專(zhuān)題01三角形(考點(diǎn)清單，知識(shí)導(dǎo)圖+11個(gè)考點(diǎn)清單+9種題

型解讀)

考點(diǎn)儕單

三角形的邊I一三時(shí)彩兩邊之和大于第三邊，兩邊之美小于第三邊

三角形的重要域段

中伐

府平分修

三角形的穩(wěn)定也

第十一章

三角形三角彩的內(nèi)角三角形內(nèi)角和苦于岫產(chǎn)

三商壽不一不外片孑彳g

三角形的”?角［

它不相你的兩個(gè)內(nèi)角的和

多邊彩J

〃邊附內(nèi)前和等于(?-2)x

多邊格的內(nèi)向和

要邊看的外前和易于MF

【清單01】三角形的定義

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

要點(diǎn)歸納：

(1)三角形的基本元素:

①三角形的邊：即組成三角形的線段；

②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角;

③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).

(2)三角形的定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.

(3)三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”,

注意單獨(dú)的△沒(méi)有意義；^ABC的三邊可以用大寫(xiě)字母AB、BC、AC來(lái)表示，也可以用小寫(xiě)字母a、b、c來(lái)

表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示.

【清單02】三角形的三邊關(guān)系

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.

要點(diǎn)歸納：

(1)理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.

(2)三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這

三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍.

(3)證明線段之間的不等關(guān)系.

【清單03】三角形的分類(lèi)

1.按角分類(lèi):

直角三角形

三角形銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

要點(diǎn)歸納:

①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;

②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.

2.按邊分類(lèi):

不等邊三角形

三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形《

等邊三角形

要點(diǎn)歸納：

①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形;

②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩

腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角；

③等邊三角形：三邊都相等的三角形.

【清單04】三角形的三條重要線段

三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們

以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表

如下:

線段

三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

名稱

三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的三角形中，連接一個(gè)頂

文字與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角

對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線

語(yǔ)言的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線

點(diǎn)和垂足之間的線段.段.

段.

AAA

圖形

\cB4c

語(yǔ)言2

DDD

作圖過(guò)點(diǎn)A作AD_LBC于點(diǎn)D.取BC邊的中點(diǎn)D,連接作NBAC的平分線AD,交

語(yǔ)言AD.BC于點(diǎn)D.

AAA

標(biāo)示

圖形\C

DD

1.AD是△ABC的高.1.AD是△ABC的中線.

2.AD是4ABC中BC邊上的2.AD>AABC中BC邊1.AD是4ABC的角平分

高.上的中線.線.

符號(hào)

12.AD平分/BAC,交BC于

3.AD_LBC于點(diǎn)D.3.BD=DC=—BC

語(yǔ)言2

點(diǎn)

4.ZADC=90°,ZADB=D.

4.點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn).

1

90°.3.N1=N2=—NBAC.

2

(或NADC=NADB=90°)

因?yàn)锳D是4ABC的高，所因?yàn)锳D是4ABC的中因?yàn)锳D平分/BAC,所以

推理1

以ADXBC.線，所以BD=DC=-Z1=Z2=—ZBAC.

語(yǔ)言22

(或NADB=/ADC=90°)

BC.

用途1.線段垂直.1.線段相等.

角度相等.

舉例2.角度相等.2.面積相等.

注意1.與邊的垂線不同.

——與角的平分線不同.

事項(xiàng)2.不一定在三角形內(nèi).

重要三角形的三條高（或它們的一個(gè)三角形有三條中一個(gè)三角形有三條角平分

特征延長(zhǎng)線）交于一點(diǎn).線，它們交于三角形內(nèi)線，它們交于三角形內(nèi)一

一點(diǎn).點(diǎn).

【清單05】三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.

要點(diǎn)歸納：

（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變.

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用.例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定;

在柵欄門(mén)上斜著釘一條（或兩條）木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門(mén)不變形.大橋鋼架、輸電線支架都

采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理.

（3）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可

以改變.四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺.有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如

在門(mén)框未安好之前，先在門(mén)框上斜著釘一根木板，使它不變形.

【清單06】三角形的內(nèi)角和

三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°.

要點(diǎn)歸納：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類(lèi)問(wèn)題：

①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；

②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；

③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系.

