中職對(duì)數(shù)及其運(yùn)算[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)1．對(duì)數(shù)的概念若ab＝N(a>0且a≠1)，則b叫作以a為底N的對(duì)數(shù)，即logaN＝b.其中a叫作底，N叫作真數(shù)．常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)(如lg2)．自然對(duì)數(shù)：以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)(如ln3)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；(2)1的對(duì)數(shù)為0，即loga1＝0；(3)底的對(duì)數(shù)為1，即logaa＝1.3．對(duì)數(shù)恒等式(1)logaaN＝N(a>0且a≠1)；(2)alogaN＝N(a>0且a≠1)．4．對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則(a>0且a≠1，M>0，N>0)(1)logaM＋logaN＝loga(MN)；(2)logaM－logaN＝logaeq\f(M,N)；(3)logaMn＝nlogaM.5．換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，c>0且a≠1，c≠1，b>0)基礎(chǔ)訓(xùn)練1．下列計(jì)算正確的是()A．(－1)－1＝1B．lga＋lgb＝lg(a＋b)C．(－x5)÷(－x3)＝x2D.eq\r(a2＋1)＝a＋12．log93＝eq\f(1,2)中，____________叫作對(duì)數(shù)的底，____________叫作真數(shù)．3．指數(shù)式0.3x＝0.09寫成對(duì)數(shù)式為____________．4．(1)log21＝____________；(2)log22＝____________；(3)log53＋log5eq\f(1,3)＝____________；(4)log9＝____________；(5)lg0.01＝____________；(6)lne2＝____________；(7)lg2＋lg5＝____________；(8)log26－log23＝____________；(9)eq\f(log38,log32)＝____________；(10)log335＝____________．5．若logx8＝eq\f(1,3)，則x＝____________．[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1對(duì)數(shù)的概念例1將下列等式互化．(1)2－3＝eq\f(1,8)；(2)log464＝3.【解】(1)將指數(shù)化為對(duì)數(shù)式log2eq\f(1,8)＝－3；(2)將對(duì)數(shù)化為指數(shù)式43＝64.【變式訓(xùn)練】將下列等式互化：(1)52＝25(2)log93＝eq\f(1,2)考點(diǎn)2對(duì)數(shù)運(yùn)算例2log31＋log3eq\f(1,3)的值為____________．【解析】log31＋log3eq\f(1,3)＝0－1＝－1.【變式訓(xùn)練】下列運(yùn)算不正確的是()A．log210－log25＝1B．log210＋log25＝log215C．20＝1D．210÷28＝4例3求下列各式的值：(1)log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(log216－log2\f(5,8)＋log210)))；(2)(lg5)2＋lg4·lg5＋(lg2)2.【解】(1)log2(log216－log2eq\f(5,8)＋log210)＝log2(log2eq\f(16×10,\f(5,8)))＝log2(log2256)＝log28＝3；(2)(lg5)2＋lg4·lg5＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2·lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1.【變式訓(xùn)練】計(jì)算：(1)eq\f(lg5＋lg6－1,lg27＋2lg\f(1,3))；(2)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2.例4已知52－x＝1，求eq\f(logx8?log9\r(3,x),log\s\do9(\f(1,3))\r(x)?log\s\do9(\f(1,2))x2)的值．【解】∵52－x＝1＝50，∴2－x＝0，x＝2，∴eq\f(logx8?log9\r(3,x),log\s\do9(\f(1,3))\r(x)?log\s\do9(\f(1,2))x2)＝eq\f(logx23?log32x\s\up6(\f(1,3)),log3－1x\s\up6(\f(1,2))?log2－1x2)＝eq\f(3logx2?\f(1,6)log3x,－\f(1,2)log3x?（－2log2x）)＝eq\f(logx2,2log2x)＝eq\f(1,2).【變式訓(xùn)練】已知eq\f(log98?log28,log\s\do9(\f(1,2))x?log3\r(9,2))＝－eq\f(81,2)，求42＋log2x.例5(1)設(shè)2a＝3b＝36，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)；(2)已知log189＝a，18b＝5，求log4536.【解】(1)由2a＝36得a＝log236，eq\f(1,a)＝eq\f(1,log236)＝log362，同理由3b＝36，得eq\f(1,b)＝log363，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log362＋log363＝log366＝eq\f(1,2).(2)由18b＝5得log185＝b，所以log4536＝eq\f(log1836,log1845)＝eq\f(log182＋log1818,log185＋log189)＝eq\f(log18\f(18,9)＋1,b＋a)＝eq\f(log1818－log189＋1,b＋a)＝eq\f(2－a,a＋b).反思提煉：(1)指數(shù)形式與對(duì)數(shù)形式的互化關(guān)系是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效工具，本題思路不是很明確，我們不妨巧設(shè)中間變量，利用上述轉(zhuǎn)化關(guān)系，采用解方程的方法去解決．(2)已知條件中，對(duì)數(shù)與指數(shù)的底都是18，對(duì)于要求的log4536，可以利用換底公式換成以18為底的對(duì)數(shù)的商，再進(jìn)行化簡(jiǎn)．【變式訓(xùn)練】1.設(shè)x＝log2m，y＝log2n，其中m，n是正實(shí)數(shù)，則mn＝()A．2x＋yB．2xyC．2x－yD．2x＋2y2．