專題2.3一元一次不等式組【九大題型】

【北師大版】

>題型梳理

【題型1一元一次不等式組的概念辨析】.........................................................1

【題型2解一元一次不等式組】..................................................................3

【題型3一元一次不等式組的有解或無解問題】...................................................6

【題型4根據(jù)一元一次不等式組的解集求字母的值】...............................................8

【題型5根據(jù)一元一次不等式組的解集求字母的取值范圍】........................................11

【題型6方程組的解構(gòu)造不等式組求字母范圍】..................................................13

【題型7根據(jù)程序框圖列不等式組求字母的取值范圍】............................................17

【題型8根據(jù)一元一次不等式組的整數(shù)解求字母的取值范圍】......................................19

【題型9不等式組中的新定義問題】............................................................22

?舉一反三

【知識點一元一次不等式組】

定義：由幾個含同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式叫做一元一次不等式組，組成不等式組

的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當(dāng)它們沒有公共部分時，我們稱這個不等式組無解.

【題型1一元一次不等式組的概念辨析】

【例1】(2023春?四川巴中?八年級統(tǒng)考期末)下列不等式組中，是一元一次不等式組的是()

.x-2>0口產(chǎn)+1>0

A.c{B.[?

'"久<一3,-y-d1<0

3%-2>03x>0

C-1(x-2)(x+3)>0U-￡+1>0

【答案】A

【分析】根據(jù)一元一次不等式組的概念逐一辨析.

【詳解】A.產(chǎn)一/是一元一次不等式組，故正確；

B.：；是二元一次不等式組，故不正確；

—2>0

C.是一元二次不等式組,故不正確；

3x>0

D.[I*]是分式不等式組，故不正確；

xr1U

故選A.

1

【點睛】本題考查了對一元一次不等式組概念的理解，深刻理解基本定義是解決這類問題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2023春?吉林長春?八年級?？计谥校┤绻L春市2020年4月30日最高氣溫是23℃,最低

氣溫是12℃,則當(dāng)天長春市氣溫t（℃）的變化范圍是（）

A.t>23B.和23C.12<?<23D.12<Z<23

【答案】D

【分析】最高氣溫是23℃,即氣溫小于或等于23℃,最低氣溫是12℃,即氣溫大于或等于12℃,據(jù)此寫出

即可.

【詳解】解：如果長春市2020年4月30日最高氣溫是23℃,最低氣溫是12℃,則當(dāng)天長春市氣溫t（°C）

的變化范圍是：12WW23.

故選：D.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出不等式組，解題的關(guān)鍵是抓住關(guān)鍵詞，正確理解最高和最低的含義.

【變式1-2］（2023春?八年級單元測試）“a與5的和是正數(shù)且a的一半不大于3”用不等式組表示，正確的是（

）

fa+5>0fa+5>0fa+5>0fa+5>0

A.B.C.D.（i/c

15a4315a<315a43

【答案】A

【分析】利用a與5的和是正數(shù)得出a+5>0,再利用a的一半不大于3得出不等式組.

【詳解】解：用a與5的和是正數(shù)得出a+5>0,再利用a的一半不大于3,即小于等于3.

由題意可得：

a+5>0

1

尹43

故選A.

【點睛】此題主要考查了由語言文字抽象出一元一次不等式，正確得出不等式是解題關(guān)鍵.

【變式1-3］（2023春?江蘇?八年級專題練習(xí)）有甲、乙、丙三個同學(xué)在一起討論一個一元一次不等式組，他

們各說出該不等式組的一個性質(zhì)：

甲：它的所有的解為非負(fù)數(shù)；

乙：其中一個不等式的解集為％W8；

丙：其中一個不等式在解的過程中需要改變不等號的方向.

請試著寫出符合上述條件的一個不等式組.

2

【答案】"藍(lán)。（答案不唯一）

【分析】由于一元一次不等式組的解集為非負(fù)數(shù)，所以其中一個不等式的解集必為x>0,由于一個不等式在

解的過程中需要改變不等號的方向，所以其中一個不等式中x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，根據(jù)這兩個條件寫出符合條件

的一元一次不等式組即可.