【清單07】直角三角形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

判定1：有一個(gè)角是直角的三角形式直角三角形

判定2：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形

【清單08】三角形的外角

1.定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角.如圖，/ACD是AABC的一個(gè)外角.

要點(diǎn)歸納：

⑴外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的

延長(zhǎng)線.

(2)三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角.所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外

角，因此，我們常說(shuō)三角形有三個(gè)外角.

2.性質(zhì)：

(1)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

(2)三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.

要點(diǎn)歸納：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依

據(jù).另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì).

3.三角形的外角和：

三角形的外角和等于360°.

要點(diǎn)歸納：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°,可推出三角形的

三個(gè)外角和是360°.

【清單09】多邊形的概念

1.定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形.其中，各個(gè)角

相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.

2.相關(guān)概念：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。

對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

3.多邊形的分類(lèi):畫(huà)出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)

多邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形。如圖：

凹多邊形

凸多邊形

要點(diǎn)歸納：

(1)正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；

(2)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為幽二2；

2

(3)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形.

【清單10］多邊形內(nèi)角和定理

n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180°(n23).

要點(diǎn)歸納：

(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形

的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于(〃—2).so。；

n

【清單11】多邊形的外角和

多邊形的外角和為360°.

要點(diǎn)歸納：

⑴在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的外角和恒等于

360°,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；

(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于圖-；

n

(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②己知多邊形邊數(shù)求各相等

外角的度數(shù).

盛型陸單

【考點(diǎn)題型一】三角形的三邊關(guān)系

【例1】(23-24八年級(jí)上.甘肅武威.期中)一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm,則此三角形周長(zhǎng)可能

是()

A.13cmB.14cmC.15cmD.20cm

【答案】c

【分析】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三條邊的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.三角形任意

兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：由三角形三條邊的關(guān)系可得7-3（第三邊長(zhǎng)<7+3,

即4〈第三邊長(zhǎng)<10,

??-3+7=10,

.?.14（周長(zhǎng)<20,

只有C符合，

故選C.

【變式1-1]（23-24八年級(jí)上?甘肅武威?期中）三條線段。=5,6=3,c的值為整數(shù)，由a、b、c為邊可

組成三角形（）

A.1個(gè)B.3個(gè)C.5個(gè)D.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，已知兩邊，則第三邊的長(zhǎng)度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩

邊的和，這樣就可求出第三邊C的范圍，根據(jù)C的值為整數(shù)，即可確定C可能的值.從而確定三角形的個(gè)

數(shù).

【詳解】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：5-3<c<5+3,

即2<c<8,

的值為整數(shù)，

的值可以是3,4,5,6,7,共5個(gè)數(shù)，

...由。、b、c為邊可組成三角形5個(gè)，

故選：C.

【變式1-2]（23-24八年級(jí)上.新疆和田?期中）長(zhǎng)分別為11,8,6,4的四根木條，選其中三根組成三角

形一種選法.

【答案】3

【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，判斷三條線段是否能構(gòu)成三角形的三邊的判定方法是解題關(guān)

鍵，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可得解。

【詳解】解：從11,8,6,4的四根木條中選三根有4種選法，它們分別是①11,8,6；②11,8,4；③

11,6,4；@8,6,4.

其中①②④符合三角形的三邊關(guān)系，②不符合三角形的三邊關(guān)系.

故有3種選法，

故答案為：3.

【變式1-3]（23-24八年級(jí)上.安徽馬鞍山?期中）已知。,6,c是VABC的三邊長(zhǎng)，滿足+（6-6>=0,c

為整數(shù)，貝.

【答案】6

【分析】本題考查的是絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，本題先根據(jù)非負(fù)數(shù)的

性質(zhì)可得。=1,b=6,再由三角形的三邊關(guān)系可得5<。<7,從而可得答案.

【詳解】解：??1。一1|+伯一6）2=0,

1=0,b—6=0,

解得：a=l,b=6,

'：是VABC的三邊長(zhǎng)，

/.5<c<7,

為整數(shù)，

/.c=6,

故答案為：6

【變式1-4]（23-24八年級(jí)上.安徽合肥?期中）在VABC中，AB=7,BC=2.

