難點與解題模型09三角形中七種常考方法求角度問題題型一：方程法求角度問題題型二：分類討論法求角度問題題型三：A字模型題型四：8字模型題型五：飛鏢（燕尾）模型題型六：三角形折疊模型題型七：雙角平分線模型題型一：方程法求角度問題方程法的解題步驟第一步：找出題中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、補角、對頂角、角平分線等第二步：根據(jù)題干中出現(xiàn)的角度和差、倍分關系或者角度比例關系，考慮設一個角為未知數(shù)第三步：用所設角度表示出其他角度第四步：通過列方程求解【中考母題學方法】【典例1】（2023·河南信陽·二模）【閱讀理解】如圖，小明把一副三角板直角頂點重疊在一起如圖固定三角板，將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為秒，當邊與邊重合時停止轉(zhuǎn)動．

【解決問題】(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛?、之間的數(shù)量關系______；(2)當運動時間為秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；(3)當、中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線是的“優(yōu)線”，請直接寫出所有滿足條件的值．【答案】(1)(2)有，平分，平分，理由見解析(3)，，，，【分析】（1）由題意，根據(jù)題目分析，然后畫出圖形可得結(jié)論；（2）依據(jù)題意，畫出圖形，然后分別計算出角的度數(shù)可得解；（3）依據(jù)題意，將所有可能情形梳理并分類討論可得的值．【詳解】（1）解：①如圖，，理由如下：由題意得，，．∴，

如圖，，理由如下：由題意得，，．∴，

綜上，．故答案為：；（2）解：有，平分，平分如圖所示，理由如下：當運動時間為秒時，，∴．∵，∴，∴，∴平分，∵，∴平分；

（3）解：由題意得，，．當時，，∴，解得；當，在內(nèi)部時，，∴，解得；當時，，∴，解得；當時，，∴，解得；當時，，∴，解得；綜上，，，，，．【點睛】本題主要考查角的計算，解題時需要全面考慮分析所有可能，學會分類討論是解題的關鍵．【中考模擬即學即練】【變式1-1】（23-24陜西西安）新定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角．如圖1，若射線在的內(nèi)部，且，則是的內(nèi)半角，根據(jù)以上信息，解決下面的問題：(1)如圖1，，若是的內(nèi)半角，則______，______．(2)如圖2，已知，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度至．若是的內(nèi)半角，求的值．(3)把一塊含有角的三角板按圖3方式放置，使邊與邊重合，邊與邊重合，如圖4，將三角板繞頂點以4度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為秒，當射線構成內(nèi)半角時，請求出的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）本題主要考查了角的和差，先根據(jù)題意算出的度數(shù)，再利用即可解答；弄清楚角之間的關系是解題的關鍵；（2）本題主要考查看旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應用等知識點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度數(shù)，根據(jù)是的內(nèi)半角，即可求出α的值即可；掌握內(nèi)半角的定義是解題的關鍵；（3）本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應用等知識點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構成內(nèi)半角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對應t值即可．掌握分類討論思想是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵是的內(nèi)半角，，∴，∴．故答案為：，．（2）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：．∴的值為．（3）解：①如圖4：此時是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；②如圖：此時是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；③如圖所示，此時是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；④如圖所示，此時是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：．綜上所述：當射線構成內(nèi)半角時，t的值為或或或．【變式1-2】（23-24湖南長沙）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角與這個角互余，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)余角，如圖1，若射線在的內(nèi)部，且，則是的內(nèi)余角．