第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁上海市長寧區(qū)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共12小題）1．某古典概型的樣本空間，事件，則.2．完成下列任務(wù)所獲得的數(shù)據(jù)是觀測數(shù)據(jù)還是實驗數(shù)據(jù).某旅游公司為開發(fā)新的旅游產(chǎn)品，調(diào)查了5000名客戶對于旅游目的地的偏好.3．正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點，則棱臺的體積為.4．已知事件A與事件B互相獨立，且，，則.5．已知直線l與平面，“l(fā)與內(nèi)無數(shù)條直線平行”是“”的條件.6．某校高一共有學(xué)生240人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取80人進行體能測試；若這80人中有35人是男生，則該校高一男生共有人.7．現(xiàn)利用隨機數(shù)表法從編號為00，01，02，…，18，19的20支水筆中隨機選取6支，選取方法是從下列隨機數(shù)表第1行的第9個數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6支水筆的編號為.95226000

49840128

66175168

39682927

43772366

2709662392583556

43890890

06482834

59741458

29778149

646089258．下列說法正確的序號是.①用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則某個個體被抽到的概率是0.1；②已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5；③數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23；④數(shù)據(jù)8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的極差為4.59．已知直線l，m和平面，，且，，則下列命題中正確的是.①若，則

②若，則③若，則

④若，則10．在三棱錐中，平面，，若點A，B，C，D均在球O的表面上，且，則球O的表面積為.11．如圖是表示一個正方體表面的一種平面展開圖，圖中的四條線段??和在原正方體中相互異面的有對12．甲乙兩人下棋，每局兩人獲勝的可能性一樣.某一天兩人要進行一場五局三勝的比賽，最終勝者贏得1000元獎金.甲連勝兩局后，因為有其他要事而中止比賽.甲應(yīng)分元獎金才公平.二、單選題（本大題共4小題）13．下列關(guān)于散點圖的說法中，正確的是（

）A．任意給定統(tǒng)計數(shù)據(jù)，都可以繪制散點圖 B．從散點圖中可以看出兩個量是否具有一定的關(guān)系C．從散點圖中可以看出兩個量的因果關(guān)系 D．從散點圖中無法看出數(shù)據(jù)的分布情況14．?dāng)S一顆骰子，設(shè)事件：落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)，事件：落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)，事件：落地時向上的點數(shù)是的倍數(shù)，事件：落地時向上的點數(shù)是．則下列每對事件中，不是互斥事件的為（

）A．與 B．與 C．與 D．與15．如圖，已知分別是正方體的棱和的中點，由點確定的平面截該正方體所得截面為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形16．如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．三、解答題（本大題共5小題）17．如圖，底面是正方形的直棱柱中，，.(1)求直線與平面ABCD所成角的正切值；(2)求證：.18．某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組企業(yè)數(shù)22453147(1)估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)占比；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（精確到0.01）19．如圖，已知圓錐的底面半徑，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB，點Q為半圓弧的中點，點P為母線SA的中點.

(1)求此圓錐的側(cè)面積；(2)求異面直線PQ與SO所成角的余弦值.20．有4個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.(1)寫出這個試驗的樣本空間Ω；(2)事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件B表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”.判斷事件A和事件B是否相互獨立，并說明理由.21．如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，分別是棱上.

(1)若分別是棱的中點，求證：平面；(2)設(shè)底面是邊長為1的正方形，，，二面角的正切值為，若，求的最小值.

