2024-2025學(xué)年湖南省長沙市開福區(qū)長雅中學(xué)九年級（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在0，?2，?3，π四個數(shù)中，最大的數(shù)是(

)A.?2 B.0 C.π D.?2.在下列幾何體中，主視圖、左視圖和俯視圖形狀都相同的是(

)A. B. C. D.3.已知某新型感冒病毒的直徑約為0.000000823米，將0.000000823用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A.82.3×10?8 B.8.23×10?7 C.4.下列式子運(yùn)算正確的是(

)A.x3+x2=x5 B.5.在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加跳遠(yuǎn)的15名運(yùn)動員的成績?nèi)缦卤硭境煽?米)4.504.604.654.704.754.80人數(shù)232341則這些運(yùn)動員成績的中位數(shù)、眾數(shù)分別是(

)A.4.65、4.70 B.4.65、4.75 C.4.70、4.75 D.4.70、4.706.不等式組1?3x≤73x<?15的解集在數(shù)軸上表示正確的是(

)A. B.

C. D.7.如圖，△ABC繞點(diǎn)C按順時針旋轉(zhuǎn)30°到△DEC，若點(diǎn)A恰好在DE上，則∠BAC的度數(shù)為(

)A.15°

B.55°

C.65°8.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB，OD，BD，若∠C=110°，則∠BOD=(

)A.130°

B.120°

C.125°

9.《孫子算經(jīng)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)典籍，其中有一道題：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩度之，不足一尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設(shè)木長x尺，繩子長y尺，則可以列出的方程組為(

)A.y?x=4.5x?0.5y=1 B.y?x=4.5x+0.5y=1 C.x+y=4.5x?y=110.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=12x的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，AB//y軸，交x軸于點(diǎn)C，連結(jié)OA，取OA的中點(diǎn)D，連結(jié)BD，則△ADB(陰影部分)的面積為A.16

B.8

C.4

D.2二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.分解因式：x2?9=______.12.分式2x3?x有意義，則x的取值范圍是______.13.已知正多邊形的一個外角等于40°，則這個正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為_____.14.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，若DE//BC，ADDB=23，DE=6cm，則BC的長為______

15.若二次函數(shù)y=x2+bx?5的對稱軸為直線x=2，則關(guān)于x的方程x216.如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別過點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)；②作直線PQ交AB于點(diǎn)D；③以點(diǎn)D為圓心，AD長為半徑畫弧交PQ于點(diǎn)M，連接AM、BM.若AB=22，則AM的長為______

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

計算：(18.(本小題6分)

先化簡，再求值：(1?1a+219.(本小題6分)

春天是放風(fēng)箏的好季節(jié)，如圖，張同學(xué)在園林生態(tài)園B處放風(fēng)箏，風(fēng)箏位于A處，風(fēng)箏線AB長為50m，從B處看風(fēng)箏的仰角為37°，張同學(xué)的妹妹從C處看風(fēng)箏的仰角為60°(A,B,C三點(diǎn)位于同一平面).

(1)風(fēng)箏離地面多少米？

(2)張同學(xué)和妹妹的直線距離BC是多少米？(結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos3720.(本小題8分)

整理錯題是一種優(yōu)秀的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法，為此某校教務(wù)處就這項優(yōu)秀的學(xué)習(xí)習(xí)慣對部分九年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查.設(shè)計的調(diào)查問題：對自己做錯的題目進(jìn)行整理、分析、改正情況；答案選項為：A、很少，B、有時，C、常常，D、總是.將調(diào)查結(jié)果的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、繪制成部分統(tǒng)計圖：

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

(1)求a、b的值及“常?！彼鶎?yīng)扇形的圓心角度數(shù)；

(2)請你補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)為了共同進(jìn)步，王老師從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各選出兩人，再從四人中選取兩位學(xué)生進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位學(xué)生恰好組合成功(即“很少”和“總是”的兩人為一組)的概率.21.(本小題8分)

在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD邊上，DF=EB，連接AF，BF.

(1)求證：四邊形BFDE是矩形；

(2)若AF平分∠DAB，DE=8，AE=6，求矩形BFDE的面積．22.(本小題9分)

綜合與實踐：

問題情境

小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價x與日銷售量y情況，記錄如下：售價(元/盆)日銷售量(盆)A2050B3030C1854D2246E2638數(shù)據(jù)整理：

(1)請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：售價(元/盆)______________________________日銷售量(盆)______________________________模型建立

(2)分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，探究出日銷售量y與售價x之間的關(guān)系式.

拓廣應(yīng)用

(3)根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中.

①要想每天獲得400元的利潤，應(yīng)如何定價？

②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？23.(本小題9分)

如圖，AB為⊙O的直徑，D為BA延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接BC.

(1)求證：BC平分∠DBE；

(2)求證：BC2=AB?BE；

(3)若BC=4524.(本小題10分)

新定義：如果實數(shù)m，n滿足m?n=?2時，則稱P(m,n)為“立足點(diǎn)”，稱Q(m?1,5?n)為“制高點(diǎn)”，例如，P(1,3)是“立足點(diǎn)”，Q(0,2)是“制高點(diǎn)”.

(1)求正比例函數(shù)y=x圖象上“制高點(diǎn)”的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)D(x1,y1)，E(x2,y2)是拋物線y=ax2+(2b?1)x+3c+2上的“制高點(diǎn)”，若a+b+c=0，且a>2b>3c，求|x1?x2|的取值范圍；

(3)若點(diǎn)A25.(本小題10分)

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，M為OB上一點(diǎn)，過M作CD⊥AB，N為弧AC上一動點(diǎn)，連接NC、NB、ND，NB交CD與P.