【詳解】解：：一元一次不等式組的解集為非負(fù)數(shù),

...其中一個不等式的解集必為%>0,

???一個不等式在解的過程中需要改變不等號的方向,

,其中一個不等式中x的系數(shù)為負(fù)數(shù),

.?.符合條件的一元一次不等式組可以為1[:丸°：（答案不唯一）.

故答案為:"藍(lán)°（答案不唯一）?

【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的定義及不等式的基本性質(zhì)，此題屬開放性題目，答案不唯一.

【題型2解一元一次不等式組】

【例2】（2023春?黑龍江綏化?八年級統(tǒng)考期末）匯解集在數(shù)軸上表示為（）

A.B.

*

C.-32D.

【答案】D

【分析】先解不等式組中的兩個不等式,再在數(shù)軸上表示兩個不等式的解集，從而可得答案.

%+3>0(T)

【詳解】解:

2%-4<0(2)'

解不等式①，得：%>-3,

解不等式②，得：%<2,

把不等式①②解集在數(shù)軸上表示出來:

故選：D.

【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法及在數(shù)軸上表示不等式組的解集，掌握不等式組的解法與步

3

驟和不等式解集的表示是解本題的關(guān)鍵.

_13%-6

5—5”2年的過程，請認(rèn)

{3+x>4

真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

5—>3X-6小

解：令22Q

.3+x>4②

解不等式①，5-|%>^

去分母,得10—xN3x-6第一步

移項，得一K3%>—6—10第二步

合并同類項，得-4x2-16第三步

系數(shù)化為1,得xN4第四步

任務(wù)一：

上述解不等式①的過程第步出現(xiàn)了錯誤，其原因是.

任務(wù)二：

請寫出正確的解題過程，并將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，

-5-4-3-2-1012345

【答案】任務(wù)一：四；在不等式兩邊同時乘（除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變；任務(wù)二：見解析

【分析】任務(wù)一：根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟逐步分析即可；

任務(wù)二：按照解一元一次不等式組的步驟求解集，將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來即可.

【詳解】任務(wù)一：上述解不等式①的過程第四步出現(xiàn)了錯誤，其原因是在不等式兩邊同時乘（除以）同一個負(fù)

數(shù)，不等號的方向改變；

故答案為：四；在不等式兩邊同時乘（除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變；

r_i>—①

任務(wù)二：令5x22

、3+%>4②

解不等式①，

去分母，得10-％23%-6,

移項，得一x—3%之一6—10,

合并同類項，得-4%之-16,

系數(shù)化為1,得％44,

4

解不等式②，3+x>4,

移項，得%>4-3,

解得：x>1,

.??不等式組的解集為：1<XW4,

如圖：將不等式組的解集表示在數(shù)軸上：

_?-----1-----1-----1-----1------1—]：：]__i_>

-5-4-3-2-1012345

【點睛】本題考查解一元一次不等式(組).熟練掌握解一元一次不等式(組)的步驟，是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2023春?山東棗莊?八年級統(tǒng)考期中)解不等式組

11—3(x—2)>41

(1)2X-1、3X+2?,并寫出該不等式組的最小整數(shù)解

4%—243(%+1)

,并把解集在數(shù)軸上表示出來.

{1--------<一

24

【答案】(1)一2Wx<l,x=-2

(2)2<%<5,詳見解析

【分析】(1)分別求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分即為不等式組的解集，再寫出最小整數(shù)

解即可;

(2)分別求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分即為不等式組的解集，再把解集在數(shù)軸上表示出

來即可.

x—3(%—2)>4①

【詳解】⑴解：工一1②

、36

由①得：X<1,

由②得：%>-2,

不等式組的解集為：—2Wx<l,

.?.該不等式組的最小整數(shù)解為x=-2.

[4%-2<3(%+1)(1)

⑵1_3<5②

24」

解不等式①得：X<5,

解不等式②得：%>2,

在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集，如圖所示,

5

4-3-20345

，原不等式組的解集為2<x<5.

