PAGE21對偶規(guī)劃及其應用問題研究1緒論························································11.1研究背景及意義···········································11.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀···········································12對偶規(guī)劃····················································22.1對偶問題·················································22.2對偶單純形法·············································52.3對偶理論···············································112.4對偶問題的靈敏度分析····································123對偶規(guī)劃的應用··············································153.1影子價格················································153.2對偶規(guī)劃應用實例分析···································164結語························································21參考文獻·····················································22對偶規(guī)劃及其應用摘要：對偶規(guī)劃是線性規(guī)劃的重要組成部分，對偶問題和原問題之間有著密不可分的關系，其理論和實際應用都具有重要研究意義，對偶規(guī)劃在經(jīng)濟、工業(yè)、生產(chǎn)、軍事等方面都起到了不可取代的作用.本文主要對對偶問題、對偶單純形進行系統(tǒng)闡述，對對偶規(guī)劃的靈敏度進行分析，并以具體問題為例，更直觀地說明對偶規(guī)劃及其在應用方面的指導作用.關鍵詞：對偶規(guī)劃，對偶理論，對偶單純形法，靈敏度分析,影子價格.1緒論1.1研究背景及意義對偶思想最早出現(xiàn)于1928年，數(shù)學家JohnvonNeumann在對博弈論進行研究之時，認為二人零和博弈可以用線性規(guī)劃的原始問題及對偶問題表示出來.直至1939年，蘇聯(lián)數(shù)學家LeonidV.Kantorovich初次總結生產(chǎn)中的一系列問題，例如最好地利用原料、當?shù)夭牧稀⑷剂霞斑\輸能力等問題，都屬于同一種數(shù)學問題即極值問題，而他所首創(chuàng)的解乘數(shù)法恰能求解這類問題.這種方法對于現(xiàn)代應用數(shù)學具有劃時代的意義，開創(chuàng)了解決線性規(guī)劃問題的先河.經(jīng)過對對偶問題數(shù)年的不懈鉆研，JohnvonNeumann于1947年提出對偶理論，此后，線性規(guī)劃和對偶理論的發(fā)展進程得到了極大的推動，對偶規(guī)劃的理論和解法不斷向更深更廣的方向延伸，且廣泛應用在現(xiàn)實生活中的方方面面.線性規(guī)劃旨在研究取之有限的資源如何在有競爭的系統(tǒng)中如何分配才是最優(yōu)的問題，而對偶理論占據(jù)線性規(guī)劃研究中重要的一角.線性規(guī)劃原問題和對偶問題之間有著千絲萬縷的關系，并且具有研究價值.當面臨復雜的原問題時，先求解其對偶問題為求解線性規(guī)劃問題提供了一定的便利.對偶問題的最優(yōu)解對深入解釋線性規(guī)劃模型經(jīng)濟含義起重要作用.對偶解的經(jīng)濟含義是影子價格，影子價格的實質(zhì)是對系統(tǒng)資源價格的估計，它可以應用于經(jīng)濟管理中，是一個重要的參考指標.