題型105類排列組合二項(xiàng)式定理的解題技巧（特殊元素（位置）、定序倍縮、分組分配、三項(xiàng)式、二項(xiàng)式乘積）技法01技法01特殊元素（位置）的應(yīng)用及解題技巧技法02定序倍縮法的應(yīng)用及解題技巧技法03平均分組分配及部分平均分組分配的應(yīng)用及解題技巧技法04三項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用及解題技巧技法05二項(xiàng)式乘積的應(yīng)用及解題技巧本節(jié)導(dǎo)航技法01特殊元素（位置）的應(yīng)用及解題技巧對(duì)于有附加條件的排列組合問(wèn)題，一般采用先考慮滿足特殊的元素或位置，再考慮其它元素或位置，常在小題中考查，需強(qiáng)加練習(xí).首先，要明確題目中的特殊元素或位置，如某個(gè)特定數(shù)字、顏色、形狀等，或者是某個(gè)特定的位置，如首位、末位等。這些特殊元素或位置往往對(duì)排列組合的結(jié)果產(chǎn)生決定性影響。其次，根據(jù)特殊元素或位置的性質(zhì)，靈活運(yùn)用排列組合的基本原理進(jìn)行求解。例如，如果特殊元素不能相鄰，則可以采用插空法；如果特殊元素必須相鄰，則可以將它們看作一個(gè)整體進(jìn)行排列，然后再考慮整體與其他元素的排列。此外，還需要注意題目中的其他條件，如元素的總數(shù)、不同元素的數(shù)量等，這些條件也會(huì)對(duì)排列組合的結(jié)果產(chǎn)生影響。在解題過(guò)程中，要綜合考慮所有條件，靈活運(yùn)用各種技巧進(jìn)行求解。通過(guò)大量練習(xí)和積累，可以逐漸掌握特殊元素（位置）的應(yīng)用技巧，提高解題能力和效率。（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（

）種.A． B． C． D．3．（2024·浙江杭州·三模）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高從低到高，互不相同，將他們排成相對(duì)身高為“高低高低高”或“低高低高低”的隊(duì)形，則甲、丁不相鄰的不同排法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．181．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）甲乙丙丁戊5名同學(xué)坐成一排參加高考調(diào)研，若甲不在兩端且甲乙不相鄰的不同排列方式的個(gè)數(shù)為（

）A．36種 B．48種 C．54種 D．64種2．（2024·浙江金華·三模）在義烏，婺劇深受民眾喜愛(ài).某次婺劇表演結(jié)束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右邊的不同排法總數(shù)是（

）A．36 B．48 C．60 D．723．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）植樹(shù)節(jié)這天，某學(xué)校組織5名學(xué)生依次給樹(shù)木澆水，其中甲和乙是好朋友，必須相鄰，丙不在第三位，則不同的澆水順序的種數(shù)為（

）A．30 B．36 C．40 D．42技法02定序倍縮法的應(yīng)用及解題技巧定序倍縮法是一種在排列組合問(wèn)題中常用的技巧，尤其在處理具有特定順序要求的元素排列時(shí)顯得尤為有效。該方法的核心在于，當(dāng)某些元素需要按照特定順序排列時(shí)，我們可以通過(guò)“倍縮”這些元素來(lái)考慮其排列方式，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題。掌握這一技巧對(duì)于提高排列組合問(wèn)題的解題能力具有重要意義。對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對(duì)于某些順序一定的元素(m個(gè))的排列問(wèn)題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個(gè))進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)Aeq\o\al(n,n)除以m個(gè)順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法種eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).某學(xué)習(xí)小組、、、、、、七名同學(xué)站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊(duì)方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．1．某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的6名同學(xué)上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，若甲、乙、丙三人上臺(tái)的先后順序已確定，則不同的上臺(tái)順序種數(shù)為（

）．A．20 B．120 C．360 D．7202．今有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5個(gè)球排成一行，則不同的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．1．用組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，若的順序一定，則符合條件的七位數(shù)有（

）個(gè)A．840 B．210 C．640 D．4102．習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)教育大會(huì)上發(fā)表重要講話，稱教育是國(guó)之大計(jì)，黨之大計(jì)．哈九中落實(shí)講話內(nèi)容，組織研究性學(xué)習(xí)．在研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有A、B、C、D、E、F共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A、C、D按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰），那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為（

）A．100 B．120 C．300 D．600技法03平均分組分配及部分平均分組分配的應(yīng)用及解題技巧這類問(wèn)題在排列組合中較為常見(jiàn)，其核心在于理解“平均”與“部分平均”的概念。平均分組即指將元素均等地分配到各個(gè)組中，不考慮組內(nèi)的排列順序；而部分平均分組則是在平均分組的基礎(chǔ)上，允許部分組內(nèi)的元素?cái)?shù)量有所不同，但仍需遵循一定的分配規(guī)則。常在小題中考查，需強(qiáng)加練習(xí)。平均分組、部分平均分組1．對(duì)不同元素的分配問(wèn)題(1)對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．(2)對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．(3)對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）將6名志愿者安排到4個(gè)不同的社區(qū)進(jìn)行創(chuàng)文共建活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，則不同排法共有（