（1）求AC的取值范圍；

（2）若VABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)，求VABC的周長(zhǎng)為多少？

【答案】⑴5VAe<9

⑵16

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，

（1）直接根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求解即可；

（2）先求出周長(zhǎng)的范圍，再根據(jù)其為偶數(shù)進(jìn)行求解即可；

熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）:AB=7,BC=2,

：.7-2<AC<7+2,

即5VAe<9；

（2）V5<AC<9,設(shè)VABC的周長(zhǎng)為x,

；.5+2+7<x<9+2+7,即14Vx<18,

???VABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)，

???其周長(zhǎng)為16

【考點(diǎn)題型二】三角形的高線、中線與角平分線

【例2】（23-24八年級(jí)上.甘肅慶陽(yáng).期中）如圖，CM是VA3C的中線，AM=3,則8M的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】本題考查了三角形中線的定義，掌握相關(guān)結(jié)論即可.

【詳解】解：是VABC的中線，

/.BM—AM=3,

故選：B.

【變式2-1]（22-23八年級(jí)上?廣西防城港?期中）如圖，D、E分別是2C、AC的中點(diǎn)，SACDE=3,則

VABC的面積為（）

A.9B.12C.16D.18

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的中線性質(zhì)，熟練掌握三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分是解題的

關(guān)鍵.先利用點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，可得SAMC=2SA.C=6,然后再利用點(diǎn)。是2c的中點(diǎn)，可得

S^ABC~ADC=12,即可解答.

【詳解】解：SASE=3,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

..S△仞c=2S&DEC=6,

.點(diǎn)。是5C的中點(diǎn),

一S4ABC=2s4Aoe

故選：B.

【變式2-2]（22-23八年級(jí)上?遼寧鞍山?期中）如圖，AB//CD,以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓

弧，分別交48,AC于E,b兩點(diǎn)，再分別以E,F為圓心，大于〈EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于

點(diǎn)尸，作射線AP,交CD于點(diǎn)若NACD=130。，則

【答案】25

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知ZDG1+N6B=18O。，再利用角平分線的定義解答即可.

【詳解】解：；A3〃CD,

ZDCA+ZCAB=180°,

ZACD=130。，

ZCAB=180°-ZACD=180°-130°=50°,

:根據(jù)作法可知：AM是/CAB的平分線，

Z.ZMAB=-ZCAB=25°,

故答案為25.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

【變式2-3]（23-24八年級(jí)上.河南許昌?期中）如圖，在VABC中，AZXAE分別是邊2C上的中線與高,

AE=2,VABC的面積是6,則fiD的長(zhǎng)是.

【答案】3

【分析】本題主要考查了三角形面積計(jì)算，三角形中線的性質(zhì)，先根據(jù)三角形中線平分三角形面積得到

SAAB。=]S3c=3,再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：：VABC的面積是6,AD是VABC的中線,

：AE是VABC的高，且AE=2,

：.-AEBD^3,

2

，BD=3,

故答案為：3.

【變式2-4］（23-24八年級(jí)上.廣東湛江?期中）如圖，AD,BE分別是"C的高,

AC=5,BC=12,BE=9,求4D的長(zhǎng).

【分析】本題考查了三角形的面積公式的應(yīng)用，掌握“三角形的面積=gx底X高，，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：BE分別是ABC的高，

S=-BCAD=-ACBE,

“ARcr22

BCAD=ACBE,

VAC=5,BC=12,BE=9,

：.12AD=5x9,

/.AD=—,

4

【考點(diǎn)題型三】三角形的內(nèi)角和定理

【例3】（22-23八年級(jí)上?河南三門(mén)峽?期中）如圖，ZC=ZA=90°,48=25。，則”的度數(shù)是（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】A

【分析】此題綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等的性質(zhì).熟練掌握定理與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵

根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理知，ZD=ZB.

【詳解】如圖，設(shè)40與8c交于點(diǎn)。，

VZC=ZA=90°,ZAOB=NCOD,

ZD=ZB=25°.

【變式3-1]（23-24八年級(jí)上?湖南郴州?期中）如圖，在,ABE中，ZA=105°,NECM=45。,

AB//MN,則—E的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.55°D.50°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NCME=NA=105。，再利用

三角形內(nèi)角和求解即可.

【詳解】解：AS〃肱V，ZA=105°,

ZCME=ZA=105°,

Z￡CM=45°,

ZE=180°-105°-45°=30°.

故選A.