此外，對偶規(guī)劃在資源利用、生產(chǎn)方案、原料配比等方面也有重要作用.1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.2.1國內(nèi)研究現(xiàn)狀國內(nèi)對對偶問題的研究較晚，對于對偶問題的研究偏重于對實際的應用.1964年林詒勛[1]在前人已經(jīng)奠定的線性規(guī)劃基礎之上，參考線性方程組的Fredholm定理，得到另一種求解辦法.1978年林銼云[2]對非線性規(guī)劃的對偶理論進行研究.王長鈺[3]將凸對偶規(guī)劃應用于運價為凸函數(shù)的運輸問題并研究其解的情況.1981年胡幼青[4]對對偶規(guī)劃的經(jīng)濟含義影子價格做出了較為全面的介紹.此后，魏力仁[5]，劉序球[6]等人對對偶規(guī)劃的經(jīng)濟應用做了進一步研究.1986年顧新華、連成平[7]運用對偶原理研究國民經(jīng)濟控制,基于對偶系統(tǒng)指標，給出最優(yōu)價格制定的模型.2003年，梁治安[8]研究多目標分式規(guī)劃的對偶模型并得到了相應的對偶定理.2020年，岳東萍[9]對廣義高階不變凸目標規(guī)劃的對偶性做研究，給出對偶性結果.1.2.2國外研究現(xiàn)狀1951年D.Gale，H.W.Kuhn，A.W.Tucher[10]首次提出了線性規(guī)劃的對偶模型，證明了對偶定理.1953年TjallingC.Koopmans[11]首次成功將線性規(guī)劃引入生產(chǎn)分析.不同于傳統(tǒng)生產(chǎn)和價格理論，他把各種可以使用的生產(chǎn)方法及其使用的程度作為決策變量，推動了資源分配最優(yōu)理論向前發(fā)展.1954年對偶單純形法由數(shù)學家C.Lemke提出，就在同一年，S.Gass和T.Sadi研究并解決了參數(shù)規(guī)劃問題及完成了靈敏度分析的研究證明.1956年A.Tucher提出線性規(guī)劃中的一條重要定理——互補松弛定理.1962年DuffinR.J.1970年ElmorL.Peterson[12]通過研究Duffin原始公式的對偶無約束幾何規(guī)劃，為理解集合對偶問題的經(jīng)濟學解釋提供了一種新的思路，給出最優(yōu)解的存在性和唯一性的相關新定理.1972年V.A.Sposito[13]研究消去目標函數(shù)的下界的線性規(guī)劃及其對偶線性規(guī)劃，并給出了顯式最優(yōu)解.1974年A.L.Soyster[14]拓展了凸規(guī)劃的概念，將目標向量替換為凸集，并公式化對偶問題.1981年G.R.Bitran[15]對非線性多目標優(yōu)化問題建立了對偶理論，并提出了對偶矩陣的經(jīng)濟解釋.1998年G.Giorgi,A.Gucrraggio[16]對廣義不變凸向量函數(shù)的光滑和非光滑多目標規(guī)劃進行研究，得到了一些對偶結果.近年來，許多人研究隨機動態(tài)規(guī)劃等較為復雜的問題.2020年，VincentGuigues[17]對凸非線性優(yōu)化問題的隨機對偶動態(tài)規(guī)劃進行研究，對動態(tài)對偶規(guī)劃算法進行推廣，并應用于市場上投資組合的選擇和操作.2對偶規(guī)劃2.1對偶問題線性規(guī)劃原問題和對偶問題相伴存在，兩者有著千絲萬縷的關系.實際上，這兩個問題可以看成從待解決問題的不同角度出發(fā)建立模型所得到的目標和約束條件.例2.1.1水泥廠為生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同品質(zhì)的水泥需要用到A、B、C、D四種石料，具體要求如下表：表1石料水泥ABCD單件產(chǎn)品收益甲32112000乙41324000丙22343000原材料總量600400300200先考慮使收益最大時的生產(chǎn)安排.設生產(chǎn)甲、乙、丙的數(shù)目分別為、、.則模型表示為：..