第37課代數(shù)應用性問題(1)第1頁

代數(shù)應用性問題，要求解題者含有豐富生活常識，較強閱讀能力和良好數(shù)學建模能力，關(guān)于數(shù)與式表示、列方程、利用函數(shù)觀點進行分析、不等式和統(tǒng)計等方面應用，主要有以下幾個情況：

1．以教材中常見題型或與生活較貼近問題為背景，但數(shù)量關(guān)系較為隱蔽；

2．以市場經(jīng)濟或日常生活或社會較關(guān)注問題為背景，借助不等式知識設計可行方案；

3．給出實際問題圖象或圖表等數(shù)學模型，利用數(shù)學知識求解．在解題前，首先要認真審題，加強文學語言向數(shù)學語言轉(zhuǎn)化，以及對圖象圖表處理能力，建立數(shù)學模型，再準確進行計算，最終檢驗其合理性．關(guān)鍵點梳理第2頁1.解代數(shù)應用題策略首先要閱讀材料，了解題意，找到考查主要內(nèi)容和知識點，揭示實際問題數(shù)學本質(zhì)，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題；然后進行計算，從而到達學習數(shù)學、應用數(shù)學處理實際問題目標．[難點正本疑點清源]第3頁2.解實際應用問題，其求解過程普通可歸納為以下幾步：

(1)審題：分析題意，將條件和圖形與所求結(jié)果用正確數(shù)學語言或符號來表示；

(2)建模：尋找適當數(shù)學模型，如方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等；

(3)解模：將已知條件代入數(shù)學模型，求解一個純數(shù)學問題；

(4)檢驗：將純數(shù)學問題解代入實際問題，看是否符合題意．第4頁1．(·黃石)黃石市年6月份某日一天溫差為11℃，最高氣溫為t℃，則最低氣溫可表示為(

)A．(11＋t)℃B．(11－t)℃C．(t－11)℃D．(－t－11)℃

解析：設最低氣溫為x(℃)，則t－x＝11，x＝t－11，故選C.基礎自測C第5頁2．(·南京)甲種蔬菜保鮮適宜溫度是1℃～5℃，乙種蔬菜保鮮適宜溫度是3℃～8℃，將這兩種蔬菜放在一起同時保鮮，適宜溫度是(

)A．1℃～3℃B．3℃～5℃C．5℃～8℃D．1℃～8℃

解析：1℃～5℃，3℃～8℃公共部分為3℃～5℃.B第6頁3．(·巴中)巴廣高速公路在5月10日正式通車，從巴中到廣元全長約為126km.一輛小汽車、一輛貨車同時從巴中、廣元兩地相向開出，經(jīng)過45min相遇，相遇時小汽車比貨車多行6km，設小汽車和貨車速度分別為x(km/h)，y(km/h)，則以下方程組正確是(

)A.B.C.D.

解析：因為45min＝h，小汽車、貨車行駛旅程分別為x，y，則x＋y＝126；x－y＝6.D第7頁4．(·濱州)某商品原售價289元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為256元，設平均每次降價百分率為x，則下面所列方程中正確是(

)A．289(1－x)2＝256B．256(1－x)2＝289C．289(1－2x)＝256D．256(1－2x)＝289

解析：首次降價后售價為289(1－x)，第二次降價之后售價為289(1－x)2，所以289(1－x)2＝256.A第8頁5．(·臺北)如圖，將長方形ABCD分割成1個灰色長方形與148個面積相等小正方形．依據(jù)圖形，若灰色長方形之長與寬比為5∶3，則AD∶AB＝(

)A．5∶3B．7∶5C．23∶14D．47∶29

解析：如圖，設小正方形邊長為單位1，又設EF＝5x，EH＝3x，則2(5x＋3x)＋4×1＝148，x＝9，所以AD＝5×9＋2＝47，

AB＝3×9＋2＝29，

AD∶AB＝47∶29.D第9頁題型一列代數(shù)式解應用題【例1】據(jù)國家稅務總局通知，從年1月1日起，個人年所得12萬元(含12萬元)以上個人需辦理自行納稅申報．小張和小趙都是某企業(yè)職員，兩人在業(yè)余時間炒股．小張年轉(zhuǎn)讓滬市股票3次，分別取得收益8萬元、1.5萬元、－5萬元；小趙年轉(zhuǎn)讓滬市股票5次，分別取得收益－2萬元、2萬元、－6萬元、1萬元、4萬元．小張年所得工資8萬元，小趙年所得工資為9萬元．現(xiàn)請你判斷：小張、小趙在年個人年所得是否需要向相關(guān)稅務部門辦理自行納稅申報，并說明理由．

(注：個人年所得＝年工資(薪金)＋年財產(chǎn)轉(zhuǎn)讓所得．股票轉(zhuǎn)讓屬“財產(chǎn)轉(zhuǎn)讓”，股票轉(zhuǎn)讓所得盈虧相抵后為負數(shù)，則財產(chǎn)轉(zhuǎn)讓所得部分按零填報)題型分類深度剖析第10頁解：小張：股票轉(zhuǎn)讓收入：8＋1.5－5＝4.5，總收入8＋4.5＝12.5>12，∴小張需要申報納稅．小趙：股票轉(zhuǎn)讓收入：－2＋2－6＋1＋4＝－1<0，總收入9＋0＝9<12，∴小趙不需要申報納稅．探究提升

