蘇教版2019選擇性必修第二冊第7章

計(jì)數(shù)原理

二項(xiàng)式定理掌握二項(xiàng)式定理及其簡單應(yīng)用能夠應(yīng)用二項(xiàng)式定理對所給出的二項(xiàng)式進(jìn)行正確的展開使學(xué)生參與并深刻體會二項(xiàng)式定理的形成過程，掌握二項(xiàng)式系數(shù)、字母的次數(shù)、展開式項(xiàng)數(shù)的規(guī)律①

重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)今天是星期一，那么7天后的這一天是星期幾呢(2)如果是15天后的這一天呢(3)如果是8100天后的這一天呢問題(1)和問題(2)好解決，問題(3)的解決，需要用到二項(xiàng)式定理的知識y

新課導(dǎo)入由多項(xiàng)式的乘法法則可以知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)?=a?+4a3b+6a2b2+4ab3+b?.你能寫出(a+b)"(n∈N)的展開式嗎思考以上展開式中的項(xiàng)是如何產(chǎn)生的新課講授=(a2+ab+ba+b2)(a+b)=a3+a2b+a2b+ab2+ba2+b2a+b2a+b3

=a3+3a2b+3ab2+b3.我們先看

n=2,3

的情形：(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

2

=(a+b)(a+b)=a

2

+ab+ba+b2

=a

2+2ab+b2

.上面展開式中的每一項(xiàng)都是從每個(gè)括號中各取1個(gè)字母的乘積.新課講授上面展開式中的每一項(xiàng)都是從每個(gè)括號中各取1個(gè)字母的乘積.它的每一項(xiàng)都具有αn-rbr(r=0,1,2,...,n)的形式思考

類比以上得到展開式中的每一項(xiàng)的方法，得到(a+b)"

的項(xiàng)新課講授思考an-rbr(r=0,1,2,...,n)的系數(shù)是多少對于某個(gè)r(=0,1,2,...,n),對應(yīng)的項(xiàng)an-rbr是由n-r個(gè)(a+b)中選a,r個(gè)(a+b)中選b得到的。由于b選定后，a的選法也隨之確定.an-rbr(r=0,1,2,...,n)的系數(shù)就是在(a+b)(a+b)..(a+b)的n個(gè)括號中選r個(gè)取b的方法種數(shù).新課講授具體的，在這n個(gè)括號中，每個(gè)都不取b的情況有1種，即C

種，所以a"

的系數(shù)是Cn;恰有1個(gè)取b的情況有C1種，所以an-1b

的系數(shù)是C1;恰有2個(gè)取b的情況有C2種，所以an-2b2

的系數(shù)是C2;■

■恰有r

個(gè)取b的情況有Cn種，所以an-rbr的系數(shù)是Cn;恰有n

個(gè)取b的情況有CR種，所以b"的系數(shù)是Cn;新課講授(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Chan-kbk+…+Cnbn(n∈N*)這個(gè)公式叫作二項(xiàng)式定理.1

、等號右邊的多項(xiàng)式叫(a+b)"的二項(xiàng)展開式2、展開式共同n+1

項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)Cnk叫二項(xiàng)式系數(shù)3、式中的Cnkan-kbk

叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，

用Tk+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng)：思考對于(a+b)n,在合并同類項(xiàng)之前，其展開式共有多少項(xiàng)共2n項(xiàng)二

項(xiàng)

式

定

理新課講授例

1

利用二項(xiàng)式定理展開下列各式：(1)(a-b)?;

(2)

解

(1)(a-b)?=[a+(-b)]6=Cga?+Cga?(-b)+C2a?(-b)2+C3a3(-b)3+C啥a2(-b)?+Cga(-b)?+C?(-b)?=a?-6a?b+15a4b2-20a3b3+15a2b?-6ab?+b?.典例分析例2在(

1

+

2x)?的展開式中，求：(1)第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；

(

2

)

含x3

的項(xiàng)的系數(shù)

.解(1)由二項(xiàng)式定理可知，在(1+2x)?展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C3=35.(2)由二項(xiàng)式定理可知，在(1+2x)?展開式中，第r+1項(xiàng)為

Tr+1=C·17-r.(2x)r=C·2r.xr.當(dāng)r=3時(shí)，(1+2x)?展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為C3

·23=280.典例分析

的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng).設(shè)二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，即根據(jù)題意，得6-2r=0,r=3.因此，二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)典例分析例3解練習(xí)1利用二項(xiàng)式定理展開下列各式：(1)(1+

x)?;

(2)(2-x)?

.解(1)由(1+x)?=C

號+C?x+Csx2+C3x3+C專x?+C5x?=1+5x+10x2+10x3+5x?+x?

.(2)由(2-x)?=C4·2?+C4·23

·

(-x)+C2

·22

·

(-x)2+C2

·2

·

(-x)3+C4

·

(-x)?

=16-32x+24x2-8x3+x?

.y

學(xué)以致用(x-2y)?的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是(

)A.

B.

C.4C由二項(xiàng)式(x-2y)?展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C?x?-r(-2y)r,可得(x-2y)?的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C2.故選：A.y

學(xué)以致用解練習(xí)2D.16C5練習(xí)

3(x-1)10

的展開式中含x?的項(xiàng)的系數(shù)是()A.

B.-C10

C.

D.

解(x-1)10

的展開式通項(xiàng)為Tr+1=C10·x10-r.(-1)r,令

1

0

-r=5,

可得r=5,

所以展開式中含x?的項(xiàng)的系數(shù)是-Ci?

.

故選：D.y

學(xué)以致用練習(xí)

4寫

出(x3+2x)?的展開式的第k項(xiàng)

(1≤k≤10,k∈N*).解(x3+2x)?的展開式的第k

項(xiàng)為c9-1(x3)10-k(2x)k-1=2k-1c9-1x29-2k練習(xí)5求(1

-

2x)?的展開式中含x2的項(xiàng)

.解∵(1-2x)?的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C?(-2x)r=(-2)rC6x",令r=2,∴(1-2x)?的展開式中含x2的項(xiàng)為(-2)2c2x2=60x2.y

學(xué)以致用練習(xí)6求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).解的展開式的通式為

令

6

-

2r=0,得r=3,的展開式中的常數(shù)項(xiàng)y

學(xué)以致用定理(a+b)"=Ca"+Chan-1b+.…+Chan-kbk+.…+Cb"(n∈N')二項(xiàng)展開式c