8.6.2直線與平面垂直第1課時直線與平面垂直的判定

第八章

8．6空間直線、平面的垂直學(xué)習(xí)目標1.了解直線與平面垂直的定義；了解直線與平面所成角的概念，并會求直線與平面所成的角．2.掌握直線與平面垂直的判定定理，并會用判定定理判定線面垂直，培養(yǎng)直觀想象及邏輯推理核心素養(yǎng)．知識點一直線與平面垂直的定義1知識點二直線與平面垂直的判定定理2知識點三直線與平面所成的角3課時測評5內(nèi)容索引隨堂演練4問題導(dǎo)思問題1.如圖，假設(shè)旗桿與地面的交點為點B，在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC，隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，它們的位置關(guān)系如何？提示：始終保持垂直．問題2.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，將這一結(jié)論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？提示：可以發(fā)現(xiàn)，過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條．新知構(gòu)建直線與平面垂直的定義及畫法定義如果直線l與平面α內(nèi)的________直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法______有關(guān)概念直線l叫做平面α的______，平面α叫做直線l的______．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做______．過一點作垂直于已知平面的直線，該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的_________．垂線段的______叫做這個點到該平面的距離圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直性質(zhì)過一點垂直于已知平面的直線有且只有______任意一條l⊥α垂線垂面垂足垂線段長度一條微思考如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？提示：不一定．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一點E，過點E作EF∥AD交CD于點F，則這樣的直線能作出無數(shù)條，顯然AB垂直于平面ABCD內(nèi)的無數(shù)條直線，但AB?平面ABCD，故直線AB與平面ABCD不垂直．不僅如此，因為A1B1∥AB，所以直線A1B1也垂直于平面ABCD內(nèi)的無數(shù)條直線，但是直線A1B1∥平面ABCD.例1當直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直時，l與α不一定垂直，所以①不正確；當l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確．故選④⑤.

下列命題中，正確的序號是_________．①若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條．④⑤規(guī)律方法直線與平面垂直定義的“雙向”作用1．證明線面垂直：若一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則該直線與已知平面垂直，即線線垂直?線面垂直．2．證明線線垂直：若一條直線與一個平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直，即線面垂直?線線垂直．

√對點練1．(多選)下列說法中，正確的是A．若直線l垂直于平面α，則直線l垂直于平面α內(nèi)任一直線B．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行C．若a∥b，a?α，l⊥α，則l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，則a∥α√由線面垂直的定義知，A正確；當l⊥α?xí)r，l與α內(nèi)的直線相交或異面，但不會平行，故B錯誤；C顯然是正確的；而D中，a可能在α內(nèi)，故D錯誤．故選AC.返回問題導(dǎo)思問題3.如圖，準備一塊三角形的紙片ABC，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).觀察并思考：折痕AD與桌面垂直嗎？為什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？提示：不垂直，AD與BD不垂直，故不可能與桌面垂直．折痕AD是BC邊上的高時，AD與桌面垂直．這時，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD，CD都垂直．新知構(gòu)建直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的______________垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言m?α，n?α，______＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α圖形語言兩條相交直線m∩n微提醒“兩條相交直線”是定理的關(guān)鍵詞，應(yīng)用定理時不能忽略．例2

如圖所示，Rt△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點．求證：直線SD⊥平面ABC.證明：因為SA＝SC，點D為斜邊AC的中點，所以SD⊥AC.如圖，連接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.變式探究(變條件，變設(shè)問)在本例中，若AB＝BC，其他條件不變，則BD與平面SAC的位置關(guān)系是什么？解：因為AB＝BC，點D為斜邊AC的中點，所以BD⊥AC.又由例題知SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，故BD⊥平面SAC.

規(guī)律方法證明線面垂直的方法1．由線線垂直證明線面垂直：(1)定義法(不常用)；(2)判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直．2．平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：(1)a∥b，a⊥α?b⊥α；(2)α∥β，a⊥α?a⊥β.對點練2．如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；

證明：因為AB為⊙O的直徑，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，所以PA⊥BM.又因為PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，所以BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，所以AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：PB⊥NQ.證明：由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.又因為AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，所以PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，所以PB⊥NQ.返回問題導(dǎo)思問題4.當一支鉛筆一端放在桌面上，另一端逐漸離開桌面，鉛筆和桌面所成角逐漸增大，觀察思考鉛筆和桌面所成角怎樣定義．提示：鉛筆和它在桌面上的射影所成的角．新知構(gòu)建直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個平面α______，但不與這個平面______，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中__________斜足斜線和平面的______叫做斜足，如圖中______射影過斜線上斜足以外的一點P向平面α引______PO，過______O和______A的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為__________相交垂直直線PA交點點A垂線垂足斜足直線AO有關(guān)概念對應(yīng)圖形直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中________規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是______；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是______取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則_______________∠PAO90°0°0°≤θ≤90°微提醒(1)斜線上不同于斜足的點P的選取是任意的．(2)斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段．例3

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中．(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；解：因為AB⊥平面AA1D1D，所以∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，所以∠AA1B＝45°，所以A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角．解：連接A1C1交B1D1于點O，連接BO.因為BB1⊥平面A1B1C1D1，A1O?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1O，又A1O⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，所以A1O⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．又因為∠A1OB＝90°，又0°≤∠A1BO≤90°，所以∠A1BO＝30°，所以A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.規(guī)律方法求直線與平面所成的角的步驟對點練3．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則AB1與平面AA1C1C所成角的正弦值等于√返回課堂小結(jié)知識(1)直線與平面垂直的定義．(2)直線與平面垂直的判定定理．(3)直線與平面所成的角．方法轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合．易錯誤區(qū)判定定理理解“平面內(nèi)找兩條相交直線”與該直線垂直．隨堂演練1．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC√因為OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，所以O(shè)A⊥平面OBC.2．(多選)若直線l與平面α垂直，則下列說法正確的是A．直線l與平面α內(nèi)的所有直線都垂直B．在平面α內(nèi)存在與直線l異面的直線C．在平面α內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線l相交D．在平面α內(nèi)存在與直線l平行的直線√√√在平面α內(nèi)不存在與直線l平行的直線，故D錯誤．3．(多選)如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是A．三角形的兩邊 B．梯形的兩邊C．圓的兩條直徑 D．正六邊形的兩條邊√√由線面垂直的判定定理知，直線垂直于A，C圖形所在的平面，對于B，D圖形