參考答案1．【答案】/0.5【詳解】.故答案為：.2．【答案】觀測數(shù)據(jù)【詳解】由題意可知是通過調(diào)查觀測得到的數(shù)據(jù)，所以是觀測數(shù)據(jù).故答案為：觀測數(shù)據(jù)3．【答案】【詳解】分別是其所在棱的中點，則正四棱錐底面邊長和高均為，，，故.故答案為：.4．【答案】/【詳解】因為事件A與事件B互相獨立，且，，則.故答案為：.5．【答案】必要非充分【詳解】若l與內(nèi)無數(shù)條直線平行，則或，若，則l與內(nèi)無數(shù)條直線平行，所以“l(fā)與內(nèi)無數(shù)條直線平行”是“”的必要非充分條件.故答案為：必要非充分6．【答案】105【詳解】依題意，分層抽樣的抽樣比為：，所以該校男生的人數(shù)為：.故答案為：1057．【答案】14【詳解】由題意可知，符合題意的編號依次為01，17，09，08，06，14，故選出來的第6支水筆的編號為14.故答案為：148．【答案】①③④【詳解】對于①，用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則某個個體被抽到的概率是，故①正確；對于②，由這組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，可得，解得，則數(shù)據(jù)為的方差為，故②錯誤；對于③，數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23按從小到大排列為：12，14，15，17，19，23，27，30，因，故第70百分位數(shù)是順數(shù)第六個數(shù)，即23，故③正確；對于④，樣本的極差為，故④正確.故答案為：①③④.9．【答案】①④【詳解】由直線l，m和平面，，且，，知：在①中，若，則由線面垂直的性質(zhì)得，而，所以，故①正確；在②中，若，顯然由可得，，此時不成立，故②錯誤；在③中，若，則l與m相交、平行或異面，故③錯誤；在④中，若，則，，故④正確.故答案為：①④10．【答案】【詳解】由題意可知三棱錐的頂點都為棱長為1的正方體的頂點，將三棱錐補成正方體，棱長為1，故其該正方體的外接球的直徑為，即三棱錐的外接球的直徑為，則三棱錐的外接球的半徑為，則球O的表面積為.故答案為：.11．【答案】3【詳解】如圖，將各點在原圖中標(biāo)記出來，觀察發(fā)現(xiàn)，在、、和四條線中，相互異面的只有3對：和、和、和.故答案為：3.12．【答案】875【詳解】甲連勝兩局后，乙最后獲勝的情況為后面三局必須乙勝，其概率為：，即甲最終獲勝的概率為，乙最終獲勝的概率為，故甲分得獎金元才公平.故答案為：875.13．【答案】B【詳解】散點圖不適合用于展示百分比占比的數(shù)據(jù)，另外數(shù)據(jù)量較少的數(shù)據(jù)也不適合用散點圖表示，故A錯誤；散點圖能看出兩個量是否具有一定關(guān)系，但是并一定是因果關(guān)系，故B正確，C錯誤；散點圖中能看出數(shù)據(jù)的分布情況，故D錯誤.故選：B14．【答案】B【分析】判斷選項中的兩個事件是否可以同時發(fā)生即可.【詳解】對于A，“落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)”與“落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)”不可能同時發(fā)生，∴，事件與事件互斥，故選項A不正確；對于B，“落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)”與“落地時向上的點數(shù)是的倍數(shù)”同時發(fā)生即“落地時向上的點數(shù)是”，∴“落地時向上的點數(shù)是”，事件與事件不是互斥事件，故選項B正確；對于C，“落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)”與“落地時向上的點數(shù)是”不可能同時發(fā)生，∴，事件與事件互斥，故選項C不正確；對于D，“落地時向上的點數(shù)是的倍數(shù)”與“落地時向上的點數(shù)是”不可能同時發(fā)生，∴，事件與事件互斥，故選項D不正確.故選：B.15．【答案】D【詳解】解：如圖，取的中點，的中點，的中點，連接，由正方體的性質(zhì)可知，由中位線性質(zhì)可知，所以，，所以，由點確定的平面即為截面，其為六邊形．故選：D．16．【答案】A【詳解】如圖所示，過點作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．17．【答案】(1)；(2)證明見解析【詳解】（1）平面，為直線與平面ABCD所成的角，在中，，直線與平面ABCD所成角的正切值為.（2）證明：平面，平面，，又四邊形為正方形，則，∵，平面，平面，平面，.18．【答案】(1)；(2)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為0.30，0.17.【詳解】（1）根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于的企業(yè)為：，用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于的企業(yè)比例為.（2）企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)，產(chǎn)值增長率的方差，產(chǎn)值增長率的標(biāo)準(zhǔn)差，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為0.30，0.17.19．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為圓錐的底面半徑，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊，可得，所以圓錐的側(cè)面積為.（2）以為原點，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由題意可得，則，，，，，則，，所以，，，所以，設(shè)異面直線PQ與SO所成角的大小為，，則，故異面直線PQ與SO所成角的余弦值為.20．【答案】(1)答案見解析(2)事件A和事件B相互獨立，理由見解析【詳解】（1）依題意試驗的樣本空間為：（2）事件A和事件B相互獨立，理由如下：因為，，所以，，因為，所以，因為，所以事件A和事件B相互獨立.21．【答案】(1)證明見解析(2)；【詳解】（1）證明：取中點，連接，

因為分別