已知log147＝a，14b＝5，求log2835.[課堂訓(xùn)練]1．若log2eq\r(2)＝m(m>0)，則logm4的值是()A．2B．－2C．1D．－12．計(jì)算：log23·log98＝()A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C．3D．23．設(shè)log24·log42·log416＝log4n，則n＝()A.eq\f(9,2)B．9C．16D．274．下列等式中正確的是()A．lg20－lg3＝1B．lg5·lg2＝1C.eq\f(1,2)lga＝lgeq\r(a)D．lg25＝2lg55．已知lga和lgb分別是x2＋x－3＝0的兩個(gè)根，則ab＝()A．10B．1C.eq\f(1,10)D．1006．已知lg8＝3a，則log2025＝()A.eq\f(1＋a,2（1－a）)B.eq\f(2（1－a）,1＋a)C.eq\f(1－a,1＋a)D.eq\f(a,1＋a)7．若log37＝a，log23＝b，則log27＝____________．8．如果log7[log3(log2x)]＝0，那么xeq\s\up6(\f(1,2))＝____________．9．計(jì)算：8－eq\f(1,3)×(eq\r(3,4))eq\s\up6(\f(9,2))＋3log34×logeq\r(2)eq\f(1,32)－log49×log810．(1)設(shè)4a＝2b＝64.求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)；(2)已知log89＝a，8b＝6，求log5418.4．2.1對(duì)數(shù)及其運(yùn)算知識(shí)整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．C【解析】顯然D選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于A，(－1)－1＝－1，錯(cuò)誤；對(duì)于B，lga＋lgb＝lgab；對(duì)于C，(－x5)÷(－x3)＝x5－3＝x2，正確，故選C.2．93【解析】由對(duì)數(shù)的概念如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫作以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b＝logaN，其中a叫作對(duì)數(shù)的底，N叫作真數(shù)．3．log0.30.09＝x【解析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式變換公式易知0.3x＝0.09可寫作log0.30.09＝x.4．(1)0；(2)1；(3)0；(4)－2；(5)－2；(6)2；(7)1；(8)1；(9)3；(10)5【解析】log21＝0；log22＝1；log53＋log5eq\f(1,3)＝log51＝0；log9＝log(eq\f(1,3))－2＝－2；lg0.01＝－2log1010＝－2；lne2＝logee2＝2；lg2＋lg5＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2×5))))＝lg10＝1；log26－log23＝log2eq\f(6,3)＝log22＝1；eq\f(log38,log32)＝log28＝3；log335＝5log33＝5.5．512【解析】因?yàn)閘ogx8＝eq\f(1,3)，所以xeq\s\up6(\f(1,3))＝8?x＝512.重難點(diǎn)突破【例1】【變式訓(xùn)練】(1)log525＝2(2)9eq\s\up6(\f(1,2))＝3【例2】【變式訓(xùn)練】B【解析】由log210＋log25＝log2(10×5)＝log250，故選B.【例3】【變式訓(xùn)練】【解】(1)原式＝eq\f(lg\f(5×6,10),lg（27×\f(1,9)）)＝eq\f(lg3,lg3)＝1.(2)原式＝2lg5＋lg2·lg10＋lg2·lg5＋(lg2)2＝2lg5＋lg2＋lg2·(lg5＋lg2)＝2lg5＋2lg2＝2.【例4】【變式訓(xùn)練】【解】∵eq\f(log98·log28,log\s\do9(\f(1,2))x·log3\r(9,2))＝eq\f(log3223·log223,log2－1x·log32\s\up6(\f(1,9)))＝eq\f(\f(3,2)log32·3log22,－log2x·\f(1,9)log32)＝－eq\f(81,2log2x)＝－eq\f(81,2)，∴x＝2，∴42＋log2x＝42＋log22＝43＝64.【例5】【變式訓(xùn)練】1.A【解析】因?yàn)閤＝log2m，y＝log2n，所以m＝2x，n＝2y，所以mn＝2x×2y＝2x＋y.故選A.2．【解】由已知可得log145＝b，則log2835＝eq\f(log1435,log1428)＝eq\f(log145＋log147,log142＋log1414)＝eq\f(a＋b,2－a).課堂訓(xùn)練1．B【解析】∵log2eq\r(2)＝m，∴2m＝eq\r(2)，∴2m＝2eq\s\up6(\f(1,2))，∴m＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)ogm4＝log4＝－2.故選B.2．A【解析】log23·log98＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg8,lg9)＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(3lg2,2lg3)＝eq\f(3,2).3．C【解析】log24·log42＝1，因?yàn)閘og24·log42·log416＝log4n，所以n＝16，故選C.4．C【解析】∵lg20－lg3＝lgeq\f(20,3)≠1，∴A錯(cuò)；∵1＝lg10＝lg5＋lg2≠lg5·lg2，∴B錯(cuò)；∵lg25＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(lg5)))eq\s\up12(2)，∴D錯(cuò)；故選C.5．C【解析】∵lga和lgb分別是x2＋x－3＝0的兩個(gè)根，∴l(xiāng)ga＋lgb＝－1，lg(a·b)＝－1，ab＝eq\f(1,10).6．B【解析】∵lg8＝3a，∴l(xiāng)g2＝a，log2025＝eq\f(lg25,lg20)＝eq\f(2lg5,2lg2＋lg5)＝eq\f(2（lg10－lg2）,2lg2＋lg10－lg2)＝eq\f(2（1－a）,1＋a).7．a(chǎn)b【解析】log37＝a，log23＝b，得lg7＝a·lg3，lg2＝eq\f(lg3,b)，∴l(xiāng)og27＝eq\f(lg7,lg2)＝ab.8．2eq\r(2)【解析】∵log7eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(log3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(log2x))))))＝0，∴l(xiāng)og3eq\b\lc\(\rc