股票收益應該是每次轉(zhuǎn)讓股票收益代數(shù)和，本題表面上是市場經(jīng)濟問題，但實質(zhì)上是有理數(shù)運算應用．第11頁知能遷移1出租車司機小李某天下午營運全是在東西走向人民大道上進行．假如要求向東為正，向西為負，他這天下午行程是(單位：km)：＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18.(1)將最終一名乘客送到目標地時，小李距下午出車點距離是多少？

(2)若汽車耗油量為a公升/km，那么這天下午汽車共耗油多少？第12頁解：(1)＋15－3＋14－11＋10－12＋4－15＋16－18＝0(km)，∴小李回到下午出發(fā)地．

(2)汽車行駛旅程：

|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＋|－12|＋|＋4|＋

|－15|＋|＋16|＋|－18|＝118(km)，

118·a＝118a(公升)，∴這天下午汽車耗油量是118a公升．第13頁題型二列一次方程(組)解應用題【例2】(·銅仁)為勉勵學生參加體育鍛煉，學校計劃拿出不超出3200元資金購置一批籃球和排球，已知籃球和排球單價比為3∶2，單價和為160元．

(1)籃球和排球單價分別是多少元？

(2)若要求購置籃球和排球總數(shù)量是36個，且購置排球數(shù)少于11個，有哪幾個購置方案？

解：(1)設籃球單價為3x元，則排球單價為2x元，據(jù)題意得3x＋2x＝160，解得x＝32，∴3x＝96,2x＝64.

即籃球和排球單價分別是96元、64元.第14頁(2)設購置籃球數(shù)量為n，則購置排球數(shù)量為(36－n)個，由題意得解得25<n≤28.

而n是整數(shù)，所以其取值為26,27,28，對應36－n值為10,9,8，所以共有三種購置方案：①購置籃球26個，排球10個；②購置籃球27個，排球9個；③購置籃球28個，排球8個．第15頁探究提升

把實際問題抽象為數(shù)學問題是不輕易，所以利用轉(zhuǎn)換方法(即轉(zhuǎn)化為某種類似數(shù)量關(guān)系模型)，能夠幫助我們找到處理問題路徑．第16頁知能遷移2某超市對用戶實施優(yōu)惠購物，現(xiàn)要求以下：

(1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠；

(2)若一次購物滿200元，但不超出500元，按標價給予9折優(yōu)惠；

(3)若一次購物超出500元，其中500元以下部分(包含500元)給予9折優(yōu)惠，超出500元部分給予8折優(yōu)惠．小張兩次去超市購物，分別付款198元和554元，現(xiàn)在小王決定一次性購置和小張兩次購置一樣多物品，他須付多少元？第17頁解：設付款554元物品原價是x元，則

500×0.9＋(x－500)×0.8＝554，解之，得x＝630.

付198元物品原價是198元或198÷0.9＝220元，小張付款有兩種可能：①(630＋198－500)×0.8＋500×0.9＝712.4(元)；②(630＋220－500)×0.8＋500×0.9＝730(元)．答：須付712.4或730元．第18頁題型三列分式方程解應用題【例3】某中學計劃將庫存960套舊桌凳，修理后捐助貧困山區(qū)學校．現(xiàn)有甲、乙兩個木工小組都想承攬這項業(yè)務．經(jīng)協(xié)商后得知：甲小組單獨修理這批桌凳比乙小組多用20天；乙小組天天比甲小組多修8套；學校天天需付甲小組修理費80元，付乙小組120元．

(1)求甲、乙兩個木工小組天天各修多少套？

(2)在修理桌凳過程中，學校要委派一名維修工進行質(zhì)量監(jiān)督，并由學校負擔他天天10元生活補助．現(xiàn)有以下三種修理方案供選擇：①由甲單獨修理；②由乙單獨修理；③由甲、乙共同合作修理．你認為哪種方案既省時又省錢？試比較說明．第19頁>>解題示范——規(guī)范步驟，該得分，一分不丟！解：(1)設甲小組天天修理桌凳x套，則乙小組天天修理(x＋8)套，得－20＝，[4分]

解之得：x1＝16，x2＝－24，經(jīng)檢驗：x1＝16，x2＝－24是原方程根．[6分]

但工效不能為負數(shù)，所以取x＝16，∴x＋8＝24.