（2.1）現(xiàn)考慮另一種情況：水泥廠決定不安排生產(chǎn)任務，而將廠內(nèi)所有石料全部出售，此時工廠需要定下一個合理的原材料價格，使原材料價格盡可能低，同時保證工廠收益不減少.在此情況下，設水泥廠擁有的石料A、B、C、D的價格分別為、、、.則此時模型為：..（2.2）上述例子所得的模型（2.1）和模型（2.2）互為原問題和對偶問題.對比兩者可以看出，它們之間存在緊密聯(lián)系：其中一個問題求目標值最大，另一個求目標值最?。粌蓚€問題目標函數(shù)系數(shù)和約束條件的右邊互相對應；其中一個問題約束條件左邊的系數(shù)矩陣是另一個問題的轉(zhuǎn)置[18].下面給出對偶問題的一般表現(xiàn)形式.設線性規(guī)劃問題..（2.3）則對應的對偶問題為..（2.4）（2.3）和（2.4）可以簡寫為：....（2.5）其中，，，，是一個階的矩陣.2.2對偶單純形法單純形法是一種用來求解線性規(guī)劃問題的常用方法.首先引入一些定義.可行解是滿足線性規(guī)劃全部約束條件的向量[18].對給定線性規(guī)劃問題：，其中是一個階的矩陣且.將分為一個階方陣和一個階矩陣，且.則可以表示為.將也作對應的分割，表示為,其中稱為基變量，表示作對應分割后矩陣中相對應的個的分量；稱為非基變量，表示矩陣中相對應的個的分量.從而方程組可以表示為.（2.6）又因為可逆，可得，（2.7）則.特別地，令，得到（2.8）稱為基本解.若基本解滿足非負可行，即，（2.9）則稱其為基本可行解[19].單純形法的原理是在解一直可行的情況下，將一個可行解通過替換基變量得到新的可行解，此過程不斷迭代進行下去，直到每一個檢驗數(shù)都非正為止，就能得到線性規(guī)劃的最優(yōu)解.矩陣依照上述方法分解后，線性規(guī)劃可以寫為..（2.10）.將（2.7）代入目標函數(shù)得（2.11）.令，可得，.若滿足，則是一個基本可行解.在上式（2.11）中，稱為檢驗向量，它的一個分量稱為檢驗數(shù)，可以表示為，，為非基變量下標的集合.根據(jù)檢驗數(shù)的取值可以判斷解是否為最優(yōu)解.定理2.2.1設是一個可行基，是基本可行解，若滿足檢驗數(shù)，，則是一個最優(yōu)解[18,20].證明：對應的目標函數(shù)值為.設是任一可行解，由、，可得.所以是最優(yōu)解.若得到的解為最優(yōu)解，即線性規(guī)劃問題已然得到解決，若不是最優(yōu)解，則要進行換基迭代.這就要通過一些計算確定需要變化的基變量和非基變量，得到另一個基.若結果不是最優(yōu)解，檢驗數(shù)中至少有一個大于零.只選擇非基變量中一個變量成為基變量，其余非基變量仍為零，則有.因為所有的基變量大于等于零，所以有.（2.12）又因為，，只有當時，式（2.12）才有可能不成立，所以有.設，（2.13）這稱為確定出基變量的檢驗準則，設經(jīng)過檢驗后確定第個基變量出基，即.令入基變量，改變后的基變量為（2.14）改變后的目標函數(shù)為（2.15）得到新的基和目標函數(shù)后，再檢驗其最優(yōu)性，循環(huán)此步驟直至得到最優(yōu)解，這就是單純形法的過程.基于單純形法，對于原問題的單純形法的原理可以解釋為：保持原問題的解始終可行，由一個基本可行解不斷迭代，當其對偶問題的解從不可行轉(zhuǎn)變?yōu)榭尚袝r終止計算，原問題的最優(yōu)解就是終止時原問題的可行解.因為原問題和對偶問題特殊的對稱性，所以對偶單純形法可以解釋為：保持對偶問題的解始終可行，由一個基本可行解不斷迭代，當原問題的解從不可行轉(zhuǎn)變?yōu)榭尚袝r終止計算，對偶問題的最優(yōu)解就是終止時對偶問題的可行解.根據(jù)這一思路，就能完善對偶單純形法的詳細過程.設對偶問題已經(jīng)得到一個對偶可行解，對這個解進行更新迭代.由（2.9）可知，當條件成立時，原問題的解是可行解，因此最優(yōu)性檢驗可能存在以下三種情況：（1）若，則由定理2.2.1可知，該解為最優(yōu)解.（2）若不成立，則中最少有一個分量.設該分量對應的行向量，其中.①若的所有分量大于等于零，則有.