【點睛】本題考查求不等式組的解集.正確的求出每一個不等式的解集，是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023春?上海浦東新?六年級?？计谥?解關(guān)于尤的不等式組%一黑二:;:…4-

([CZI乙J乙乙I_LLt.JJCIi

【答案】當(dāng)Q>0時，2<%<2,當(dāng)。<0時，-<x<-

aaaa

【分析】分別解2個不等式，根據(jù)a的符號，求得不等式的解集，進(jìn)而求得不等式組的解集

【詳解】解：解不等式ax-4<8-3ax

移項得，ax+3ax<8+4

合并同類項得，4ax<12

/.ax<3

當(dāng)a<0時，%>-,

a

當(dāng)a>。時，x<-

a

當(dāng)a=0時,%為任意數(shù)

解不等式(a+2)x—2>2(1—a)x+4

?，?[(a+2)—2(1—a)]%>4+2

.*.3ax>6

即a%>2,則aW0

當(dāng)a>0時，x>-,

a

當(dāng)a<。時，x<-,

a

當(dāng)a>0時，2V%<三,當(dāng)a<0時，-<x<-.

aaaa

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【題型3一元一次不等式組的有解或無解問題】

【例3】(2023春.安徽合肥.八年級合肥市廬陽中學(xué)?？计谥?如果關(guān)于x的不等式組〔有解,

且關(guān)于x的方程依+6=%有正整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)k的和為()

A.11B.13C.-7D.—8

6

【答案】B

【分析】解不等式組，若不等式組有解則其解的上限要比下限大，從而確定參數(shù)k的范圍；解方程fcc+6=x

可得x="，若方程有正整數(shù)解則k<1;然后取滿足條件的整數(shù)k驗證x=指是否為正整數(shù)即可解答；

1-k1-k

【詳解】解：由不等式尤―IN4k可得x24k+1,

由不等式x—k<4k+6可得x<5fc+6,

二不等式組的解為4k+1<%<5fc+6,

若不等式組有解則4k+1<5k+6,可得k>-5,

由履+6=x可得”怎

?方程k光+6—%有正整數(shù)解，

Al-fc>0,可得k<1,

當(dāng)—5<k<1時，k=-2則x=2,k=—1則x=3,k=0則x=6,

；?符合條件的所有整數(shù)k的和=-2+(-1)+0=-3,

故選：B.

【點睛】本題考查了不等式組的解，已知一元一次方程解的情況求參數(shù)，掌握不等式組的解集由所構(gòu)成的幾

個不等式解集的公共部分組成是解題關(guān)鍵.

x+iX

丁<2無解，則小的取值范圍為.

{x<2m

【答案】m<1/1>m

【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】解：3,2丫，

x<2m@

解不等式①得：%>2,

解不等式②得：%<2m,

???不等式組無解，

2m<2,

m<1,

故答案為：m<1.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2023春?上海寶山?六年級?？计谥?若不等式組『1<七一“<2有解，則m的取值范圍

Ix>m

7

是.

【答案】m<2

【分析】先求得不等式-1<l-x<2的解集，再根據(jù)不等式組有解，求解即可.

【詳解】解：由不等式—1W1—x<2可得：］二解得—l<x<2

不等式組!一1-1-x<2有解，

Ix>m

.\m<2

故答案為：m<2

【點睛】此題考查了不等式組的求解，已知不等式的解集求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確求得不等式-1<1-%<

2的解集.

【變式3-3】（2023春?廣東廣州?八年級廣州市天榮中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x,y的不等式組有

以下說法：

①若它的解集是1〈爛4,則。=4；②當(dāng)。=1時，它無解；③若它的整數(shù)解只有2,3,4,則4%<5；④

若它有解，則02.其中所有正確說法的序號是—.

【答案】①②③

【分析】先求出各不等式的解集，再根據(jù)各小題的結(jié)論解答即可.

【詳解】解：解不等式x-l>0得，x>l；解不等式尤-把0得，爛a,故不等式組的解集為：1〈爛a.

①：它的解集是1<爛4,；.a=4,故本小題正確；

②x>l,...不等式組無解，故本小題正確；

③：它的整數(shù)解只有2,3,4,則4%<5,；.49<5,故本小題正確；

④：它有解，故本小題錯誤.

故答案為：①②③.

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵.