(1)當(dāng)M為OB中點(diǎn)時，求證以O(shè)、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

(2)當(dāng)NC⊥CD時，設(shè)NB的長為3x，y=AM?AB，求y與x的關(guān)系式.

(3)在(2)的條件下，△PBC=S1，△PBM=S2，△NPC=S3，自然數(shù)p、t滿足以下關(guān)系，S

參考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.C

6.D

7.D

8.D

9.A

10.D

11.(x+3)(x?3)

12.x≠3

13.1260°14.15

15.x1=2，16.2

17.解：原式=4?1+2×12+18.解：原式=a+2?1a+2?a(a+2)(a+1)(a?1)

=a+1a+2?19.解：(1)過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖所示：

∵sin37°=ADAB，

∴AD=AB×sin37°≈50×0.6=30(m)，

答：風(fēng)箏離地面30米．

(2)由(1)得，AD=30m，

∵tan37°=ADBD，

∴BD=ADtan37°≈300.75=40(m)20.解：(1)調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：44÷22%=200(人)，

a=24÷200=12%，

b=72÷200=36%，

“常?！睂?yīng)扇形的圓心角度數(shù)為360°×30%=108°；

(2)“常?！钡娜藬?shù)有：200×30%=60(人)，

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

(3)畫樹狀圖如下：(或列表都得分)

共有12種等可能得情況數(shù)，其中所選兩位學(xué)生恰好組合成功的有8種，則所選兩位同學(xué)恰好組合成功(即“很少”和“總是”的兩人為一組)的概率為21.(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DF//EB，

又∵DF=EB，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四邊形BFDE是矩形；

(2)解：∵DE⊥AB，DE=8，AE=6，

∴AD=AE2+DE2=62+82=10，

∵AF平分∠DAB，DC//AB，

∴∠DAF=∠FAB，∠DFA=∠FAB，

∴∠DAF=∠DFA22.解：(1)根據(jù)銷售單價從小到大排列得下表：售價(元/盆)1820222630日銷售量(盆)5450463830故答案為：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；

(2)觀察表格可知銷售量是售價的一次函數(shù)；

設(shè)銷售量為y盆，售價為x元，y=kx+b，

把(18,54)，(20,50)代入得：

18k+b=5420k+b=50，

解得：k=?2b=90，

∴y=?2x+90；

(3)①∵每天獲得400元的利潤，

∴(x?15)(?2x+90)=400，

解得x=25或x=35，

∴要想每天獲得400元的利潤，定價為25元或35元；

②設(shè)每天獲得的利潤為w元．

根據(jù)題意得：w=(x?15)(?2x+90)=?2x2+120x?1350=?2(x?30)2+450，

∵?2<0，

∴當(dāng)x=30時，w取最大值450，

∴售價定為30元時，每天能夠獲得最大利潤450元．

23.(1)證明：連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥DE，

∵DE⊥BE，

∴OC//BE，

∴∠EBC=∠OCB，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC=∠EBC，

∴BC平分∠DBE.

(2)證明：連接AC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵BE⊥CD，

∴∠BED=90°，

∴△ABC～△CBE，

∴BEBC=BCAB，

∴BC2=AB?BE.

(3)解：設(shè)⊙O的半徑為r，

∵tanD=34=COCD=rCD，

∴CD=43r，

∴DO=CD2+CO224.解：(1)設(shè)正比例函數(shù)y=x圖象上“制高點(diǎn)”的坐標(biāo)為(m?1,5?n)，

根據(jù)題意得m?n=2m?1=5?n，

解得：m=2n=4，

∴正比例函數(shù)y=x圖象上“制高點(diǎn)”的坐標(biāo)為(1,1)；

(2)∵a+b+c=0，且a>2b>3c，

∴a>0，c<0，b=?(a+c)，

∴ax2+(2b?1)x+3c+2=?x+2，

∴ax2+2bx+3c=0，

則x1+x2=?2ba，x1x2=3ca，

則|x1?x2|=(x1+x2)2?4x1x2=4×(ca)2?4×ca+4，

由a>2b=?2(a+c)，得ca>?32，

由2b=?2(a+c)>3c，得ca<?25，

∴?32<ca<?25，

設(shè)函數(shù)m=4(ca)2?4(ca)+4=4(ca?12)2+3，

當(dāng)?32<ca<?25時，函數(shù)m的值隨自變量的增大而減少，

當(dāng)ca=?25，m=15625，

當(dāng)ca=?32，m=19，

即2395<|x1?x2|<19；

(3)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,n)，根據(jù)題意得m?n=?2n=km，

整理得m2+2m?k=0，

∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)唯一“立足點(diǎn)”，

∴Δ=22?4(?k)=0，

解得k=?1，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=?1x，

當(dāng)k=?1時，m2+2m+1=0，

解得m1=m2=?1，

∴n=km=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?1,1)，

設(shè)點(diǎn)B(m?1,5?n)25.(1)證明：如圖，連接OC，BD，

∵AB為直徑，CD⊥AB，

∴CM=DM，

∵M(jìn)是OB中點(diǎn)，

∴OM=BM，

∵四邊形ODBC為平行四邊形，

∵CD⊥AB，

∵平行四邊形ODBC為菱形．

(2)解：連接AN，如圖，

∵CN⊥CD，CD⊥AB，

∴CN//AB，

∴∠NCA=∠BAC，

∴CB=AN，

又∵AB為直徑，

∴∠ACB=∠ANB=90°，

又∵AB=BA，

∴Rt△ACB≌Rt△BNA(HL)，

∴AC=BN，

∵∠AMC=∠ACB=90°，∠CAM=∠BAC，

∴△CAM∽△