第19頁(yè)（共19頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）高一同步經(jīng)典題精練之從位移的合成到向量的加減法一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?呼和浩特期末）已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且4OA→+3OB→+5OC→=0→A．(13，1) B．(0，23)2．（2024?河?xùn)|區(qū)學(xué)業(yè)考試）如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A．AB→=AC→ B．BD→=CD→3．（2024秋?石家莊校級(jí)期中）設(shè)P是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為空間任意一點(diǎn)（不在平面ABCD上），則OA→A．4OP→ B．6OP→ C．2OP→ 4．（2024春?金安區(qū)校級(jí)期末）若四邊形ABCD是平行四邊形，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD→=BC→ B．DA→+DC→5．（2024?黑龍江）已知向量a→，bA．3a→-2b→ B．2a→二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024春?鎮(zhèn)雄縣校級(jí)期中）給出下面四個(gè)推論，其中正確的是（）A．若線段AC＝AB+BC，則向量AC→B．若向量AC→=AB→+BC→C．若向量AB→與BC→共線，則線段AC＝AB+D．若向量AB→與BC→反向共線，則|AB→-BC（多選）7．（2024春?新都區(qū)期末）△ABC的內(nèi)心為P，外心為O，重心為G，若|AB|＝|AC|＝5，|BC|＝6，下列結(jié)論正確的是（）A．△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=3B．6PA→+5PB→C．6OA→+5OB→D．|OG|=（多選）8．（2024春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）△ABC的重心為點(diǎn)G，點(diǎn)O，P是△ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足OP→A．O，P，G三點(diǎn)共線 B．OP→C．2OP→=AP→+BP（多選）9．（2024春?北京期末）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2），且OP→A．若OP→⊥BC→，則B．若PA→+PB→+PC→=C．若點(diǎn)P在直線BC上，則3m+3n＝5 D．若AP→在AC→方向上的投影向量的坐標(biāo)是（2，﹣1），則m﹣n三．填空題（共3小題）10．（2024春?光山縣校級(jí)期中）設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足關(guān)系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，則11．（2024秋?龍崗區(qū)校級(jí)期中）(AB→-CB→)+12．（2024春?麒麟?yún)^(qū)期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2+4i與1+5i所對(duì)應(yīng)的向量分別為OA→和OB→，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AB→對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為四．解答題（共3小題）13．（2023秋?裕安區(qū)校級(jí)期末）化簡(jiǎn)．（1）5(2a（2）1214．（2023秋?雙清區(qū)校級(jí)期末）化簡(jiǎn)：（1）AB→（2）(AB（3）OA→（4）AB→（5）AB→15．（2024春?喀什市期中）化簡(jiǎn)下列各式：（1）(AB（2）AB→（3）OA→

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）高一同步經(jīng)典題精練之從位移的合成到向量的加減法參考答案與試題解析題號(hào)12345答案CDADC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?呼和浩特期末）已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且4OA→+3OB→+5OC→=0→A．(13，1) B．(0，23)【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合題設(shè)，即可求得結(jié)論．【解答】解：設(shè)AO→=m可得OB→因?yàn)?OA即4(-整理可得(3-由AB→，AC→不共線，可得3﹣12m＝5﹣12n＝即AO→=1又因?yàn)辄c(diǎn)M在△OBC內(nèi)（不含邊界），設(shè)OM→=x可得OM→則AM=(1可得λ=14且0＜x+y＜1，可得λ+所以λ+μ的取值范圍是(2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬中檔題．2．（2024?河?xùn)|區(qū)學(xué)業(yè)考試）如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A．AB→=AC→ B．BD→=CD→【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用相等向量的定義，以及向量的運(yùn)算可判斷結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD→=DC→，AB→+BD故B，C錯(cuò)誤，A顯然錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相等向量的定義，考查向量的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．3．（2024秋?石家莊校級(jí)期中）設(shè)P是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為空間任意一點(diǎn)（不在平面ABCD上），則OA→A．4OP→ B．6OP→ C．2OP→ 【考點(diǎn)】平面向量的加法．【專題】平面向量及應(yīng)用．【答案】A【分析】OA→=OP→+PA→，OB【解答】解：如圖，OA→=OPOC→=OP因?yàn)镻是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以PA→與PC→、PB→所以O(shè)A=OP=4OP=4OP故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的加法運(yùn)算，將向量轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的和，然后抵消掉相反向量是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．4．（2024春?金安區(qū)校級(jí)期末）若四邊形ABCD是平行四邊形，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD→=BC→ B．