三角形的證明知識(shí)歸納與題型突破（23類題型）

01思維導(dǎo)圖

一、等腰三角形

1.三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

2.等腰三角形的性質(zhì)

①.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.

②.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線是等腰

三角形的對(duì)稱軸.

③.等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

3.等腰三角形的判定

有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡(jiǎn)述為：等角對(duì)等邊.

4.等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60。；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)

稱軸.

判定定理：有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

5.含30。的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

要點(diǎn)：等邊三角形是中考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見(jiàn)，因此對(duì)于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)

要熟記于心，比如邊長(zhǎng)為a的等邊三角形它的高是g。，面積是含有30。的直角三角形揭示了三

24

角形中邊與角的關(guān)系，打破了以往那種只有角或邊的關(guān)系，同時(shí)也為我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).

二、直角三角形

1.從角的角度研究直角三角形的性質(zhì)和判定

定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

逆定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

2.勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

3.命題與逆命題

命題包括題設(shè)和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到的；

4.直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）.

三、線段的垂直平分線

1.線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

2.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

3.如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于‘AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN,

2

則直線MN就是線段AB的垂直平分線.

要點(diǎn)：①注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理，注意二者的應(yīng)用范圍；

②利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問(wèn)題.

四、角平分線

1.角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.

2.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

3.如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

要點(diǎn)：①注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理，注意二者的應(yīng)用范圍；

②幾何語(yǔ)言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的方法.遇到角平分線時(shí)，要構(gòu)造全等三角形.

03題型歸納

題型一根據(jù)等腰三角形的定義求角度

例題

1.一個(gè)頂角為126。的等腰三角形，它的底角的度數(shù)為（）

A.18°B.24°C.27°D.34°

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得兩底角相等，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可

【解析】解：一個(gè)頂角為126。的等腰三角形，它的底角的度數(shù)為:（180。-126。）=27。

故選C.

鞏固訓(xùn)練

2.已知等腰三角形的一個(gè)角等于100。，則它的頂角是（）

A.80°B.100°C.80。或20。D.不能確定

【答案】B

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)100。角是鈍角只能做頂角求解即可得到答案.

【解析】解：..T00°>90°,

二100°角是頂角，

故選：B.

3.如果等腰三角形的一個(gè)角是80。，則它的頂角度數(shù)是（）

A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°

【答案】B

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和為180。，等腰三角形兩底角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)內(nèi)

容.分兩種情況討論：①當(dāng)80。角為底角時(shí)；②當(dāng)80。的角為頂角時(shí)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【解析】解：①當(dāng)?shù)捉菫?0。時(shí)，頂角=180。-80。、2=20。，

②當(dāng)頂角為80。時(shí)，頂角度數(shù)=80。，

綜上：頂角度數(shù)為80?；?0。；

故選：B.

題型二根據(jù)等腰三角形的定義求邊長(zhǎng)

例題

4.若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4,8,則第三邊的長(zhǎng)為（）

A.4B.6C.8D.4或8

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用.分8是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況，再根據(jù)

三角形任意兩邊之和大于第三邊討論求解即可.

【解析】解：①8是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為8、8、4,

4+8>8,能組成三角形，

所以，第三邊為8；

②8是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為8、4、4,

?.-4+4=8,

二不能組成三角形，

綜上所述，第三邊為8.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

5.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和7cm,則周長(zhǎng)為（）

A.15cmB.18cmC.13cm或18cmD.15cm或18cm

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，關(guān)鍵是要結(jié)合三角形任意兩邊之和大于

第三邊對(duì)等腰三角形的邊長(zhǎng)分情況進(jìn)行討論.題中沒(méi)有指明哪個(gè)是底哪個(gè)是腰，則要分情況結(jié)合三角形三

邊關(guān)系進(jìn)行分析.

【解析】根據(jù)題意，①當(dāng)腰長(zhǎng)為4cm時(shí)，三邊長(zhǎng)為：4cm,4cm,7cm,可以構(gòu)成三角形，此時(shí)周長(zhǎng)為：

4+4+7=15（cm）；

②當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm時(shí)，4cm,7cm,7cm,可以構(gòu)成三角形，此時(shí)周長(zhǎng)為：7+7+4=18（cm）.

二周長(zhǎng)為:13cm或18cm.

故選：D.