又因為且，所以不可能為正，可知原問題不存在可行解.②若有分量小于零，則此時原問題的解不是可行解，需要進行迭代.替換新基后新的檢驗數(shù)和對偶可行條件可以表示為：，（2.16）其中稱為旋轉(zhuǎn)元，且.由，可得.入基變量的檢驗準則為.（2.17）故只要按照（2.17）選擇入基變量，以為旋轉(zhuǎn)元進行換基迭代，經(jīng)過一系列計算，就可以算得原問題的可行解.綜上，對偶單純形法的步驟如下：（1）找到一個初始對偶可行解.（2）檢驗是否為最優(yōu)解.①若，初始解就是最優(yōu)解，終止計算.②若，且，則該問題不可行，終止計算.③若，且存在，則應進行換基迭代，跳轉(zhuǎn)到步驟（3）.（3）確定入基變量.計算，其中.（4）以為旋轉(zhuǎn)元作旋轉(zhuǎn)變換，跳轉(zhuǎn)到步驟（2）.接下來以一個簡單的例子演示對偶單純形法的具體過程.例2.2.1用對偶單純形法求解...解：將此線性規(guī)劃標準化得..以、為初始基，為了方便計算，將標準化后的線性規(guī)劃的約束條件兩邊乘-1，有..，，,,，則相應的單純形表為表20-2-3-400-3-1-2-110-4-21-301為非可行解，但為對偶可行解.因，所以，則為離基變量.，、，有故，為入基變量.以為旋轉(zhuǎn)元進行旋轉(zhuǎn)變換，得到新的單純形表為表340-4-10-1-101210仍為非可行解.因為，所以，則為離基變量.，、，有故，為入基變量.以為旋轉(zhuǎn)元進行旋轉(zhuǎn)變換，得到新的單純形表為表4000110，因此最優(yōu)解為，最優(yōu)值為.2.3對偶理論由對偶問題的定義式可以得到一些性質(zhì)，即對偶理論.定理2.3.1設原問題的可行解為，對偶問題的可行解為，則有.證明：由原問題和對偶問題的定義可得，，且，，從而有，即,整理對比得.這個定理也稱為弱對偶定理，它表現(xiàn)了線性規(guī)劃原問題和對偶問題的目標函數(shù)值具有一定的大小關系，由該定理進一步可以得到對偶定理.定理2.3.2（對偶定理）原問題和對偶問題存在以下關系[18,21]：（1）原問題有最優(yōu)解的充要條件是對偶問題有最優(yōu)解.（2）若原問題無界，則對偶問題無可行解，反之，若對偶問題無界，則原問題無可行解.（3）若、分別是原問題和對偶問題的可行解，若滿足，則、分別是原問題和對偶問題的最優(yōu)解.證明：（1）必要性：設原問題的最優(yōu)解是，是最優(yōu)基.由定理2.2.1可推得最優(yōu)性檢驗條件和.設是對偶問題的一個可行解，令，有，.由定理2.3.1可得，即是對偶問題的一個下界，且對偶問題的可行域是一個非空的閉凸子集，因此必定存在一個最優(yōu)解滿足上述條件.充分性：由對稱性即可得證.（2）因為原問題與對偶問題具有對稱性，所以僅需證明一條結論即可.下證：若原問題無界，則對偶問題沒有可行解.反證法.假設原問題無界，對偶問題有可行解.由定理2.3.1，原問題的任意可行解有，由該式子可知，就是原問題的一個上界，矛盾.所以若原問題無界，則對偶問題無可行解.（3）充分性：設原問題的可行解為，對偶問題的可行解為，兩者滿足.設、分別是原問題和對偶問題的任意可行解，由定理2.3.1，滿足式子和，可知、分別是原問題和對偶問題的最優(yōu)解.必要性：設原問題的最優(yōu)解是，是最優(yōu)基.由定理2.3.2（1）可知，是對偶問題的一個可行解，有.又由定理2.3.1，有.2.4對偶問題的靈敏度分析建立線性規(guī)劃模型時各個參數(shù)都是固定的，但現(xiàn)實生活中實際情況復雜多變，各種因素都會影響到數(shù)據(jù)的準確度，因此，對于對偶問題的靈敏度分析是十分重要的.下面對對偶問題目標函數(shù)系數(shù)變化和約束條件右邊項系數(shù)變化進行靈敏度分析.2.4.1目標函數(shù)系數(shù)變化的靈敏度分析對目標函數(shù)系數(shù)變化的靈敏度分析又可以分成非基變量系數(shù)變化和基變量系數(shù)變化兩種情況.設變化的系數(shù)為.（1）是非基變量的系數(shù).