試題PAGE1試題2024北京清華附中高一（下）期末數(shù)學(xué)2024.7一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，且，則a可以為（）A.－2 B.－1 C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B.C. D.3.若向量，，，則（）A. B. C.4 D.4.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.5.下列函數(shù)中，以為周期，且圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的是（）A. B.C. D.6.已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D.7.若是無(wú)窮數(shù)列，則“為等比數(shù)列”是“滿足”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知甲、乙兩人進(jìn)行籃球罰球訓(xùn)練，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè)，每組命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.甲命中個(gè)數(shù)的極差為29 B.乙命中個(gè)數(shù)的眾數(shù)是21C.甲的命中率比乙高 D.甲每組命中個(gè)數(shù)的中位數(shù)是259.已知，，，，成等比數(shù)列，且其中兩項(xiàng)分別為1，9，則的最小值為（）A. B.C. D.10.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.72 B.74 C.76 D.78二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前項(xiàng)和_____________.12.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五種智慧黑板，某學(xué)校要從中隨機(jī)選取3種作為教學(xué)工具備選，則其中甲、乙、丙中至多有2種被選取的概率為_____________.13.函數(shù)，其中且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則的一個(gè)取值為______，若函數(shù)存在極值，則的取值范圍為______.14.已知函數(shù)，則_____________.15.若等差數(shù)列滿足.對(duì)，在中的所有項(xiàng)組成集合.記中最小值為，最大值為，元素個(gè)數(shù)為，所有元素和為，則下列命題中①為等比數(shù)列；②；③；④.所有正確的命題的序號(hào)是_____________.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，，，分別為，，所對(duì)的邊，已知.（1）求的大小；（2）若且，求的長(zhǎng).17.已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù).18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）證明：對(duì)，函數(shù)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）在（2）的條件下，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.某學(xué)校為了解高一新生體質(zhì)健康狀況，對(duì)學(xué)生體質(zhì)進(jìn)行測(cè)試.現(xiàn)從男、女生中各隨機(jī)抽取40人，測(cè)試數(shù)據(jù)按《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》整理如下：等級(jí)數(shù)據(jù)范圍男生人數(shù)男生平均分女生人數(shù)女生平均分優(yōu)秀1091.3491良好883.9884.1及格16702270.2不及格60以下649.6649.1總計(jì)\4075.04071.9（1）若按規(guī)定測(cè)試數(shù)據(jù)不低于60，則稱體質(zhì)健康為合格.試估計(jì)該校高一新生體質(zhì)健康合格的概率；（2）在高一新生中，隨機(jī)選取一名男生和一名女生，試估計(jì)恰有一人的體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率；（3）已知表中男生與女生在優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個(gè)等級(jí)的各級(jí)平均分都接近（差的絕對(duì)值不大于0.5），但男生的總平均分75.0卻明顯高于女生的總平均分71.9.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，若去掉四個(gè)等級(jí)中一個(gè)等級(jí)的數(shù)據(jù)，則男生、女生的總平均分也接近，請(qǐng)寫出去掉的這個(gè)等級(jí).（只需寫出結(jié)論）20.已知函數(shù)，.（1）若曲線在處切線過(guò)原點(diǎn)，求的值；（2）若在上最小值為1，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，若，都有，求整數(shù)的最小值.21.對(duì)給定的正整數(shù)，設(shè)數(shù)列，若存在，使得，則將數(shù)列進(jìn)行操作變換，得到數(shù)列，且為，或之一，記為.設(shè)（個(gè)），從開始進(jìn)行次操作變換，依次得到數(shù)列，即，.（1）當(dāng)時(shí)，分別判斷從開始進(jìn)行次操作變換，是否可以得到如下數(shù)列？若不可以，直接判斷即可；若可以，請(qǐng)寫出相應(yīng)的及；①；②；③；（2）當(dāng)時(shí)，從開始進(jìn)行次操作變換，是否可能得到數(shù)列？若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；若可以，求出與的所有可能取值.（3）給定正奇數(shù)，為使的各項(xiàng)均不相同，求操作變換次數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】B【分析】求出集合，結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，可知，故A、C、D錯(cuò)誤；，故B正確.故選：B2.【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)化簡(jiǎn)可得復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?故選：B.3.【答案】D【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，解?故選：D4.【答案】D【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)得到不等式，解得即可.【詳解】函數(shù)，令，等價(jià)于，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D5.【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)函數(shù)的變換規(guī)則及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B，利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，再由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C、D.