6.已知等腰△N5C中，其中一邊長(zhǎng)為4,周長(zhǎng)為17,則其底邊長(zhǎng)為（）

A.4B.9C.4或9D.不存在

【答案】A

【分析】本題考查了等腰三角形的定義、三角形三邊關(guān)系，當(dāng)4為三角形的腰時(shí)，則三角形的三邊長(zhǎng)分別為

4,4.17-4-4=9,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此時(shí)不能組成三角形，當(dāng)4為三角形底邊時(shí)，則另兩條邊

的長(zhǎng)均為（17-4）+2=6.5,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此時(shí)能組成三角形，所以等腰三角形的底邊為4.

【解析】解：?.?A/BC是等腰三角形，

54BC中有兩條邊相等，

當(dāng)4為三角形的腰時(shí)，則三角形的三邊長(zhǎng)分別為4、4、17-4-4=9,

?74+4=8<9,

??.不能組成三角形；

當(dāng)4為三角形底邊時(shí)，則另兩條邊的長(zhǎng)均為（17-4）+2=66,

1.14+6.5=10.5>6.5,

能組成三角形，

等腰A48C的底邊長(zhǎng)為4.

故選：A.

題型三等角對(duì)等邊

例題

7.已知△4BC,AB=AC,AB=65°,則/C的度數(shù)是（）

A.50°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì).根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等解答即可.

【解析】解：VAB=AC,

NC=NB,

???ZB=65°,

:.ZC=65°,

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

8.如圖，已知。￡〃8。,/2=/。,/1=125。，則NC的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角.根據(jù)平

行線的性質(zhì)求出/2=180。-/1=180。-125。=55。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到答案.

【解析】解：???DE?〃8C,

Z5+Zl=180°,

Zl=125°,

/.Z5=180o-Zl=180°-125o=55°,

AB=AC,

：.NC=NB=55°,

故選：B.

9.如圖，△48C中，。是3c邊上一點(diǎn)，AC=AD=BD,/A4c=105。，則/C的度數(shù)為（）

A

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個(gè)底角相等，也考

查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

設(shè)44OC=a,然后根據(jù)NC=AD=DB,NBAC=105°,表示出N3和，氏4。的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的

內(nèi)角和定理即可求解.

【解析】解：

:./B=/BAD,/ADC=NC.

設(shè)Z-ADC=ZC=OL,

（y

：./B=/BAD=—.

2

ZBAC=105°,

?,.ZDAC=105°--

2f

在△4DC中，

ZADC+ZC+ZDAC=1SO0,

a

：.2。+105?！?180。，

2

a-50°,

???ZC=50°.

故選D.

10.如圖，在△NBC中，AC=BC,D,E,尸分別是AB,AC,8c上的點(diǎn)，^.AE=BD,AD=BF,

若/瓦￥=43。，則，C的度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理.首先利用山S判

定會(huì)ADAF,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得=從而可得

ZDFB+ZFDB=ZEDA+ZDFB=137°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求出/C==43。，再利用三角形內(nèi)

角和定理可求NC的度數(shù).

【解析】解：：在△4BC中，AC=BC,

NA=NB,

AE=BD

在AEAD和ADBF中-NN=ZB,

AD=BF

.^EAD=^DBF,

/EDA=/DFB,

又???/EDA+ZFDB=180?！猌EDF=180?！?3。=137。，

/./DFB+ZFDB=/EDA+/DFB=137。,

ZB=180°-(ZFD5+ZDFB)=180°-137°=43°,

:.ZC=ZB=43°,

在中，/C=180°-/Z-Z8=94°.

故選：C.

題型四等腰三角形的“三線合一”

例題

11.如圖，在△N2C中，AD1BC,AB=AC,若BD=4,則。C的長(zhǎng)是()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，根據(jù)三線合一性質(zhì)直接能得到點(diǎn)。是線段8C的中點(diǎn),

即可求解.

【解析】解：,??4D/8C,AB=AC,BD=4,

：.CD=BD=4,

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

12.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.等腰三角形的高線、中線、角平分線重合B.頂角為60。的等腰三角形是等邊三角形

C.等腰三角形底邊上的中線是它的對(duì)稱軸D.等邊三角形不是軸對(duì)稱圖形

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形的概念，熟知相關(guān)知識(shí)是

解題的關(guān)鍵.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形的概念逐一判斷即可.

【解析】解：A、等腰三角形底邊上的高線、底邊上的中線和頂角的角平分線互相重合，不符合題意；

B、頂角為60。的等腰三角形是等邊三角形，符合題意；

C、等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對(duì)稱軸，不符合題意；

D、等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選：B.

