章末復習

知識系統(tǒng)整合

象限角和坐標軸上的角

T任意角

終邊相同的角

H任意角和弧度葡1~

弧度制T角度與弧度互化

扇形的弧K和面積公式

「I"五點法”作函］

T函數(shù)）=4sin（3*+p）|——|圖象的變換］

.函數(shù)的性質|

三角函數(shù)的應前|

規(guī)律方法收藏

1.在任意角和弧度制的學習中，要區(qū)分開角的各種定義，如：銳角一定是第

一象限角，而第一象限角不全是銳角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能

混用，如：a=2E+30。，kGZ,這種表示法不正確.

2.任意角的三角函數(shù)，首先要考慮定義域，其次要深刻認識三角函數(shù)符號的

含義，sina=：WsinXa；誘導公式的記憶要結合三角函數(shù)的定義去記憶.

3.同角三角函數(shù)的基本關系式

sin2a+cos2a=l及鬻=tana,必須牢記這兩個基本關系式，并能應用它們

進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明，在應用中，注意掌握解題的技巧，能靈活運

用公式.在應用平方關系求某個角的另一個三角函數(shù)值時，要注意根式前面的符

號的確定.

4.三角函數(shù)的誘導公式

誘導公式一至六不僅要正確、熟練地掌握其記憶的訣竅，更要能靈活地運用.

(1)-?角的三角函數(shù)是把負角轉化為正角；

(2)2foi+a(左?Z)角的三角函數(shù)是化任意角為［0,2兀)內的角；

7T47T

⑶/a,兀土a,2土a,2兀一。角的三角函數(shù)是化非銳角為銳角；

(4)化負為正一化大為小一化為銳角；

(5)記憶規(guī)律：奇變偶同，象限定號.

5.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質

(1)五點法作圖是畫三角函數(shù)圖象的基本方法，要切實掌握，作圖時自變量要

用弧度制，作出的圖象要正規(guī).

(2)奇偶性、單調性、最值、周期是三角函數(shù)的重要性質，而c+T)=Ax)應強調

的是自變量x本身加常數(shù)才是周期，如人2x+7)=/(2x),T不是汽2x)的周期.

解答三角函數(shù)的單調性的題目一定要注意復合函數(shù)單調性法則，更要注意定

義域.

6.使用本章公式時，應注意公式的正用、逆用以及變形應用.如兩角和與差

tana±tanQ

的正切公式tan(a±^)=其變形公式：tana±tan.=tan(a±^)(l干tanatan份

1干tanatan^'

應用廣泛;公式cos2a=cos2a—sin2a=2cos2(z—1=1—2sin2a的變形公式：1+cos2a

=2cos2a,1—cos2?=2sin2ct,cos2asin2a一菱?常用來升募或降

賽

7.函數(shù)y=Asin(0x+夕)

主要掌握由函數(shù)尸siiu的圖象到函數(shù)尸Asin(s+e)的圖象的平移、伸縮等

變換.

注意各種變換對圖象的影響，注意各物理量的意義，A,①，夕與各種變換的

關系.

8.三角函數(shù)的應用

(1)根據圖象建立解析式；

(2)根據解析式作出圖象；

(3)將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的函數(shù)模型；

(4)利用收集到的數(shù)據作出散點圖，并根據散點圖進行函數(shù)模擬.

在建立三角函數(shù)模型的時候，要注意從數(shù)據的周而復始的特點以及數(shù)據變化

趨勢兩個方面來考慮.

學科思想培優(yōu)

一、三角函數(shù)變形的常見方法

在進行三角函數(shù)式的化簡或求值時，細心觀察題目的特征，靈活、恰當?shù)剡x

用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關系式變形的出發(fā)點.

在本章所涉及的變形中，常用的變形方法有切化弦、弦化切和“1”的代換.

1.切化弦

當三角函數(shù)式中三角函數(shù)名稱較多時，往往把三角函數(shù)化為弦，再化簡變形.

［典例1］求證：sin6(l+taM+cos《l+焉)=焉+*?

證明左邊=sin《l+嚅+cos《l+喘)

sin%cos%

=sine+G+cose+^Q

喘)+喘+儂“

卜i-e+cos2?(si/e+cos2?

Isin。JIcosOJ

一sin。+cos。一右邊.

sinacosatana1

［典例2］求證:

1-cosa1+cosa

sma

.’.cosot-

證明smacosatanasmacosa

1—costz1+cosa1—cosa1+cosa

sm?asm?a_____sm?2asm?2a】

1—cosa1+cosot1—cos2asin2。?

2.弦化切

已知tana的值，求關于sina,cosa的齊次分式（sina,cosa的次數(shù)相同）的值,

可將求值式變?yōu)殛P于tana的代數(shù)式，此方法亦稱為“弦化切”.

4

［典例3］已知tan?=-y求下列各式的值:

2cosa+3sina

⑴3cosa+sina'

(2)2sin2a+sinacosa-3cos2a.