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：(1)如圖1，，若是的內(nèi)余角，則______；(2)如圖2．已知將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得到．同時將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得到．若是的內(nèi)余角，求的值；(3)把一塊含有角的三角板按圖方式放置，使邊與邊重合，邊與邊重合，如圖4將三角板繞頂點以度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為秒，在旋轉(zhuǎn)一周的時間內(nèi)，當射線構成內(nèi)余角時，請求出的值．【答案】(1)(2)的值為(3)當射線構成內(nèi)余角時，的值為秒或秒【分析】本題主要考查角的和差的運算，掌握內(nèi)余角的概念及計算方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)內(nèi)余角可求出的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別用含的式子表示，的度數(shù)，再根據(jù)是的內(nèi)余角列式求解即可；（3）根據(jù)內(nèi)余角的概念及計算方法，分類討論，當在內(nèi)部時；當在射線下方時；當在上方時；當在內(nèi)部時；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)表示角的數(shù)量關系，列表求解即可．【詳解】（1）解：∵是的內(nèi)余角，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：；（2）解：已知，繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得到，繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得到，∴，，∴，，∵是的內(nèi)余角，∴，∴，解得，∴的值為；（3）解：根據(jù)題意可得，，三角板繞頂點以度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為秒，當在內(nèi)部時，如圖所示，∴，，∴，，若是的內(nèi)余角時，得，∴，無解，∴當在內(nèi)部時，射線不能構成內(nèi)余角；當在射線下方時，如圖所示，∴，，若是的內(nèi)余角，∴，解得，（秒）；當在上方時，如圖所示，∴，，若是的內(nèi)余角，∴，解得，（秒）；當在內(nèi)部時，如圖所示，∴，，，∴，若是的內(nèi)余角，∴，無解，∴當在內(nèi)部時，射線不能構成內(nèi)余角；綜上所述，當射線構成內(nèi)余角時，的值為秒或秒．【變式1-3】（23-24河南焦作）一副三角板按如圖1所示放置，邊，在直線上，．如圖2，將三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到，轉(zhuǎn)速為每秒鐘轉(zhuǎn)動，當旋轉(zhuǎn)一周回到射線上時停止轉(zhuǎn)動，設轉(zhuǎn)動時間為秒．(1)當與重合時，直接寫出的值；(2)①當正好平分時，在圖1中畫出此時的位置，并求出t的值；②在旋轉(zhuǎn)過程中，作的角平分線，當時．直接寫出t的值．【答案】(1)15秒(2)①圖見詳解，的值為21秒；②的值為33或45秒【分析】本題考查了角的計算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關鍵．（1）根據(jù)已知角的度數(shù)和平角的定義直接求度數(shù)即可；（2）①根據(jù)求解即可；②根據(jù)題意分兩種情況得出的度數(shù)，求解即可．【詳解】（1）解：由題知，（秒）；（2）①如圖所示：∵正好平分∴，∴，的值為21；②當在內(nèi)部時，，∴∵平分∴∴∴當在外部時，∴∵平分∴∴轉(zhuǎn)動的角度為：，解得，當時．的值為33或45（秒）．題型二：分類討論法求角度問題?？挤诸愑懻摰那樾?.若題中出現(xiàn)角度大小,但不明確角度邊的位置,需對角的位置進行分情況討論,再根據(jù)角度大小分別求解:2.若題中出現(xiàn)射線旋轉(zhuǎn),并讓探究三條射線中某一條射線是另兩條射線夾角的平分線,需分別討論哪條射線是角平分線的情況;3.若題中出現(xiàn)射線三等分角,但并未說明射線靠近角度的哪一邊,需對射線的位置進行分情況討論.【中考母題學方法】【典例2】（22-23浙江）【問題提出】已知與有共同的始邊，且滿足，若，求的度數(shù)．【問題解決】圓圓首先畫出兩個符合題意的圖形，運用分類討論的數(shù)學思想，解決問題．在圖①中，當射線在的內(nèi)部時，由題意易得；在圖②中，當射線在的外部時，由題意易得．

