專題12一元二次不等式的解法

一、知識點精講

【引例】二次函數(shù)y=必一X—6的對應(yīng)值表與圖象如下:

X-3-2-101234

y60-4-6-6-406

由對應(yīng)值表及函數(shù)圖象(如圖2.3—1)可知

當(dāng)％=—2,或x=3時，y=0,即—％=6=0；

當(dāng)xV—2,或x>3時，i/>0,即%2—%—6>0：

當(dāng)一2VxV3時，y<Q,即券一X—6V0.

這就是說，如果拋物線y=蛭—x—6與x軸的交點是(一2,0)與(3,0),那么一元二次方程

年一”一6=0的解就是普=-2,.=3；同樣，結(jié)合拋物線與x軸的相關(guān)位置，可以得到

一元二次不等式x—6>0的解是XV—2,或x>3；

一元二次不等式即一x—6V0的解是一2VxV3.

上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應(yīng)的一元二次方程的解和對應(yīng)的一元二次不等式的解

集.那么，怎樣解一元二次不等式a察+bx+c>0((#0)呢？

我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)y=a要+bx+c(辦0)的圖象來解一元二次不等式

bx+c>0(<#0).

為了方便起見，我們先來研究二次項系數(shù)a>0時的一元二次不等式的解.我們知道，對于一元二次方

程a^+bx+c=0(a>0),設(shè)^=〃-4。。，它的解的情形按照△>(),A=0,△<()分別為下列三種情況——有

兩個不相等的實數(shù)解、有兩個相等的實數(shù)解和沒有實數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線y-“十法十C(4>0)與“軸

分別有兩個公共點、一個公共點和沒有公共點(如圖2.3—2所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對應(yīng)

的一元二次不等式ov2+bx+c>0(a>0)與ar2+bx+cV0(?>0)的解.

(1)當(dāng)A>0時，拋物線丫=。次+加:+。(〃>0)與工軸有兩個公共點(4，0)和(工牛。)，方程〃*+以+。=0

有兩個不相等的實數(shù)根玉和工^<Zx),由圖2.3—2①可知

不等式(ufi-\-bx-\-c>Q的解為x<xf或x>x2

不等式M+bx+cVO的解為<x<x2.

(2)當(dāng)A=0時，拋物線y=ax^bx+c(。>0)與x軸有且僅有一個公共點，方程ax^bx-\-c=O有兩個

相等的實數(shù)根x="=一￡,由圖2.3—2②可知

12

b

不等式如2+加+°>0的解為原弓；

不等式ax2+bx+c<Q無解.

(3)如果△<(),拋物線>，="2+加+。(〃>0)與x軸沒有公共點，方程ax2+fer+c=0沒有實數(shù)根，由圖

2.3—2③可知

不等式以2+加+°>0的解為一切實數(shù)；

不等式“+瓜+。<0無解.

今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二

次項系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以一1,將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面

的結(jié)論去解不等式.

二、典例精析

【典例1】解下列不等式：

(1)x-2+2x-3<0；(2)x-x2+6<0：

(3)4x2+4x+i>0：(4)

(5)-4+x-#V0.

【答案】見解析

【解析】

(1)VA>0,方程$+2x—3=0的解是x=-3,x=1.

12

???不等式的解為一35爛1.

(2)整理，得"一x-6>0.

方程*一、-6=0的解為x=-2,x=3.

12

工原不等式的解為XV—2,或XV3.

(3)整理，得(2x+1)2K).

由于上式對任意實數(shù)x都成立，

???原不等式的解為一切實數(shù).

(4)整理，得(x-3)2￡0.

由丁當(dāng)x=3時，(x—3)2=0成立；而對任意的實數(shù)x,(x—3)2V0都不成立，

???原不等式的解為x=3.

(5)整理，得H—x+4>0.A<0,所以，原不等式的解為一切實數(shù).

【典例2】已知不等式aM+bx+c<O(awO)的解是x<2,或x>3求不等式匕x2+ax+c>0的解.

【答案】見解析

【解析】由不等式a北+。*+。<0但工0)的解為*<2,或、>3,可知

bc

a<0,且方程ax2+bx+c=0的兩根分別為2和3,???一一=5,-=6,

b,caa

即一二-5,-=6.由于a<0,所以不等式bx2+ax+c>0可變?yōu)?/p>

baca

—x2+XH—<0,即一5x2+x+6<0,

aa

6

整理，得5x2-x—6〉0,所以，不等式b北+ax—c>0的解是xv—1,或x>_.

5

【說明】，木例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來解決問題.

【典例3］解關(guān)于x的一元二次不等式x2+ax+1>0(a為實數(shù)).

【答案】見解析

【分析】對于一元二次不等式，按其一股解題步驟，首先應(yīng)該將二次項系數(shù)變成正數(shù)，本題已滿足這一

要求，欲求一元二次不等式的解，要討論根的判別式△的符號，而這里的A是關(guān)于未知系數(shù)的代數(shù)式，A

的符號取決丁未知系數(shù)的取值范圍，因此，再根據(jù)解題的需要，對△的符號進(jìn)行分類討論.

【解析】：A=〃2—4,

6/+

①當(dāng)A＞0,即〃＜一2或。＞2時，方程我+or+1=0的解是x=一"一,成一4,工=-^-4

122~2~

所以，原不等式的解集為x＜一"&24或彳〉一〃+Ja2-4

22

a

②當(dāng)A=0,即。=±2時，原不等式的解為在一5；

③當(dāng)A＜0,即-2＜。＜2時,原不等式的解為一切實數(shù).