【變式3-2]（23-24八年級(jí)上?云南昭通期中）在VABC中，N4=62。，ZB=3T,則/C度數(shù)為.

【答案】81°

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角問(wèn)題，利用三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：44=62。，4=37。，

NC=180?！狽A—4=81。，

故答案為：81。.

【變式3-3]（23-24八年級(jí)上?河北承德?期中）如圖，在VABC中，ZABC^ZACB,ZA=40°,P是

VABC內(nèi)一點(diǎn)，SLZACP=ZPBC,則N3PC=°.

c

【分析】本題綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理.對(duì)相等的角進(jìn)行等量代換轉(zhuǎn)化為一個(gè)角是解答本題的關(guān)

鍵.由已知條件根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求得/ABC=NACB=70。，再根據(jù)/尸3c和三角形的

內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：=ZA=40°,

ZACB=ZABC=1(180°-ZA)=70°,

,//ACP=/PBC,

：./3PC=180°—(/尸3C+/PCB)=180°-(/PC4+NPC3)=180°-ZACB=110°.

故答案為：110.

【變式3-4](22-23八年級(jí)上?吉林期中)如圖，在VABC中，ZC=90°,/CAB的角平分線AD交BC

于點(diǎn)E,BD.LAB,NABC=40。，求/￡>和NCED的度數(shù).

【答案】ND=65。,ZCED=115°

【分析】本題考查垂直的定義，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

求出NC鉆，再根據(jù)角平分線的定義求出然后根據(jù)垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：在VABC中，ZC=90°,ZABC=40°,

ZCAB=180°-ZC-ZABC=180°-90°-40°=50°.

AD平分NC4B,

ZBAD=-ZCAB=-x50°=25°.

22

在，ABE中，ZS4E=25°,ZABE=4O°,

ZAEB=180°--ZABE=180°-25°-40°=115°,

:.ZCED=ZAEB=115°.

BD^AB,

:.ZABD=90°.

在△ABD中，N54D=25。，1ABD90?,

ND=180°-ZBAD-ZABD=180°-25°-90°=65°

【考點(diǎn)題型四】三角形的外角

【例4】（22-23八年級(jí)上?浙江杭州?期中）在圖中，Z1+Z2+ZB=（）

A.ZADBB.ZAECC.ZACBD.NDEC

【答案】B

【分析】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：VZADC=Z1+ZB,ZAEC^ZADC+Z2,

：.ZAEC=Z1+Z2+ZB,

故選:B

【變式4-1]（23-24八年級(jí)上.河南許昌?期中）點(diǎn)尸是VA3C內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)5P并延長(zhǎng)交AC于。，連結(jié)

PC,則圖中Nl、N2、—A的大小關(guān)系是（）

C.Z2>Z1>ZAD.Z1>Z2>ZA

【答案】D

【分析】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

直接根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可排除選項(xiàng).

【詳解】解：由題意得：

Z1=Z2+ZDCP,Z2=ZA+ZABD,

Z1>Z2>Z4.

故選：D.

【變式4-2]（22-23八年級(jí)上?河南安陽(yáng)?期中）如圖，VABC中，ZA=70°,BD,CD分別平分NABC,

NACE,則"=

【答案】35

【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，利用角平分線的定義得出=1乙鉆C,

NDCE=gNACE,利用三角形外角的性質(zhì)得出ZD=；NACE-；NA3C,ZA=ZACE-ZABC,進(jìn)而得出

ZD=|ZA,即可求解.

【詳解】解：；3D,CO分別平分/ABC,NACE,

：.ZDBC=-ZABC,ZDCE=-ZACE,

22

/.ZD=ZDCE-ZDBC=-ZACE--ZABC,

22

又NA=NACE-/ABC,

ZD=-ZA,

2

又ZA=70°,

ND=35。，

故答案為：35.

【變式4-3］（22-23八年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期中）如圖，在VA3C中，。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZB=39°,

ZACD=110°,則ZA等于.

【答案】71。/71度

【分析】本題考查的是三角形的外角性質(zhì).根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和“即可

求解.

【詳解】解：：NACD是VABC的外角，

ZACD=ZB+ZA,

VZB=39°,ZACD=110°,

：.=ZACD-^B=110°-39°=71°,

故答案為：71°.

