學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§1隨機事件的概率知識梳理1。隨機事件的概念(1)我們把在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的必然事件,簡稱必然事件.（2)在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫做相對于S的不可能事件,簡稱不可能事件.（3）必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件,簡稱確定事件.（4)在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件，簡稱隨機事件.(5）確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件,一般用大寫字母A、B、C、…表示.2。隨機試驗對于隨機事件，知道它發(fā)生的可能性大小是非常重要的，要了解隨機事件發(fā)生的可能性大小，最直接的方法就是試驗.一個試驗如果滿足下述條件：(1）試驗可以在相同的情形下重復進行;(2）試驗的結(jié)果是明確可知的,但不止一個；(3）每次試驗總是出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.像這樣的試驗是一個隨機試驗。3.隨機事件的概率（1）在相同條件下重復n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)na為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn（A）=為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)對于給定的隨機事件A,如果隨著試驗次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率fn（A）穩(wěn)定在某個常數(shù)上,把這個常數(shù)記作P（A）,稱為事件A的概率,簡稱為A的概率。知識導學概率是研究隨機事件發(fā)生的可能性大小的問題,這里既有隨機性，又有隨機性中表現(xiàn)出的規(guī)律性，這是我們學習的難點。突破難點最好的方法是盡量自己動手操作.在實踐過程中形成對隨機事件的隨機性以及隨機性中表現(xiàn)出來的規(guī)律性的直接感知.教材利用我們熟悉的擲硬幣試驗,通過自己親自動手試驗,體會隨機發(fā)生的隨機性和隨機性中的規(guī)律性。觀察隨機事件發(fā)生的頻率，可以發(fā)現(xiàn)隨著試驗次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，然后再給出概率的定義。在這個過程中，體現(xiàn)了試驗、觀察、歸納和總結(jié)的思想方法，通過試驗?zāi)M等方法，可以澄清日常生活中對概率的錯誤認識,也加深了我們對概率意義的理解。概率是中學數(shù)學的新內(nèi)容之一,它為我們認識客觀世界提供了重要的思維模式和理論依據(jù)，提出了行之有效的解決問題的方法。它在數(shù)學的學習中起著承前啟后的作用:一方面它是集合及算法的拓展延續(xù);另一方面它又是學習統(tǒng)計等知識的理論基礎(chǔ).當然，它也是我們今后學習大學知識的基礎(chǔ)之一，而且它還可以幫助我們指導生產(chǎn)實踐，做出合理的決策.疑難突破1.“頻率”與“概率”之間的關(guān)系剖析：隨機事件的頻率，指此事發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小,這個常數(shù)我們叫做隨機事件的概率，概率可看作頻率在理論上的期望值，它在數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量的重復試驗的前提下可近似地作為這個事件的概率。2。“必然事件”“不可能事件”“隨機事件”及其概率剖析:一個隨機事件的發(fā)生,既有隨機性（對單次試驗來說）,又存在著統(tǒng)計規(guī)律性（對大量重復試驗來說),這是偶然性和必然性的統(tǒng)一.就概率的統(tǒng)計定義而言，必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0；而任意事件A的概率0≤P（A）≤1,從這個意義上講必然事件和不可能事件可看作隨機事件的兩個極端情況，由此看來，它們雖然是兩類不同的事件，但在一定的情況下又可以統(tǒng)一起來,這正說明了二者既對立又統(tǒng)一的辯證關(guān)系。