綜上，當(dāng)處一2,或破2時，原不等式的解是xv一■一&2-4或x〉-a+Jo24

22

當(dāng)-2＜。＜2時，原不等式的解為一切實數(shù).

【典例4］已知函數(shù)丫=蘇-2"+1(〃為常數(shù))在一2人1上的最小值為％試將〃用。表示出來.

【答案】見解析

【分析】：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對稱軸的位置有關(guān)，于是需要對對稱軸的位置進(jìn)行

分類討論.

【解析】：???y=(x—a)2+1一必，

，拋物線y=X2—2級+1的對稱軸方程是x=a.

圖23—3

(1)若一20把1,由圖2.3-3①可知，當(dāng)x=a時，該函數(shù)取最小值〃=1一*

(2)若〃V-2時，由圖2.3-3②可知，當(dāng)x=-2時，該函數(shù)取最小值〃=4〃+5；

(3)若a＞1時，由圖2.3-3③可知，當(dāng)x=1時，該函數(shù)取最小值n=-2a+2.

綜上，函數(shù)的最小值為〃=〈1一。2,—

-2。+2,6f>1.

三、對點精練

1.解下列不等式：

(1)3x2—X—4>0；(2)A:2—A—12<0；

(3)遙+3%—4>0；(4)16-8x+x2<0.

【答案】見解析

【解析】

4

(1)3x2—X—4>0<=>x<-1g￡x>_

3

(2)X2-A：-12<0<Z>-3<X<4

(3)x2+3x—4>0-4或1；

(4)168.vI入鋁0ox=4.

2.解關(guān)于x的不等式*+公+1—〃2④(〃為常數(shù)).

【答窠】見解析

【解析】

不等式可以變?yōu)?x+1+必x+1-6/)<0,

(1)當(dāng)一1—“V—1+〃，即a>0時，—1~a<x<—1+a；

(2)當(dāng)1a=14-a,即a=0時，不等式即為(AH1)2a)，.\x=-1；

(3)當(dāng)一1—a>—1+“，即aVO時，/.—1+rz<r<—1—

a.綜上，當(dāng)。>0時，原不等式的解為一1一tzSrS—1+〃；

當(dāng)。=0時，原不等式的解為x=-1；

當(dāng)a<0時，原不等式的解為-1+a夕1—a.

3.解下列不等式：

(1)x2+x-6>0(2)(x-1)(x+2)>(x-2)(2x+1)

【答案】見解析

【解析】

fx+3<0

⑴解法一：原不等式可以化為：a+3)a—2)>o,于是：1_2<o或

[x+3>0fx<_3[x>—3_|x

=j或j=>x<_3或x>2x<-3或x>2

jx-2>01x<2|x>2所以，原不等式的解是

解法二：解相應(yīng)的方程X2+X-6=(K^x=-3,x=2,所以原不等式的解是x<—3或x>2.

12

(2)解法一：原不等式可化為：-X2+4x40,即X2-4x20=>x(x-4)20于是：

fx<0fx>0

彳"或rL=或X?4,所以原不等式的解是X40或X24.

IX-4SUIX—42U

解法二：原不等式可化為：—X2+4X40,即X2—4XN0,解相應(yīng)方程X2-4x=0,得x=0,x=4.

12

所以原不等式的解是x<0或x>4.

【說明】：解一元二次不等式，實際就是先解相應(yīng)的一元二次方程，然后再根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出不

等式的解.

4.求關(guān)于x的不等式ni2x+2>2mx+m的解.

【答案】見解析

【解析】原不等式可化為：m(m-2)x>m-2

(1)當(dāng)m-2>0即m>2時，mx>1,不等式的解為x2J：

m

(2)當(dāng)m-2<0即m<2時，mx<1.

①0<m<2時，不等式的解為；

m

②mvO時，不等式的解為x>_；

m

③m=0時，不等式的解為全體實數(shù).

(3)當(dāng)m—2=0即m=2時，不等式無解.

八八11八

綜上所述：當(dāng)m<0或m>2時，不等式的解為x>_；當(dāng)0cm<2時，不等式的解為x<_；當(dāng)m=0時,

mm

不等式的解為全體實數(shù)；當(dāng)m=2時，不等式無解.

5.解下列不等式：

(1)X2-2X-8<0(2)X2-4X+4<0(3)X2-x+2<0

【答案】見解析

【解析】

(1)不等式可化為(x+2)(x—4)<0???不等式的解是一2<工<4

(2)不等式可化為-2)2《0.??不等式的解是x=2；

(3)不等式可化為(工-1)2+]<。，不等式無解。

24

6.已知對于任意實數(shù)x,"2-2.丫+攵恒為正數(shù)，求實數(shù)上的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】

顯然A=0不合題意，于是：檸°=7>°=>^>1

[(一2)2—442<0[22—1>0[k<-1或女>1

7.解下列不等式:

1

2x-3<3

(1)<0(2)

x+1772

【答案】見解析

【分析】

(1)類似于一元二次不等式的解法，運用“符號法則”將之化為兩個一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(shù)

(式)相除異號，那么這兩個數(shù)(式)相乘也異號，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

(2)注意到經(jīng)過配方法，分母實際上是一個正數(shù).

【解析】

2x-3>0\x<313

J2x—3<0一

(1)解法(一)原不等式可化為：｛4八或

[x+1>0x+1<02或12