實(shí)戰(zhàn)演練04高中常見的恒(能)成立問題

考點(diǎn)歸納

①一元二次不等式中的恒(能)成立問題

②基本不等式中的恒(能)成立問題

③函數(shù)中的恒(能)成立問題

④利用導(dǎo)數(shù)研究不等式中的恒(能)成立問題

必備知識速記

一、恒成立和有解問題思路一覽

設(shè)函數(shù)/(x)的值域?yàn)?a,6)或[a,6],或(a,瓦)或[a,6)中之一種,則

①若J2/(X)恒成立(即苔</(X)無解)，則4N[/(X)]max；

②若44/(x)恒成立(即4〉/(x)無解)，則24[/(x)]mm；

③若22/(X)有解(即存在X使得42/(X)成立)，則

④若有解(即存在X使得;成立)，51iJ2<[/(x)]max；

⑤若J=/(x)有解(即;l￥=(x)無解)，則；le3y=/(x)}；

⑥若4=/(x)無解(即4w/(x)有解)，則4eQ{y|y=/(x)}.

【說明】(1)一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法.

(2)取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號的取舍！(即端點(diǎn)值

的取舍)

二、分離參數(shù)的方法

①常規(guī)法分離參數(shù)：如A/(x)=g(x)n4=￡D；

/(x)

②倒數(shù)法分離參數(shù)：如Z/(x)=g(x)=>L=2；

幾gw

【當(dāng)/(x)的值有可能取到，而g(x)的值一定不為0時(shí)，可用倒數(shù)法分離參數(shù).】

/(x)

2>,g(x)〉O

g(x)

③討論法分離參數(shù)：如：2g(x)>

/(x)

2<,g(x)<0

g(x)

2</(〃),〃為正偶數(shù)

(-/(〃)(〃eN*)

-2</(?),〃為正奇數(shù)

④整體法分離參數(shù)：如力+4=/(%)；

⑤不完全分離參數(shù)法：如2=lnx+x—Y；

X

⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù).

【注意】

(1)分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法(大多數(shù)題可以使用此方法).但如果難以分離參數(shù)

或分離參數(shù)后，問題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時(shí)就用含參轉(zhuǎn)化法.

(2)恒成立命題對自變量的范圍有時(shí)有一部分或端點(diǎn)是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點(diǎn)，再

分離參數(shù)求解.【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題.】

三、其他恒成立類型一

①/(x)在［凡可上是增函數(shù)，則/'(x)20恒成立.(等號不能漏掉).

②/(x)在［a,6］上是減函數(shù),則尸(x)VO恒成立.(等號不能漏掉).

③/(x)在［/可上是單調(diào)函數(shù)，則分上述兩種情形討論；(常用方法)

四、其他恒成立類型二

①VX]eA,3X2eB,使得方程g(》2)=/(再)成立o{y|y=/(x),xeA}^{y\y^g(x),xeB].

②叫EA,BX2EB,使得方程g(X2)=/(xJ成o{y|y=/(x),xeZ}=3y=g(x),xe3}H0.

五、其他恒成立類型三

①％GA,\/X2&B,/(再)之g(%)O/(%工正2g(9)max；

②％&A,3x2eB,/(xj>g(x2)<=>/(再)minNg(%)min；

③必e4V/e8,/(X])?g(%)o/a)max2g(X2)max；

④川e4*2e8,/(再)2g(%2)=/(xJmaxNg(X2)min-

名校模擬探源

I①一元二次不等式中的恒(能)成立問題

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)x,不等式（4-2）/-2（。-2）x-4<0恒成立，則實(shí)數(shù)。取值

范圍（）

A.（—0°,2）B.（―0°,2]C.（-2,2）D.（—2,2]

【答案】D

【分析】分類討論，利用判別式小于0,即可得到結(jié)論

【詳解】當(dāng)。一2=0,即。=2時(shí)，-4<0,恒成立；

當(dāng)時(shí)'[4（"2）2+16（”2）<。,解之得一2<"2，

綜上可得-2<。42

故選：D

2.（23-24高三上?青海西寧?階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式工2-2辦-3<0對任意xe[0,2]均成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為（）

A.1TB.DC.（0。D.3）

【答案】D

aa

【分析】當(dāng)x=0時(shí)顯然恒成立，當(dāng)xe（O,2]時(shí)參變分離可得2a恒成立，令〃司=工-Lxe（0,2],

根據(jù)單調(diào)性求出/（X）111aX，即可求出參數(shù)的取值范圍.

