/2025屆3月份考試數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解分式不等式再求交集即可.【詳解】，故故選：D2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A.10 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的意義求解.【詳解】依題意，，，所以.故選：B3.已知向量，，若，則（）A. B. C.-6 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標(biāo)運算及向量共線的坐標(biāo)表示列式計算得解.詳解】向量，，則，由，得，所以.故選：C4.已知，，則（）A1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用和差角的三角函數(shù)公式，結(jié)合同角公式計算得解.【詳解】由，得，即，由，得，因此，所以.故選：B5.已知拋物線的焦點為，第一象限的點在拋物線上，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的準(zhǔn)線，再利用定義求出，進(jìn)而求出即可得解.【詳解】拋物線，即的準(zhǔn)線方程為，由，得，解得，又拋物線過點，則，而，解得，所以.故選：A6.已知數(shù)列的前項和為，且為等差數(shù)列，若，則（）A.-63 B.63 C.36 D.-36【答案】A【解析】【分析】根據(jù)可得，進(jìn)而可得的公差，從而可得通項公式，再求解即可.【詳解】即，故.設(shè)的公差為，則，解得，又，故是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，則，故.則.故選：A7.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，坐標(biāo)原點為，第一象限的點在雙曲線上，連接并延長交雙曲線另一點，若，則（）A. B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，可得四邊形為平行四邊形，則，設(shè)，則，然后結(jié)合雙曲線的定義可求出，再利用余弦定理求出，再由兩邊平方化簡可求出，從而可求出.【詳解】連接，由題意可得，，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，設(shè)，則，，所以，得，所以，，在中，由余弦定理得，因為為的中點，所以，所以，所以，即，所以.故選：C8.已知函數(shù)的定義域為，，都有：，且，則（）A.1600 B.1601 C.820 D.821【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)導(dǎo)出，再賦值，結(jié)合累加法及等差數(shù)列前和公式計算得解.【詳解】依題意，由，得，兩式相加得，而，因此，取，則，所以.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用迭代法及不等式性質(zhì)導(dǎo)出是求解問題的關(guān)鍵.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知實數(shù)，，滿足，則下列不等式不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)、基本不等式，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)逐項判斷.【詳解】對于A，因為，則，故A成立；對于B，取，滿足，而，故B不一定成立；對于C，取，滿足，而，故C不一定成立；對于D，因為，則，故D成立.故選：BC.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.此函數(shù)的周期為B.此函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱C.此函數(shù)在區(qū)間上有7個零點D.此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】取值計算判斷A；利用函數(shù)對稱性定義判斷B；求出函數(shù)的零點判斷C；利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性判斷D.【詳解】對于A，，，顯然，所以函數(shù)周期不為，A錯誤；對于B，，，則，因此函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，B正確；對于C，，令，得，即，則或或，由，解得，，因此函數(shù)有7個零點，C正確；對于D，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，D正確.故選：BCD11.一個圓柱表面積為，體積為，則下列四組數(shù)對中，可作為數(shù)對的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用圓柱表面積、體積公式建立關(guān)于圓柱底面圓半徑的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值進(jìn)而判斷.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，則，即，因此，令，求導(dǎo)得，對于AB，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是，即，而，因此都有解，AB均可以；對于CD，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是，，而，因此有解，無解，C不可以，D可以.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用圓柱半徑，結(jié)合體積及表面積建立函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)探討最小值是求解的關(guān)鍵.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是等比數(shù)列，且，，則__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，推導(dǎo)出，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得的值.【詳解】因為是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，故.故答案：.13.若圓與曲線有兩個公共點，則的取值范圍為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓、曲線的對稱性，只需分析與圓只有一個交點即可，分相切與相交兩種情況討論，分別計算可得.【詳解】圓的圓心為坐標(biāo)原點，關(guān)于軸對稱，因為為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以曲線的圖象也關(guān)于軸對稱，所以只需研究與圓只有一個交點即可，當(dāng)與圓相切時，則，當(dāng)與圓相交時（只有一個交點），則，綜上可得的取值范圍為.故答案為：14.已知表示不超過最大的整數(shù)，如，，若方程的正實數(shù)根為，則_____．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】【分析】由題意可得，再代入化簡求解即可.【詳解】方程的正實數(shù)根為，則，，則.故.故.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的面積為．求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用和差角的正弦公式化簡即得.（2）利用三角形面積公式及余弦定理求解即得.【小問1詳解】在中，由，得，則，整理得，而，則，又，所以.【小問2詳解】由，得，即，又，則，整理得，因此，解得，所以的周長為.16.如圖，在三棱柱中，平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)、判定，再利用面面垂直的判定推理即得.（2）利用（1）中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】在三棱柱中，由平面平面，得，又平面，則平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，令，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）計算，根據(jù)等比數(shù)列的定義得證；（2）由（1）得，利用分組求和和錯位相減法求和.【小問1詳解】因為，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）得數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，所以，故．所以．故,令,,兩式相減得,所以,即.18.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的最小值．【答案】（1）；（2）答案見解析.（3）.【解析】【分析】（1）把代入，求出導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出導(dǎo)數(shù)，再按分類求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）由（2）的信息，求出函數(shù)的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為.【小問2詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得或；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得或；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為上單調(diào)遞增，遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【小問3詳解】由（2）知當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，依題意，，即恒成立，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，即，因此，所以最小值為.19.已知橢圓的左、右頂點分別為，．橢圓上任意一點（不與，重合），滿足直線，的斜率之積等于．當(dāng)點在橢圓的上頂點時，的面積為．（1）求的方程；（2）已知不在軸上的動點在定直線上運動時，直線、分別交橢圓于兩點，．（i）求證：為鈍角；（ii）求四邊形面積的最大值．【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）6.【解析】【分析】（1）利用斜率坐標(biāo)公式列式求出，再結(jié)合三角形面積即可求得方程.（2）（i）設(shè)出點的坐標(biāo)，求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出坐標(biāo)，利用平面向量夾角公式推理判斷；（ii）由（i）中信息求出四邊形面積的函數(shù)關(guān)系，借助基本不等式及對勾函數(shù)的性質(zhì)求出最值.【小問1詳解】設(shè)，則，即，又，于是，當(dāng)點為橢圓的上頂點時，，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】（i）由（1）知，由橢圓對稱性，不妨設(shè)，直線斜率，直線的斜率，直線的方程為，直線的方程為，由消去得，由韋達(dá)定理得，即，，由消去