【變式4-4]（23-24八年級(jí)上?甘肅武威?期中）如圖，在VABC中，ZB=NC,AD平分外角/E4c.求

證：AD//BC.

【答案】見(jiàn)詳解

【分析】本題主要考查了平行線的判定以及三角形外角的定義以及性質(zhì)，角平分線的定義，由三角形外

角的定義以及性質(zhì)可得出NE4c=2/3,再由角平分線的定義可得出NE4c=2NE4D,等量代換可得出

/B=/FAD,即可證明AD/73c.

【詳解】證明：?；/E4C=ZB+/C,ZB=ZC

.■.ZEAC=2ZB,

平分外角/胡C.

NEAD=ADAC=-NEAC,

2

即/E4c=2/EM>,

.■.ZB=ZEAD,

：.AD//BC.

【考點(diǎn)題型五】多邊形的內(nèi)角和與外角和

【例5】（22-23八年級(jí)上?山東臨沂?期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1980。，則從這個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所

畫(huà)對(duì)角線條數(shù)是（）

A.11B.13C.9D.10

【答案】D

【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，是需要熟記的內(nèi)容.先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出

n=13,再根據(jù)從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所畫(huà)對(duì)角線條數(shù)是〃-3求解即可.

【詳解】:.多邊形的內(nèi)角和為1980。

.?.（〃—2）xl8（F=1980。，解得：〃=13

.*.13-3=10

從這個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所畫(huà)對(duì)角線條數(shù)是10

故選：D.

【變式5-1］（23-24八年級(jí)上.河北承德?期中）若一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都為135。，則它的邊數(shù)為

（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】本題主要考查了多邊形的外角問(wèn)題，理解任意多邊形的外角和都是360。是解題關(guān)鍵.首先求得每

個(gè)外角的度數(shù)，然后利用360度除以外角的底數(shù)即可求解.

【詳解】解：外角的度數(shù)是：180。-135。=45。，

則多邊形的邊數(shù)為：360。+45。=8.

故選：B.

【變式5-2］（22-23八年級(jí)上?河南商丘?期中）一個(gè)n邊形的內(nèi)角和等于720。，貝U〃=.

【答案】6

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和.根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，即可求解.

【詳解】解：：一個(gè)w邊形的內(nèi)角和等于720。，

A180°x（n-2）=720°,

解得：n=6.

故答案為：6

【變式5-3］（22-23八年級(jí)上?甘肅平?jīng)?期中）一個(gè)多邊形的一個(gè)內(nèi)角和是540。，則它是邊形.

【答案】五

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（〃-2）x180。，列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)這是〃邊形，

（0-2）x180°=540°,

解得：〃=5,

.??這是一個(gè)五邊形，

故答案為：五.

【變式5-4］（23-24八年級(jí)上.新疆昌吉?期中）如圖，在五邊形ABCDE中，

AE//CD,7A100靶3=120?

C_______D

B，\

AE

(1)若ZD=UO。，請(qǐng)求/E的度數(shù)；

(2)試求出NC及五邊形外角和的度數(shù).

【答案】(1)NE=7O°

(2)ZC=140°,五邊形外角和的度數(shù)是360°

【分析】本題主要考查多邊形內(nèi)角和、外角和及平行線的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解；

(2)根據(jù)多邊形內(nèi)角和、外角和及平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)解：：AE//CD,

：.ZZ)+ZE=180°,

/E=180。—"=180。—110。=70。；

(2)解：五邊形ABCDE中，ZA+ZS+ZC+ZD+ZE=(5-2)xl80°=540°,

VZZ)+ZE=180°,ZA=100°,ZB=120°,

ZC=540°-(ZD+-ZA-ZB

=140°；

五邊形外角和的度數(shù)是360。.

【考點(diǎn)題型六】建模思想

【例6】(23-24八年級(jí)上.河南許昌?期中)“花影遮墻，峰巒疊窗”，蘇州園林空透的窗根中蘊(yùn)含著許多的

數(shù)學(xué)元素.如圖是窗梗中的部分圖案.若N1=N2=75。，/3=—4,Z5=80°,則N3的度數(shù)是()

C.75°D.80°

【答案】A

【分析】本題考查多邊形的外角和是360。，由多邊形的外角和是360。列式計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：VZl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

/3=/4=*360。-75°-75°-80°)=65°,

故選：A.