DA→+DC→【考點(diǎn)】平面向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】作出平行四邊形ABCD，再利用平面向量的加法和減法法則，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，即可得到答案．【解答】解：如圖所示：對(duì)于A，平行四邊形ABCD對(duì)邊平行且相等，所以AD→=BC對(duì)于B，利用向量加法的平行四邊形法則得DA→+DC對(duì)于C，利用向量減法的三角形法則得AB→-AD對(duì)于D，∵AD→與BC→是相等的非零向量，∴AD→故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2024?黑龍江）已知向量a→，bA．3a→-2b→ B．2a→【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得．【解答】解：原式=4a故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的線性運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024春?鎮(zhèn)雄縣校級(jí)期中）給出下面四個(gè)推論，其中正確的是（）A．若線段AC＝AB+BC，則向量AC→B．若向量AC→=AB→+BC→C．若向量AB→與BC→共線，則線段AC＝AB+D．若向量AB→與BC→反向共線，則|AB→-BC【考點(diǎn)】平面向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】由線段AC＝AB+BC，且點(diǎn)B在線段AC上，即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)向量共線的性質(zhì)，即可判斷CD選項(xiàng)．【解答】解：∵線段AC＝AB+BC，∴點(diǎn)B在線段AC上，∴AC→=AB在△ABC中，AC→=AB→+BC→，但由三角形的性質(zhì)可知，AC向量AB→與BC→反向共線時(shí)，則AC≠AB+BC，故選項(xiàng)向量AB→與BC→反向共線，|AB→-BC故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的相等，以及向量共線時(shí)長(zhǎng)度的變化，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024春?新都區(qū)期末）△ABC的內(nèi)心為P，外心為O，重心為G，若|AB|＝|AC|＝5，|BC|＝6，下列結(jié)論正確的是（）A．△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=3B．6PA→+5PB→C．6OA→+5OB→D．|OG|=【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】取BC邊的中點(diǎn)E，得內(nèi)心P、外心O、重心G都在中線AE上，且AE⊥BC，由三角形面積相等求出r可判斷A；求出PE→=-35PA→可判斷B；由余弦定理得cosA，平方關(guān)系求出sinA，得△ABC的外接圓半徑|AO|利用OE→=-725OA→可判斷C；利用|OG【解答】解：取BC邊的中點(diǎn)E，連接AE，因?yàn)閨AB|＝|AC|＝5，所以內(nèi)心P、外心O、重心G都在中線AE上，且AE⊥BC，|AE|=|對(duì)于A，由S△得12×4×6=12r對(duì)于B，因?yàn)閨PE|=32，6PA=6PA→-對(duì)于C，由余弦定理得cosA=0＜A＜π，所以sinA=所以△ABC的外接圓半徑|AO|OE|=4-所以6=6OA→-對(duì)于D，△ABC的外接圓半徑|AO|AG|=23|故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．（多選）8．（2024春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）△ABC的重心為點(diǎn)G，點(diǎn)O，P是△ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足OP→A．O，P，G三點(diǎn)共線 B．OP→C．2OP→=AP→+BP【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算；三點(diǎn)共線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運(yùn)算即可判斷．【解答】解：∵點(diǎn)G為△ABC的重心，∴GA→OP→=3OG→+∴O，P，G三點(diǎn)共線，故A正確，B錯(cuò)誤；∵OP→∴AP=(AO∴(AO即2OP→=∵OP→=3OG→，∴點(diǎn)故點(diǎn)P不一定在△ABC的內(nèi)部，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的線性表示，屬于中檔題．（多選）9．（2024春?北京期末）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2），且OP→A．若OP→⊥BC→，則B．若PA→+PB→+PC→=C．若點(diǎn)P在直線BC上，則3m+3n＝5 D．若AP→在AC→方向上的投影向量的坐標(biāo)是（2，﹣1），則m﹣n【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即可求解．【解答】解：A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2），則AB→所以O(shè)P→若OP→⊥BC→，則PA→所以PA→+PB→+PC→=(-6+3m+6n，OP→則PB→=(-2+m+2n，3-2m-n因?yàn)锳P→在AC→方向上的投影向量是（2，﹣所以AP→?AC→=AC→?(2，-1)，所以﹣2（1﹣m﹣2n）+2m+n﹣1故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共3小題）10．（2024春?光山縣校級(jí)期中）設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足關(guān)系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，則S△BOC：【考點(diǎn)】平面向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．【專題】作圖題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】3：2：1【分析】化簡(jiǎn)可得（OA→+OB→）+（2OA→+2OC→）=0→，設(shè)M，N分別為AB【解答】解：由題可得OA→+2OB→+3OC→=3（OB→-OA→）+2（OC即（OA→+OB→）+2（OA設(shè)M，N分別為AB、AC的中點(diǎn)，∵OA→+OB→=2則OM→=-2ON→，設(shè)S△ABC如圖所示，∵M(jìn)N為△ABC的中位線，∴S△BOC=12∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴S△CAM=12又ON：OM＝1：2，∴S△COA=13S△CAM=∵N是AC的中點(diǎn)，∴S△ANB=12又ON：OM＝1：2，∴S△AOB=23S△ANB=故S△BOC：S△AOB：S△COA＝3：2：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查三角形面積比的求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．11．（2024秋?