設變化量為，若變化后仍保持原來的最優(yōu)基不變，則需要檢驗數(shù)滿足定理2.2.1的條件，即，整理得.所以，在保持最優(yōu)基不變的情況下，目標函數(shù)系數(shù)的變化量的取值范圍是.（2.18）變化量的取值落在這個范圍內(nèi)時，最優(yōu)基保持不變.變化量在增加的方向有上界，而在下降的方向無界.即是說變化量的大小增加時，對應的系數(shù)對目標函數(shù)的貢獻隨之增加，當變化量超過這個上界時，最優(yōu)基就會發(fā)生變化.變化量下降時，會隨之減小，不可能大于零，因此最優(yōu)基不變.（2）是基變量的系數(shù).若是基變量的系數(shù)，則的變化會使跟著變化.設的變化量為.若變化后仍保持原來的最優(yōu)基不變，則需要檢驗數(shù)滿足定理2.2.1的條件，即.（2.19）設第個基變量的系數(shù)發(fā)生變化，其他保持不變，則有,（2.20）.（2.21）將式（2.20）代入式（2.19）有（2.22）此時要分兩種情況討論.情況一：若，當時，式（2.22）可能不成立，所以有.情況二：若，當時，式（2.22）可能不成立，所以有.綜上所述，在保持最優(yōu)基不變的情況下，目標函數(shù)系數(shù)的變化量的取值范圍是.（2.23）當變化量的取值落在這個范圍內(nèi)時，最優(yōu)基不變，只有目標函數(shù)改變，變化量為.若變化量的取值落在這個范圍外，最優(yōu)基不再是原來的最優(yōu)基，此時需要進行換基迭代求得最優(yōu)解.2.4.2約束條件右邊項變化的靈敏度分析.約束條件右邊項的變化只會影響基變量和目標函數(shù)，而不影響檢驗數(shù).設右邊項變化量為，發(fā)生變化的參數(shù)為，則有，.若要使得到的新基可行，則需要保證基變量非負，于是有.（2.24）其中是的第行第列元素.此時也要分兩種情況討論.情況一：若，當時，式（2.24）有可能不成立，所以有.情況二：若，當時，式（2.34）有可能不成立，所以有.綜上所述，在保持最優(yōu)基不變的情況下，右邊項變化量的取值范圍是.（2.25）當變化量的取值落在這個范圍內(nèi)時，最優(yōu)基不變，基變量和目標函數(shù)值改變，變化量為.若變化量的取值落在這個范圍外，最優(yōu)基會發(fā)生變化.3對偶規(guī)劃的應用3.1影子價格線性規(guī)劃討論的是取之有限的資源如何在有競爭的系統(tǒng)中如何分配才是最優(yōu)的問題.若將模型（2.3）看成線性規(guī)劃在經(jīng)濟活動中的應用，可以看作各種資源的可用量，可以看作每種產(chǎn)品或經(jīng)濟活動的利潤，可以看作每種產(chǎn)品的產(chǎn)量或經(jīng)濟活動的體量，目標函數(shù)可以看作經(jīng)濟活動的總利潤[22].線性規(guī)劃的求解就是求在各種資源可利用量的限制內(nèi)資源的最優(yōu)化分配，對偶問題的解就表示各種資源在系統(tǒng)中所處的狀態(tài)及其變動對總利潤的影響，這就是影子價格.影子價格是對系統(tǒng)資源價格的合理估計，不是實際的價格.同時，影子價格是對系統(tǒng)資源價格的最優(yōu)估計，是系統(tǒng)資源物盡其用，達到最合理分配時的資源價值.而在現(xiàn)實生活中，實際市場價格往往與影子價格不相等.當實際市場價格與影子價格相等時，該資源達到均衡狀態(tài)，此時資源得到最優(yōu)分配.為了達到資源均衡狀態(tài)，就要對實際市場價格和影子價格進行比較大小，對資源實施買入或賣出策略，使企業(yè)的利潤達到最大.如果實際市場價格比影子價格高，說明該資源的實際價格被過低地估計，此時應該適當購入該資源以獲得更高利潤；如果實際市場價格比影子價格低，說明該資源的實際價格被過高地估計，應該適當拋售該資源.從另一個方面看，影子價格代表著資源是否稀缺及其稀缺程度.有越高影子價格的資源越稀缺[23].影子價格對經(jīng)濟、生產(chǎn)等方面具有重要意義.其對資源分配有指導性作用，企業(yè)決策者可以利用影子價格對企業(yè)現(xiàn)有分配方案有更深層的了解，有助于調(diào)整企業(yè)資源.