13.如圖，在AABC中，=點(diǎn)。為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.NB=NBACB.NBAD=NCADC.NBDA=NCDAD.NB=NC

【答案】A

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟知三線合一定理和等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：=點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，

/.ABAD=ACAD,AD±BC,NB=NC.

：.ABDA=NCDA=90°,

故B、C、D正確，A錯(cuò)誤.

故選：A.

14.如圖，△NBC中，=JL8C于點(diǎn)。，DEJ.AB于點(diǎn)、E,BFJ.AC于點(diǎn)、F,BF=8,則DE的

長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得從而得到以雙=2以.，從而得到尸=2x；4歷DE,

即可求解.

【解析】解：=

：.CD=BD,

,?S^ABC=2S—BD，

?；DE_LAB,BF1AC,

：

.S△.BC=-2AC-BF,，S△AABD=2-ABDE,

：.-AC-BF=2x-AB-DE,

22

,?BF=8,

：.DE=4.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型五等腰三角形的格點(diǎn)問(wèn)題

例題

15.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知N、8是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)且使

△N8C為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定,

根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①"為等腰△N8C底邊；②"為等腰UBC其中的一條腰.

【解析】解：如圖：分情況討論.

①為等腰△N2C底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)（包括兩個(gè)等腰直角三角形）;

②AB為等腰其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).

一共有8個(gè)點(diǎn).

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

16.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知點(diǎn)8是格點(diǎn)，如果點(diǎn)尸也是圖中的格點(diǎn),

且使得尸是以為腰的等腰直角三角形；則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

B

匚1二/Il

A

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【分析】本題考查了在格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形，根據(jù)是以42為腰的等腰直角三角形，進(jìn)行作圖，即

可作答.

【解析】解：尸是以N2為腰的等腰直角三角形，

.,.當(dāng)=時(shí)，結(jié)合正方形小網(wǎng)格的特征，APX-AB,ngAP2-AB,

如下圖所示：

Pi

.,.當(dāng)46=8尸時(shí)，結(jié)合正方形小網(wǎng)格的特征，BP3=4B,或BP&=AB,

如下圖所示：

尸3

綜上：滿足A/8P是以42為腰的等腰直角三角形的點(diǎn)P有4個(gè)，

故選:A

題型六等角對(duì)等邊；等腰三角形的判定

例題

17.在A42c中，/B=/C,AB=5.則/C=()

A.12B.9C.5D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，等角對(duì)等邊即可求解.

【解析】解：

：.AC=AB=5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定定理：在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊，理解定理是關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

18.下列條件中，不能判定△NBC是等腰三角形的是()

A.a=3,b=3,c=4B.a:b:c=2:2:4

C.Z5=50°,ZC=80°D.ZA:ZB:ZC=1:1:2

【答案】B

【分析】本題考查等腰三角形的定義和判定，三角形三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理.掌握等腰三角形的定

義和等角對(duì)等邊的判定定理是解題關(guān)鍵.由等腰三角形的定義可直接判斷A；由三角形三邊關(guān)系可判斷B；

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出4=48,再根據(jù)等角對(duì)等邊，可判斷C；直接由等角對(duì)等邊可判斷D.

【解析】解：A.a—3,b—3,c—4,

：.a=b,即△NBC是等腰三角形，故該選項(xiàng)能判定，不符合題意；

B.a:b:c=2:2:4,

.,.可設(shè)a=2x,貝！16=2x,c=4x,

a+b=4x,即此時(shí)以a、b、c為邊不能組成三角形，

二不能判定是等腰三角形，故該選項(xiàng)符合題意;

C.；4=180°-Z8-/C=50°,

/.ZA=NB,

；?能判定△A8C是等腰三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.'：ZA:ZB:ZC=1:V.2,

二可設(shè)乙4=NB,

能判定△NBC是等腰三角形，故該選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

19.如圖，已知N1=N2,NB=2C,不正確的等式是()

A.AB=ACB./BAE=NCADC.BEDCD.BD=DE

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解析】解：；N2=NC,

Z.AB=AC,故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

在和A/CD中，

2B=zc

<Zl=Z2,

AB=AC

：.AABE^AACD(AAS),

Z.BE=CD,NBAE=NCAD,

'：BE=CD,

：.BE-DE^CD-DE,

BD=CE,

故B選項(xiàng)、C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，已知△4BC中，ZABC=45°,尸是高4D和班的交點(diǎn)，8=4,則線段。尸的長(zhǎng)度為（）

A.V2B.4C.5D.2亞

【答案】B

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定，先根據(jù)等腰直角三角形的性

質(zhì)得=2。，再證明/C4D=/C5E,然后根據(jù)“角邊角”證明%FSO,最后根據(jù)全等三角形的對(duì)

應(yīng)邊相等得出答案.

