11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與能力

1.掌握三角形的內(nèi)角和定理,能熟練地應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決問題.

2.探索并掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

3.掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

過程與方法

在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，逐步

養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理習(xí)慣.

情感態(tài)度與價(jià)值觀

體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，增強(qiáng)克服困難的勇氣和信心.

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和定理及其運(yùn)用，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，掌握有

兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

難點(diǎn):探索并證明三角形內(nèi)角和定理.會(huì)用“兩銳角互余的三角形是直角三

角形”這個(gè)判定方法判定直角三角形.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

教師出示問題：大的三角形對小的三角形說：“我比你大，所以我的內(nèi)角和

肯定比你大.”

小三角形不服氣地說：“不對不對,我的內(nèi)角和和你的一樣大！”

教師：大的三角形與小的三角形誰說的對呢？通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)我們就

能解決這個(gè)問題.

二、探究歸納

活動(dòng)一：我們小學(xué)已學(xué)過，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都等于180°，怎么說

明這個(gè)結(jié)論的正確性呢？

讓學(xué)生在紙上畫一個(gè)三角形將它的內(nèi)角剪下,試著拼拼看.

【問題】

把一個(gè)三角形的兩個(gè)角剪下拼在第三個(gè)角的頂點(diǎn)處，用量角器量出NBCD

的度數(shù)，可得到NA+NB+NACB=180。.[教師出示投影如圖1]

想一想，還可以怎樣拼？

①剪下NA,按圖2拼在一起,可得到NA+NB+NACB=180。.

②把NB和NC剪下按圖3拼在一起，可得到/BAC+NB+NC=180°.

點(diǎn)撥：由拼圖的方法可得三角形的內(nèi)角和等于180°.

由剛才拼合而成的圖形,試以你所發(fā)現(xiàn)的方法談?wù)勈侨绾握f明三角形的內(nèi)

角和等于180°的？

活動(dòng)一：試說明三角形的內(nèi)角和等于180°.

如圖（1）已知：△ABC,求證:ZA+ZB+ZC=180°.

證明：延長BC到D,過點(diǎn)C作CE〃AB.

因?yàn)镃E〃AB（已知），

所以N2=NB（兩直線平行，同位角相等），

Z1=ZA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

又因?yàn)镹l+N2+N3=180。（平角定義），

所以NA+NB+NACB=180°（等量代換）.

總結(jié):三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于1800.

由圖2、圖3你又能想到什么證明方法?請說說證明過程.

方法二：

如圖，過點(diǎn)A作EF〃BC,E一一^

所以NB=N2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），/\

ZC=Z1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.B

因?yàn)镹2+N1+NBAC=18O°,

所以NB+NC+NBAC=180°.

方法三:過點(diǎn)A作AE〃BC,

所以NB二NBAE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

ZEAB+ZBAC+ZC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

所以NB+NC+NBAO180。.

活動(dòng)四：探索直角三角形判定定理

【問題】我們知道，如果一個(gè)三角形是直角三角形,那么這個(gè)三角形兩銳角

互余.反過來,有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎?請你說說理由.

如圖，在4ABC中.

A

C--------——

ZA+ZB+ZC=180°（三角形內(nèi)角和定理），

因?yàn)镹A+NB=90°（已知），

所以NC=90°,

所以AABC是直角三角形（直角三角形定義）.

總結(jié):直角三角形判定定理:有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

以上我們學(xué)習(xí)了直角三角形的性質(zhì)與判定.怎樣應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)與

判定解決問題呢?請看下面例題.

活動(dòng)五:應(yīng)用舉例

［例1］已知4ABC中，ZABC=ZC=2ZA,BD是AC邊上的高，求NDBC的度

數(shù).

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與NC=NABO2NA,列方程即可求得4ABC

三個(gè)內(nèi)角的度數(shù),再根據(jù)BD是AC邊上的高,可得NBDC=90°,在aBCD中，

由三角形內(nèi)角和定理,求得NDBC的度數(shù).

解：設(shè)NA=x°,則NABC=NC=2x0,

所以x+2x+2x=180（三角形內(nèi)角和定理）.

解得x=36,所以NO2X36。=72°,

在ABDC中，因?yàn)镹BDC=90°（三角形高的定義），

所以NDBC=180°-90°-72°（三角形內(nèi)角和定理），所以NDBC=180.

點(diǎn)撥:利用三角形內(nèi)角和定理，借助方程，求三角形內(nèi)角的度數(shù)是一種重要

方法.

【例2】如圖,C島在A島的北偏東50。方向,B島在A島的北偏東80°方

向,C島在B島的北偏西40°方向，從B島看A,C兩島的視角NABC是多少

度?從C島看A,B兩島的視角ZACB是多少度呢？

分析：雖然本題已給圖形，但我們必須從畫圖入手，記住畫圖的過程就是理

解題目的開始,C島在A島的北偏東50°方向,就是以A島為中心畫方向線

AC,B島在A島的北偏東80°方向，也是以A島為中心畫方向線AB,C島在

B島的北偏西

40°方向，這就是以B島為中心畫出方向線BC,AC與BC交于C.由于A,B,C

三點(diǎn)構(gòu)成△ABC,所求/ABC和NACB是aABC的兩個(gè)內(nèi)角，這樣就要求得N

ACB和

ZABC的度數(shù).