（詳解】因?yàn)殛P(guān)于X的不等式/-25-3<0對任意xe[0,2]均成立，

當(dāng)x=0時(shí)，-3<0恒成立，

當(dāng)xe（0,2]時(shí)，2a恒成立，

令=xe（0,2],

a

因?yàn)椤?X與了=-±在（0,2]上單調(diào)遞增，

X

aa

則〃x）=x_；在（0,2]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=2時(shí)=取得最大值，

31

即行）而="2）=2一二5，

所以2a>!，貝!|a>。，

24

綜上可得實(shí)數(shù)。的取值范圍為[l+sj.

故選：D

3.（23-24高三上?湖北?階段練習(xí)）已知命題P：3x6[-1,3],/-"340,若P為假命題，貝匹的取值范圍

為()

A.(-co,-3)B.(-oo,-2)C.(-00,6)D.(-<?,0)

【答案】A

【分析】利用命題的關(guān)系、分離參數(shù)法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運(yùn)算即可得解.

2

【詳解】若命題〃為真命題，即：3xG[-1,3],x-3<a.

設(shè)/(x)=V-3,則由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，

當(dāng)xe[T,3]時(shí)，〃尤)最小值為〃0)=-3,所以a2-3.

因?yàn)槊}〃為假命題，所以。<-3,

即。的取值范圍為(-巴-3).

故選：A.

二、填空題

4.(23-24高二下?遼寧沈陽?期末)若命題“*eR,/一〃江+9<0”為假命題，則加的取值范圍是一

【答案】[-6,6]

【分析】由題意知，命題的否定為真命題，再結(jié)合一元二次不等式恒成立求得加的取值范圍.

【詳解】因?yàn)槊}--加x+9<0”為假命題，

所以命題“TxeR,f-〃zx+9N0”真命題，

所以A=(-機(jī))2_4X9W0,

解得-6<m<6,

所以修的取值范圍是[-6,6].

故答案為：[-6,6].

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))若存在xe[l,3],使不等式--2ax+a+2Vo成立，則a的取值范圍為

【答案】⑵+8)

【分析】利用分離參變量思想，再用換元法轉(zhuǎn)化到對鉤函數(shù)求最小值，即可得到。取值范圍.

【詳解】由一-2ax+tz+2<0=>x2+2<a(2x-1),

因?yàn)閤e[l,3],所以2x-le[l,5],令/=2x-le[l,5],x=手，

由八2.（21?心」=*”+9）二4+2+2]，

'）2x-lt4^t）

構(gòu)造函數(shù)g（討]+；+2卜*2,+2=2,

即8（以“=2,當(dāng)且僅當(dāng)，=3<1,5]時(shí)取等號，

所以此g(，)mM=2

故答案為：[2,+oo).

6.(2024高三下?全國?專題練習(xí))已知/(x)="2+X-。，若/(x)〉-2--3x+l-2a對一切實(shí)數(shù)x恒成立，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(2,+8)

【分析】思路一：移向轉(zhuǎn)換為(。+2)/+以+〃-1>0對一切實(shí)數(shù)*恒成立，對。分類討論即可求解；思路

-：移向構(gòu)造函數(shù)，對。分類討論，轉(zhuǎn)換為函數(shù)最小值大于0求參數(shù)即可；思路三：分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù),

利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.

【詳解】解法一(運(yùn)用判別式)：由已知可得“x2+x-a>-2x2-3x+l-2a,

即(a+2)x2+飄+°一1>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立.

當(dāng)a=-2時(shí)，4x-3>0不可能恒成立，

[Q+2>0

從而由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，只能人/“ov八八，解得?！?.

