2024-2025學(xué)年山西省運(yùn)城市高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）考生注意：1．本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：選擇性必修第一冊(cè)第一、二章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．C． D．2．直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為（）A． B． C． D．3．已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A．4 B．6 C． D．4．已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)（）A． B．1 C． D．25．已知向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．3 D．16．圓與圓的公切線(xiàn)的條數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．17．在四棱錐中，，，，則此四棱錐的高為（）A． B． C．6 D．88．已知M，N是圓上兩點(diǎn)，且，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線(xiàn)l的方程為（）A． B．C． D．10．已知直線(xiàn)，圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B．直線(xiàn)與圓恒相交C．直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線(xiàn)的方程為D．直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為4時(shí)，11．已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A．存在點(diǎn)，使得B．若是AB中點(diǎn)，當(dāng)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)使得C．當(dāng)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP與BD所成角的取值范圍是D．若是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)使得平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，，若點(diǎn)在線(xiàn)段MN上，則的取值范圍是__________．13．已知是圓上任意一點(diǎn)，若的取值與x、y無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14．空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線(xiàn)是兩平面與的交線(xiàn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）如圖，平行六面體中，，，，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，設(shè)，，．．（1）用基底表示向量；（2）求．16．（15分）已知兩直線(xiàn)和的交點(diǎn)為．（1）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行，求直線(xiàn)的一般式方程；（2）若圓過(guò)點(diǎn)且與相切于點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，且，，，點(diǎn)為線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段AB上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面和平面的夾角的余弦值．18．（17分）已知以點(diǎn)為圓心的圓與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（M，N與O不重合）（1）求證：的面積為定值；（2）設(shè)直線(xiàn)與圓C交于點(diǎn)A，B，若，求實(shí)數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線(xiàn)和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．19．（17分）如圖，在直三棱柱中，，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，且．（1）是否存在點(diǎn)，使得？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線(xiàn)PN與平面所成角的正弦值為；（3）求動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離的取值范圍．參考答案、解析及評(píng)分細(xì)則1．C在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．2．B由，得，所以直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，而，所以也是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量．3．D由題知，因?yàn)?，所以，解得?．D由，得，故圓心為，又因?yàn)閳A關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故圓心在直線(xiàn)上，則．5．A因?yàn)?，，共面，所以存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，使得，即，即解得6．B圓可化為，即圓心，半徑；圓的圓心，半徑，則，所以圓與圓外切，兩圓有3條公切線(xiàn)．7．B設(shè)平面的法向量，則令，得，所以此四棱錐的高．8．A由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)MN中點(diǎn)為，則，且，可得，又因?yàn)?，可知為等腰直角三角形，則，可得，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓，因?yàn)橹本€(xiàn)上存在點(diǎn)使得，即直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)，即圓心到直線(xiàn)的距離，解得或．9．AC當(dāng)直線(xiàn)的截距為0時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即，故A正確；當(dāng)直線(xiàn)的截距不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，即，故C正確．10．AB直線(xiàn)，即，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線(xiàn)與圓恒相交，故B正確；設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)，則直線(xiàn)與AC垂直時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，故C錯(cuò)誤；直線(xiàn)，圓心到直線(xiàn)的距離，解得，故D錯(cuò)誤．11．BCD因?yàn)?，而，因此點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)不在正方體的表面上，故A錯(cuò)誤；如圖①，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，若，則，故B正確；如圖②，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，又，，設(shè)AP與BD所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，令，，又，所以，所以，，綜上，，故C正確；如圖③，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，因?yàn)?