龍崗區(qū)校級(jí)期中）(AB→-CB→)+【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算．【專題】常規(guī)題型；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的加減運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，可得答案．【解答】解：(AB故答案為：AC【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的加減法則及其應(yīng)用，考查了概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024春?麒麟?yún)^(qū)期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2+4i與1+5i所對(duì)應(yīng)的向量分別為OA→和OB→，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AB→對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣1+【考點(diǎn)】平面向量的減法；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】﹣1+i．【分析】首先求出OA→和OB→的坐標(biāo)，從而求出【解答】解：∵復(fù)數(shù)2+4i與1+5i所對(duì)應(yīng)的向量分別為OA→和OB∴OA→=(2，∴AB→=OB→-OA故答案為：﹣1+i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2023秋?裕安區(qū)校級(jí)期末）化簡(jiǎn)．（1）5(2a（2）12【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）-2a→-2【分析】進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算即可．【解答】解：（1）原式=10a（2）原式=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)乘運(yùn)算，屬于容易題．14．（2023秋?雙清區(qū)校級(jí)期末）化簡(jiǎn)：（1）AB→（2）(AB（3）OA→（4）AB→（5）AB→【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）0→；（2）AB→；（3）（4）0→；（5）CB【分析】根據(jù)平面向量的加法與減法的運(yùn)算法則，對(duì)每一個(gè)小題進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式=AC（2）原式=AB（3）原式=OA（4）原式=AB（5）原式=AB【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的加法與減法的運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024春?喀什市期中）化簡(jiǎn)下列各式：（1）(AB（2）AB→（3）OA→【考點(diǎn)】平面向量的加減混合運(yùn)算；平面向量的加法．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）（2）（3）可按照平面向量的加法、減法法則計(jì)算，即得答案．【解答】解：（1）(AB（2）AB→（3）OA→【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的加、減法運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的加法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量的加法運(yùn)算求幾個(gè)向量和的運(yùn)算叫向量的加法運(yùn)算，其運(yùn)算法則有二：（1）三角形法則：設(shè)a→與b→不共線，在平面上任取一點(diǎn)A（如圖1），依次作AB→=a，BC→=b，則向量叫做a特征：首尾相接的幾個(gè)有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)．（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于AD→=BC→，根據(jù)三角形法則得AB→+AD特征：有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相加，其和向量等于以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線．（首尾相接，結(jié)果為首尾）（3）向量的加法性質(zhì)①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）2．平面向量的減法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量的減法及其幾何意義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫向量的減法運(yùn)算．法則：以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為a→與b→的差，即a→設(shè)a→=OA→，b特征；有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量a→、b→，其差a→-b→仍然是一個(gè)向量，叫做a→與b3．平面向量加法的三角形法則和平行四邊形法則【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角形法則：設(shè)a→與b→不共線，在平面上任取一點(diǎn)A（如圖1），依次作AB→=a，BC→=b，則向量叫做a特征：首尾相接的幾個(gè)有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)．4．平面向量的加減混合運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、向量的加法運(yùn)算求幾個(gè)向量和的運(yùn)算叫向量的加法運(yùn)算，其運(yùn)算法則有二：（1）三角形法則：設(shè)a→與b→不共線，在平面上任取一點(diǎn)A（如圖1），依次作AB→=a，BC→=b，則向量叫做a特征：首尾相接的幾個(gè)有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)．（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于AD→=BC→，根據(jù)三角形法則得AB→+AD特征：有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相加，其和向量等于以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線．（首尾相接，結(jié)果為首尾）（3）向量的加法性質(zhì)①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）2、向量的減法運(yùn)算．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫向量的減法運(yùn)算．法則：以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為a→與b→的差，即a→設(shè)