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+s).

解法二(利用二次函數(shù)圖像與性質(zhì))：原不等式整理得(a+2)/+4x+a-l>(),

令g(x)=(。+2)x2+4x+a-1,則原問題轉(zhuǎn)化為g(x)>。對xeR恒成立.

當(dāng)a〈-2時(shí)，拋物線開口向下，顯然不合題意；

當(dāng)”=-2時(shí)，g(x)=4x-3,其圖像是一條直線，也不合題意；

當(dāng)。>-2時(shí)，拋物線開口向上，只要g(x)min=gd>。，即/+”6>0.

[Q+2J

解得。<-3或a>2,因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+8).

解法三(參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及最值)：

ax2+x-a>-2d-3x+l-2。恒成立.

2

?2_/IvI1(—?V—4Y+1

???問題轉(zhuǎn)化為“＞一劣「5+1對xeR恒成立,從而八”，；

x2+l1%+1)

-2--4x+l2(2x+l)(x-2)

令g(x)=則g'(x)=

^+1

令g，(x)20,貝1)x4-；或2.

從而g(x)在(-巴-：，[2,+功上單調(diào)遞增，在2j上單調(diào)遞減.

又g[-g)=2,且當(dāng)1+8時(shí)，g(X)<0,故g(X)max=g]；j=2.

于是a>2,因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+s).

故答案為：(2,+8).

I②基本不等式中的恒(能)成立同版

一、單選題

12

I.(23-24高三上?江蘇?階段練習(xí))若兩個(gè)正實(shí)數(shù)xj滿足—+—=1且不等式2x+y>n?+2加恒成立，則實(shí)

x>

數(shù)加的取值范圍是()

A.(-4,2)B.(-2,4)

C.(-a?,-4)U(2,+oo)D.(-co,-2)U(4,+oo)

【答案】A

【分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求左側(cè)最小值，根據(jù)不等式恒成立及一元二次不等式的解法求參數(shù)m

的范圍.

【詳解】由題設(shè)2'+>=(2》+>)(工+2)=4+」+”上4+2、^^=8,

xyxy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)'=2/=4時(shí)取等號，

又2%+y>/2+2加恒成立，即加2+2加<8n(加+4)(加一2)<0=>—4<加<2.

故選：A

11〃

2.(22-23高三上?江西宜春?階段練習(xí))設(shè)x>N>z,且——+—>—("eN)恒成立，則"的最大值為

x-yy-zx-z

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由基本不等式得出％-2=(%-歹)+(歹-2)之21(%-歹)(歹-2),」一+」一之2J-----,再由不等式

x-yy-zx-yy-z

的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)樗怨ひ幌Α?,y-z>0,x—z>0,所以不等式,+恒成立等價(jià)于

x-yy-zx-z

n<(x-z)恒成立.

vx-yy-z)

x-z=(x-y)+(y-z)>2yj(x-y)(y-z),-^—+^—>2------,所以

x-yy-z]/x-yy-z

(一4j(x7)(y_z).p——^=4(當(dāng)且僅當(dāng)X7=y一時(shí)等號成立)，則要使

y-^)\x~yy~z

…)［六+占)恒成立，只需使〃—)，故n的最大值為4.

故選：C

3

3.(23-24高三上?浙江寧波?期末)設(shè)實(shí)數(shù)x,丁滿足x>5，y>3,不等式

M2x-3)(y-3)W8x3+/_i2x2-3/恒成立，則實(shí)數(shù)人的最大值為()

A.12B.24C.2GD.473

【答案】B

4r2-p24x2v2

【分析】令a=2x-3>0,6=>—3>0,不等式變形為三+2后，求出口+的最小值，從而

y-32x-3y-32x-3

得到實(shí)數(shù)人的最大值.

3

【詳解】x>j,歹>3,變形為2x-3〉0,y-3〉0,

令Q=2X-3>0,b=y—3>0,

貝！|左（2x-3）（y-3）W8d+j?-12/-3/轉(zhuǎn)化為

8x3+/-12x2-3y2

即￡+上>k

（2x-3）（^-3）y—32x—39

其中4x?+=（。+3）2+伍+3）2>僅扃）+（2回）

y-32x-3baba

a=3,

b=3

當(dāng)且僅當(dāng):即x=3,y=6時(shí)取等號，可知上W24.

b_a

、ab

故選：B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.

利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

二、填空題

4-⑵一24高三上?安徽?期中）若"<x+士’則實(shí)數(shù)X的取值范圍是一.

【答案】（-8,-1）

【分析】由題知可將式子構(gòu)造為…+3+士-3,然后利用基本不等式從而求解.

【詳解】因?yàn)椤?gt;-3,所以x+3>0,

TOM?士-3一，

于是x+---=（X+3）H——--

x+317x+3

當(dāng)且僅當(dāng)、+3=」，即x=-2時(shí)取等號，所以4v-1.

故答案為：（--1）.

22

5.（2024?江西?一模）已知正數(shù)無，y滿足x+y=6,若不等式。4J+二恒成立，則實(shí)數(shù)0的取值范

x+1）+2

圍是?

【答案】（-8,4]

r2V21414

【分析】將—變形為工+1+「-2+歹+2+—4=3+—--+—利用均值不等式求

x+1y+2x+1y+2x+1y+z

14

F+—二的最小值即可求解.

x+1y+2

【詳解】因?yàn)椋?尸6,

22（X+1）2-2（X+1）+1（y+2）2-4（y+2）+4

所以公工+工

x+1y+2x+1y+2

1lc4-l4

=x+l+-------2+y+2+---------4=3+------+--------

x+ly+2x+ly+2

所r-r*以I‘=3r+-I1+.4=3+-x+l+y+2|1I+」

x+Iy+2

=32?y+2?4（x+l）：32I?]y+2：：4（x+l）「

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)V=4,x=2,

99（x+l）9（y+2）~9啊x+1）9（y+2）

22

所以=4,a<4

x+1y+2I,9

J/min

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-叫4].

故答案為：（-叫4]

Y2-I；214

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是先得到。+'=3+—，+」=,再進(jìn)一步結(jié)合乘“1”法即可順利得

x+1y+2x+1y+2

解.

I③函數(shù)中的恒(能)成立問題

一、單選題

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知〃無)=2j+1,且/(x)<6在區(qū)間(1,2)恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.(一應(yīng)1]B.卜1,+動(dòng)C.(-1,1]D.(-1,2]

【答案】B

【分析】/(x)<6在區(qū)間(1,2)恒成立，只需要/(x)max<6即可，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可

得解.

【詳解】由解析式易知：/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,2)時(shí)，〃x)<6恒成立，貝！]/(2)=5-046,

故選:B.

3m

2.(23?24高三下?河南?開學(xué)考試)已知正數(shù)加，〃滿足一+1=2機(jī)，若加+2〃W4加〃2恒成立，則實(shí)數(shù)力的

n

最小值為()

1214

A.-B.-C.-D.—

4525

【答案】D

【分析】變形得到工=畤二，變形得至!]4"尸+8”-2V2,求出4療+8機(jī)戚得到答案.

n3m9m9m5

i2

【詳解】因?yàn)榧印?,〃>0,所以加+2孔W力w72n+——<2,

nmn

因?yàn)?也m+1=2〃?，所以1L2m—1

nn3m

2m-lV22m-14m2+8m-5

故-----+----------------------7------<2,

\3mJm3m9m

2

Hn4m+8m-55<1Y8145<1474,4

9m29\m)9m99(機(jī)5)55

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=:時(shí)，等號成立，

4

故xz4],實(shí)數(shù)九的最小值為4.

