8.6.3課時(shí)1二面角與面面垂直的判定定理1.理解二面角及其相關(guān)概念.2.掌握平面與平面垂直的定義及判定定理.3.運(yùn)用平面與平面垂直的判定定理證明平面與平面垂直問(wèn)題.復(fù)習(xí)導(dǎo)入線線角平面立體線面角立體平面與平面能成角嗎？你能舉出生活中的例子嗎水壩在修建的時(shí)候，為了堅(jiān)固耐用，水壩的坡面與水平面要成一個(gè)適當(dāng)?shù)慕嵌?虛掩的門(mén)和墻面之間也形成一定的角度lABβα·P·Q如圖，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．

這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．

平面的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做一個(gè)半平面.

①棱為AB，面分別為α，β的二面角記作α-AB-β.②為了方便，也可在α，β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P,Q，將這個(gè)二面角記作P-AB-Q.③如果將棱記作l,那么這個(gè)二面角記作α-l-β或P-l-Q.一、二面角

在日常生活中，有很多平面與平面相交的例子．比如折紙，筆記本電腦打開(kāi)過(guò)程中，屏幕和鍵盤(pán)所在的平面相交并形成了一定的角度.二、二面角的平面角

如圖，在日常生活中，我們常說(shuō)"把門(mén)開(kāi)大一些"，是指哪個(gè)角大一些？受此啟發(fā)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫(huà)二面角的大小呢?在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．βαlOAB

∠AOB的大小與點(diǎn)O在l上的位置有關(guān)嗎？

為什么？由等角定理可知，∠AOB的大小與點(diǎn)O在l上的位置無(wú)關(guān).二面角的平面角的特征：①角的頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③角的邊都要垂直于二面角的棱；④∠AOB的大小與點(diǎn)O在棱上的位置無(wú)關(guān).

lOAB

AOBβαlOAB

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.圖1平面角θ為銳角圖2平面角θ為直角圖3平面角θ為0°圖4平面角θ為180°平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角θ的取值范圍是0°≤θ

≤180°．

教室的墻面所在平面與地面所在平面相交，它們所成的二面角是直二面角，我們常說(shuō)墻面直立于地面上.

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β．

如圖，畫(huà)兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫(huà)成垂直．在明確了兩個(gè)平面相互垂直的定義的基礎(chǔ)上，我們先研究平面與平面垂直的判定.三、兩個(gè)平面互相垂直的定義

教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角？分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù).說(shuō)一說(shuō)觀察：如圖，建筑工人在砌墻時(shí)，常用鉛錘來(lái)檢測(cè)所砌的墻面與地面是否垂直．如果系有鉛錘的細(xì)線緊貼墻面，工人師傅就認(rèn)為墻面垂直于地面，否則他就認(rèn)為墻面不垂直于地面．這種方法說(shuō)明了什么道理？

這種方法告訴我們，如果墻面經(jīng)過(guò)地面的垂線，那么墻面與地面垂直.

類(lèi)似的結(jié)論也可以在長(zhǎng)方體中發(fā)現(xiàn).如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，平面ABB′A′經(jīng)過(guò)平面ABCD的一條垂線AA′，此時(shí)，平面ABB′A′垂直于平面ABCD.

一般地，我們有下面判定兩個(gè)平面互相垂直的定理：定理

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.圖形語(yǔ)言表示符號(hào)語(yǔ)言表示

a?α，a⊥β?α⊥β.這個(gè)定理說(shuō)明，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直.線面垂直線線垂直面面垂直四、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理已知：a⊥β，a?α，a∩α=O.求證：α⊥β.證明：設(shè)α∩β=l，則O∈l.∴a⊥b，則直線a與直線b所成角是二面角α-l-β的平面角.∴α⊥β.在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作直線b⊥l．．

∴a⊥l．Ol∵a⊥β，l?βb又∵a⊥β，b?β即二面角α-l-β的平面角是直二面角.【例1】如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證：平面A'BD⊥平面ACC'A'．證明：∴AA'⊥BD，∵ABCD-A'B'C'D'是正方體分析：要證平面A'BD⊥平面ACC'A'，根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理，只要證明平面A'BD經(jīng)過(guò)平面ACC'A'的一條垂線即可.這需要利用AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線.∴AA'⊥平面ABCD.又BD⊥AC，AA'∩AC=AC，∴平面A'BD⊥平面ACC'A'．∴BD⊥平面ACC'A'.

①直棱柱側(cè)棱垂直于底面的任一條直線；②正方形的對(duì)角線互相垂直.注

意【例2】如圖所示，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)．求證：平面PAC⊥平面PBC．分析：要證兩個(gè)平面垂直，根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理，只需證明其中一個(gè)平面中的一條直線垂直于另一個(gè)平面，而由直線與平面垂直的判定定理，還需證明這條直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.

在本題中，由題意可知，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，從而B(niǎo)C⊥平面PAC，進(jìn)而平面PAC⊥平面PBC.【例2】如圖所示，AB是?O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)．求證：平面PAC⊥平面PBC．證明：又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，∴PA⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴∠BCA=90°，即BC⊥AC.∵C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，AB是?O的直徑，∴BC⊥平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC.【例3】如圖，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AD=2AC，二面角A-BD-C的大小為

．解：∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD.又BD⊥CD，AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACD，∴∠ADC即為二面角A-BD-C的平面角.∵AD⊥BD，在Rt△ACD中，AD=2AC，∴∠ADC=30°，即二面角A-BD-C為30°.30°1.如圖所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB和△ASC都是等邊三角形，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．∴∠ADS=90°,即二面角A－BC－S為直二面角，則AD⊥BC，SD⊥BC，

則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，∴∠ADS為二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中，SB＝SC＝a，如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，

故平面ABC⊥平面SBC.D證明：方法1：（利用定義）證明：方法2：（利用判定定理）∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．∴SA＝AB＝AC，∴點(diǎn)A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥平面SBC.∵△SBC為直角三角形，又∵AD?平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.1.如圖所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.D證明：⑵∵E,F分別為AC,AB的中點(diǎn)，⑴∵E,P分別為AC，A'C的中點(diǎn)，∵BC⊥AC,∴EP∥平面AA'B，即EP∥平面A'FB.∴EF∥BC.2.如圖，E,F分別為Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點(diǎn)，沿EF將△AEF折起到△A'EF的位置,連接A'B,A'C,P為A'C的中點(diǎn).⑴求證：EP∥平面A'FB；⑵求證：平面A'EC⊥平面A'BC.∴EP∥AA'，又AA'?平面AA'B，EP?平面AA'B，∴EF⊥AC.∴EF⊥A'E，∴BC⊥A'E，又A'E∩AC=E，∴BC⊥平面A'EC，∵BC?平面A'BC，∴平面A'EC⊥平面A'BC.3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-C的大小是

.∵AB⊥平面BB1C1C，且BC1?平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，而∠C1BC=45°，解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中,∴二面角D1-AB-C的大小為45°.∴AB⊥BC1，∴∠C1BC為二面角D1-AB-C的平面角，45°1.二面角及其相關(guān)概念2.兩個(gè)平面互相垂直的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．βαlOAB平面角是直角的二面角叫做直二面