【題型4根據(jù)一元一次不等式組的解集求字母的值】

【例4】（2023春?貴州?八年級校聯(lián)考期末）若不等式組的解集是3,則zn+n=—.

【答案】-1

【分析】先求出兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集列出關(guān)于小，n的方程，然后求出小，n的值，最

后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解.

8

【詳解】由「一片￡，

[n-3%<0?

解不等式①得：x<m+1,

解不等式②得：X>p

???不等式組的解集為：一1<工m3,

m+1=3,-=-1,

3

解得：m=2,n=-3,

m+n=2+(—3)=-1,

故答案為：-1.

【點睛】此題考查了一元一次不等式組解集的求法、解一次方程以及代數(shù)式求值，根據(jù)不等式組的解集列出

關(guān)于TH,九的方程是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1](2023春?安徽亳州?八年級校考期中)(2023春?河南濮陽?八年級?？计谀?若不等式組

的解集中的整數(shù)和為-5,則整數(shù)a的值為

【答案】-1

【分析】由不等式組產(chǎn)+-3的解集中的整數(shù)和為_5,可確定整數(shù)解為：％=-3,-2或x=一3,-2,-1,0,1,即

可得出整數(shù)Q的值.

【詳解】解：3,

x<a

—3<x<a,

?.,不等式組{%的解集中的整數(shù)和為_5,

x<a

?**x=-3,—2或=—3,—2,—1,0,1,

—1<a<0或2<a<3,

則整數(shù)a的值為：-1或2,

故答案為：-1或2.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解決本題的關(guān)鍵是求不等式組的整數(shù)解，再確定參數(shù)a的

范圍.

—2(%—2)—%V2

k-x、1最多有2個整數(shù)

{—^-2+%

解，且關(guān)于y的一元一次方程3(y-1)-2(y-k)=8的解為非正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)k的和為多少？

9

【答案】13

【分析】求解不等式組，由整數(shù)解的情況，得k<8,由方程解的情況得kN5.5,所以符合條件的人的整數(shù)

值為6,7,相加即可.

—2(%—2)—x<2

【詳解】解:k-x1

■—>--+X

22

解得《3

.k+1

x^—

—2(%—2)-%<2

???關(guān)于尤的不等式組匕2二+%最多有2個整數(shù)解，

22

??2?,一<%<---,

33

???不等式組的整數(shù)解最多時為:1,2,

解得k<8；

解3(y-l)-2(y—k)=8,

得y=11-2k,

:方程的解為非正數(shù)，

All-2k<0,

解得k>5.5,

綜上：5.5<fc<8,

符合條件的人的整數(shù)值為6,7,和為6+7=13；

【點睛】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用；根據(jù)題意建立構(gòu)建不等式組求解是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023春?全國?八年級專題練習(xí))已知關(guān)于x的不等式組｛二:：1的整數(shù)解是一2,—1,0,

1,2,3,4,若7H,71為整數(shù)，則爪+71的值是()

A.3B.4C.5或6D.6或7

【答案】C

【分析】先解出不等式組，然后根據(jù)不等式組的整數(shù)解確定加，”的取值范圍，再根據(jù)，小”都為整數(shù)，即可

確定用，”的值，代入計算即可.

【詳解】解不等式X-巾>0,

得x>m

10

解不等式2x-n<0,

得x<|n,

不等式組的解集為：m<x<|n

又???不等式組的整數(shù)解是一2,-1,0,1,2,3,4,

（-3<m<-2

4<jn<5'

又???m,九為整數(shù)，

.".m——3,n=8或m=—3,n-9,

.'.m+n=5或m+n=6

故選擇：C

【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；

同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

【題型5根據(jù)一元一次不等式組的解集求字母的取值范圍】

【例5】（2023春?陜西西安?八年級期末）若不等式組產(chǎn)+9—3的解集是％>4,那么根的取值范圍

是.

【答案】m<4

【分析】先解第一個不等式得到x>4,由于不等式組的解集是％>4,然后根據(jù)同大取大得到m的范圍.

【詳解】解：『+9<4:3①，

（x>m（2）

解①得x>4,

???不等式組的解集是x>4,

???m<4.