在企業(yè)內(nèi)外部環(huán)境變化的影響下，企業(yè)決策者也可以利用影子價格靈活調(diào)整對企業(yè)的資源，使企業(yè)資源得到充分利用，企業(yè)利潤獲得最大化.3.2對偶規(guī)劃應用實例分析例3.2.1虎丘工廠用A、B兩種原料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，具體的生產(chǎn)情況如下表（配比單位為千克/件）：表5產(chǎn)品原料甲乙原料庫存（千克）原料成本（元/千克）A204016001.5B302018002.5售價（元）130160求使銷售利潤最大使的生產(chǎn)分配.解：設生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品件，為總利潤，表示為（3.1）建立模型如下：..（3.2）該模型的最優(yōu)解為，.設原料A的影子價格為，原料B的影子價格為，則模型（3.2）的對偶模型為.（3.3）該模型的解為，.要使利潤最大化，生產(chǎn)的安排應是生產(chǎn)甲產(chǎn)品50件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品15件，此時最大利潤為2000元.由對偶規(guī)劃的解，，可以知道對偶解的經(jīng)濟含義為：每增加1千克原料A的供應量，工廠的利潤會增加1.25元；而增加原料B的供應量，工廠的利潤不會發(fā)生變化.因為原料A的影子價格為2，所以原料A在生產(chǎn)中屬于稀缺資源，增加原料A的供應量可以使總利潤增加.根據(jù)對模型（3.3）的靈敏度分析，當原料A的庫存的允許增加量為2000千克，此時，工廠的總利潤增加元.因為原料B的影子價格為0，所以原料B在生產(chǎn)中處于剩余狀態(tài)，那么決策者可以考慮適當改變原料B的庫存，增加工廠的現(xiàn)金流.根據(jù)對模型（3.3）的靈敏度分析，原料B的允許減少量為1000，允許增加量為600，即當原料B的庫存大于800且小于2400時，生產(chǎn)方案的最大利潤不變.因此可以減少800千克原料B的庫存，獲得2000元的流動資金.影子價格可以用來預測產(chǎn)品價格.在本例中，若北湖工廠是原料A的供應廠商，原料A的交易價格應該在原料A的影子價格和北湖工廠生產(chǎn)原料A的單位成本之間，才能達到共贏.否則，若交易價格比虎丘工廠原料A的影子價格高，虎丘工廠將不會愿意購買北湖工廠的原料A；若交易價格比北湖工廠的單位成本低，北湖工廠將會虧本.由上述可知，原料A的影子價格為2元，若北湖工廠生產(chǎn)原料A的單位成本為1.5元，則原料A的交易價格應該在1.5元和2元之間.例3.2.2某企業(yè)旗下有甲、乙兩種產(chǎn)品，在南京的A、B兩個工廠生產(chǎn)，在工廠加工生產(chǎn)后銷往蘇南和蘇北.企業(yè)產(chǎn)品和工廠相關資料如下表.表6出售地區(qū)產(chǎn)品類別最大庫存（kg）單價（元）銷售費用（元）銷售費用（元）工廠A工廠B銷往蘇南產(chǎn)品甲1200013312產(chǎn)品乙1000017412銷往蘇北產(chǎn)品甲1500016422產(chǎn)品乙750018512表7工廠產(chǎn)品類別生產(chǎn)成本（元/kg）時間定額（小時）時間限額（小時）第一車間第二車間第一車間第二車間工廠A產(chǎn)品甲71.521300030000產(chǎn)品乙62315000工廠B產(chǎn)品甲721800040000產(chǎn)品乙52.5220000現(xiàn)該企業(yè)希望做出一些決策提高企業(yè)的總利潤，那么就需要建立對偶規(guī)劃，通過影子價格得到啟發(fā).解：設為工廠A生產(chǎn)的將銷往蘇南的產(chǎn)品甲，為工廠B生產(chǎn)的將銷往蘇南的產(chǎn)品甲，為工廠A生產(chǎn)的將銷往蘇北的產(chǎn)品甲，為工廠B生產(chǎn)的將銷往蘇北的產(chǎn)品甲，為工廠A生產(chǎn)的將銷往蘇南的產(chǎn)品乙，為工廠B生產(chǎn)的將銷往蘇南的產(chǎn)品乙，為工廠A生產(chǎn)的將銷往蘇北的產(chǎn)品乙，為工廠B生產(chǎn)的將銷往蘇北的產(chǎn)品乙，為總利潤，表示為（3.4）建立模型如下..