17.2.2勾股定理逆定理的應(yīng)用【練基礎(chǔ)】必備知識(shí)1勾股定理逆定理的應(yīng)用1.如圖，這是一塊四邊形木板，其中AB=16cm，BC=24cm，CD=9cm，AD=25cm，∠B=∠C=90°.李師傅找到BC邊的中點(diǎn)P，連接AP，DP，發(fā)現(xiàn)△APD是直角三角形，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.2.如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師讓甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)從操場(chǎng)上的同一地點(diǎn)O出發(fā)，分別沿一固定方向行走.甲的速度是每分鐘16m，乙的速度是每分鐘12m，步行5分鐘后，兩人分別到達(dá)A，B兩點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得AB=100m，如果甲同學(xué)沿西北方向前行，請(qǐng)判斷乙同學(xué)行走的方向，并說(shuō)明理由.3.某中學(xué)有兩個(gè)課外小組的同學(xué)同時(shí)步行到校外去采集植物標(biāo)本，第一組的平均步行速度為30m/min，第二組的平均步行速度為40m/min，半小時(shí)后，兩組同學(xué)同時(shí)停下來(lái)，這時(shí)兩組同學(xué)相距1500m.(1)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷這兩組同學(xué)行走的方向是否成直角.(2)如果接下來(lái)這兩組同學(xué)以原來(lái)的速度相向而行，多長(zhǎng)時(shí)間后能相遇?4.如圖，某小區(qū)有兩個(gè)噴泉A，B，兩個(gè)噴泉的距離長(zhǎng)為250m.現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道AM，BM，供水點(diǎn)M在小路AC上，供水點(diǎn)M到AB的距離MN的長(zhǎng)為120m，BM的長(zhǎng)為150m.(1)求供水點(diǎn)M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長(zhǎng).(2)求噴泉B到小路AC的最短距離.【練能力】5.如圖，一條伸直的橡皮筋A(yù)B的兩端被固定在水平桌面上，C是AB上的一點(diǎn)，AB=5cm，AC=4cm，將橡皮筋從C點(diǎn)向上垂直拉升2cm到D點(diǎn).(1)求橡皮筋比原來(lái)拉長(zhǎng)的長(zhǎng)度.(2)判斷△ABD的形狀，并說(shuō)明理由.6.海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖1所示，小明據(jù)此構(gòu)造出該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型(如圖2所示的四邊形ABCD)，AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B=90°，AB=BC=5km，CD=2km，AD=43km.(1)求小溪流AC的長(zhǎng).(2)求四邊形ABCD的面積.(結(jié)果保留根號(hào))【練素養(yǎng)】7.如圖，在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB=BC，由于某種原因，由C到B的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D(A，D，B在同一條直線上)，并新修一條路CD，測(cè)得CA=6.5千米，CD=6千米，AD=2.5千米.(1)問(wèn)CD是否為從村莊C到河邊最近的路?請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.(2)求原來(lái)的路BC的長(zhǎng).

參考答案【練基礎(chǔ)】1.【解析】∵P為BC的中點(diǎn)，∴BP=CP=12BC=12(cm)在Rt△ABP中，∠B=90°，根據(jù)勾股定理可得AP=AB2+B在Rt△DCP中，同理可得DP=15(cm).∵152+202=252，∴AP2+DP2=AD2，∴∠APD=90°，△APD是直角三角形.2.【解析】乙同學(xué)行走的方向是東北方向.理由：由題意可知OA=16×5=80(m)，OB=12×5=60(m).∵AB=100(m)，∴OA2+OB2=802+602=10000(m2)，AB2=1002=10000(m2)，∴OA2+OB2=AB2，∴∠AOB=90°.由已知得∠AON=45°，∴∠BON=45°，∴乙同學(xué)行走的方向是東北方向.3.【解析】(1)半小時(shí)以后，第一組的路程：30×30=900(m).第二組的路程：40×30=1200(m).∵9002+12002=15002，∴兩組同學(xué)行走的方向成直角.(2)設(shè)xmin后兩組同學(xué)相遇.根據(jù)題意得30x+40x=1500，解得x=1507(min)答：經(jīng)過(guò)1507min后兩組同學(xué)才能相遇4.【解析】(1)在Rt△MNB中，BN=BM2-MN2∴AN=AB-BN=250-90=160(m)，在Rt△AMN中，AM=AN2+MN2∴供水點(diǎn)M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)=200+150=350(m).(2)∵AB=250m，AM=200m，BM=150m，∴AB2=BM2+AM2，∴△ABM是直角三角形，∴BM⊥AC，∴噴泉B到小路AC的最短距離是BM=150m.【練能力】5.【解析】(1)∵AB=5cm，AC=4cm，CD=2cm，在Rt△ACD中，AD=AC2+CD2=4在Rt△BCD中，DB=CD2+BC2=AD+DB-AB=25+5-5=(35-5)(cm).答：橡皮筋比原來(lái)拉伸了(35-5)cm.(2)△ABD是直角三角形，理由：∵AB2=52=25，AD2+DB2=(25)2+(5)2=20+5=25，∴AB2=AD2+DB2，∴△ABD是直角三角形.6.【解析】(1)∵∠B=90°，AB=BC=5km，∴AC=AB2+BC2=5∴小溪流AC的長(zhǎng)為52km.(2)∵AC2=(52)2=50，CD2+AD2=(2)2+(43)2=50，∴AC2=CD2+AD2，則∠D=90°，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×5×5+12×2×=252+26km2.∴四邊形ABCD的面積為252+26km2.【練素養(yǎng)】7.【解析】(1)是.理由：∵62+2.52=6.52，∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴C