陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學2025年高三下期末數(shù)學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點橫坐標的和為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若關于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．83．復數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．4．點為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．某個小區(qū)住戶共200戶，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調(diào)查，得到本月的用水量(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A．10 B．50 C．60 D．1406．若復數(shù)滿足，則（）A． B． C．2 D．7．設，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．8．如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）A． B． C． D．9．已知實數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．11．設函數(shù)，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的左焦點為，點，點P為雙曲線右支上的動點，且周長的最小值為8，則雙曲線的實軸長為________，離心率為________.14．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到一個偶函數(shù)圖象，則________．15．若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側(cè)棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________．16．在直角三角形中，為直角，，點在線段上，且，若，則的正切值為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，如果方程有兩個不等實根，求實數(shù)t的取值范圍，并證明.18．（12分）已知在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，曲線與直線其中的一個交點為，且點極徑.極角（1）求曲線的極坐標方程與點的極坐標；（2）已知直線的直角坐標方程為，直線與曲線相交于點(異于原點)，求的面積.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為（）.（1）求拋物線C的極坐標方程；（2）若拋物線C與直線l交于A，B兩點，求的值.20．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（l）求等差數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)兩個函數(shù)相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標的和，故選B.本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).2．D【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當時，，由于關于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當時，，則不滿足題意；當時，當時，，沒有整數(shù)解當時，，至少有兩個整數(shù)解綜上，實數(shù)的最大值為故選：D本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.3．C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.4．B【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，利用的幾何意義即可得到結論．【詳解】不等式組作出可行域如圖：，，，的幾何意義是動點到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，，．故選：．本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義結合斜率公式是解決本題的關鍵．5．C【解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m3的住戶的頻率為，即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為，故選C6．D【解析】

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式計算.【詳解】解：由題意知，，，∴，故選：D.本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法.7．D【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，由目標函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當過點時，取得最大值.由得：，故選：D本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎題.8．C【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AD，算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為故選：C.本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關鍵，屬于基礎題.9．D【解析】

根據(jù)題意，對于函數(shù)分2段分析：當，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①，當，由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系可得，在上恒成立，變形可得②，再結合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得③，聯(lián)立三個式子，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當，若為增函數(shù)，則①，

當，若為增函數(shù)，必有在上恒成立，

變形可得：，

又由，可得在上單調(diào)遞減，則，

若在上恒成立，則有②，

若函數(shù)在上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，則需有，③

聯(lián)立①②③可得：.

故選：D.本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).10．A【解析】

畫圖取的中點M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A此題考查三棱錐的外接球表面積，關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.11．A【解析】

由求出范圍，結合正弦函數(shù)的圖象零點特征，建立不等量關系，即可求解.【詳解】當時，，∵在上有且僅有5個零點，∴，∴.故選:A.本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關鍵，屬于基礎題.12．D【解析】

運用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，由對稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設，，所以，當時，的最小值，故選D.本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．22【解析】

設雙曲線的右焦點為，根據(jù)周長為，計算得到答案.【詳解】設雙曲線的右焦點為.周長為：.當共線時等號成立，故，即實軸長為，.故答案為：；.本題考查雙曲線周長的最值問題，離心率，實軸長，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.14．【解析】

根據(jù)平移后關于軸對稱可知關于對稱，進而利用特殊值構造方程，從而求得結果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)圖象，即關于軸對稱關于對稱即：本題正確結果：本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題，關鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸，進而利用特殊值的方式來進行求解.15．【解析】

依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎題.16．3【解析】

在直角三角形中設，，，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設，，則，故.故答案為：3此題考查在直角三角形中求角的正切值，關鍵在于合理構造角的和差關系，其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結論；（2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關系，將，等價轉(zhuǎn)化為證明，不妨設，令，則，即證，構造函數(shù)，只要證明對于任意恒成立即可.【詳解】（1）的定義域為R，且.由，得；由，得.故當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知當時，，且.當時，；當時，.當時，直線與的圖像有兩個交點，實數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個不等實根，，，，，，即.要證，只需證，即證，不妨設.令，則，則要證，即證.令，則.令，則，在上單調(diào)遞增，.，在上單調(diào)遞增，，即成立，即成立..本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點、不等式證明，構造函數(shù)函數(shù)是解題的關鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于較難題.18．（1）極坐標方程為，點的極坐標為（2）【解析】

（1）利用極坐標方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可；（2）只需算出A、B兩點的極坐標，利用計算即可.【詳解】（1）曲線C：(為參數(shù)，)，將代入，解得，即曲線的極坐標方程為，點的極坐標為.（2)由（1），得點的極坐標為，由直線過原點且傾斜角為，知點的極坐標為，.本題考查極坐標方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學生的運算能力，是一道基礎題.19．（1）（2）【解析】

(1)利用極坐標和直角坐標的互化公式，,即可求得結果.(2)由的幾何意義得,.將代入拋物線C的方程,利用韋達定理，，即可求得結果.【詳解】（1）因為，，代入得，所以拋物線C的極坐標方程為.（2）將代入拋物線C的方程得，所以，，所以，由的幾何意義得，.本題考查直角坐標和極坐標的轉(zhuǎn)化,考查極坐標方程的綜合應用,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學運算的能力,難度一般.20．(1)；(2).【解析】試題分析：（1）設等差數(shù)列滿的首項為，公差為，代入兩等式可解。（2）由（1），代入得，所以通過裂項求和可求得。試題解析：（1）設等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，解得.所以.（2）因為，所以.所以.21．（1）；（2）【解析】

（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項求和法可得答案.【詳解】（1）①，當時，，，當時，②，①②得：，，適合，故；（2），.本題考查法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和，是基礎題.22．（1）；（2）.【解析】

(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標即可得在點處的切線方程；（2）令，然后利用導數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解