故選：D

3.(2024?福建廈門一模)已知a=x+Lb=Qx+ex>c=sinx+V3cosx,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為()

A.3xe[-l,l],a>cB.3xe[-l,l],b>c

C.3xe[-l,l],a<cD.3xe[-l,l],b<c

【答案】D

【分析】舉例即可判斷ABC；再根據(jù)基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)無=丁時(shí)，

0

兀636c13_UQ

ci——I—>—I—=2,c=-I—=2,1tlsa>c,

6it6422

所以為e[-1,1],a>c,故A正確；

對于B,當(dāng)x=0時(shí)，b=2,c=g,此時(shí)6>c,

所以b>c,故B正確；

對于c,當(dāng)工=-m時(shí)，

6

兀6cI31u4

a=---------<0,c=——+-=l,此時(shí)〃<c,

6Ti22

所以*e[-1,1],a<c,故C正確；

對于D,當(dāng)時(shí)，

Z)=et+e-x>2Ve%.e-x=2-當(dāng)且僅當(dāng)小'=片工，即x=0時(shí)取等號，

c=sinx+V3cosx=2sin+gJ,

由得x+ge-l+y,l+y,

一-兀Y兀八兀TT

nt—<i+—<K,O<-I+—<—,

2332

所以當(dāng)％+g,即x=g時(shí),c=sinx+V3COSx=2sinx+—=2,

3O

所以c42,當(dāng)且僅當(dāng)x=B時(shí)取等號，

6

而所以Vxe[-1,1],b>c,故D錯(cuò)誤.

6

故選：D.

鼠2_3%]<3

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=,'=,若改。0尺，使得/（x0）W10加+4〃/成立,

[Iog3x,x>3

則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

C.Iu--,+oojD.1-8,-5u[0,+oo)

【答案】c

【分析】先求出分段函數(shù)的最小值；再求解不等式的解集即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=--3x在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增,

30

所以當(dāng)X=；時(shí)，函數(shù)y=x2-3x,x43取得最小值-力

又因?yàn)楹瘮?shù)尸在區(qū)間(3,+司上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>3時(shí)，log3x>1.

綜上可得函數(shù)/(尤)=七x2—3x"x二<3的最小值為-Q了.

log3x,x>34

因?yàn)楸萫R,使得/伍)〈10〃7+4/成立，

9Q1

所以—<10m+4m2,解得：m<—或/2——.

444

故選：C.

—+4xx<]

5.(2024?北京昌平?二模)已知函數(shù)〃x)=?/一；若對任意的x都有|〃x),辦恒成立，則實(shí)數(shù)。

In(x—1),x>1.

的取值范圍是()

A.(一8,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.(-叫2]

【答案】B

【分析】首先畫出函數(shù)g(x)=|/(x)|的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合求實(shí)數(shù)的取值范圍.

—1_|_4x丫<]

【詳解】因?yàn)椤▁)=?/",令g(x)=|/(x)|,作出g(x)圖象，如圖所示,

令h(x)=ax,由圖知，要使對任意的x都有恒成立，則必有“W0,

I1>—工2―4x

2

當(dāng)xWO時(shí)，y{=x-Ax,由{,消歹得到--(4+q)x=0,

[y=ax

由A=0,得至!J(4+Q)2=0,即4=-4,由圖可知一44。(0,

故選：B.

二、填空題

6.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）命題“任意xe[l,3],°m2,+2"'為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】?>|

【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為存在xe[1,3],0>2，+2T為真命題，即。>（2,+2fL“，求出k2工+2r

的最小值得解.

【詳解】若命題任意”e[1,3],aW2、+2T”為假命題，

則命題存在xe[1,3],0>2*+2r為真命題，

因?yàn)?4尤<3時(shí)，242*48,

令仁2工,則24/48,

則y=/+；在[2,8]上單調(diào)遞增，

所以I"V〉工管，

2o

所以a>（.

故答案為：

7.（23-24高三上?上海閔行?期中）已知函數(shù)〃X）=/+加，g（x）=2x-m,若對任意的再e[-1,2],總存

在馬?[0,3]使得/（xj=g（馬）成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】；,2

【分析】將題中的已知條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的關(guān)系求解即可.

【詳解】函數(shù)/（尤）=-+機(jī)在[-1,2]的值域?yàn)锳=[m,m+4],

函數(shù)g（x）=2*-加在[0,3]的值域?yàn)?=[1-機(jī),8-間，

因?yàn)閷θ我獾恼糴[-1,2]，總存在x2e[0,3]使得/（占）=g（x2）成立，

[m>l—mI

所以/=所以，解得各加42.

