PAGEPAGE1培優(yōu)點(diǎn)十一數(shù)列求通項(xiàng)公式一、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式一、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式例1：依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；（1），，，，；（2），，，，；（3），，，；；（4），，，，．【答案】（1），；（2），；（3），；（4）．【解析】（1）各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式，．（2）這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的肯定值都等于序號(hào)與序號(hào)加的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式，．（3）這個(gè)數(shù)列，去掉負(fù)號(hào)，可發(fā)覺(jué)是一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為，．（4）將原數(shù)列改寫(xiě)為，，，易知數(shù)列，，，的通項(xiàng)為，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．二、由二、由與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2：（1）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則．（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）∵，當(dāng)時(shí)，，∴，即．當(dāng)時(shí)，，得．∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．三、由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式三、由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式例3：（1）設(shè)數(shù)列滿意，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（3）已知數(shù)列滿意，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）累加法由題意得，，，，以上各式相加，得．又∵，∴．∵當(dāng)時(shí)也滿意上式，∴．（2）累乘法∵，∴，，，．以上個(gè)式子相乘得．當(dāng)時(shí)，，上式也成立．∴．（3）構(gòu)造法∵，∴，∴，∴數(shù)列為等比數(shù)列，公比，又，∴，∴．對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1．?dāng)?shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解法一：特例淘汰法．令，淘汰D選項(xiàng)，令，淘汰A，B選項(xiàng)．解法二：數(shù)列變形為，，，，分子、分母都是等差數(shù)列，分子，分母．故選C．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選C．3．若數(shù)列滿意，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)題意，由，得，即．由，得，則數(shù)列前項(xiàng)和，故選C．4．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，得到，所以．故選C．5．已知滿意，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知條件可知，當(dāng)時(shí)，．又時(shí)，滿意此式．所以．令，則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，，則，故的最小值為，故選D．6．已知數(shù)列滿意：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，即．7．?dāng)?shù)列滿意，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，所以，所以，所以．由此可知，該數(shù)列是一個(gè)周期為的周期數(shù)列，所以．8．已知數(shù)列滿意，，且，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，又∵，∴，∵，∴，則，于是得到，上述全部等式全部相加得，因此，故選B．二、填空題9．設(shè)數(shù)列滿意，，則通項(xiàng)公式．【答案】【解析】由，得，所以，又適合上式，故．10．已知函數(shù)，且，則．【答案】【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，為定值，所以．故填．11．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣（如圖），則該數(shù)陣中的第行第個(gè)數(shù)為．【答案】【解析】由題意可得該數(shù)陣中的第行，第個(gè)數(shù)為數(shù)列的第項(xiàng)，而，故該數(shù)陣第行、第個(gè)數(shù)為．三、解答題12．依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．（1），，，；（2），，，，，；（3），，，，；（4），，，，，，，，．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）．【解析】（1）將各項(xiàng)改寫(xiě)如下，，，，，，易知．（2）將各項(xiàng)肯定值改寫(xiě)如下，，，，，，．綜合考查分子、分母，以及各項(xiàng)符號(hào)可知．（3）或．（4）視察數(shù)列可知，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所以．13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（1）若，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？為何值時(shí)，有最小值？并求出最小值；（2）對(duì)于，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，時(shí)，有最小值，最小值為；（2）．【解析】（1）由，解得．因?yàn)?，所以，所以?shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為，．因?yàn)?，由二次函?shù)性質(zhì)，得當(dāng)或時(shí)，有最小值，其最小值為．（2）由于對(duì)于，都有知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式，可以看作是關(guān)于的二次函數(shù)，考慮到，所以，即得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．14．為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，可知．可得，即．由于，可得．又，解得（舍去）或．所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為．（2）由可知，．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．15．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若