【問題應用】請仿照這種方法，解決下面兩個問題(1)如圖③，已知點A，B，C在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為，2，1，請在數(shù)軸上標出線段的中點D并寫出D所表示的數(shù)；若數(shù)軸上存在點E，它到點C的距離恰好是線段的長，求線段的長．(2)如果兩個角的差的絕對值等于，就稱這兩個角互為垂角，例如：，則和互為垂角（本題中所有角都是指大于且小于的角）．①若，求的垂角；②如果一個角的垂角等于這個角的補角的，求這個角的度數(shù)．【答案】(1)或(2)①；②或【分析】本題考查了互為垂角和補角的定義及運用，數(shù)軸，數(shù)軸上兩點之間的距離，絕對值，解題關鍵是找準角之間關系．（1）根據(jù)中點的定義找到點D，由已知的A、B、C所表示的數(shù)求出的長度，就可以求出E點所在的位置，再求出的長度．（2）①根據(jù)互為垂角的定義求出即可．②根據(jù)已知條件，分類列出方程解之．【詳解】（1）解：∵點A，B，C在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為，2，1，點D的線段的中點，∴D所表示的數(shù)為，，如圖，點D即為所求；

∵點E到點C的距離恰好是線段的長，∴，∴點C表示的數(shù)為7或，∴的長為：或；（2）解：①設的垂角為，根據(jù)題意得：，∴或，解得或230（舍去），∴的垂角為；②設這個角的度數(shù)為，當時，它的垂角為，根據(jù)題意得，解得：，當時，它的垂角為，根據(jù)題意得，解得，故這個角的度數(shù)為或．【中考模擬即學即練】【變式2-1】（24-25·江蘇無錫）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角．如圖①所示，若，則是的內(nèi)半角．(1)如圖①所示，已知，，是的內(nèi)半角，則________．(2)如圖②，已知，將繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度至，當旋轉(zhuǎn)的角度為何值時，是的內(nèi)半角？(3)已知，把一塊含有角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點O以/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖④，問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，且射線始終在的外部，射線能否構成內(nèi)半角？若能，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)當旋轉(zhuǎn)的時間為或或或時，射線，，，能構成內(nèi)半角【分析】（1）由內(nèi)半角的定義得，再由即可求解；（2）由旋轉(zhuǎn)得：，由角的和差得，，再由內(nèi)半角的定義得，即可求解；（3）分四種情況討論，利用內(nèi)半角的含義，建立一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）解：，是的內(nèi)半角，，；故答案：；（2）解：當旋轉(zhuǎn)的角度為時，是的內(nèi)半角；理由如下：由旋轉(zhuǎn)得：，，，是的內(nèi)半角，，，解得：；（3）在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線，，，能構成內(nèi)半角，理由如下；理由：設按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度，旋轉(zhuǎn)的時間為t，如圖1，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴；如圖2，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴；如圖3，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴，如圖4，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴，綜上所述，當旋轉(zhuǎn)的時間為或或或時，射線，，，能構成內(nèi)半角.【點睛】本題考查了新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的和差，一元一次方程的應用，理解新定義，能根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程確定時間范圍，進行分類討論是解題的關鍵．【變式2-2】（23-24·廣東廣州）（1）如圖，線段，C為的中點，點P從點A出發(fā)，以的速度沿線段向右運動，到點B停止；點Q從點B出發(fā)，以的速度沿線段向左運動，到點A停止．若P，Q兩點同時出發(fā)，當其中一點停止運動時，另一點也隨之停止．設點P的運動時間為x（）s．（?。_______cm．（ⅱ）是否存在某一時刻，使得C，P，Q這三點中，有一點恰為另外兩點所連線段的中點？若存在，求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由．（2）一副三角板按左圖中的方式拼接在一起，其中邊、與直線上，，．（?。_______度．（ⅱ）如圖，三角板固定不動，將三角板繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角（即），在轉(zhuǎn)動過程中兩個三角板一直處于直線的上方．①當平分，，其中的兩邊組成的角時，________．②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻滿足？若存在，求此時的角；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（?。?0（ⅱ）x=6；（2）（?。?5（ⅱ）①的值為，，②當或時，存在【分析】（1）（?。