故答案為：m<4.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

【變式5-1]（2023春?湖南長沙?八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式組產(chǎn)一2<5%+4的所有整數(shù)解的和

為0,則小的值不可能是（）

A.3B.3.2C.3.7D.4

【答案】D

【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集，然后根據(jù)整數(shù)解的和為0,

11

確定整數(shù)解，即可求得小的取值范圍.

【詳解】解：儼一2<5x梨①，

解①得》>-3,

解②得x<m-1,

,?,所有整數(shù)解的和為0,

??.整數(shù)解是一2,-1,0,1,2,

???2<m—1<3,

解得：3<m<4,

血的值不可能是4,

故選：D.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取

較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

【變式5-2］（2023春?四川成都?八年級四川省成都市鹽道街中學(xué)校考期中）關(guān)于％的不等式組的

解集中每一個值均不在-1<%<5的范圍中，貝b的取值范圍是.

【答案】a.>［或a<1

【分析】求出不等式組的解集，根據(jù)不等式組解集所處條件范圍，列出關(guān)于。的不等式，解不

等式可得答案.

由［

【詳解】解:2a—%>3

叫2%+8>4a

角星—4<%<2d—3,

由％的不等式組趣;8?1的解集中每一個值均不在-1<%<5的范圍中,

得：2d—425或2a—34一1,

解得：a>［或a<1,

9

>或<1

a--a-

故答案為:2

【點睛】本題考查了不等式組的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性質(zhì)，逆向應(yīng)用是本題的特點.

2x>a+1

【變式5-3］（2023春?湖北武漢?八年級校聯(lián)考期末）關(guān)于x的不等式組1+6的解集中所有整數(shù)之和

—>x+1

2

12

最大，則a的取值范圍是（）

A.-3<a<0B.-I<a<lC.-3<a<lD.-3<a<l

【答案】D

【分析】首先根據(jù)不等式組求解，再根據(jù)解集寫出整數(shù)解，使得所有整數(shù)解的和最大即可.

2x>a+1

【詳解】解：x+6

號2久+1

（0+1

解得：\x>~即竺

I%<42

要使所有的整數(shù)解最大則必須使得等最小為-1，最大為1,即-

解得-3Wa<l

故選D.

【點睛】本題主要考查不等式的解集的整數(shù)解，根據(jù)整數(shù)解求解參數(shù)，這類題目難度稍大點，但是這是一個

重要的考點.

【題型6方程組的解構(gòu)造不等式組求字母范圍】

【例6】（2023春?北京昌平?八年級北京市昌平區(qū)第二中學(xué)?？计谥校┮阎劬靡?'二）A中的x、y滿足0

<x-y<L求k的取值范圍.

【答案】-l<k<-1

【分析】解方程組［x-2y=k?,令①+②得x-y=2k+2,再由題意得.?.0<2k+2<l,再解出這個不

等式組即可.

【詳解】解方程組Lx—2ylec，

（2x-y=5k+6②

①+②，得：3x-3y=6k+6,

兩邊都除以3,得：x-y=2k+2,

V0<x-y<l,

.\0<2k+2<l,

解得：-1Vk<-

【點睛】此題主要考查二元一次方程組的解法，根據(jù)題目發(fā)現(xiàn)其特點列出不等式是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023春?福建泉州?八年級校考期中）已知關(guān)于久和y的二元一次方程組.

13

(1)當(dāng)k=0時，求該方程組的解；

(2)若該方程組的解同時滿足3x-2y=|fc+l,求k的值；

(3)若w=x—gy+1,且-3W3x+2y-17<1,試求w的取值范圍.