【解析】?/ZABD=45°,/4DB=9Q°,

ZABD=ZBAD,

AD=BD.

,/ACAD+ZC=NCBE+ZC=90°,

：.ACAD=ACBE.

,/NADC=ZADB=90°,

：.^CAD^FBD,

DF=CD=4.

故選：B.

21.如圖，△ABC中，BO平分NABC,CO平分NNC2,MV經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，與AB,NC相交于點(diǎn)N,

AMN〃BC,已知/B=3,/C=4,SC=4.5,貝！JA/W的周長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證

和△NCO是等腰三角形，從而可得=NO=NC,然后根據(jù)等量代換可得：△㈤W的周長(zhǎng)

=4B+AC,從而進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解析】解：,??8。平分N/5C,CO平分N/C5,

:"ABO=/OBC,ZACO=ZOCB,

???MN〃BC,

ZMOB=ZOBC,ZNOC=ZOCB,

ZABO=Z.MOB,ZACO=ZNOC,

:.MO=MB,NO=NC,

'：AB=3,AC=4,

:AAMN的周長(zhǎng)=++

=AM+AN+MO+ON

=AM+AN+MB+CN

=AB+AC

=3+4

=7,

故選：B.

題型七等腰三角形的尺規(guī)作圖

例題

22.如圖，在△ABC中，AB=/C,//=50。，根據(jù)作圖痕跡，可知()

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出.

【解析】解：?.Z2=/C,

:.NABC=NACB=1(180°-Z^)=1(180°-50°)=65°.

由作圖痕跡可知BC=BD，

：.ZBDC=ZBCD=65°.

：.NCBD=180°-NBDC-Z5CD=180°-65°-65°=50°.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)作圖痕跡得出是解答本題的關(guān)鍵.

A.80°B.60°C.45°D.50°

鞏固訓(xùn)練

23.如圖，已知直線/及直線/外一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線/的平行線，下面四種作法中錯(cuò)誤的是（）

P.

【分析】本題考查尺規(guī)作圖規(guī)范和平行線的判定，解題的關(guān)鍵在于明白尺規(guī)作圖的原理.根據(jù)題意逐一對(duì)

選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得到本題答案.

【解析】解：A選項(xiàng)利用等腰三角形性質(zhì)等邊對(duì)等角，角平分線的定義及內(nèi)錯(cuò)角相等證明兩直線平行,

B選項(xiàng)利用同位角相等判定兩直線平行，

C選項(xiàng)無(wú)法判斷兩直線平行，

D選項(xiàng)利用內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明兩直線平行，

故選：C.

24.如圖，給出了尺規(guī)作等腰三角形的三種作法，

①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高；

②已知等腰三角形的底邊和腰；

③已知等腰三角形的底邊和一底角.

A.①②③B.②①③C.③①②D.②③①

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【解析】解：圖形①的作圖依據(jù)是“②已知等腰三角形的底邊和腰”；

圖形②的作圖依據(jù)是“①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高”；

圖形③的作圖依據(jù)是“③已知等腰三角形的底邊和一底角”.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作圖等腰三角形，掌握等腰三角形的性質(zhì)，作圖的方法是解題的關(guān)鍵.

題型八等邊三角形的性質(zhì)

例題

25.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有（）

A.1條B.2條

C.3條D.6條

【答案】C

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱圖形的定義：一個(gè)圖形沿某條直線翻折與原圖形能夠完全重合

的圖形為軸對(duì)稱圖形，據(jù)此解答即可.

【解析】解：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有3條，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的定義以及等邊三角形的性質(zhì)，題目比較簡(jiǎn)單.

鞏固訓(xùn)練

26.如圖，已知等邊三角形Z5C,且則Z1的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，先證明/C=60。，再利用平行線的性質(zhì)可得答

案.

