數(shù)列第六章第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【考綱導(dǎo)學(xué)】1．理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．2．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．3．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷12

同一個公比q

等比中項(xiàng)a1qn－1

3．等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝________.(2)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，數(shù)列{an}是______數(shù)列；當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，數(shù)列{an}是______數(shù)列；當(dāng)q＝1時，數(shù)列{an}是________．(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，其公比為____．(4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為____．a(chǎn)m·an

遞增遞減常數(shù)列qm

qn

1．等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和等于(

)A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C2．已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10等于(

)A．7

B．5

C．－5

D．－7【答案】D【答案】C4．(教材習(xí)題改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為________．【答案】27,811．特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.3．在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q＝－1且n為偶數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)總成立．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×課堂考點(diǎn)突破2等比數(shù)列的基本運(yùn)算【考向分析】等比數(shù)列的基本運(yùn)算是高考的常考內(nèi)容，題型既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中、低檔題．常見的考向有：(1)求首項(xiàng)a1，公比q或項(xiàng)數(shù)n；(2)求通項(xiàng)或特定項(xiàng)；(3)求前n項(xiàng)和．【答案】(1)C

(2)6求首項(xiàng)a1，公比q或項(xiàng)數(shù)n【答案】(1)4

(2)2n

求通項(xiàng)或特定項(xiàng)【答案】(1)2n－1

(2)28求前n項(xiàng)和等比數(shù)列的判定與證明

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【規(guī)律方法】(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．(2)利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進(jìn)行驗(yàn)證．【跟蹤訓(xùn)練】1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列．【解析】(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴當(dāng)n＝1時，a1＝2×1＝2；當(dāng)n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，解得a2＝4；當(dāng)n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，解得a3＝8.綜上，a2＝4，a3＝8.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【規(guī)律方法】(1)在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題中，一般利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，建立方程組求解，但如果能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則有aman＝apaq”，可以減少運(yùn)算量．(2)等比數(shù)列的項(xiàng)經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，公比為qk(Sk≠0)．課后感悟提升32個防范——應(yīng)用等比數(shù)列的公比應(yīng)注意的問題(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.(2)在應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，必須注意對q＝1和q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情況而導(dǎo)致錯誤．1．(2016年天津)設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0”的(

)A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案