3。隨機試驗的特點剖析：隨機試驗的特點是我們區(qū)別它與其他試驗的重要依據(jù)。隨機試驗具有以下特點:首先,試驗在同樣條件下可以重復進行，試驗結(jié)果事先無法確定.其次，試驗的結(jié)果不止一個,每次試驗只能出現(xiàn)其中的一個結(jié)果,并且事先不能判斷必然要出現(xiàn)哪一個結(jié)果.再次，事先能夠明確指出這種試驗可能出現(xiàn)的一切結(jié)果。典題精講例112件同類產(chǎn)品中,有10件正品，2件次品，從中任意抽出3件，下列事件中,隨機事件有_______;必然事件有_______；不可能事件有_______（填上相應(yīng)的序號)。(1)3件都是正品（2)至少有1件是次品（3）3件都是次品(4）至少有1件是正品思路解析:可以對照三種事件的含義，聯(lián)系課本中的有關(guān)例子，考查每個事件的發(fā)生是不是確定的,如果是確定不發(fā)生的就是不可能事件，如果是確定要發(fā)生的就是必然事件,如果可能發(fā)生也可能不發(fā)生的就是隨機事件。答案:(1）,(2）(4）(3）黑色陷阱:常見錯誤是不注意所給條件中正品和次品的數(shù)量,誤把（3)（4)也當成隨機事件,或者把三個概念混淆.變式訓練（1)在10件同類產(chǎn)品中,有8件正品,2件次品,從中任意抽出3件產(chǎn)品的必然事件是()A。3件都是正品 B。至少有1件次品C。3件都是次品 D.至少有1件正品思路解析：因為有2件次品，共抽3件,所以至少抽到1件正品，即至少有1件正品是必然事件。應(yīng)選D.答案:D（2)下列隨機事件中,一次試驗各指什么？它們各有幾次試驗？①一天中,從北京到上海有6個航班起飛,全部準時到達;②拋擲一枚骰子10次,有2次6點向上.思路分析：要解決本題首先要明白什么是一次試驗,一次試驗就是條件實現(xiàn)一次.①中的航班起飛一次就是一次試驗,至于是否準時到達那是試驗結(jié)果的問題；拋擲骰子也是一樣，把骰子拋出再落地就是實現(xiàn)了一次試驗的過程.解：①一次航班起飛就是一次試驗，共有6次試驗；②拋擲一枚骰子就是一次試驗，所以共有10次試驗。例2下列敘述中事件的概率是0。5的是…()A。拋擲一枚骰子10次,其中數(shù)字6向上的出現(xiàn)了5次,拋擲一枚骰子數(shù)字6向上的概率B.某地在8天內(nèi)下雨4天,某地每天下雨的概率C.進行10000次拋擲硬幣試驗，出現(xiàn)5001次正面向上,那么拋擲一枚硬幣正面向上的概率D.某人買了2張體育彩票,其中一張中500萬大獎,那么購買一張體育彩票中500萬大獎的概率思路解析：頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的,在相同的條件下,大量重復進行同一試驗時，頻率會穩(wěn)定于概率;概率從數(shù)量上客觀地反映了隨機事件發(fā)生的可能性大小。答案:C綠色通道:在實際問題中，某些隨機事件的概率往往難以確切得到，因此我們常常通過做大量的重復試驗,用隨機事件發(fā)生的頻率來估計它的概率.這里只有選項C進行了大量重復試驗，其余三個選項都是事件的頻率。變式訓練某乒乓球產(chǎn)品檢查結(jié)果如下表所示:抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率（1)計算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；（2）從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個,質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？（結(jié)果保留到小數(shù)點后三位)解：（1)依據(jù)公式可以計算出表中乒乓球優(yōu)等品的概率依次是0。900,0。920，0.970，0。940，0.954,0。951。（2)由（1)知,抽取的球數(shù)n不同，計算得到的頻率值雖然不同，但卻都在常數(shù)0。950的附近擺動,所以抽取一個乒乓球檢測時,質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率為0。950.例3（2006福建高考卷，18）每次拋擲一枚骰子(六個面上分別標以數(shù)字1，2，3,4,5,6）.