2025屆吉林省通化第一中學(xué)高三下學(xué)期八校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設(shè)到直線的距離之和的最大值為，若數(shù)列的前項和恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)滿足：當(dāng)時，，且對任意，都有，則（）A．0 B．1 C．-1 D．3．如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績，算法框圖中輸入的，，，，為莖葉圖中的學(xué)生成績，則輸出的，分別是（）A．， B．，C．， D．，4．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個 B．個 C．個 D．個5．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當(dāng)取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要7．已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．8．已知正項等比數(shù)列滿足，若存在兩項，，使得，則的最小值為（）.A．16 B． C．5 D．49．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．10．已知，是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則11．已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)都有，當(dāng)時，，若，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．用1，2，3，4，5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1，3，5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰，則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是（）A．48 B．60 C．72 D．120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列（公差不為0），其中，，成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比為_____.14．已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，點P是上底面15．若，則=____，=___.16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在定義域上有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設(shè)公路與曲線相切于點，的橫坐標(biāo)為.（1）當(dāng)為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當(dāng)公路的長度最短時，設(shè)公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應(yīng)開鑿的隧道的長度.18．（12分）如圖，四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.（1）證明：//平面BCE.（2）設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.19．（12分）已知分別是內(nèi)角的對邊，滿足（1）求內(nèi)角的大?。?）已知，設(shè)點是外一點，且，求平面四邊形面積的最大值.20．（12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點；（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點，求證：；（3）若，且不等式對一切正實數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設(shè)線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積，點到直線的距離，數(shù)列求和等知識，是一道不錯的綜合題.2、C【解析】

由題意可知，代入函數(shù)表達式即可得解.【詳解】由可知函數(shù)是周期為4的函數(shù)，.故選：C.【點睛】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)周期的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績不小于80的有12個，成績不小于60且小于80的有26個，故，．考點：程序框圖、莖葉圖．4、C【解析】

計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm，得到最上層球面上的點距離桶底最遠為cm，得到不等式，計算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個球兩兩相切，這樣，相鄰的四個球的球心連線構(gòu)成棱長為cm的正面體，易求正四面體相對棱的距離為cm，每裝兩個球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點距離桶底最遠為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個球．故選：【點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.5、D【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標(biāo)，四個頂點構(gòu)成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標(biāo)為，四個焦點的坐標(biāo)為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當(dāng)取得最大值時有，，離心率，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.6、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足，的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列，若成立，有，因為恒成立，故可以推出且，若成立，當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，因為恒成立，所以有，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.8、D【解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：D.【點睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識，是一道中檔題.9、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項；結(jié)合特殊值，即可排除D選項.【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項A，B；又∵當(dāng)時，，故選：C.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進行判斷.【詳解】解：選項A中直線，還可能相交或異面，選項B中，還可能異面，選項C，由條件可得或．故選：D.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當(dāng)時，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價于，因此選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.12、A【解析】

對數(shù)字分類討論，結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個數(shù)字相鄰，利用分類計數(shù)原理，即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時，同理也有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個故滿足條件的不同的五位數(shù)的個數(shù)是個故選【點睛】本題主要考查了排列，組合及簡單計數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是對數(shù)字分類討論，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系，用首項和公差表示出，解出首項和公差的關(guān)系，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得:，則整理得，，所以故答案為：4【點睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計算，涉及等比中項，考查基本計算能力.14、π.【解析】

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O'，分別取AC、A1C1的中點O、O1，先確定球心O'在線段AC和A1C1中點的連線上，先求出球O【詳解】如圖所示，設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O'分別取AC、A1C1的中點O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設(shè)球O的半徑為R，則4πR2=所以，OO則O而點P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此，點P所構(gòu)成的圖形的面積為π×O【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動點的軌跡，屬于中檔題.15、12821【解析】

令，求得的值.利用展開式的通項公式，求得的值.【詳解】令，得.展開式的通項公式為，當(dāng)時，為，即.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意可在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，運用參變分離和構(gòu)造函數(shù)，進而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個交點，聯(lián)立可得有兩個解，即可設(shè)，則，進而且不恒為零，可得在單調(diào)遞增.由可得時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，即在處取得極小值且為作出的圖象，可得時，有兩個解.故答案為：【點睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題，還考查了等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】

（1）設(shè)切點的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為，根據(jù)兩點間距離得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值和最值，即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【詳解】（1）由題可知，設(shè)點的坐標(biāo)為，又，則直線的方程為，由此得直線與坐標(biāo)軸交點為：，則，故，設(shè)，則.令，解得=10.當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù).所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時.故當(dāng)時，公路的長度最短，最短長度為千米.（2）在中，，,所以，所以，根據(jù)正弦定理,，，，又，所以.在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實際的最值問題，涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，還考查正余弦定理的實際應(yīng)用，還考查解題分析能力和計算能力.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF，然后根據(jù)勾股定理計算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾角公式以及平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）因為DE⊥平面ABCD，所以DEAD，因為AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以DE//BF，又BF＝DE，所以平行四邊形BEDF，故DF//BE，因為BE平面BCE，DF平面BCE所以DF//平面BCE；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），F(xiàn)（4，3，﹣3），，設(shè)平面CDF的法向量為，由，令x＝3，得，易知平面ABF的一個法向量為，所以，故.【點睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題，屬基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解析】

（1）首先利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本關(guān)系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，設(shè)，由余弦定理可得：，則，得到，再利用輔助角公式化簡，最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；【詳解】解：（1）由，，，，，，，；（2）由（1）知，是正三角形，設(shè)，由余弦定理得：，，，所以當(dāng)時有最大值【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換公式的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得到，討論，，三種情況得到單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）設(shè)，要證，即證，，設(shè)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到證明.【詳解】（Ⅰ），令，，（1）當(dāng)，即時，，，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)，即時，設(shè)的兩根為（），，①若，，時，，所以在和上單調(diào)遞增，時，，所以在上單調(diào)遞減，②若，，時，，所以在上單調(diào)遞減，時，，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（Ⅱ）不妨設(shè)，要證，即證，即證，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在單調(diào)遞增，所以，因為，所以，所以.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，證明不等式，意在考查學(xué)生的分類討論能力和計算能力.21、（1）（2