，，且，，平面，所以平面，即向量是平面的法向量，，，，若平面，則，即，因?yàn)橹本€(xiàn)與正方形有公共點(diǎn)，即存在點(diǎn)使得平面，故D正確．12．設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段MN上的任意一點(diǎn)，所以的取值范圍是．13．設(shè)，故可看作點(diǎn)到直線(xiàn)與直線(xiàn)距離之和的倍，因?yàn)榈娜≈蹬cx、y無(wú)關(guān)，所以這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無(wú)關(guān)，因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離為，所以圓與直線(xiàn)相離，如圖所示，可知直線(xiàn)平移時(shí)，點(diǎn)與直線(xiàn)m、l的距離之和均為直線(xiàn)m、l之間的距離，此時(shí)可得圓在兩直線(xiàn)之間，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，，解得（舍去），或，所以．14．法一：因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋云矫娴囊粋€(gè)法向量，又直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)，，所以直線(xiàn)的方向向量為，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．法二：由題知兩平面與的法向量分別為，，設(shè)直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，則即取，則，又平面的法向量，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．15．解：（1）因?yàn)闉樯峡拷c(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以．所以．（2）因?yàn)?，又，所以?6．解：聯(lián)立方程組解得所以直線(xiàn)和的交點(diǎn)．（1）因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，故可設(shè)直線(xiàn)．又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，解得，即直線(xiàn)的方程為．（2）設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線(xiàn)的斜率為-3，故直線(xiàn)CP的斜率為，由題意可得解得故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．17．（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段AB上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，所以．在中，，，，由余弦定理，得，所以，即．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）解：過(guò)點(diǎn)作，易證平面，顯然直線(xiàn)DF，DC，DG兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，直線(xiàn)DF，DC，DG分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的法向量為，則取，得，則，即平面和平面的夾角的余弦值為．18．（1）證明：由圓的方程，化簡(jiǎn)得，其與軸，軸的交點(diǎn)分別為：，，所以為定值．（2）解：如圖①所示，因?yàn)?，所以．又OC的斜率，所以，解得（負(fù)數(shù)舍去），所以實(shí)數(shù)的值為3．（3）解：如圖②所示，由（2）知：圓的方程為：，圓心，半徑，．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則中點(diǎn)為，且解得，即，則，又點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最短距離為，則的最小值為，此時(shí)直線(xiàn)的方程為：，即．點(diǎn)為直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，則解得即點(diǎn)．19．解：（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，即，，因?yàn)?，所以，所以不存在點(diǎn)，使得．（2）設(shè)平面的法向量為，則取，得．因?yàn)橹本€(xiàn)PN與平面所成角的正弦值為，所以，解得或5，所以當(dāng)或5時(shí)，直線(xiàn)PN與平面所成角的正弦值為．（3）法一：由（1）知，，．設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離為，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離的取值范圍為．法二：由（1）知，，，，設(shè)為直線(xiàn)和MN的公垂線(xiàn)的方向向量，則有可取，所以異面直線(xiàn)和MN的距離為．所以動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)MN的距離的取值范圍為．2024-2025學(xué)年山西省運(yùn)城市高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量，滿(mǎn)足，則；④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．12．如圖，在直三棱柱，，中，為棱的中點(diǎn)．設(shè)，則（）A． B． C． D．3．對(duì)于任意空間向量，，，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，，則 B．C．若，則，的夾角是鈍角 D．4．設(shè)，，向量，，且，，則（）A． B． C．5 D．65．我們把平面內(nèi)與直線(xiàn)垂直的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的一個(gè)法向量為，則直線(xiàn)的點(diǎn)法式方程為：，化簡(jiǎn)得．類(lèi)比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（）A． B．C． D．6．已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，表面積為，為底面圓心，為底面圓直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，，為中點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C． D．7．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為30°，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．8．在四棱錐中，平面，底面為矩形，．若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，此時(shí)二面角的余弦值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知平面與平面平行，若是平面的一個(gè)法向量，則平面的法向量可能為（）A． B． C． D．10．在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：（1）過(guò)點(diǎn)，且以（）為方向向量的空間直線(xiàn)的方程為；（2）過(guò)點(diǎn)，且（）為法向量的平面的方程為．