【答案】(i)y二二

(2)fc=-y

(3)7<w<^29

4

【分析】(1)方程組利用加減消元法求解即可；

(2)原方程組中的兩個方程相加，得3x-2y=4k+14,結(jié)合已知可得關(guān)于左的方程，求解即可；

(3)解原方程組求得產(chǎn)=干+：,代入叩的式子可得憶=15-2w,再代入己知的不等式組可得3x+2y-

17=123-16W,結(jié)合已知條件可得關(guān)于w的不等式組，求解即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)k=o時，方程組為1”+=1幺，

[2x-5y=13(2)

(J)X2—(2),得lly=-11,

解得y=-1,

把y=—1代入①，得％-3=1

解得：%=4,

方程組的解為二:；

(2)原方程組中的兩個方程相加，得3x-2y=軌+14,

：3x-2y=3+1,

/.4fc+14=—k+1,

2

解得：=—y；

(3)解方程組，;+3廠5T1得葭2尸4

(2x—5y=13—fc(y=k—1

.*.w=x—-y+l=2fc4-4--(fc—1)+1=--fc+—,

2Z2'’22

:?k=15—2w,

3%+2y-17=3(2%+4)+2(fc-1)-17=8fc-7=8(15—2w)-7=113-16w,

14

V-3<3x+2y-17<l,

.,.-3<113-16w<l,

解得：7<w<^.

【點睛】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式組，正確理解題意，熟練掌握二元一次方程組和

一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2】(2023春?遼寧錦州?八年級統(tǒng)考期中)己知關(guān)于x,y的方程組。二1的解滿足不等

式組匿求：滿足條件的加的整數(shù)值.

【答案】1和2

【分析】方法一：①+②得，3%+y=3m-3,②一①得，x+5y=m-3,根據(jù)不等式組即可求出14

(6,

X=--7---rTIT_i_v>n

m<3；方法二：求解二元一次方程組13，把方程組的解代入:二:二:得到關(guān)于根的不等式

v=—(%?<u

I」一7

組，即可求解.

【詳解】方法一：

解」久一2y=值

\2x+3y=2m—3@

①+②得,3%+y=3m—3,

V3%+y>0,

3m—3>0,

解得：m>1,

②一①得，%+5y=m-3,

Vx+5y<0,

m-3<0,

解得：m<3,

.,.l<m<3,則滿足條件的根的整數(shù)值為1和2；

方法二：

x—2y=zn①

{2%+3y=2m—3②'

15

把“一，/代入代工蓑;得：產(chǎn)口33，

v=_士（.X+5y<0Im-3<0

IJ7

解得：1￡771V3

???滿足條件的m的整數(shù)值為1和2.

【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程

組的方法和步驟，以及解一元一次不等式組的方法和寫出不等式組解集的方法.

【變式6-3】（2023春?江蘇南通?八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x,y的方程組[3"'=：叱]，的解為非負(fù)數(shù),

m-2n=3,z=2m+n,且n<0,則z的取值范圍是.

【答案】1Wz<6

【分析】解方程組求出t=][],根據(jù)解的情況得到爪>1；再根據(jù)皿-2n=3和九<0得到小<3,再由

z=2m+n變形得加=等，得到1W等<3,解題即可.

【詳解】解：解關(guān)于X，y的方程組｛]與二案*

由題意,嚅；之，

則TH>1;

*m—2n=3/n<0,

m-3,

.71=-----<0n,

2

.m<3,

/.1<m<3,

..m-35m-3

z=o2m+n=o2mH----------=----------

22

2z+3

..m=-----

5

?14等<3,

/.1<z<6.

故答案為：1<z<6.

【點睛】本題考查二元一次方程組的解法，不等式的解法，綜合性較強(qiáng)，能用機(jī)表示其他未知量并解關(guān)于"2

的不等式組是解題的關(guān)鍵.

16

【題型7根據(jù)程序框圖列不等式組求字母的取值范圍】

【例7】（2023春?四川眉山?八年級壩達(dá)初級中學(xué)?？计谥校┫旅媸且粋€運算程序圖，若需要經(jīng)過三次運算

才能輸出結(jié)果y,則輸入的x的取值范圍（）

A.-<x<4B.-<x<4C.-<x<4D.-<x<4

3333

【答案】D

【分析】根據(jù)運算程序圖列出不等式組，然后解不等式組即可.

3%-1<32

【詳解】解：根據(jù)題意，得3（3%-1）-1<32,

.3[3（3x-1）-1]-1>32

'x<11

解得％<3

I%>-3

則不等式組的解集為|<x<4,

故選：D.