）A．480種 B．1560種 C．2640種 D．640種1．每年的5月25日是全國(guó)大中學(xué)生心理健康日．某高校計(jì)劃在這一天開(kāi)展有關(guān)心理健康的宣傳活動(dòng)，現(xiàn)計(jì)劃將6位老師平均分成三組分別到三個(gè)不同的班級(jí)進(jìn)行宣講，則不同的排法總數(shù)為（

）A．540 B．120 C．90 D．602．洛陽(yáng)市牡丹文化節(jié)期間，5名志愿者準(zhǔn)備到3個(gè)博物館參加志愿服務(wù)，若每個(gè)博物館至少接受1名志愿者，則不同的分配方案有（

）A．90種 B．150種 C．240種 D．300種3．某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報(bào)名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個(gè)項(xiàng)目，每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報(bào)名方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種1．在打結(jié)計(jì)時(shí)賽中，現(xiàn)有5根繩子，共有10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．則這5根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為（

）A． B． C． D．2．運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個(gè)場(chǎng)地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．72 B．96 C．114 D．1243．有6本不同的書(shū)，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（

）A．1440種 B．1560種 C．1920種 D．5760種4．現(xiàn)有包含兩本書(shū)的六本不同的書(shū)，分給甲?乙?丙三個(gè)人，要求每人至少一本，其中兩本書(shū)被分給甲的概率為（

）A． B． C． D．技法04三項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用及解題技巧三項(xiàng)展開(kāi)式在模擬題中經(jīng)?？疾?，通常涉及到求系數(shù)，需強(qiáng)加練習(xí)。三項(xiàng)展開(kāi)式的解題技巧是不要用二項(xiàng)式定理去解兩次，而應(yīng)該從數(shù)學(xué)意義的角度看做多少個(gè)式子相乘，直接當(dāng)做排列組合求解，可秒解。（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）1．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為．2．（2024·湖南衡陽(yáng)·一模）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．1．的展開(kāi)式中的系數(shù)為.2．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為：（結(jié)果用復(fù)數(shù)表示）.技法05二項(xiàng)式乘積的應(yīng)用及解題技巧二項(xiàng)式乘積在高考和模擬題中經(jīng)?？疾?，通常涉及到求系數(shù)，需強(qiáng)加練習(xí)。二項(xiàng)式乘積的解題技巧是先相乘，再結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可。（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．1．（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)是（

）A．﹣10 B．0 C．10 D．302．（2024·江西·一模）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．147 B． C．63 D．3．（2024·河南許昌·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中，其中不含的項(xiàng)為.1．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中的系數(shù)為.2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則該展開(kāi)式中的系數(shù)為.3．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）在多項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為32，則.4．（2025·江西新余·一模）的展開(kāi)式中的系數(shù)為36，則的值為.一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個(gè)人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（

）種A．186 B．264 C．284 D．3362．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）某高校有8名研究生要去小興安嶺采集植物樣本，其中男生6人，女生2人，將這8人分成兩組，若要求每組至少2人，且兩名女生不單獨(dú)成組，則不同的分組方案共有（

）A．240種 B．158種 C．126種 D．118種3．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）2024年4月6號(hào)岳陽(yáng)馬拉松暨全國(guó)半程馬拉松錦標(biāo)賽（第三站）開(kāi)賽，比賽結(jié)束后，其中5男3女共8位運(yùn)動(dòng)員相約在賽道旁站成前后兩排合影，每排各4人，若男運(yùn)動(dòng)員中恰有2人左右相鄰，則不同的排列方法共有（

）A．732種 B．2260種 C．4320種 D．8640種4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）一個(gè)小型聯(lián)歡會(huì)要安排1個(gè)詩(shī)詞朗誦類節(jié)目，2個(gè)獨(dú)唱類節(jié)目，2個(gè)歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有含甲在內(nèi)的5名游客來(lái)到江西旅游，分別準(zhǔn)備從井岡山、廬山、龍虎山這3個(gè)5A級(jí)景區(qū)中隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個(gè)景區(qū)均有人選擇，則這5名游客不同的選擇方案種數(shù)為（

）A．52 B．72 C．76 D．1006．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．8．（2024·北京大興·三模）在的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（

）A．9 B．15 C． D．二、填空題9．（2025·廣東肇慶·二模）在的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為.10．（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式的第8項(xiàng)是．11．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為．12．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是．13．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為8，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.14．（2