答：甲小組天天修理桌凳16套，乙小組天天修理24套．[8分]第20頁(2)①若甲小組單獨修理需960÷16＝60(天)，總費用：60×80＋60×10＝5400(元)．[9分]②若乙小組單獨修理，需960÷24＝40(天)，總費用：40×120＋40×10＝5200(元)．[10分]③若甲、乙兩小組合作，需960÷(24＋16)＝24(天)，總費用：(80＋120)×24＋24×10＝5040(元)．[11分]

所以，第③種方案既省時又省錢．[12分]探究提升分式方程要檢驗，不但要檢驗是否滿足原方程，還要檢驗是否符合實際．第21頁知能遷移3甲、乙兩人分別從A、B兩地到C地，甲從A地到C地需3小時，乙從B地到C地需2小時40分．已知A、C兩地間距離比B、C兩地距離遠10千米，每行1千米甲比乙少花10分鐘．

(1)求AC兩地間距離；

(2)假設AC、BC、AB這三條道路均為直，試判定A、B兩地間距離d范圍．第22頁解：(1)設AC距離為x千米，則BC距離為(x－10)千米，由題意得＝－10，x2－8x－180＝0，解之得，x1＝18，x2＝－10.經(jīng)檢驗：x1＝18，

x2＝－10是原方程根，但距離不能為負數(shù)，所以取x＝18.

所以AC兩地間距離是18千米．

(2)10km≤d≤26km.第23頁題型四列一元二次方程解應用題【例4】機械加工需要用油進行潤滑以降低摩擦，某企業(yè)加工一臺大型機械設備潤滑用油90千克，用油重復利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機械設備實際耗油量為36千克，為了建設節(jié)約型社會，降低油耗，該企業(yè)甲、乙兩個車間都組織了人員為降低實際耗油量進行攻關(guān)．

(1)甲車間經(jīng)過技術(shù)革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量下降到70千克，用油重復利用率為60%，問甲車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機械設備實際耗油量是多少千克？第24頁(2)乙車間經(jīng)過技術(shù)革新后，不但降低了潤滑用油量，同時也提升了用油重復利用率，而且發(fā)覺在技術(shù)革新基礎上，潤滑用油量每降低1千克，用油量重復利用率將增加1.6%，這么乙車間加工一臺大型機械設備實際耗油量下降到12千克，問乙車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量是多少千克？用油重復利用率是多少？第25頁解：(1)70×(1－60%)＝28(千克)．

(2)設乙車間加工一臺大型機械設備潤滑油用量是x千克，則有：x[1－60%－(90－x)×1.6%]＝12，整理，得x2－65x－750＝0，(x＋10)(x－75)＝0，∴x1＝－10，x2＝75(舍去x1＝－10)，用油重復利用率是60%＋(90－75)×1.6%＝84%.

答：乙車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量是75千克，用油重復利用率是84%.探究提升這個實際應用題，需要設未知數(shù)建立數(shù)學模型，將問題轉(zhuǎn)化為方程來處理，假如設乙車間加工一臺大型機械設備潤滑用油量為x

千克，可得x[1－60%－(90－x)×1.6%]＝12.第26頁知能遷移4某村計劃建造如圖所表示矩形蔬菜溫室，要求長與寬比為2∶1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬空地，其它三側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬通道，當矩形溫室長與寬各為多少時，蔬菜種植區(qū)域面積是288m2?

解：設矩形溫室寬為x米，則(2x－4)(x－2)＝288.(x－2)2＝144，x－2＝±12，∴x1＝14，x2＝－10(舍去x2＝－10)，∴2x＝28.

答：矩形溫室長為28米，寬為14米．第27頁比賽項目票價(元/場)男籃1000足球800乒乓球50025．不會求二元一次方程正整數(shù)解試題年北京奧運會比賽門票開始接收公眾預訂．下表為北京奧運會官方票務網(wǎng)站公布幾個球類比較門票價格，球迷小李用8000元作為預訂下表中比賽項目門票資金．

(1)若全部資金用來預訂男籃門票和乒乓球門票共10張，問男籃門票和乒乓球門票各訂多少張？

(2)小李想用全部資金預訂男籃、足球和乒乓球門票三種門票共10張，他想法能實現(xiàn)嗎？請說明理由.易錯警示第28頁學生答案展示

(1)設訂男籃門票x張，乒乓球門票y張．由題意，得解得答：小李能夠訂男籃門票6張，乒乓球門票4張．

(2)設預定男籃門票x張，足球門票y張，乒乓球門票z張．因無法求上述三元方程組正整數(shù)解，故小李欲購三種門票想法無法確定．第29頁剖析

(1)解答正確；

(2)列不完整三元一次方程組進行正整數(shù)解討論能夠?qū)嵤?，但對此?nèi)容未進行訓練，有一定難度，在方法上選擇是不恰當．若將其轉(zhuǎn)化為二元一次方程正整數(shù)來討論，此題是可解．正解

(1)設訂男籃門票x張，乒乓球門票y張．由題意，得解得答：小李能夠訂男籃門票6張，乒乓球門票4張．第30頁(2)能，理由以下：設小李訂男籃門票x張，足球門票y張，則乒乓球門票為(10－x－y)張．由題意，得1000x＋800y＋500(10－x－y)＝8000.

整理得5x＋3y＝30，y＝.∵x、y均為正整數(shù)，∴當x＝3時，y＝5，∴10－x－y＝2.∴小李能夠預訂男籃門票3張，足球門票5張和乒乓球門票2張．∴小李想法能實現(xiàn)．第31頁批閱筆記

我們知道二元一次方程有沒有數(shù)組解，含