故答案為：!，2

8.（23-24高三下?湖南岳陽?階段練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=sinx+；x2一辦20在xe[0,+8）上恒成立，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為.

【答案】（-雙1]

【分析】由題意，先求出了'⑺在xe[O,+s）上的最小值為/'（0）=1-4,然后分，'（0）=1-北0和

/'（O）=1-a<0討論/（x）在xe[0,+8）上是否恒成立，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)?（x）=sinx+；，-辦，xe[0,+<?）,

所以/''（X）=cosx+x-a,xe[0,+<?）,設(shè)g（x）=cosx+x-a,

所以g'（x）=-sinx+120,

所以/''（x）=cosx+x-a在[0,+s）上單調(diào)遞增，

所以/''（x）在xe[0,+功上的最小值為r（0）=l-a,

①當(dāng)/'（0）=1-心0時(shí)，即。<1時(shí),“X）在[0,+8）上單調(diào)遞增,

又/（。）=0,所以函數(shù)/（x）=sinx+；x2-axZ0在xe[0,+?）上恒成立，

所以aW1滿足題意；

②當(dāng)r（0）=l—<0時(shí),即a>l時(shí),又/'（X）在[0,+8）上單調(diào)遞增,且xf+a>J'（x）f+%

所以，丸€（0,+動(dòng)，使得/（%）=0,當(dāng)尤e（O,x0）時(shí),/,（x）<0,

即“X）在（O,x。）上單調(diào)遞減，又"0）=0,

所以當(dāng)xe（O,x。）時(shí)，/（x）<0,不滿足20恒成立，

綜合①②可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8J.

故答案為：（-8,1].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出了'3在xe[0,+◎上的最小值為/'（0）=1一,通過討論，'（0）=1-。的正負(fù)得

到函數(shù)/（X）20在xe[0,+8）上恒成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍.

9.23-24高三上一重氏階段練習(xí)）已知/（無）=ax?+x,g（x）」若對加eR使/（xjVg（x?）

2+sinx

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（---白

I16J

【分析】求出g（x）=F^的最大值，由題意可知VX|N1,〃xjwg（x）1MX，分離參數(shù)a,結(jié)合二次函數(shù)

2+sinx

性質(zhì)，即可求得答案.

[詳解]令k=Ic°sx,貝!]左sinx+cosx=l-2左，BPyjk2+lsin（x+<p）=l-2k>

2+smx

I—2ki

所以sin（x+0）=-^^（8為輔助角，tan^=—）,

7k+1k

故<1，BP|1—2k\<J1+左之,解得0<.

4

4__Xz\2

由題可知，Vxgl,/(x1)<g(x)_=-,即對_=4m_j_.

x23nx

令/z(x)=g(L]--^0<—<l^j,^t=—,te(O,l],則)='|/―/,

當(dāng)"54時(shí)，片4的最小值為一a2即〃(')皿=—a2，

o3lolo

則aW〃(x)mM=一：,即,

故答案為：(一-—2

I16」

|④利用導(dǎo)數(shù)研究不等式中的恒（能）成立問題

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若夫（0,+8）,使得不等式加-2女+120成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（）

「1、r,\（1]/

A.—,+OOIB.[1,+8）C.[—8'5D?（-8,1]

【答案】C

【分析】運(yùn)用分離變量將問題轉(zhuǎn)化為共（0,+動(dòng)，使得2aw里七口恒成立，令gGh11^,利用導(dǎo)數(shù)求出

XX

其最大值可得結(jié)果.

【詳解】8（0,+8）,使得不等式Inx-2ax+lW0成立，可得2a4啊口.

X

令g（x）=,貝!lg'（x）=-號，令g<x）>0=>lnx<0,解得0cx<1,

令g〈x）v0nlnr>0,解得x>l,

所以函數(shù)g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+⑹上單調(diào)遞減,

所以g（x）max=g⑴=1，則依題意有2aMnag,

實(shí)數(shù)a的取值范圍是'孫；.