【變式6-1](23-24八年級(jí)上.貴州遵義.期中)如圖，小明沿一個(gè)五邊形的廣場(chǎng)小道按

AfCfOfE的方向跑步健身，他每跑完一圈時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是()

C.500°D.360°

【答案】D

【分析】本題考查多邊形外角和的知識(shí)，根據(jù)身體每次轉(zhuǎn)過(guò)的角度為五邊形ABCDE的一個(gè)外角，再求外角

和即可.

【詳解】解：：身體每次轉(zhuǎn)過(guò)的角度為五邊形ABCDE的一個(gè)外角，

，他每跑完一圈時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和為五邊形的外角和=360。.

故答案為：D

【變式6-2]（22-23八年級(jí)上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m,向右轉(zhuǎn)15。，再前進(jìn)

10m,又向右轉(zhuǎn)15?！@樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了m.

^<15。

【答案】240

【分析】任何一個(gè)多邊形的外角和都是360。，用外角和求正多邊形的邊數(shù)可直接讓360。除以一個(gè)外角度數(shù)

即可求出答案.

【詳解】解：,小亮從A點(diǎn)出發(fā)最后回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)正好走了一個(gè)正多邊形，

???根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為〃=360。+15。=24,

則一共走了24x10=240米.

故答案為：240.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和為36?！闶墙忸}的關(guān)鍵.

【變式6-3]（22-23八年級(jí)上?廣東湛江?期中）如圖，某人從A處出發(fā)，向東走10米到達(dá)8處，再向左轉(zhuǎn)

72。走10米到達(dá)C處……照此方法行走，拐過(guò)4次彎后再走10米，他在何處？

【答案】他在點(diǎn)A處

【分析】根據(jù)題意可得，某人行走的路線正好是一個(gè)正多邊形，利用多邊形的外角和即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：360。+72。=5,

.??某人行走的路線正好是一個(gè)正五邊形，

???某人從A處出發(fā)，向東走10米到達(dá)8處，再向左轉(zhuǎn)72。走10米到達(dá)C處……照此方法行走，拐過(guò)4次

彎后再走10米，

一共走了:10x5=50(米)，

最后他在點(diǎn)A處.

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)多邊形的外角和解決實(shí)際問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是明確多邊形的外角和是360。，明

確第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，所經(jīng)過(guò)的路線正好構(gòu)成一個(gè)正多邊形

【變式6-4](23-24八年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?期中)如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)，前進(jìn)10m后向右轉(zhuǎn)30。，再前進(jìn)

10m后又向右轉(zhuǎn)30。，……，如此反復(fù)下去，直到她第一次回到出發(fā)點(diǎn)A,他所走的路徑構(gòu)成了一個(gè)正多

邊形.

(1)求小明一共走了多少米；

(2)求這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和.

【答案】(1)小明一共走了120米

(2)這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1800。.

【分析】本題考查了正多邊形的外角的計(jì)算以及多邊形的內(nèi)角和.

(1)第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，所經(jīng)過(guò)的路線正好構(gòu)成一個(gè)外角是30度的正多邊形，求得邊數(shù)，即可求

解；

(2)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：；所經(jīng)過(guò)的路線正好構(gòu)成一個(gè)外角是30度的正多邊形，

.?.360+30=12,12x10=120(米)；

答：小明一共走了120米；

(2)解：根據(jù)題意得：

(12-2)x180°=1800°,

答：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1800。.

【考點(diǎn)題型七】整體思想

【例7】(23-24八年級(jí)上.河南三門(mén)峽.期中)如圖，/1+/2+N3+/4+/5+/6+/7=()度.

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，根據(jù)N8=N3+N4,Z9+Z10=180°,進(jìn)

而卞艮據(jù)Nl+N2+/3+/4+/5+/6+N7=(Nl+N2+N5+Zl0)+(N6+/7+N8+N9)—180。，即可求

解.

