第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.1函數(shù)的概念學習目標：教學重點：教學難點：1、借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性，理解它們的作用和實際意義;2、會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷或證明簡單函數(shù)的單調(diào)性；3、在抽象函數(shù)的單調(diào)性的過程中感悟數(shù)學概念的抽象過程及符號表示的作用。函數(shù)單調(diào)性的語言符號刻畫。符號語言的引入，對“任意”“都有”等涉及無限取值的語言的理解和使用。一：概念引入我們知道函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學模型，這樣我們可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得對客觀世界中事物變化規(guī)律的認識。比如，通過研究函數(shù)值隨自變量的變化規(guī)律，可以得到函數(shù)所刻畫的現(xiàn)實問題的變化規(guī)律。什么是函數(shù)的性質(zhì)呢？總體而言，函數(shù)性質(zhì)就是“變化中的規(guī)律性，變化中的不變性”。因此，我們研究函數(shù)性質(zhì)，就是要學會在運動變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。一：概念引入問題1：請看下面的函數(shù)圖象，從中你發(fā)現(xiàn)了函數(shù)圖象的哪些特征？你覺得他們反映了函數(shù)的哪些方面的性質(zhì)？函數(shù)圖象所反映的這些特點就是函數(shù)的性質(zhì).本節(jié)課我們先研究如何用定量的方法刻畫函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減小）的變化規(guī)律。二：單調(diào)性性質(zhì)的定量刻畫1.具體實例分析問題2.在初中我們研究過二次函數(shù)y=a(x-h)2+k，從它的圖象可以看出：如果a＞0，當x＜h時，y隨x的增大而減小，當x＞h時，y隨x的增大而增大；如果a＜0，當x＜h時.y隨x的增大面增大，當x＞h時，y隨x的增大而減小，請問：你是怎樣理解“y隨x的增大而減小”的？你能說說它的數(shù)量特征嗎？比如以y=x2為例.二：單調(diào)性性質(zhì)的定量刻畫1.具體實例分析追問(1)：“x增大了”怎么用符號語言表示？“對應(yīng)的函數(shù)值y減小”又該如何表示？以y=x2為例，觀察下表，你能給出具體的描述嗎？x…-4-3-2-1…f(x)=x2…16941…當x從一4增大到-3，則f(x)從f(-4)=16減小到f(-3)=9；當x從-3增大到-2，則f(x)從f(-3)=9減小到f(-2)=4；當x從-2增大到-1，則f(x)從f(-2)=4減少到f(-1)=1；……追問(2)：①這樣的變化過程能寫得完嗎？②②你能借助字母符號，歸納上述具體例子的共同點嗎？只要x1<x2,就有f(x1)>f(x2)二：單調(diào)性性質(zhì)的定量刻畫1.具體實例分析追問(3)：這里對x1，x2有什么要求？只取(一∞，0]上的某些數(shù)是否可以？你能舉例說明嗎？只要x1<x2,就有f(x1)>f(x2)y隨x的增大而減小追問(4)：你覺得更嚴格的表達應(yīng)該是怎樣的？任取x1，x2∈(一∞，0]，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)”二：單調(diào)性性質(zhì)的定量刻畫1.具體實例分析y=x2函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)部分從左到右是下降的。當x≤0時，y隨x的增大而減小。任取x1，x2∈(一∞，0]，得到f(x1)=x12,f(x2)=x22,那么當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)。這時我們就說函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞，0]上是單調(diào)遞減的。追問(5)：對于函數(shù)y=x2，你能模仿上述方法，給出“在區(qū)間[0，+∞)上，y隨x的增大而增大”的符號語言刻畫嗎？小思考：你能說明為什么f(x1)>f(x2)嗎？二：單調(diào)性性質(zhì)的定量刻畫1.具體實例分析y=x2函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)部分從左到右是下降的。當x≤0時，y隨x的增大而減小。任取x1，x2∈(一∞，0]，得到f(x1)=x12,f(x2)=x22,那么當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)。這時我們就說函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞，0]上是單調(diào)遞減的。當x≥0時，y隨x的增大而減小。任取x1，x2∈(一∞，0]，得到f(x1)=x12,f(x2)=x22,那么當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)。這時我們就說函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞，0]上是單調(diào)遞增的。函數(shù)y=x2的圖象在y軸右側(cè)部分從左到右是上升的。二：單調(diào)性性質(zhì)的定量刻畫1.具體實例分析練習：請你模仿上述過程，用嚴格的符號語言刻畫f(x)=|x|和f(x)=-x2的單調(diào)性？問題3：請你歸納關(guān)于函數(shù)f(x)=x2,f(x)=|x|和f(x)=-x2的單調(diào)性的刻畫方法，給出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)性的符號表述.2.單調(diào)性定義的抽象二：單調(diào)性性質(zhì)的定量刻畫函數(shù)單調(diào)性的定義特別的，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)2.單調(diào)性定義的抽象一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間:如果當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間:如果當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.特別的，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間二：單調(diào)性性質(zhì)的定量刻畫3.單調(diào)性定義的辨析問題4：(1)設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1,x2∈A，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),我們能說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說明嗎？(2)函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間:如果當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減）.特別的，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞（增）減時，我們就稱它是增減函數(shù)三：單調(diào)性定義的簡單應(yīng)用例1根據(jù)定義，研究函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0)的單調(diào)性.注意（1）研究一個函數(shù)的單調(diào)性，需要利用單調(diào)性的定義，考察在定義域的哪些區(qū)間上單調(diào)遞增、在哪些區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）具體的操作方法是：在條件x1<x2下，考察不等式f(x1)<f(x2)是否成立.這里往往要用不等式的性質(zhì)和代數(shù)變形。三：單調(diào)性定義的簡單應(yīng)用例2物理學中的玻意耳定律(k為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大.試對此用函數(shù)的單調(diào)性證明.追問：你能總結(jié)例1、例2的解題過程，歸納一下用單調(diào)性定義研究或證明一個函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟嗎？第一步：確定函數(shù)的定義域I；第二步：?x1,x2∈I，且設(shè)x1<x2,并將x1,x2代入f(x),得f(x1),f(x2)；第三步：將f(x1)-f(x2)進行代數(shù)變形，轉(zhuǎn)化為可以直接用實數(shù)大小關(guān)系、不等式的基本性質(zhì)等判斷其符號或大小關(guān)系的式子；第四步：得出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間。三：