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的最小正周期，對(duì)稱中心為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)的圖象是由將軸下方部分關(guān)于軸對(duì)稱上去，軸及軸上方部分不變，所以的最小正周期，沒有對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則最小正周期，且當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期，故D錯(cuò)誤.故選：C6.【答案】D【分析】利用作差法可判斷A、B選項(xiàng)的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】，則，，又、，，.可得：ABC成立，D不成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用作差法來(lái)進(jìn)行判斷，同時(shí)也要注意正弦、余弦有界性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.7.【答案】A【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合特值法可解.【詳解】若為等比數(shù)列，，則運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)知道;若，則可以為全部為0的常數(shù)列，不能說(shuō)它是等比數(shù)列.故“為等比數(shù)列”是“滿足”的充分不必要條件.故選：A.8.【答案】D【分析】根據(jù)莖葉圖及中位數(shù)、眾數(shù)、極差的定義計(jì)算一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知甲命中最多37，最少8，即極差為29，故A正確；顯然乙命中個(gè)數(shù)的眾數(shù)為21，出現(xiàn)兩次，故B正確；甲命中共214個(gè)，乙命中共169個(gè)，所以甲命中率高，故C正確；甲命中的個(gè)數(shù)中位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：D9.【答案】B【分析】結(jié)合題意，取最小值時(shí)為負(fù)數(shù)，且，利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.【詳解】若相鄰兩項(xiàng)為和，則公比為正數(shù)，每一項(xiàng)都為正數(shù)，舍去；若奇數(shù)項(xiàng)為和，則奇數(shù)項(xiàng)均為正數(shù)，舍去；由題意，要使最小，則，，都是負(fù)數(shù)，則和選擇和，設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以；綜上可得，的最小值為.故選：B10.【答案】B【分析】根據(jù)已知條件列方程，可得，再由，結(jié)合指對(duì)數(shù)關(guān)系和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由于，所以，依題意，則，則，由，所以，即，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次．故選：B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】依題意可得，即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以的公差，又，所?故答案為：12.【答案】【分析】運(yùn)用列舉法求出總數(shù)和滿足題意數(shù)，結(jié)合對(duì)立事件概率，古典概型概率公式計(jì)算.【詳解】學(xué)校要從甲、乙、丙、丁、戊五種智慧黑板中隨機(jī)選取3種作為教學(xué)工具,總共有10種，即甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊.“甲、乙、丙中至多有2種被選取”的對(duì)立事件為“甲、乙、丙3種被選取”,對(duì)立事件的情況數(shù)只有１種，則概率為.則“甲、乙、丙中至多有2種被選取”的概率.故答案為：.13.【答案】①.2（滿足均可）②.【分析】空1：若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，分析可知：在上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列式求解；空2：若函數(shù)存在極值，則在上不單調(diào)，直接取反空1的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)榍?，若函?shù)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)可知：在上單調(diào)遞增，則，解得，例如；可知為連續(xù)不斷函數(shù)，若函數(shù)存在極值，則在上不單調(diào)，所以的取值范圍為.故答案為：2（滿足均可）；.14.【答案】【分析】先用倍角公式化簡(jiǎn)，再代入求值.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：15.【答案】②③④【分析】由條件結(jié)合二項(xiàng)式定理分別在取正奇數(shù)和正偶數(shù)時(shí)確定集合的元素，由此確定，根據(jù)等比數(shù)列定義判斷①，求判斷②，研究數(shù)列的單調(diào)性判斷③，結(jié)合等差數(shù)列求和公式求，判斷④.【詳解】令，因?yàn)?，，所以?dāng)為正偶數(shù)時(shí)，中的最小值為，最大值為，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，中的最小值為，最大值為，所以當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，①錯(cuò)誤，所以當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，②正確；因?yàn)楫?dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，，因?yàn)椋詳?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)遞增，又，所以，所以，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，所以，所以，所以當(dāng)，且為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)遞增，又，，所以，所以，所以時(shí)，，③正確.因?yàn)楫?dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，，，所以，所以，因?yàn)椋覟檎紨?shù)，所以，所以，當(dāng)，且為奇數(shù)時(shí)，，，所以，所以，因?yàn)椋覟槠鏀?shù)時(shí)，，所以，又，，所以，④對(duì)，故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于結(jié)合二項(xiàng)式定理，確定集合的元素的最大值和最小值，由此可確定的元素個(gè)數(shù).三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）運(yùn)用正弦定理邊角互化即可；（2）用余弦定理，結(jié)合已知式子求出，再結(jié)合面積公式，可以求出,最后代入已知的式子可以求出.【小問(wèn)1詳解】由和正弦定理得，，則，即，則，即，由于，則，則.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，.又，則，求的.由，即，即，則.代入得，，解得.17.