VZ8=Z3+Z4,Z9+Z10=180°

/1+/2+N3+N4+/5+/6+/7

=/1+/2+/8+/5+/6+/7+/9+/10-180°

=(Zl+Z2+Z5+Z10)+(Z6+Z7+Z8+Z9)-180°

=360°+360°—180°

=540°

故選：B

【變式7-1](22-23八年級(jí)上?安徽蕪湖?期中)如圖，NA+NB+NC+"+NE+/尸+/G的值等于

A.360°B.450°C.540°D.720°

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和多邊形的內(nèi)角和定理，利用四邊形的內(nèi)角和得到

ZA+ZC+Z1+ZF=36O°,ZB+ZG+ZBDE+Z.DEG=360°,從而有

Z4+NC+N2+N/+/B+NG+/3DE+/DEG=720。,,然后利用三角形的內(nèi)角和求

ZA+/3+/C+ZD+NE+//+/G的度數(shù).

VZA+ZC+Z1+ZF=36O°,ZB+Z.G+ZBDE+ZDEG=360°,Z1=Z2,

NA+NC+/2+/F+/3+NG+/3￡)E+/r)EG=720。，

即ZA+AB+Z.C+Z2+ZBDF+ZEDF+ZDEC+ZCEG+ZG=720°,

Z2+ZEDF+ZDEC=180°,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=540°,

故選：C.

【變式7-2](23-24八年級(jí)上?北京海淀?期中)如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=

【分析】連接CD,則NE+NF=NEDC+NFCD,求NA+ZB+NC+/D+NE+N戶的度數(shù)就是求四邊形

ABCD的內(nèi)角和，結(jié)合四邊形內(nèi)角和定理，即可求出結(jié)論；本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角

和定理，牢記“三角形內(nèi)角和是180?！奔啊八倪呅蝺?nèi)角和是360?！笔墙忸}的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖：連接CD,CF,瓦＞交于一點(diǎn)O,

在dEFO,一DCO中，ZE+ZF+乙FOE=180°=NEDC+NFCD+NDOC

*.?NFOE=NDOC

：.ZE+ZF=ZEDC+NFCD

在四邊形ABCD中，ZA+ZB+ZADE+AEDC+Z.FCD+ZBCF

=ZA+ZB+ZADE+ZADE+ZBCF+ZBCF

=ZA+AB+ZADC+ZBCD

=360°

故答案為：360°

【變式7-3]（20-21八年級(jí)上?山東德州?期中）如圖，NA+/3+NC+ND+NE+N尸+NG+4/+NK度

數(shù)為.

【答案】540。/540度

【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：ZA+NB=NIJL,ZC+ZD=ZMU,

ZH+ZK=ZGIJ,ZE+ZF=ZGML,然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案.

【詳解】解：如圖所示：

由三角形的外角的性質(zhì)可知：：ZA+ZB=ZIJL,NC+ND=ZMU,ZH+ZK=ZGIJ,

ZE+ZF^ZGML,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZK^ZIJL+ZMU+ZGML+ZG+ZGIJ

=（5-2）x180°=3x180°=540°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，利用三角形外角和的性質(zhì)將所

求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵

【變式7-4]（23-24八年級(jí)上.天津武清?期中）如圖，已知/3+NC=150。，則ZA+ZD+ZE+ZF等于.

【答案】210

【分析】連接AD.由四邊形ABCD的內(nèi)角和定理可推得/54D+/ADC=210。，然后證明

NE+NF=ZOAD+ZODA,則可證NA+/D+NE+//=210°.

【詳解】解：連接A￡>.設(shè)AF與。E相交于點(diǎn)。

由四邊形的內(nèi)角和可得：ZB+ZC+ZBAD+ZADC-3600,

'：ZB+ZC=150°,

ABAD+ZADC=210°.

在△AOQ與，EOF中，

ZE+ZF=180°-ZEOF=180°-ZAOD

=ZOAD+ZODA,

：.ZBAD+ZADC=ZBAF+ZOAD+ZODA+ZCDE

=ZBAF+ZE+ZF+ZCDE,

即210°=ZBAF+ZE+ZF+ZCDE

即ZA+/￡>+/E+/尸=210°.

故答案為：210.

【考點(diǎn)題型八】方程思想

【例8】（23-24八年級(jí)上?海南省直轄縣級(jí)單位?期中）已知一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比是1：2：3,則其

最大內(nèi)角的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】C

【分析】

本題考查了三角形的內(nèi)角和180。，據(jù)此設(shè)未知數(shù)列式進(jìn)行計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：依題意，設(shè)一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x,2x,3x,

貝！]x+2x+3x=180°,

解得x=30。，

貝lj3/30。=90。，

故選：C.