故選：C.

2.(23-24高三上?湖北孝感?階段練習(xí))已知函數(shù)/(》)=6*+，/-1/-辦+1,若/(x)在R上單調(diào)遞增，

62

則實(shí)數(shù)。的最大值為()

A.-eB.-1C.1D.e

【答案】C

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)非負(fù)，得出不等式恒成立問題，參變量分離后，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最

值問題即可得解.

【詳解】因?yàn)?⑴在R上單調(diào)遞增，所以/'(x)=e，+；x2-x-aNO在R上恒成立，

等價(jià)于a4e*+gx?-x在R上恒成立，

令g(x)=e、+；x2-x,g〈x)=e，+x-l,易得g'(x)在R上單調(diào)遞增，

又,(0)=0,g,(-l)=e-1-l-l<0,g,(l)=e1+l-l>0,

所以當(dāng)xe(-*0)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)xe(0,+?)時(shí)，g'(x)>0

所以g(x)在(--0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(X)?11n=g(0)=L所以"41,

所以實(shí)數(shù)a的最大值為1.

故選：C.

3.(2024?遼寧葫蘆島?一模)已知函數(shù)/。)=片-辦2在R上無極值，則〃的取值范圍是()

A.(一叫IB.(一0[°，e)D.0,1

【答案】D

【分析】求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，討論x的取值范圍可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，/,(x)=ex-lax,故7''(())=AO,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=e、--在R上無極值，

所以/(MN。在R上恒成立，

QX

當(dāng)x>0時(shí)，a<一,

2x

設(shè)貝!1g，⑺=七/(x-l)eA

2x2

當(dāng)0<xVl時(shí),得g'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，得g'(x)>0,

則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

從而月⑺泊⑴與，故w，

當(dāng)xVO時(shí)，—<0,貝!|〃20.

2x

綜上，0<a<|P.

故選：D.

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=e'+(e+l)x-a(aeR),g(x)=x2+2x.若存在xe［O,l］,使得

〃x)=g(x)成立，則實(shí)數(shù)0的最大值是()

A.2e-2B.e-2C.e+1D.2e+l

【答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“直線V=。與函數(shù)〃(x)=e，+(e-1)x-xe［0』的圖象有交點(diǎn)”，然后利用導(dǎo)數(shù)分

析的單調(diào)性以及取值，由此求解出。的最大值.

【詳解】存在xe［O,l］,使得〃x)=g(x)成立,

即e工+(e+l)x-a=x?+2x在［0,1］上有解，即a=e*+(6_1卜_工2在［0,1］上有解，

所以直線與函數(shù)"%)=6工+(6-1)%-尤2廣?()』的圖象有交點(diǎn)，

又"(x)=e*-2x+(e-l),xe［0,1］,令機(jī)=則“(x)=e*-2,

令他得x>ln2,令機(jī)得x<ln2,

所以"(x)在［01n2)上單調(diào)遞減，在(In2,1］上單調(diào)遞增，

所以”(x""(ln2)=eM2-21n2+e-l=e+l-21n2>0,

所以為(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

所以〃(尤)1nhi=//(O)=l,A(x)max=/z(l)=2e-2,

所以要使直線N=a與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，只需lVaV2e-2,

所以。的最大值是2e-2,

故選：A.

5.(2024高三下?全國?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(幻=$3-3/+(8-.)》-5-。，若存在唯一的正整數(shù)%,使得

〃/)<0,貝壯的取值范圍是()

【答案】A

【分析】設(shè)函數(shù)8(尤)=；尤3-3/+8尤-5,心)=皿+1),求得/(x)=/-6無+8,求得g(x)得到單調(diào)性，且

g(l),g(2),g⑶,g(4)的值，結(jié)合圖象，列出不等式組，即可求解.