4

解(1)Vtan?=—

.2cosa+3sina2+3tana2+33J

6

3cosa+sina3+tana5,

(2)2sin2a+sinacosa—3cos2a

2sin2a+sinacosa—3cos2aZtan2^+tana-3

sin2ot+cos2ottan2。+1

［典例4］已知2cos2Q+3cosasina—3sin2a=1,［一于一兀)求:

(l)tan?；

2sin?—3cosa

(2)-.........

4sm?！?cosa

角星(1)2cos2a+3cosasina——3sin2a

2cos2a+3cosasina—3sin2a2+3tana-3tan2a

sin2a+cos2a1+tan2a

2+3tana-3tan2a

則

1+tan2a

即4tan2a—3tan?—1=0.

裊

解得tana=

,.?Q￡（一岑，一兀），「.a為第二象限角,

/.tanot<0,tana=—7.

-2-si-n-a一3-c-o-s-a-一八，——1一一Q

.cosacosa2tana—3_______4_____7_

(2)原式=4$皿09cosa=4tana—9=…1'=而

cosa--c-os-a------------------------4--X-4T—9

3.“1”的代換

在三角函數(shù)中，有時會含有常數(shù)1,常數(shù)1雖然非常簡單，但有些三角函數(shù)

式的化簡卻需要利用三角函數(shù)公式將1代換為三角函數(shù)式，常見的代換方法：1

=sin2a+cos2a等.

?4T1+2sin?cos?1+tana

［典例5］求證：

sin2a+cos2a+2sinacosa

證明左邊=

cos2?—s?m~2za

_____(sina+cosa)2_____

(cosot+sin?)(cosot—sinot)

sina+cosatana+1

=

cosa—si?na~1\—t1ana=石

，等式成立.

［典例6］已知tan2a=2tan2￡+l,求證：sin2^=2sin2a—1.

證明tan2a=2tan2s+1,

tan2ct+1=2(tan2y5+1).

.sin2ct+cos2ctsin2￡+cos2￡

…cos2a—2cos2夕'

.1_2

cos2ctcos2^'

.*.cos2^=2cos2ot.

1—sin為=2(1—sin2a).

sin2/=2sin2?—1.

二、求三角函數(shù)值域與最值的常見類型

求三角函數(shù)的值域或最值主要依據是利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)的有界

性，這就要求我們必須掌握好三角函數(shù)的圖象和性質.

1.形如y=asinx+仇aWO)型的函數(shù)

求解形如y=asinx+儀或y=acosx+。)的函數(shù)的最值或值域問題時，利用正、

余弦函數(shù)的有界性(一iWsiiu,cosxWl)求解，注意對。正、負的討論.

［典例7］若丁=公1四+》的最大值為3,最小值為1,求溺的值.

a+b=3,<7=1,

解當。＞0時，J一，解得＜

—a+b=\,b=2.

。+6=1,a——1,

當"。時,1-^=3,解得，

b=2.

??ctb—2或ctb——2.

(jrArJTJT

［典例8］求函數(shù)y=3—4cos［2x+J亨的最大、最小值及相應的

X值.

物??U「四回.0J_三u「四"

用牛.x?—3，6，.?2x十3?一3，3，

從而一T忘cos(2x+§W1.

.,.當cos(2x+1)=l即2x+g=0,

7T

即X=一4時，^min=3—4——1,

當cos(2x+g)=即2%+與=殺

即》=專時，ymax=3—4x(—g)=5.

2.形如y=asin2x+0siiu+c(aW0)型的函數(shù)

求解形如y=asin2x+0sior+c(或y=t?cos2x+Z?cosx+c),x^D的函數(shù)的值域

或最值時，通過換元，令/=sinx(或cosx),將原函數(shù)轉化為關于/的二次函數(shù)，

利用配方法求值域或最值即可.求解過程中要注意/=sinx(或cosx)的有界性.

?rTT5冗-|

［典例9］求函數(shù)4x)=2sin2x+2sin%—1,xG4,石的值域.

解令/=sin%,y=f(x),

兀5兀1,1

.?尤￡不不,???/Wsin%Wl,即產后1.

-'-y=2/2+2z—3=2('+，)—1,

??1

「.函數(shù)八%)的值域為［「1,721?

.JT

［典例10］已知|x|Wa，求函數(shù)y=—si/x+sinx+l的最小值.

一71

解令/=sin_r,因為IxlW^,

所以一半WsinxW日，即V—堂，明，

則尸——(T)+*/?］—坐曰］

根據二次函數(shù)的性質可得當/=—乎，即x=—楙時，y有最小值，為一

1_0_12+￡=1-也

［22J十4—2,

三、三角函數(shù)的化簡

在具體實施過程中，應著重抓住“角”的統(tǒng)一.通過觀察角、函數(shù)名、項的

次數(shù)等，找到突破口，利用切化弦、升募、降募、逆用公式等手段將其化簡.最

后結果應為：（1）能求值盡量求值；（2）三角函數(shù)名稱盡量少；（3）項數(shù)盡量少；（4）

次數(shù)盡量低；（5）分母、根號下盡量不含三角函數(shù).

