COM的度數(shù)為（

）A．70° B．80° C．90° D．100°3．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一副三角尺按如圖方式擺放．若直線a∥b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)為（

）A．20° B．15° C．10° D．5°4．（2021·山東煙臺(tái)·一模）如圖，已知∠EOC是平角，OD平分∠BOC，在平面上畫射線OA，使∠AOC和∠COD互余，若∠BOC=56°，則∠AOB的度數(shù)為（

）A．118° B．34°C．90°或34° D．118°或6°考點(diǎn)七：利用平行線的判定進(jìn)行證明1．（2023·山東臨沂·中考真題）在同一平面內(nèi)，過直線l外一點(diǎn)P作l的垂線m，再過P作m的垂線n，則直線l與n的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能確定2．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖，直線a∥b，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線c∥d的是（

）A．∠3=∠4 B．∠1+∠5=180° C．∠1=∠2 D．∠1=∠43．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知AB=CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BD上，且AF=CE．請(qǐng)從①BF=DE；②∠BAF=∠DCE；③AF=CF中．選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使得△ABF≌△CDE．你添加的條件是：__________（只填寫一個(gè)序號(hào)）．添加條件后，請(qǐng)證明AE∥CF．4．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，DF經(jīng)過邊AC的中點(diǎn)E，且EF=DE．求證CF∥AB．考點(diǎn)八：根據(jù)平行線的性質(zhì)求解1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線m∥n，一塊含有30°的直角三角板按如圖所示放置．若∠1=40°，則∠2的大小為（

A．70° B．60° C．50° D．40°2．（2024·陜西·中考真題）如圖，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，則A．25° B．35° C．45° D．55°3．（2023·江蘇鹽城·中考真題）小華將一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（

A．45° B．60° C．75° D．105°4．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，則∠C=°．

考點(diǎn)九：根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求解1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知∠1=∠2，∠B=40°，則∠3的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“抖空竹”是我國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，某中學(xué)將此運(yùn)動(dòng)引人特色大課間，某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖所示，將圖1抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：在平面內(nèi)，AB∥CD．若∠BAE=50°，∠DCE=85°，則∠AEC的度數(shù)為（

）A．115° B．125° C．135° D．145°3．（2024西城區(qū)模擬）如圖是一種躺椅及其結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，∠AOE=∠BNM．(1)請(qǐng)對(duì)OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數(shù)．考點(diǎn)十：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【熱考】1．（2024·山西·中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α=25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角βA．155° B．125° C．115° D．65°2．（2023·四川綿陽·中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，∠1=122°，則∠2的度數(shù)為（

）A．32° B．58° C．68° D．78°3．（2024·山東濰坊·中考真題）一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架AB與吊線FG平行，燈桿CD與底部支架AB所成銳角α=15°．頂部支架EF與燈桿CD所成銳角β=45°，則EF與FG所成銳角的度數(shù)為（

）A．60° B．55° C．50° D．45°4．（2024·福建·中考真題）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如圖方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°重難點(diǎn)一：平行線常見輔助線作法—與“拐點(diǎn)”作平行線1．（2024·海南·中考真題）如圖，直線m∥n，把一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式放置，點(diǎn)B在直線n上，∠A=90°，若∠1=25°，則∠2等于（A．70° B．65° C．25° D．20°2①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，AD

(1)求證：∠B+∠C?∠A=180°：(2)如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究(3)如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直線AQ、BC交于點(diǎn)P，QP⊥PB，直接寫出考點(diǎn)二：等積模型1．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，若S△ABDS△BCD=2．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F．N是線段BF上的點(diǎn)，BN=2NF；M是線段DE上的點(diǎn)，DM=2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（

A．△AFE的面積 B．△BDF的面積C．△BCN的面積 D．△DCE的面積3.課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用閱讀理解：如圖1，已知直線a∥b，直線a，b的距離為h，則三角形ABC的面積為S△ABC

(1)【問題探究】如圖2，若點(diǎn)C平移到點(diǎn)D，求證：S△AOC(2)【深化拓展】如圖3，記S△AOC=S1、S△BOD=S(3)【靈活運(yùn)用】如圖4，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)O，已知S△ABE=10，且EO:EB=2:5，求四邊形CDEO4．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，連接AD并延長交l2于點(diǎn)M證明：過點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥∴△AEM∽．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS∴S△ABC(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在l2下方時(shí)，連接AD交l2于點(diǎn)E．若點(diǎn)A，E，D所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC考點(diǎn)三：三角板拼接模型1．（2023·河南信陽·二模）【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點(diǎn)O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板COD繞點(diǎn)O以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)OD邊與OB邊重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)．

【解決問題】(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)?zhí)畛觥螦OC、∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系______；(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；(3)當(dāng)∠AOC、∠AOB、∠BOC中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t值．

2．（2023·江蘇南京·二模）三角尺是幾何學(xué)習(xí)中常用的學(xué)具．【重溫舊知】(1)圖①～③是課本上三角尺的3種擺放方式．借助圖①中的∠α和∠β，課本定義了一種兩個(gè)角的關(guān)系，這種關(guān)系叫做______；圖②中，∠DBC的度數(shù)是______°，三角尺DEF的直角邊DF和三角尺ABC的直角邊AC之間的數(shù)量關(guān)系是______；圖③中確認(rèn)弦MN是圓的直徑的定理是______．

【探索研究】(2)如圖④，將圖②中的一副三角尺ABC和DEF疊放在一起，使得點(diǎn)D，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，我們?cè)谕黄矫鎯?nèi)研究下面兩個(gè)問題．①當(dāng)DF∥AB