【變式8-1]（23-24八年級(jí)上?河南許昌?期中）一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為2:3:4,則這個(gè)三角形

最大內(nèi)角的度數(shù)是（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】B

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理.已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比，可以設(shè)一份為x,根據(jù)三角形的

內(nèi)角和等于180。列方程，求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而確定三角形的最大角的度數(shù).

【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)該三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為2尤、3x、4x.

'1?三角形的內(nèi)角和為180。，

/.2x+3x+4x=180°.

/.x=20°.

，最大內(nèi)角為4x20°=80°.

故選：B.

【變式8-2]（22-23八年級(jí)上?江西吉安?期中）如圖，ABC中，若AC=Ar>=DB,且NBAC=108。，則

ZADC=.

【答案】48。/48度

【分析】本題考查了三角形的外角，三角形的內(nèi)角和定理；由AC=AD=O3,可知=

ZADC=ZC,再根據(jù)外角和內(nèi)角和得出結(jié)果即可.

【詳解】解：AC=AD=DB,

:.ZB=ZBAD,ZADC=ZC,

設(shè)NADC=c,

a

:.ZB=ZBAD=—,

2

ZBAC=108°,

:.ZDAC=108°--,

2

在，ADC中，

ZADC+ZC+ZDAC=180°,

.-.2（z+108°--=180°,

2

解得：a=48。.

故答案為：48°.

【變式8-3］（23-24八年級(jí)上?安徽滁州?期中）如圖，AC,3。相交于點(diǎn)。，BP,CP分別平分

ZABD,ZACD,且交于點(diǎn)P.

(1)若NA=70,"=60°,則/尸=°；

(2)若/4:/D:NP=2:4:x,貝ljx=.

【答案】653

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算，三角形外角的性質(zhì)，一元一次方程

的應(yīng)用，通過(guò)外角將已知量和待求量聯(lián)立起來(lái)建立方程是解題關(guān)鍵.

(1)^ZDOC=ZAOB=a,在△DOC和VAO3利用三角形內(nèi)角和求得/。CO和—ABD,由角平分線的

定義可得/PG4和NPBA,再根據(jù)NA173是和AABF的公共外角建立方程求解即可；

(2)設(shè)ZA=2后，ZD=4k,NP=xk,ZDOC=ZAOB=a,結(jié)合(1)解答依次求得NOCO和4BD,

/PC4和ZPBA,再根據(jù)外角Z4FP建立方程求解即可；

【詳解】解:(1)由對(duì)頂角相等可得/￡>OC=NAO3,設(shè)NDOC=NAO3=a,

△DOC中，ZDCO=180°-AD-ZDOC=120°-a,

：.ZPCA--ZDCO=60°--A,

22

VAO8中，ZABO=1800-ZA-ZAOB=UO0-a,

：.ZPBA=-ZABO=55°--a,

22

NAFP是oPCF的外角，則NAEP=NP+NPCF=NP+60。-！。,

2

NAFP是445尸的外角，貝i]NAFP=NA+NAB尸=125。-1。，

2

ZP+60°--a=125°--<2,

22

NP=65。,

故答案為：65；

(2)設(shè)ZA=23ZD=4k,ZP=xk,ZDOC=ZAOB=a,

由(1)解答可得：

NDCO=1800-ZD-NDOC=180°—4左一a,

ZPCA=1Z￡>CO=1(180°-4^-a),

ZABO=180°-ZA-ZAOB=1800-2k-a,

NPBA=|ZABO=；(180°-2左-a),

ZAFP=ZP+NPCF=ZA+ZABF,

二戲+；(180°-4"a)=2左+g(180°-2"a),

解得：x=3,

故答案為：3；

【變式8-4]（21-22八年級(jí)上?新疆和田?期中）若VA3C的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2：3：4,則相應(yīng)的外角

度數(shù)之比為多少？

【答案】7：6：5

【分析】先根據(jù)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為2:3：4及三角形內(nèi)角和定理求出三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再由平角

的性質(zhì)求出與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)外角的度數(shù)即可.

【詳解】解：設(shè)較小的一個(gè)內(nèi)角為2尤，則另外兩個(gè)內(nèi)角分別為3尤，4%,依題意，得:

2x+3x+