（3.5）求解該模型得，，，，，，，.模型（3.5）對應的對偶模型為.（3.6）其中，為銷往蘇南的產(chǎn)品甲的影子價格，為銷往蘇北的產(chǎn)品甲的影子價格，為銷往蘇南的產(chǎn)品乙的影子價格，為銷往蘇北的產(chǎn)品乙的影子價格，在工廠A第一車間生產(chǎn)的產(chǎn)品甲的影子價格，在工廠A第一車間生產(chǎn)的產(chǎn)品乙的影子價格，在工廠A第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品甲、乙的影子價格，在工廠B第一車間生產(chǎn)的產(chǎn)品甲的影子價格，在工廠B第一車間生產(chǎn)的產(chǎn)品乙的影子價格，在工廠B第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品甲、乙的影子價格.求解模型（3.6）得，，，，，，，，，.由影子價格的結果，該企業(yè)決策者可以得到一些啟發(fā).由于值最大，所以首要考慮增加銷往蘇北的產(chǎn)品乙的銷售量，這將會提高總利潤；由于，其他銷售安排無需變動，增加它們的銷量對總利潤沒有影響.其次考慮各車間的生產(chǎn)安排.由于，所以首先考慮的是擴大工廠B第一車間生產(chǎn)產(chǎn)品乙的規(guī)模，其次是擴大工廠A第二車間生產(chǎn)規(guī)模和工廠B第一車間生產(chǎn)產(chǎn)品甲的規(guī)模，最后是擴大工廠A第一車間生產(chǎn)產(chǎn)品乙的規(guī)模.由于，所以不用擴大工廠A第一車間生產(chǎn)產(chǎn)品甲的規(guī)模，這對增加總利潤沒有幫助.4結語在運籌學中，線性規(guī)劃對偶問題是一個重要的研究課題，在基礎的對偶問題的基礎上，世界對對偶問題的研究不斷向更深更廣的方向前進.本文主要對對偶問題、對偶單純形法、對偶理論進行系統(tǒng)闡述，分析不同變量的變化對對偶問題的影響，通過實際案例進行分析，具體說明對偶規(guī)劃的作用.對偶規(guī)劃的理論研究和實際應用都具有不可替代的作用，對人類的生產(chǎn)生活具有重要貢獻.參考文獻[1]林詒勛.線性規(guī)劃的對偶理論(Ⅰ)[J].鄭州大學學報(自然科版),1964(01):9-20.[2]林銼云.非線性規(guī)劃對偶理論[J].南昌大學學報(理科版),1978(00):77-84.[3]王長鈺.一類凸對偶規(guī)劃與運價為凸函數(shù)的運輸問題[J].曲阜師院學報(自然科學版),1978(03):17-30.[4]胡幼青.影子價格問題介紹[J].價格理論與實踐,1981(05):51-60.[5]魏力仁,米天林,李伯經(jīng).數(shù)學規(guī)劃中的影子價格[J].湖南財經(jīng)學院學報，1982(01):100-108.[6]劉序球.對偶規(guī)劃問題的經(jīng)濟分析意義[J].江西財經(jīng)學院學報,1983(02):90-94.[7]顧新華,連成平.試論國民經(jīng)濟控制系統(tǒng)的對偶問題[J].自動化學報，1986(04):333-338.[8]Z.A.Liang,H.X.Huang,P.M.Pardalos.E?ciencyconditionsanddualityforaclassofmultiobjectivefractionalprogrammingproblems[J].JournalofGlobalOpti-mization,2003,27:447-471.[9]岳冬萍.廣義高階不變凸多目標規(guī)劃的最優(yōu)性和對偶性[D].西安科技大學,2020.[10]D.Gale,H.W.Kuhn,A.W.Tucker.Linearprogrammingandthetheoryofgames[C].In:Koopamans(Ed)TC,”Activit