└鶕?jù)線段中點，可得答案；（ⅱ）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．（2）（?。└鶕?jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（ⅱ）①根據(jù)已知條件和角平分線的定義即可得到結(jié)論；②當在的左側(cè)時，當在的右側(cè)時，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）（?。逤為的中點∴．故答案為：10；（ⅱ）存在，①∵P的速度2，Q的速度是1，∴，又，∴∴不是線段的中點；②為線段的中點，得，解得x=6；③為線段的中點，得，解得綜上所述：x=6或．（2）（?。?，，，故答案為：75；（ⅱ）①當平分時，，，，，，當平分時，，，；當平分時，，，，綜上所述，旋轉(zhuǎn)角度的值為，，；②當在的左側(cè)時，則，，，，；當在的右側(cè)時，則，，，，，綜上所述，當或時，存在．【點睛】本題考查了兩點間的距離，角的計算，特殊角，角平分線的定義，利用線段中點的性質(zhì)得出關于的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．【變式2-3】（24-25陜西西安）探究與實踐將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知，，按如圖1所示擺放，將、邊重合在直線上，、邊在直線的兩側(cè)：【問題發(fā)現(xiàn)】（1）保持三角板不動，將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則①__________；②__________．【問題探究】（2）若三角板按每分鐘的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，三角板按每分鐘的速度也繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到射線上時都停止運動，設旋轉(zhuǎn)t分鐘，計算（用含t的代數(shù)式表示）．【問題解決】（3）保持三角板不動，將三角板繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，若射線平分，射線平分，求的大?。敬鸢浮浚?）①；②；（2）；（3）或【分析】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，角的動態(tài)定義的理解；（1）①將轉(zhuǎn)化為即可得；②依據(jù)、，將原式轉(zhuǎn)化為計算可得；（2）設運動時間為t秒，，只需表示出即可得出答案，而在與相遇時，，再畫出圖形求解即可；（3）設繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，再分①①時，如圖；②時，如圖，分別畫出圖形求解即可．【詳解】解：（1）①，②；（2）設旋轉(zhuǎn)時間為t秒，則，，當與相遇時，，解得：，如圖，，∴；（3）設繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，①時，如圖，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴∴，∴；②時，如圖，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴，∴．綜上，或．題型三：A字模型模型結(jié)論：．【中考母題學方法】【典例3】（2024·貴州·模擬預測）教材回顧我們知道，直角三角形的兩個銳角互余，你能對直角三角形的這一性質(zhì)進行證明嗎？性質(zhì)證明（1）為了證明該性質(zhì)，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在直角三角形中，求證：性質(zhì)運用（2）如圖2，在中，，點，分別在，上，且，，，求證：．拓展提升（3）如圖3，在中，，，，分別為，的中點．，分別在，上，且，，與相交于，與相交于求證：點是的中點【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)論；（2）先證明，得到，求出的長，進而求出的長，勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，即可得證；（3）先證明，得到，進而得到，三線合一，得到，得到，進而得到，推出，等量代換得到，即可得證．【詳解】（1）證明：由三角形的內(nèi)角和定理可得，又，∴．（2）證明：∵，，∴，∴，即，解得，∴．在中，，，，∵∴是直角三角形，且，∴．（3）證明：∵，為的中點，∴，又，∴，∴．∵，點為的中點，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．∵，點是的中點，∴，即．∴，∴，∴，∴，∴點為的中點．【中考模擬即學即練】【變式3-1】如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，，故選：D．【變式3-2】如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．【詳解】解：和是的外角，．又，．【變式3-3】如圖1，直線與的邊，分別相交于點，（都不與點重合）.