[詳解】設(shè)函數(shù)g(x)=1x3-3x2+8x-5,/z(x)=。(％+1),

可得g'(%)=/一6%+8=(x-2)(%-4),

當(dāng)x<2時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)2<x<4時(shí)，g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>4時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

Kg(l)=1,g(2)=|,g(3)=l,g(4)=1,

圖象如圖，函數(shù)/刈經(jīng)過(-1,0),要使存在唯一的正整數(shù)%,

使得/'(不上。，即g(x)<〃(x)有唯一正整數(shù)解,

2a<—

g⑴源⑴3

g(2"力(2)3a?_1]

所以只要。>0并且即3，解得/<。"工?

g⑶w4a<l156

g(4)<“4)

u1

JCI〉一

3

axe、+x>l-hu有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.-38B.--,+00C.D.—00,—

【答案】A

【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為書”，構(gòu)造函數(shù)〃尤,利用導(dǎo)數(shù)法求出了(*山，?>/(^

即為所求.

【詳解】不等式oxe*+x>l—Inx有解，即。一—二山'%>0,只需要.>「一”二，口,

xe*IxeJmm

令〃尤)=匕千

xe

/，(x)_(x+l)(x2+lnx).

x>0,

令g(1)=x-2+lnx,x>0,

.■.g((x)=l+l>0,所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g⑴=-1<0,g(2)=ln2>0,所以存在x°e(l,2),使得g(x0)=0,即/-2+lnx。=0,

,

.?.xe(O,xo),g(x)<0,BP/(x)<0；xe(x(),+8),g(x)>0,即/'(x)>0,

所以函數(shù)/(x)在(0,x°)上單調(diào)遞減，在(％,+s)上單調(diào)遞增,

“(/)=1一7；”

又由Xo-2+ln/=0,可得Xoe*"=e2,

xoe

//、1—x0—Inx01—+x0—21

7一聲

1

/.a>—T-.

e

故選：A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由題意問題轉(zhuǎn)化為。>1一x>0,構(gòu)造函數(shù)〃X)」一利用導(dǎo)數(shù)求出

/(X)的最小值，即只要。>/口)1nm.

二、填空題

7.Q2-23高三上?湖北省直轄縣級單位?階段練習(xí))若不等式e一履20(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))對Vx>0

恒成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為

【答案】k<e

【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可作答.

【詳解】Vx>0,ex-kx>0^k<—,令/(x)=《，x>0,求導(dǎo)得：r(x)=(l、,

XXX

當(dāng)0<x<l時(shí)/'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，_f(x)>0,即函數(shù)/(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，

因此當(dāng)x=l時(shí)，/(x)min=/(l)=e,則k4e,

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為k4e.

故答案為：k<e

8.(2024高三?全國?專題練習(xí))己知函數(shù)/(x)=lnx-2ax+l,若存在x>0,使得/(x^O,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍_____.

【答案】,哈：

【分析】由題意，〃x)20即2aW@二，構(gòu)造函數(shù)g(x)=g±L利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.

XX

【詳解】存在x>0,使得〃x)=lnx-2G+120可得2“W@四，

X

構(gòu)造函數(shù)g(x)=g^,其中x>0,則g<x)=-竽，

當(dāng)0<x<l時(shí),g'(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

則g(x/=g6=l，所以，2a41,解得因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是，叫；.

故答案為：100，］-

9.(2024高三上?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx-：,若〃x)<Y在仙+動(dòng)上恒成立，則。的取值

范圍是_______

【答案】［T+8)

【分析】由題意知恒成立的不等式為lnx-3<x2,便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法，繼而構(gòu)造函

X

數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

【詳解】由題意知Inx—Nv*oxinx—qv/一/，其中工晝化+勿)

x

*''只需要a>xlnx-x3恒成立，

令g(x)=x］nx-x3,X￡(l,+8),

g'(x)=l+lnx-3x2,g'(l)=-2,

設(shè)/z(x)=l+lnx-3%2,x￡(l,+e),貝j］/(x)=J_-6x=^—<0,

xx

???g'(x)在(1,+x)單調(diào)遞減，

g'(x)<g'(l)<0=g(x)在(1,+。)單調(diào)遞減，

，g(x)<g⑴