川省瀘州市2024屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)文?一、試卷整體概述本次瀘州市2024屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)文科試卷，嚴(yán)格遵循高考大綱和考試說明的要求，全面考查了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法以及學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合運用能力。試卷結(jié)構(gòu)合理，題型分布穩(wěn)定，難度適中且具有一定的區(qū)分度，能夠較為準(zhǔn)確地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和復(fù)習(xí)效果，對下一階段的高考備考具有重要的指導(dǎo)意義。

二、各題型考查內(nèi)容及分析

（一）選擇題1.考查內(nèi)容涵蓋了集合、函數(shù)的定義域與值域、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量的運算、數(shù)列的通項公式與前n項和公式、立體幾何中的空間線面關(guān)系、圓錐曲線的定義與性質(zhì)等多個知識點。2.具體題目分析例1：設(shè)集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，則實數(shù)\(a\)的值為（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)分析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，得\((x1)(x2)=0\)，所以\(A=\{1,2\}\)。對于集合\(B\)，由\(x^2ax+a1=0\)，得\((x1)[x(a1)]=0\)，則\(x=1\)或\(x=a1\)，即\(B=\{1,a1\}\)。因為\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，那么\(a1=1\)或\(a1=2\)，解得\(a=2\)或\(a=3\)，故答案選C。例2：已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\lt0\\\log_2x,&x\gt0\end{cases}\)，則\(f(f(\frac{1}{4}))\)的值為（）A.\(4\)B.\(4\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{4}\)分析：先計算\(f(\frac{1}{4})\)，因為\(\frac{1}{4}\gt0\)，所以\(f(\frac{1}{4})=\log_2\frac{1}{4}=\log_22^{2}=2\)。再計算\(f(f(\frac{1}{4}))\)，即\(f(2)\)，因為\(2\lt0\)，所以\(f(2)=2^{2}=\frac{1}{4}\)，故答案選C。

（二）填空題1.考查內(nèi)容主要涉及到不等式的求解、函數(shù)的最值、直線與圓的位置關(guān)系、三角函數(shù)的求值等知識點。2.具體題目分析例1：若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，則\(x+y\)的最小值為______。分析：根據(jù)均值不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，將\(x+y\)變形為\((x+y)(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})=1+9+\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}\geq10+2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{9x}{y}}=16\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{y}{x}=\frac{9x}{y}\)時等號成立，所以\(x+y\)的最小值為\(16\)。例2：已知圓\(C\)：\(x^2+y^22x4y+1=0\)，直線\(l\)：\(3x4y+m=0\)，若直線\(l\)與圓\(C\)相切，則\(m\)的值為______。分析：將圓\(C\)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程\((x1)^2+(y2)^2=4\)，圓心坐標(biāo)為\((1,2)\)，半徑\(r=2\)。因為直線\(l\)與圓\(C\)相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，根據(jù)點到直線的距離公式\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，可得\(\frac{|3\times14\times2+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2\)，即\(|m5|=10\)，解得\(m=15\)或\(m=5\)。

（三）解答題1.考查內(nèi)容包括三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計、圓錐曲線等重點知識板塊，全面考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。2.具體題目分析三角函數(shù)解答題已知函數(shù)\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)。（Ⅰ）求函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期；（Ⅱ）若\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，求函數(shù)\(f(x)\)的值域。分析：（Ⅰ）先對\(f(x)\)進(jìn)行化簡：\[\begin{align*}f(x)&=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\\&=\frac{1\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x\frac{\cos2x}{2}+\frac{1}{2}\\&=\sin(2x\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\end{align*}\]根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（其中\(zhòng)(\omega\)為\(x\)前面的系數(shù)），可得\(f(x)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（Ⅱ）因為\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，所以\(2x\in[0,\pi]\)，\(2x\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]\)。當(dāng)\(2x\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)時，\(\sin(2x\frac{\pi}{6})\)取得最小值\(\frac{1}{2}\)；當(dāng)\(2x\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)時，\(\sin(2x\frac{\pi}{6})\)取得最大值\(1\)。所以\(\sin(2x\frac{\pi}{6})\in[\frac{1}{2},1]\)，則\(f(x)=\sin(2x\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\in[0,\frac{3}{2}]\)，即函數(shù)\(f(x)\)的值域為\([0,\frac{3}{2}]\)。數(shù)列解答題已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，且滿足\(S_n=2a_n1\)。（Ⅰ）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；（Ⅱ）設(shè)\(b_n=\frac{a_n}{S_nS_{n+1}}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和\(T_n\)。分析：（Ⅰ）當(dāng)\(n=1\)時，\(S_1=a_1=2a_11\)，解得\(a_1=1\)。當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_nS_{n1}=2a_n1(2a_{n1}1)\)，化簡得\(a_n=2a_{n1}\)。所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是以\(1\)為首項，\(2\)為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式\(a_n=a_1q^{n1}\)（其中\(zhòng)(q\)為公比），可得\(a_n=2^{n1}\)。（Ⅱ）由（Ⅰ）可知\(S_n=2a_n1=2^n1\)，則\(b_n=\frac{a_n}{S_nS_{n+1}}=\frac{2^{n1}}{(2^n1)(2^{n+1}1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2^n1}\frac{1}{2^{n+1}1})\)。所以\(T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\)\[\begin{align*}&=\frac{1}{2}[(1\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}\frac{1}{7})+\cdots+(\frac{1}{2^n1}\frac{1}{2^{n+1}1})]\\&=\frac{1}{2}(1\frac{1}{2^{n+1}1})\\&=\frac{2^n1}{2(2^{n+1}1)}\end{align*}\]立體幾何解答題如圖，在三棱柱\(ABCA_1B_1C_1\)中，\(AA_1\perp\)平面\(ABC\)，\(AB=BC=AA_1=2\)，\(\angleABC=90^{\circ}\)，點\(D\)，\(E\)分別為\(AC\)，\(CC_1\)的中點。