(1)連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)不同的概率;（2)連續(xù)拋擲2次,求向上的數(shù)之和為6的概率.解：（1)設(shè)A表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)不同”,則P（A)=∴拋擲2次，向上的數(shù)不同的概率為。(2)設(shè)B表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)之和為6”。Q向上的數(shù)之和為6的結(jié)果有（1，5）、(2,4)、(3,3)、（4，3）、（5,1)共5種，∴P(B）=即拋擲2次，向上的數(shù)之和為6的概率為。綠色通道:通過本節(jié)知識我們應(yīng)該理解概率是實際生活不可缺少的一部分，我們要從最基本的概念出發(fā)打好基礎(chǔ),還要熟記幾個概念的區(qū)別與聯(lián)系,掌握解決問題的方法,還要能靈活應(yīng)用.我們也可以在實際中多總結(jié)，從實際例子來理解抽象的概率理論，還可以借助計算機來輔助各種試驗，研究某些事件發(fā)生的規(guī)律,從而加深對理論的理解。變式訓練一個箱子內(nèi)有9張票,其號數(shù)分別為1,2，…，9.從中任取2張，其號數(shù)至少有一個為奇數(shù)的概率是多少?思路分析:從9張票中任取2張，要弄清楚取法種數(shù)為×9×8=36,“號數(shù)至少有一個為奇數(shù)”的對立事件是“號數(shù)全是偶數(shù)”,用對立事件的性質(zhì)求解將變得非常簡單。解：從9張票中任取2張，取第一張時有9種取法，取第二張時有8種取法,但(x，y）和(y,x）是同一基本事件,故總?cè)》ǚN數(shù)為×9×8=36.記“號數(shù)至少有一個為奇數(shù)”為事件B,“號數(shù)全是偶數(shù)“為事件C，則事件C為從號數(shù)為2,4,6，8的四張票中任取2張，有×4×3=6種取法.∴P(C）=。由對立事件的性質(zhì),得P(B）=1—P(C）=1—。問題探究問題1現(xiàn)實中有很多事情都有自己發(fā)生的頻率，比如一個人打籃球投球進籃的頻率,并且這個頻率有一定的規(guī)律,它是因這個人的技術(shù)而有所不同的，但是對于個人總是穩(wěn)定在某個數(shù)值附近的。試結(jié)合一個例子具體說明頻率的穩(wěn)定性。導思：某些隨機事件發(fā)生的次數(shù)往往具有一定的規(guī)律性，也就是其發(fā)生的頻率具有相對的穩(wěn)定性?？山柚诎l(fā)生在我們周圍的現(xiàn)象或試驗進行探究。比如投擲硬幣、圖釘、骰子等。探究:以“投擲硬幣”試驗為例.先做n次試驗（相當于投籃）,可得到一個出現(xiàn)“正面朝上"的頻率（相當于進球個數(shù)與投球次數(shù)的比值);再做n次試驗（相當于再次投籃)，可得到一個出現(xiàn)“正面朝上"的頻率(相當于再次計算進球個數(shù)和投球次數(shù)的比值)；……首先根據(jù)數(shù)據(jù)可以看出，,,…是變化的量,但是當n很大時,出現(xiàn)“正面朝上”的頻率具有“穩(wěn)定性”一一在上述“常數(shù)”附近擺動,并且隨著試驗次數(shù)的增加,擺動的幅度具有越來越小的趨勢。其次，通過增加試驗的次數(shù)可以發(fā)現(xiàn),有時,,…中也可能出現(xiàn)頻率偏離“常數(shù)"較大的情形，但是隨著n的增大，頻率偏離“常數(shù)”大的可能性會減小.由此我們不難看出,投擲硬幣試驗中,雖然頻率在變化，但是在大量試驗的條件下，仍然具有穩(wěn)定性，就像投籃球一樣,好的投球手不一定百投百中,但是通過多次比較就會發(fā)現(xiàn)技術(shù)的差距。問題2某中學高一年級有12個班,要從中選出2個班代表學校參加某項活動.由于某種原因,1班必須參加，另外再從2至12班中選出1個班。有人提議用如下方法:擲兩個骰子，得到的點數(shù)的和是幾,就選幾班,你認為這種方法公平嗎?兩個骰子的點數(shù)和1點2點3點4點5點6點1點2345672點3456783點4567894點56789105點678910116點789101112導思：考查這種方法選出代表班是否公平，關(guān)鍵是看從2到12班每個班被選出的概率(即可能性)是否相同，也就是看從2到12這11個數(shù)出現(xiàn)的機會是否均等.探究：任意拋擲一枚骰子，有6種可能的結(jié)果，因此當?shù)谝幻恩蛔映霈F(xiàn)一種結(jié)果時，第二枚骰子仍然隨機地出現(xiàn)6種可能的結(jié)果,