(1)若，①求的度數(shù)；②如圖2，直線與邊，相交得到和，直接寫出的度數(shù).(2)如圖3，，分別平分和，寫出和的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖4，在四邊形中，點，分別是線段、線段上的點，，分別平分和，直接寫出與，的關系.【答案】(1)①；②(2)，理由見解析(3).【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識點，靈活運用相關知識是正確解答的關鍵．（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義進行計算即可；②根據(jù)①的結(jié)論即可解答；（2）由（1）的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理即可解答；（3）由（2）的結(jié)論可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行解答即可．【詳解】（1）解：①如圖1，∵，∴，∵，∴；②由①方法可得：．（2）解：，理由如下：由（1）可得．∵，分別平分和，∴，∴，∴．（3）解：，理由如下：由圖2可得，，∵，分別平分和，∴，∴，∴．題型四：8字模型模型結(jié)論：2∠P=∠B+∠D【中考母題學方法】【典例4】（2024·寧夏·中考真題）綜合與實踐如圖1，在中，是的平分線，的延長線交外角的平分線于點．【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：___________；結(jié)論2：當圖1中時，如圖2所示，延長交于點，過點作的垂線交于點，交的延長線于點．則與的數(shù)量關系是___________．【應用結(jié)論】（1）求證：；（2）在圖2中連接，，延長交于點，補全圖形，求證：．【答案】【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：；結(jié)論2：相等（或）；【應用結(jié)論】（1）見解析；（2）見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、等邊對等角、等角對等邊、勾股定理等知識，熟練掌握知識點推理證明是解題的關鍵．[發(fā)現(xiàn)結(jié)論]結(jié)論1：根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，推出，，即可得出；結(jié)論2：根據(jù)已知，和結(jié)論1，得出，根據(jù)角平分線的定義得出，進一步推出，利用證明，即可得出；[應用結(jié)論]（1）根據(jù)過點作的垂線交于點，得出，推出，結(jié)合結(jié)論2：，利用證明，即可證明；（2）連接，，延長交于點，根據(jù)垂線的定義得出，由結(jié)論2得：，由（1）過程得：，根據(jù)等邊對等角、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，推出，，，根據(jù)對頂角相等得出，推出，進一步得出，，根據(jù)等角對等邊得出，，即可證明．【詳解】解：[發(fā)現(xiàn)結(jié)論]結(jié)論1：∵是的平分線，的延長線交外角的平分線于點，∴，，∴，又∵，∴，故答案為：；結(jié)論2：∵，由結(jié)論1得，∴，∵是的平分線，過點作的垂線交于點，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：相等（或）；[應用結(jié)論]（1）證明：∵過點作的垂線交于點，∴，∴，∵，∴，∴，又∵由結(jié)論2得：，∴在和中，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，，延長交于點，∵過點作的垂線交于點，∴，∵由結(jié)論2得：，由（1）過程得：，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴．【中考模擬即學即練】【變式4-1】（2024·山東濰坊·模擬預測）濰坊紅木嵌銀漆器是山東濰坊特有的傳統(tǒng)手工藝品，最早可追溯到戰(zhàn)國時代在一些銅器上鑲嵌金銀絲花紋；如圖為某嵌銀廠制作的傳統(tǒng)工藝紅木嵌銀靠背馬扎，其側(cè)面圖如圖所示，，與地面平行，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練運用平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理．先由平角求出的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，，，，，故選：C．【變式4-2】（2024·山西·三模）如圖1是一個可調(diào)節(jié)的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面與底座平行，等長的支架交于它們的中點E．液壓桿．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】主要考查等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，確定，再由對頂角及平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】解：∵等長的支架交于它們的中點E，，∴，∴，∴，∵，∴，故選：D【變式4-3】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖1，在平行四邊形中，，的延長線交于點F．(1)求的長；(2)如圖2，的角平分線交于點P，點Q在上；①當為等腰三角形時，求的長；②如圖3，當點Q在線段上，連接，將沿翻折得到，點M恰好落在邊上，試求線段的長．【答案】(1)；(2)①或或②．【分析】（1）解直角三角形求得，進而求得結(jié)果；（2）①作于F，分為三種情形：當時，可推出是等腰直角三角形，解三角形求得，進而求得結(jié)果，進而求得和情形；②可推出從而進而推出從而求得，進一步得出結(jié)果．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形分類，解直角三角形，折疊得性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，掌握相關知識是解決問題的關鍵．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，（2）解：①如圖1，作于G，當時，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，在中，設在中，由得，如圖2，當時，由上知：如圖3，當時，綜上所述：或或②如圖，將沿翻折得到，∵四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，∵將沿翻折得到，∴∴∵，∴，∴，∴，∴．題型五：飛鏢（燕尾）模型模型結(jié)論：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．∠O=（∠A+∠C）?！螼=（∠D-∠B）?！局锌寄割}學方法】【典例5】（2024·河南·模擬預測）如圖，點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理．