（Ⅰ）證明：\(DE\parallel\)平面\(A_1BC_1\)；（Ⅱ）求三棱錐\(A_1BDE\)的體積。

分析：（Ⅰ）取\(A_1C_1\)的中點\(F\)，連接\(DF\)，\(BF\)。因為\(D\)，\(F\)分別為\(AC\)，\(A_1C_1\)的中點，所以\(DF\parallelAA_1\)，且\(DF=\frac{1}{2}AA_1\)。又因為\(E\)為\(CC_1\)的中點，\(AA_1\parallelCC_1\)，\(AA_1=CC_1\)，所以\(DF\parallelEC\)，且\(DF=EC\)，則四邊形\(DECF\)為平行四邊形，所以\(DE\parallelCF\)。因為\(CF\subset\)平面\(A_1BC_1\)，\(DE\not\subset\)平面\(A_1BC_1\)，所以\(DE\parallel\)平面\(A_1BC_1\)。（Ⅱ）因為\(AA_1\perp\)平面\(ABC\)，\(AB=BC=2\)，\(\angleABC=90^{\circ}\)，所以\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times2\times2=2\)。又因為\(E\)為\(CC_1\)的中點，所以\(V_{A_1BDE}=V_{A_1ABC}V_{EABC}V_{DA_1B_1C_1}\)\(V_{A_1ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdotAA_1=\frac{1}{3}\times2\times2=\frac{4}{3}\)\(V_{EABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdotCE=\frac{1}{3}\times2\times1=\frac{2}{3}\)\(V_{DA_1B_1C_1}=\frac{1}{3}S_{\triangleA_1B_1C_1}\cdotAD\)，\(S_{\triangleA_1B_1C_1}=S_{\triangleABC}=2\)，\(AD=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}\)，所以\(V_{DA_1B_1C_1}=\frac{1}{3}\times2\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{3}\)則\(V_{A_1BDE}=\frac{4}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)。概率統(tǒng)計解答題為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)\(100\)名年齡在\(17.518\)歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求這\(100\)名學(xué)生體重的中位數(shù)；（Ⅱ）若在體重在\([64.5,66.5)\)內(nèi)的男生中任選\(2\)人，求這\(2\)人體重都在\([65.5,66.5)\)內(nèi)的概率。

分析：（Ⅰ）設(shè)中位數(shù)為\(x\)，因為\(0.02\times2+0.1\times2+0.16\times2+(x64)\times0.2=0.5\)，\(0.04+0.2+0.32+(x64)\times0.2=0.5\)，\(0.56+(x64)\times0.2=0.5\)，\((x64)\times0.2=0.50.56=0.06\)，\(x64=0.3\)，解得\(x=63.7\)，所以這\(100\)名學(xué)生體重的中位數(shù)為\(63.7\)。（Ⅱ）體重在\([64.5,66.5)\)內(nèi)的男生人數(shù)為\(0.2\times100=20\)人，其中體重在\([65.5,66.5)\)內(nèi)的人數(shù)為\(0.1\times100=10\)人。設(shè)體重在\([64.5,66.5)\)內(nèi)的\(20\)名男生分別為\(a_1,a_2,\cdots,a_{20}\)，體重在\([65.5,66.5)\)內(nèi)的\(10\)名男生為\(b_1,b_2,\cdots,b_{10}\)。從體重在\([64.5,66.5)\)內(nèi)的男生中任選\(2\)人的基本事件總數(shù)為\(C_{20}^2=\frac{20\times19}{2\times1}=190\