[網典,例川化…簡：-2-si-n-1-3-0--°+標sin100才°(1+V-3-t-an-3-7-0-°)

句h上2sin50°+sin80°(1+V3tan10°)

斛原式=行而

,cosl0°+V3sinl0°

2sin500+cosl0°X-----------淋---

____________________cos10

N2cos25°

2sin50°+2(；cosl0°+^sinl0°)

V2|cos5°|

2sin50°+2sin(300+10。)

^/2cos5°

2[sin(45°+5°)+sin(45。一5°)]

^2cos5°

2(sin45°cos5°+cos45°sin5°+sin45°cos5°—cos45°sin5°)

啦cos5。

4sin45°cos50

也cos5。1

四、三角函數(shù)求值

三角函數(shù)求值主要有三種類型，即：

（1）“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，從表面看較難，但仔細觀察

就會發(fā)現(xiàn)這類問題中的角與特殊角都有一定的關系，如和或差為特殊角，當然還

有可能需要運用誘導公式.

（2）“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的

值，這類求值問題關鍵在于結合條件和結論中的角，合理拆、配角.當然在這個

過程中要注意角的范圍.

（3）“給值求角”，本質上還是“給值求值”，只不過往往求出的是特殊角的

值，在求出角之前還需結合函數(shù)的單調性確定角，必要時還要討論角的范圍.

［典例⑵已知cos（a—sin修一且a?住兀），夕?（0,舒,

求:

(l)cos^―；

(2)tan(a+￡).

jrjr

解⑴??3<QV兀，0<￡<Z，

.兀B兀a八兀

??1<a-2<兀,一［<'—￡<''

__2^7V3V211__V21

一72+72~14?

(2),.424

*空=\卜-3駕=陪.

a+B

.a+,_sm亍_5譙

/an2—a+1—3-

cos2

a+B

..tan(a+份—-n.

1—tan2-^21

［典例13］己知tana=44，cos(a+y5)=—a,4均為銳角，求cos戒的值.

解因為a,4均為銳角，所以00+好兀，

11兀

又cos(a+￡)=—訶，所以5＜。+尸＜兀，

且sin(a+￡)=浮號.

因為tana=4*\y^,以sinot=，cosa=1.

所以cos^=cos［(?+^)—a］

=cos(a+份cosa+sin(a+份sina=/.

五、三角恒等證明

三角恒等式的證明，就是應用三角公式，通過適當?shù)暮愕茸儞Q，消除三角恒

等式兩端結構上的差異，這些差異有以下幾方面：①角的差異；②三角函數(shù)名稱

的差異；③三角函數(shù)式結構形式上的差異.針對上面的差異，選擇合適的方法進

行等價轉化.

,,12(3+cos4x)

［典例14］求證:tanx+：—~=~；；-.

tanzx1—cos4x

?2244

；、上sirrx?cosxsinx+cosx

證明證法一:左邊=---.2

cosxsinzxsmzxcosx

(siA+cosZxy-ZsinZjvcos2%】Z?11

^sin22x^sin22x

1—2sin22x

8—4sin22x4+4cos22x

1—cos4x1—cos4x

g(l—cos4x)

4+2(1+cos4%)2(3+cos4x)右、力

1—cos4x1—cos4x-

原式得證.

_$2(2+1+cos4x)2(2+2COS22X)

證法二：右邊=一而法一=2si/2x

2(l+cos22x)

4sin2xcos2x

(siR+cosZxH+SosZx—sinZxy

2sin2xcos2x

44

2(sinx+cosx)2」___

—左?

—2csm?2xcos2x—tanx\,tan2x^2.

原式得證.

六、三角函數(shù)的圖象

三角函數(shù)的圖象是研究三角函數(shù)性質的基礎，又是三角函數(shù)性質的具體體

現(xiàn).在平時的考查中，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖象的變換和解析式的確定，以及通

過對圖象的描繪、觀察來討論函數(shù)的有關性質.

［典例15］如圖，是函數(shù)y=Asin(s+°)+左(A>0,①>0)的一段圖象.

27r

T

（i）求此函數(shù)的解析式；

（2）分析一下該函數(shù)的圖象是如何通過y=sinx的圖象變換得來的？

解（1）由圖象知

1

A—2一亍

3

'2兀兀、

T=2X

y=]sin（2x+（p）~l.

當％=/時，2><聿+9=冬

oor2

???9=『

，所求函數(shù)的解析式為y=|sin[2x+^-l.

（2）把丁=51g的圖象向左平移聿個單位長度，得到y(tǒng)=sin（x+f）的圖象，然后

縱坐標保持不變、橫坐標縮短為原來的看得到尸sin（2x+"的圖象，再橫坐標

保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?