【點睛】本題考查解一元一次不等式組，理解運算程序圖，正確列出不等式組是解答的關(guān)鍵.

【變式7-1]（2023春?湖北十堰?八年級統(tǒng)考期末）運行程序如圖所示，從“輸入X”到“結(jié)果是否>18”為一次

程序操作，若輸入x后程序操作進(jìn)行了兩次就停止，貝卜的取值范圍是（）

A.%<—B.—<%<6C.%<6D.—<%<8

333

【答案】D

【分析】根據(jù)運行程序第一次運算結(jié)果小于等于18,第二次運行程序大于18列不等式組即可解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得[,3x-6<180

解不等式①得：%<8,

解不等式②得：

17

.??久的取值范圍是g<xW8,

故選D.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，理解運行程序并列出不等式組是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2023春.安徽黃山.八年級統(tǒng)考期末）運行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個值尤”到“結(jié)果是否

>95”為一次程序操作，如果程序操作進(jìn)行了三次才停止，那么尤的取值范圍是（）

A.12.75<x<24,5B.x<24.5C.12.75<x<24.5D.x<24.5

【答案】A

【分析】根據(jù)運算程序，前兩次運算結(jié)果小于等于95,第三次運算結(jié)果大于95列出不等式組，然后求解即

可.

2x-1<95①

【詳解】解：由題意得：｛2（2x—1）一1W95②，

2[2（2x-1）-1]-1>95③

解不等式①得，后48,

解不等式②得，%<24.5,

解不等式③得，%>12.75,

所以，x的取值范圍是12.75<xW24.5.

故選A.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解運輸程序并列出不等式組是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3]（2023秋?浙江溫州?八年級校聯(lián)考期中）如圖是一個有理數(shù)混合運算的程序流程圖.

①當(dāng)輸入數(shù)尤為0時，輸出數(shù)y是.

②已知輸入數(shù)x為負(fù)整數(shù)，且整個運算流程總共進(jìn)行了畫帖后，循環(huán)結(jié)束，輸出數(shù)y,則輸入數(shù)x裹木值

為.

18

【答案】18-2

【分析】①將"=0根據(jù)程序流程圖計算即可

②運算流程為[x+7-(-1)2]+?-5x(-0.5)=(%+6)+(―》x(-0.5)=3%+18,經(jīng)過兩輪，說明第

一輪的結(jié)果不大于12,即3X+18W12,繼續(xù)第二輪流程結(jié)果為3(3尤+18)+18=9》+72,能輸出，說明

9x+72>12,解不等式組即可

【詳解】解：①[0+7-(-1)2]+C—5X(—0.5)=6+(—》X(—0.5)=18,即輸出數(shù)為18

②運算流程[x+7—(—1)2]4-—i)x(—0.5)=(x+6)+(―：)x(—0.5)=3%+18

第一輪：3x+18W12,

第一輪未輸出，則第二輪輸出：

[3%+18+7-(-1)2]+G-|)x(-0.5)=9%+72>12,

所以可列不等式組：

(3x+18<12

I9%+72>12

3%+18<12,

移項得：3xS-6,

系數(shù)化為1得：%<-2,

9x+72>12

移項得：9簿>—60,

系數(shù)化為1得：x>-y,

所以不等式解集為：-g<%W-2,

尤為負(fù)整數(shù)，x的最大值為-2

故答案為：18；-2

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，不等式的解集，準(zhǔn)確熟練地計算是解題的關(guān)鍵.

【題型8根據(jù)一元一次不等式組的整數(shù)解求字母的取值范圍】

[例8](2023春?山東聊城?八年級統(tǒng)考期末)已知關(guān)于x的不等式組；:的解集中有且僅有3個整數(shù),

則。的取值范圍是()

A.5<a<6B.5<a<6C.5<a<6D.5<a<6

19

【答案】A

【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集，再根

據(jù)不等式組的整數(shù)解得出答案即可.

【詳解】解：

[2-x<0@

解不等式①，得x<a,

解不等式②，得x>2,

所以不等式組的解集是2<x<a,

???關(guān)于x的不等式組｛彳二的解集中有且僅有3個整數(shù)（是3,4,5）,

5<a<6,

故選：A.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數(shù)解，能根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出

不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵.