解：NCAB=NBAD-NCAD=80°-50°=30°,

因?yàn)锳D〃BE,所以NBAD+NABE=180°,

所以NABE=1800-ZBAD=180°-80°=100°,

所以NABC=NABE-NEBC=100°-40°=60°,

所以NACB=180°-ZABC-ZCAB=ISO0-600-30°=90°.

答:從B島看A,C兩島的視角NABC是60°.從C島看A,B兩島的視角NACB

是900.

學(xué)生思考別的解法,教師訂正：

如圖，過點(diǎn)C作CF,使CF〃AD,得NACF二NDAC=50°,又因?yàn)锳D//BE,所以

CF〃BE,得NBCF=NCBE=40。，所以NACB=NACF+NBCF=50。+40。=90。.

因?yàn)镹BAO

ZBAD-ZCAD=800-50°=30°，所以NABC=180。-NACB-NBAC=180°

-90°-

30°=60°.

【例3】如圖，NACB=90°,CDJ_AB,垂足為點(diǎn)D,NACD與NB有什么關(guān)系?

為什么？

分析：根據(jù)同角的余角相等解答.

解:相等.因?yàn)镹ACB=90°,CD_LAB,

所以NACD+NBCD=NACB=90°,

ZB+ZBCD=180°-90°=90°，所以NACD=NB.

變式1：

若NACD=NB,ZACB=90。，則CD是4ACB的高嗎?為什么？

c

答案:是.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

變式2:若NACD=ZB,CD±AB,AACB為直角三角形嗎？為什么？

答案:是.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

變式3:

如圖，若NC=90°,ZAED=NB,4ADE是直角三角形嗎？為什么？

答案:是.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

［例4］如圖所示,AB〃CD,直線EF分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,ZBEF的平分線

與

ZDFE的平分線相交于點(diǎn)P,求證：4EPF是直角三角形.

分析：由AB〃CD,可知/BEF與NDFE互補(bǔ)，由角平分線的性質(zhì)可得NPEF+

NPFE=90°,由三角形的內(nèi)角和定理可得NP=90°.

證明：因?yàn)锳B〃CD,所以NBEF+NDFE=180°.

因?yàn)镋P,FP分別平分/BEF,ZDFE,

所以NPEFJ/BEF,ZPFE=-ZDFE,

22

所以NPEF+NPFE=，/BEF+NDFE)Wxi80°=90°,所以4EPF是直角三

角形.

點(diǎn)撥：要判定一個(gè)三角形是直角三角形，只需證得一個(gè)角是直角即可.

［例5］如圖，ZC=ZD=90。,AD,BC相交于點(diǎn)E,ZCAE與NDBE有什

么關(guān)系？為什么？

分析：要想找出NCAE與NDBE有什么關(guān)系，它們不在同一個(gè)三角形中，通過

觀察知它們是兩個(gè)不同的直角三角形中的銳角，只要找另外兩個(gè)銳角的關(guān)

系即可.

解:在RtZSAEC中，因?yàn)镹C=90°,

所以^^人￡+/八￡090°（直角三角形兩銳角互余）.

在RtZ\BDE中,

因?yàn)镹D=90°,所以NDBE+NBED=90°（直角三角形兩銳角互余）.

因?yàn)镹AEONBED（對頂角相等），所以NCAE=/DBE（等角的余角相等）.

三、交流反思

1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握探索的步驟:觀察一一歸納一一猜想一一證明.

2.通過本節(jié)課探索得到三角形的內(nèi)角和定理及直角三角形的性質(zhì)與判定.

四、檢測反饋

1.在△ABC中，ZA:ZB:ZC=1：2：3,貝UNB二（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.在4ABC中，NA=50°,ZB=80°,貝ijNC=（）

A.40°B.50°C.10°D.110°

3.在aABC中，ZA=80°,ZB=ZC,則NB=（）

A.50°B.40°C.10°D.45°

4.如圖,AB〃DE,NACB=90°，若NBCE=35°,則NA的度數(shù)為（）

B.45°

C.55°D.65°

5.如圖，NA=35。,NB=NC=90。，則ND的度數(shù)是（）

A.35°B.45°

C.55°D.65°

6.在ZkABC中，ZA=90°,ZB=3ZC,求NB,ZC的度數(shù).

7.如圖，在直角AABC中,CD是斜邊AB上的高,NBCD=35°,求NA與NEBC

的度數(shù).

8.如圖，在ZXABC中，ZB,ZC的平分線交于點(diǎn)0,若NB0C=132°,求NA的

度數(shù).

9.如圖4ABC中，CD平分NACB,DE〃BC,NA=70。，ZADE=50°,求NBDC的

度數(shù).

10.如圖：已知在AABC中,EF與AC交于點(diǎn)G,與BC的延長線交于點(diǎn)F,Z

B=45°,ZF=30°,ZCGF=70°,求NA的度數(shù).

A

4

五、布置作業(yè)

教科書第13頁第1,2題

六、板書設(shè)計(jì)

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

例題練習(xí)

三角形的內(nèi)角和等于180：三角形內(nèi)角和定形「計(jì)算角度，

1.實(shí)驗(yàn)三角形內(nèi)角和的證明思路"證明添加輔助戌的方法”應(yīng)用判定三角形的形狀”解.決實(shí)際問題

2.直角三角形的性質(zhì):直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

3.直角三角形的判定:有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

4.直角三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用

七、教學(xué)反思

三角形內(nèi)角和，是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了三角形的特點(diǎn)和分類的基礎(chǔ)上進(jìn)