連接，利用四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：如圖，連接，則，，∵，∴，∴，故選：C．【中考模擬即學即練】【變式5-1】如圖，，，，的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】延長交于，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出，再利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．【解答】解：如圖，延長交于，，，，，．故選：．【點評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．【變式5-2】請閱讀下列材料，并完成相應的任務：有趣的“飛鏢圖”．如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應用呢?下面我們進行認識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角“凹”逃去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：方法一：如圖2，連結(jié)AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連結(jié)CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個外角，．．．．．．．．．．大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論．任務：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學定理是_________；(2)探索及應用：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分．【答案】(1)三角形的內(nèi)角和定理(2)見解析【分析】（1）根據(jù)解題過程作答即可；（2）連結(jié)CD并延長至F，由三角形外角的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）由解題過程可得，“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學定理是三角形的內(nèi)角和定理，故答案為：三角形的內(nèi)角和定理；（2）連結(jié)CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個外角，，，即．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式5-3】（2024·江蘇·統(tǒng)考期中）【概念學習】在平面中，我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角，如果兩個角相加等于，那么稱這兩個角互為組角，簡稱互組．（1）若、互為組角，且，則________；【理解運用】習慣上，我們把有一個內(nèi)角大于的四邊形俗稱為鏢形．（2）如圖①，在鏢形中，優(yōu)角與鈍角互為組角，試探索內(nèi)角、、與鈍角之間的數(shù)量關系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖②，________；（用含的代數(shù)式表示）（4）如圖③，已知四邊形中，延長、交于點，延長、交于，、的平分線交于點，；①寫出圖中一對互組的角________（兩個平角除外）；②直接運用（2）中的結(jié)論，試說明：；（5）如圖④，、分別為，的2019等分線（）．它們的交點從上到下依次為，，，…，．已知，，則_______．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】（1）225°；（2）鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）2α；（4）①優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ；②見解析；（5）【分析】（1）根據(jù)互為組角的定義可知∠2=360°-∠1，代入數(shù)據(jù)計算即可；（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得∠A+∠B+優(yōu)角∠BCD+∠D=360°，根據(jù)周角的定義可得優(yōu)角∠BCD+鈍角∠BCD=360°′，再利用等式的性質(zhì)得出鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）兩次運用鏢形中的角的關系可得；（4）①根據(jù)互為組角的定義及周角的定義，結(jié)合圖形可知優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ是一對互組的角；②先由∠APD、∠AQB的平分線交于點M，得出∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．由（2）中的結(jié)論可知在鏢形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，在鏢形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，于是根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠QCP+∠A=2∠PMQ，而∠A+∠QCP=180°，那么∠PMQ=90°，即PM⊥QM．（5）由，知，代入得，據(jù)此得出，代入可得答案．【詳解】解：（1）∵∠1、∠2互為組角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°；（2）鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下：如圖①，∵在四邊形ABCD中，∠A+∠B+優(yōu)角∠BCD+∠D=360°，又∵優(yōu)角∠BCD+鈍角∠BCD=360°，∴鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2α；（4）①優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ；②∵∠APD、∠AQB的平分線交于點M，∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．∵在鏢形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，在鏢形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，∴∠QCP+∠A=2∠PMQ，∵∠A+∠QCP=180°，∴∠PMQ=90°．∴PM⊥QM；（5）如圖，由題意知，，，，，，則，代入得：，解得：，，，．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，四邊形內(nèi)角和定理，角平分線定義，垂直的定義，等式的性質(zhì)，學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解互為組角的定義以及得出（2）中的關系是解題的關鍵．