【答案】（1）證明見解析，（2）2024【分析】（1）先取倒數(shù)，然后通過(guò)構(gòu)造法可得答案；（2）由（1）求數(shù)列的通項(xiàng)，然后可得的通項(xiàng)，最后分組求和可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，可得，即，，所以?shù)列是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，所以，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，顯然是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以滿足條件的最大整數(shù)為.18.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再代入求切線斜率最后寫出切線方程即可；（2）先求導(dǎo)函數(shù)再求極值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)已知不等式結(jié)合極值點(diǎn)代入，再構(gòu)造函數(shù)再根據(jù)函數(shù)范圍及函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，,,,所以點(diǎn)為，切線方程為即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?所以,函數(shù)的極值點(diǎn)為,則,,或故是的單調(diào)減區(qū)間.為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?所以，所以所以,設(shè)函數(shù),當(dāng)不合題意,當(dāng)單調(diào)遞增，,,所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)范圍及函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.19.【答案】（1）（2）（3）去掉的等級(jí)為優(yōu)秀.【分析】（1）首先確定合格人數(shù)和總?cè)藬?shù)，然后利用古典概型計(jì)算公式可得體質(zhì)健康合格的概率；（2）首先確定從男生、女生樣本中隨機(jī)選出的人的體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率，然后結(jié)合獨(dú)立性事件概率公式可得滿足題意的概率值；（3）結(jié)合表格給出所需去掉的等級(jí)即可.【小問(wèn)1詳解】樣本中合格的學(xué)生數(shù)為：，樣本總數(shù)為：，這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件為“從男生樣本中隨機(jī)選出的人的體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀”，.事件為“從女生樣本中隨機(jī)選出的人的體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀”,.因?yàn)闉楠?dú)立事件，故所求概率為.【小問(wèn)3詳解】男生良好的和女生良好的人數(shù)一樣，不及格的人數(shù)也一樣，及格的人數(shù)比女生要少，最終的平均分高，說(shuō)明了優(yōu)秀的分?jǐn)?shù)占多，去掉的等級(jí)為優(yōu)秀，才能夠把平均分降下來(lái)，與女生的持平.所以去掉的是優(yōu)秀等級(jí)的.20.【答案】（1）（2）或（3）1【分析】（1）先確定切點(diǎn)，再求切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，根據(jù)切線過(guò)定點(diǎn)求參數(shù)的值.（2）分情況討論函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，利用最小值求參數(shù)的值.（3）設(shè)函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上的最大值不大于0，求參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為.又，所以.所以函數(shù)在處的切線方程為：.因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以：.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所?若，在上恒成立，所以在上的最小值為：.若，由；由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，由（舍去）.當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由（舍去）.當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，由.綜上可知：或.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，.設(shè)，則.若，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以不可能恒成立；若，由；由.所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.此時(shí)，只需.設(shè)，，則在上恒成立.所以在單調(diào)遞減，且，因?yàn)?，所?所以整數(shù)的最小值為1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：第3問(wèn)中，要證，，需設(shè)，只需證在上的最大值非正即可.21.【答案】（1）①可以，，，，；②不可以；③不可以（2），（3）【分析】（1）直接根據(jù)操作變換的定義判斷并證明；（2）利用每次變換后各項(xiàng)之和以及各項(xiàng)的平方和的變化規(guī)律即可證明，，然后給出符合條件的例子即可；（3）利用每次變換后各項(xiàng)之和以及各項(xiàng)的平方和的變化規(guī)律證明，再證明可以由數(shù)列經(jīng)過(guò)次操作變換得到一個(gè)各項(xiàng)互不相同的數(shù)列，即可得到操作變換次數(shù)的最小值為.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于①，可令，且，，，，即可得到所求數(shù)列；對(duì)于②，顯然無(wú)論怎樣變換，數(shù)列的各項(xiàng)之和是不變的，因此從開始進(jìn)行有限次變換后，數(shù)列的各項(xiàng)之和必定為零，故②中的不可能得到；對(duì)于③，假設(shè)當(dāng)時(shí)，通過(guò)若干次變換后得到了包含的數(shù)列，那么設(shè)數(shù)列第一次出現(xiàn)，由于這個(gè)必定是由變得的，從而必定包含兩個(gè).但由于數(shù)列的各項(xiàng)之和必定為零，故另外兩項(xiàng)或者都是，或者包含一個(gè)不大于的項(xiàng).若另外兩項(xiàng)都是，則可以不妨設(shè)（因?yàn)楦黜?xiàng)的順序并不重要），直接驗(yàn)證即知，從該數(shù)列中任意挑選一項(xiàng)加，再任意挑選另一項(xiàng)減后，得到的兩個(gè)新項(xiàng)不可能相等，所以不可能由某個(gè)數(shù)列變換得到，這導(dǎo)致矛盾；所以另外兩項(xiàng)必定包含一個(gè)不大于的項(xiàng)，這就說(shuō)明，若通過(guò)若干次變換后得到了包含的數(shù)列，則在第一次出現(xiàn)之前就必定已經(jīng)出現(xiàn)過(guò).但同理可證，若通過(guò)若干次變換后得到了包含的數(shù)列，則在第一次出現(xiàn)之前就必定已經(jīng)出現(xiàn)過(guò).所以二者結(jié)合即知，和都是不可能出現(xiàn)的，故③中的不可能得到.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，若能從數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次變換得到數(shù)列，