現(xiàn)已知平面：，：：，：，則（）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A．兩條異面直線(xiàn)和所成的角為B．直線(xiàn)與平面所成的角等于C．點(diǎn)到平面的距離為D．四面體的體積是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如圖，四棱柱為正方體．①直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為； ②直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為；③平面的一個(gè)法向量為； ④平面的一個(gè)法向量為．則上述結(jié)論正確的是______．（填序號(hào)）13．已知空間向量，，，若，，共面，則的最小值為_(kāi)_____．14．設(shè)空間向量，，是一組單位正交基底，若空間向量滿(mǎn)足對(duì)任意的，，的最小值是2，則的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）如圖，在直四棱柱中，，，，，，分別為棱，，的中點(diǎn)．（1）求的值；（2）證明：，，，四點(diǎn)共面．16．（15分）如圖，已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）求證：．17．（15分）已知空間中三點(diǎn)，，．（1）若向量與平行，且，求的坐標(biāo)；（2）求向量在向量上的投影向量；（3）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積．18．（17分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作，交于，連．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng)．19．（17分）將菱形繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得二面角的大小為，連接，，得到幾何體．已知，，，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)且（）．（1）證明：平面；（2）求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求直線(xiàn)到平面的距離．

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見(jiàn)1．D【解析】零向量的方向是任意的，并不是沒(méi)有方向，故①正確；當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等．但兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故②錯(cuò)誤；根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯(cuò)誤；對(duì)于命題①，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故④錯(cuò)誤．故選D．2．A【解析】由題意可得．故選A．3．B【解析】對(duì)于A(yíng)，若，，則，不一定垂直，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，若，夾角為，則成立，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，表示與共線(xiàn)的向量，而表示與共線(xiàn)的向量，所以與不一定相等，故D錯(cuò)誤，故選B．4．D【解析】因?yàn)椋瑒t，解得，則，因?yàn)?，則，解得，即，所以，，因此，．故選D．5．B【解析】根據(jù)題意進(jìn)行類(lèi)比，在空間任取一點(diǎn)，則，平面的法向量為，，．故選B．6．A【解析】設(shè)底面圓的半徑為，則，解得或（舍去），則，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，故，，所以，，故，所以，所以．故選A．7．C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則令得，，故．因?yàn)椋势矫?，為平面上的?dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為30°，平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點(diǎn)的軌跡，其中，由對(duì)稱(chēng)性可知，，故半徑，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故選C．8．C【解析】平面，平面，，又，，，平面，平面，又平面，；設(shè)，（），（），，，，，即，關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解，曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，，解得：，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，軸平面，平面的一個(gè)法向量是；設(shè)平面的法向量是，則令，解得：，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．故選C．9．AD【解析】設(shè)平面的法向量為，則由題意可得，對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，，滿(mǎn)足題意；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，無(wú)解，所以不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，無(wú)解，所以不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，，滿(mǎn)足題意．故選AD．10．AC【解析】平面：，則平面法向量為，對(duì)：則，即，所以過(guò)點(diǎn)，方向向量為，所以，所以，所以，故A正確，D錯(cuò)誤；對(duì)：，即，所以過(guò)點(diǎn)，方向向量為，點(diǎn)代入平面方程成立，所以與平面有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)：，所以過(guò)點(diǎn)，方向向量為，因?yàn)?，所以，所以或，但點(diǎn)代入平面方程不成立，故，所以，所以C正確．故選AC．11．BCD【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．對(duì)A：，，故，故，即異面直線(xiàn)和所成的角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，由軸平面，故平面的一個(gè)法向量為，則，故直線(xiàn)與平面所成的角為，故B正確；對(duì)C：，，，設(shè)平面的法向量為，則有令，則，故點(diǎn)到平面的距離，故C正確；對(duì)D：易得四面體為正四面體，則，故D正確．故選BCD．12．①②③【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1．因?yàn)?，且，所以①正確；因?yàn)椋?，所以②正確；因?yàn)槠矫?，所以③正確；因?yàn)檎襟w中平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，而與相交，不平行，則與平面不垂直，故不是平面的法向量，所以④錯(cuò)誤．故答案為①②③．13．【解析】因?yàn)?，，共面，，不共線(xiàn)，所以設(shè)，即，即解得所以，，因?yàn)?，所以的最小值為．故答案為?4．1【解析】以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，當(dāng)，時(shí)，的最小值是2，．取，則，．又，是任意值，的最小值是5．取，則，．又，是任意值，的最小值是1．故答案為1．15．（1）解：在直四棱柱中，，易得，，，兩兩垂直．故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