【變式8-1]（2023春?甘肅蘭州?八年級蘭州市第五十六中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的不等式組有

四個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】-3<a<-2

【分析】首先解每個不等式，根據(jù)不等式組只有四個整數(shù)解，確定整數(shù)解的值，進(jìn)而求得〃的范圍.

【詳解】f2x>_5?

[x-4<a@

解不等式①得：無>—

解不等式②得：%<4+a

?T<j+a

?..不等式組有四個整數(shù)解，

.?.整數(shù)解是一2,-1,0,1,

?'?144+aV2

—3WCLV-2

【點睛】此題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，根據(jù)X的取值范圍，得出尤的整數(shù)解.解題的關(guān)鍵是不

等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

【變式8-2]（2023春?四川瀘州?八年級統(tǒng)考期末）若不等式組「一2:3比-6,有兩個整數(shù)解，則小的取值

Ix<m.

20

范圍是（）

A.3<m<4B.3<m<4C.4<m<5D.4<m<5

【答案】D

【分析】先求出不等式組中每個不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整數(shù)解進(jìn)而求得小的取值范

圍.

【詳解】解：「一2<3：6①，

I%<m（2）

解不等式①得：%>2,

解不等式②得：x<m,

則不等式組的解集是：

不等式組有2個整數(shù)解，則整數(shù)解是3,4.

則4<m<5.

故選：D.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式組的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出關(guān)于

m的不等式組.

【變式8-3]（2023春?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）我們稱形如：（其中營為整數(shù)）的不等式組為“互倒

不等式組”，若互倒不等式組｛窘；：：；（其中灑整數(shù)）有且僅有1,2兩個正整數(shù)解，則”.

【答案】-3

【分析】首先a,b必須是異號的，否則不等式組必定有無數(shù)個正整數(shù)解或者沒有正整數(shù)解，從而推出a<

0,b>0,繼而推導(dǎo)0<-：<1<2<式3,從而推出2=—3

baa

【詳解】解:代+匕>陜,aHQ,

[bx+a>0@

若b=0,則原不等式可化為*;；,

...若a<0,則原不等式組無解，若a>0,則解得％>0,均不合題意；

若a>0,6>0,則任意正整數(shù)都滿足;j,不合題意；

若a<0,b<0,則任意正整數(shù)都不滿足於：：;；：，不合題意;

：.a,b必須是異號的.

一是整數(shù),

21

能被a整除,

故網(wǎng)>|a|,

"?"a,b異號,

（當(dāng)且僅當(dāng)，a=—b時取等號）

?,?若a>0,h<0,由①得：x>--；由②得：》

ab

由—2可知，此時無解；

ba

:?只能是a<0,b>0,此時由①得：%<由②得：x>

ab

.??不等式組的解集是：一？<“<一2,

ba

..?互倒不等式組卷：：：：：（其中《為整數(shù)）有且僅有1,2兩個正整數(shù)解，

.".0<--<1<2<--<3,

ba

又?.叱為整數(shù)，

a

=3,

a

：.-=-3,

a

此時（=一1代入o<-￡<1得0<[<1,符合題意，

故答案是：-3.

【點睛】本題考查求不等式組的解集，根據(jù)不等式組的解的情況，求式子的值，推導(dǎo)出。<0”>0是解題的

關(guān)鍵.

【題型9不等式組中的新定義問題】

【例9】（2023秋?浙江寧波?八年級統(tǒng)考期末）用國表示不大于x的最大整數(shù)，如[4.1]=4,[—2.5]=—3,

則方程6久-3[x]+7=0的解是.

【答案】X=*或X=~~6

【分析】利用不等式因<%<[x]+l,求出團(tuán)的范圍，然后再代入原方程求出X的值.

【詳解】解：令[x]=n,代入原方程得6支一3n+7=0,即x=即二，

6

22

又,??[%]w%<[%]+1,

整理得6九<3n-7<6n+6,

口n13,,7

即---<n<——，

.?.n=—3或幾=—4,

將n=—3代入原方程得：6%+9+7=0,解得％=—

將71=-4代入原方程得：6%+