題型六：三角形折疊模型模型結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；2∠C=∠2-∠1?！局锌寄割}學方法】【典例6-1】（2024·四川·中考真題）如圖，中，，，，折疊，使點A與點B重合，折痕與交于點D，與交于點E，則的長為．【答案】3【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．設，則，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)，得，設，則，由勾股定理，得，∴，解得.故答案為：3．【典例6-2】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，，D是邊的中點，E是邊上一點，連接．將沿翻折，點C落在上的點F處，則．【答案】【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，勾股定理求出的長，折疊得到，，設，在中，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵，，，D是邊的中點，∴，∴，∵將沿翻折，點C落在上的點F處，∴，，∴，設，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故答案為：．【典例6-3】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，，E是中點，F(xiàn)是上一點，沿著折疊，若，則．【答案】【分析】取中點為D、連接，作中點G，連接交，交于O，根據(jù)勾股定理求出的長，由折疊性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)得出共線，即O與重合，利用中位線性質(zhì)，勾股定理得出一元二次方程，求出結(jié)果即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，取中點為D、連接，作中點G，連接交，交于O，在中為中點，，由折疊可知：，點G是中點，在中有，且，在中，，在中，E為中點，G為中點，，取中點為，則，，，共線，即O與重合，，在中，，為的中點，D為的中點，，，，在中，設，則，，，在中，，即，整理得：，解得：，，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，一元二次方程的幾何應用，中位線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，熟練掌握相關性質(zhì)定理，準確作出輔助線為解題關鍵．【中考模擬即學即練】【變式6-1】（2024·湖南·二模）如圖，在四邊形內(nèi)部，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了三角形和四邊形內(nèi)角和，解題的關鍵是掌握以上知識點．首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和求解即可．【詳解】∵∴∵，∴．故選：B．【變式6-2】（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，在中，將沿折疊后，點D恰好落在的延長線上的點E處，若，，則的周長為（

）A．12 B．18 C．15 D．21【答案】B【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．由折疊的性質(zhì)與題意可得，，由，可知，則，，進而可求的值，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，，∵，∴，∴，∴，∴，的周長為：，故選：B．【變式6-3】（2024·廣東·模擬預測）如圖所示，在中，將點A與點B分別沿和折疊，使點A，B都與點C重合，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)是解題關鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，最后由求的度數(shù)．【詳解】解：將點與點分別沿和折疊，使點、與點重合，∴，，∵，∴，∵，∴，解得故選：B．【變式6-4】（2024·貴州貴陽·二模）綜合與實踐問題情境：在綜合與實踐課上，老師要求同學們以“折紙中的數(shù)學”為主題開展活動．獨立思考：（1）如圖①，將三角形紙片沿折疊，使點落在四邊形內(nèi)點的位置，則與之間的數(shù)量關系為，請說明理由；深入探究：（2）如圖②，若點落在四邊形的邊下方時，試猜想此時與，之間的數(shù)量關系，并說明理由；結(jié)論運用：（3）如圖③，在四邊形中，，，分別是，邊上的一點，沿將四邊形折疊，點的對應點恰好落在邊上，且，．①的度數(shù)為；②若，，求點到的距離．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）①；②【分析】（1）連接，由折疊的性質(zhì)得出．由三角形外角的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）由三角形外角的性質(zhì)得出，，則可得出結(jié)論；（3）①延長交的延長線于，由（2）中結(jié)論可知，求出即可得出答案；②過點作交于點，過點作交的延長線于點，求出，．求出，得出，則可得出答案．【詳解】解：（1），理由如下：連接，如圖①，將三角形紙片沿折疊，點落在四邊形內(nèi)點的位置，．，，，即；故答案為：；（2），理由如下：設與交于點，如圖②，，，，；（3）①延長交的延長線于，由（2）中結(jié)論可知，如圖③，，．，．故答案為：；②過點作交于點，過點作交的延長線于點，如圖，，，，．，，，，．，，，即點到的距離為．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理及直角三角形的相關性質(zhì)等內(nèi)容，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．題型七：雙角平分線模型1.雙內(nèi)角平分線模型結(jié)論：2∠P=∠A+∠D。2.雙外角平分線模型結(jié)論：．3.內(nèi)角平分線+外角平分線模型結(jié)論：．的度數(shù)是．【中考母題學方法】【典例7-1】（2024·四川達州·中考真題）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則度．【答案】【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先分別對運用三角形的外角定理，設，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．【詳解】解：如圖：∵，，∴設，，則，，由三角形的外角的性質(zhì)得：，，∴，如圖：同理可求：，∴，……，∴，即，故答案為：．【典例7-2】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，點為內(nèi)部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當?shù)闹荛L最小時，則．【答案】/度【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用；作點P