【解析】解：：等邊三角形

ZC=60°,

AD//BC,

Z1=ZC=60°,

故選C

27.等邊三角形的一邊與這邊上的高的比是（）

A.V3：2B.V3：1C.2：V3D.1：Q

【答案】C

【解析】略

28.已知直線?！?,將等邊三角形A8C按如圖方式放置，點(diǎn)B在直線b上，若/2=130。，則N1的度數(shù)為

A.10°B.12°C.18°D.20°

【答案】A

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線的性質(zhì)

結(jié)合已知條件，求得-4=50。，根據(jù)等邊三角的性質(zhì)，根據(jù)/1=60。-/4即可求解.

【解析】解：如下圖，

A

C

???/2=130。，a//b.

.?./3=/2=130。，/3+/4=180。，

???/4=180。-130。=50°,

???△4SC是等邊三角形，

??.NABC=60°,

.?./I=/ABC——4=60。—48。=10。，

故選：A.

29.如圖，在等邊三角形ZBC中45=4,80是/C邊上的高，延長(zhǎng)5。至點(diǎn)E,使CE=CD,則5石的長(zhǎng)

為.

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得CE=C0=；/C=；/2=2,進(jìn)而根據(jù)BE=BC+CE,

即可求解.

【解析】解：：在等邊三角形/3C中22=4,BD是/C邊上的高，

:.AC=BC=AB=4,CD=-AC

2

又?：CE=CD,

：.CE=2

：?BE=BC+CE=4+2=6

故答案為：6.

30.如圖，已知△/加）是等邊三角形，3C=OC,E是40上的點(diǎn)，CE〃AB,與BD交于點(diǎn)、F.若NCBD=40。,

則/DCE的度數(shù)為（）

A.40°B.20°C.2°D.25°

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)；由等邊三角形的性質(zhì)求出

ZABD=60°,由CE〃4B得N4BD=NEFD=60。,進(jìn)而可得/CD3==40。，再根據(jù)三角形外角性

質(zhì)求出/DCE的度數(shù)即可.

【解析】解：是等邊三角形，

ZABD=60°,

CE//AB,

AABD=ZEFD=60°,

又：BC=BD,ZCBD=40°,

NCDB=NCBD=40°,

■：ZDCE+ZCDB=NEFD,

ZDCE=ZEFD-NCDB=60°-40°=20°,

故選：B.

題型九等邊三角形的判定

例題

31.在△/BC中，已知=再添加一個(gè)條件,就能使△4BC是等邊三角形.（只要寫(xiě)出一個(gè)符

合題意的條件即可）

【答案】44=60。（答案不唯一）

【分析】此題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的判定方法.根據(jù)等邊三角形的判定

方法即可求解.

【解析】解：添加乙4=60。（答案不唯一）.

VAB=AC,ZA=60°

LABC是等邊三角形.

故答案為：44=60。（答案不唯一）.

鞏固訓(xùn)練

32.下面給出幾種三角形：（1）有兩個(gè)角為60。的三角形；（2）三個(gè)外角都相等的三角形；（3）一邊上的高

也是這邊上的中線的三角形；（4）有一個(gè)角為60。的等腰三角形，其中是等邊三角形的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的判定.根據(jù)等邊三角形的判定定理：有兩個(gè)角都是60。的三角形或有三邊

相等的三角形或有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形，分析并作答即可.

【解析】解：①有兩個(gè)角為60。的三角形是等邊三角形，故①正確；

②?.?三個(gè)外角都相等，

，相鄰的三個(gè)內(nèi)角都相等，

又?.?三角形的內(nèi)角和為180。，

三個(gè)內(nèi)角都是60。，

,三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形，故②正確；

③一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，故③錯(cuò)誤；

④有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形，故④正確，

能證得等邊三角形的有①②④，共3個(gè)，

故選：B.

33.如圖，下列哪個(gè)條件能推出△/BC是等邊三角形的是（）

C.AD1BC,BD=CD,ABAD=30°D.AD±BC,ABAD=ZACD

【答案】C

【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法（三邊相等或三個(gè)角都是60度，或有一個(gè)角是30。的等腰三角形是等

邊三角形）進(jìn)行判斷，解答即可.本題考查了等腰三角形的判定與等邊三角形的判定.

【解析】解：A、NB=NC,只能說(shuō)明△N8C是等腰三角形，該選項(xiàng)不符合題意；

B、ADIBC,BD=CD,只能說(shuō)明△4BC是等腰三角形，該選項(xiàng)不符合題意；

C、AD±BC,AD=CD,，=，△48C是等腰三角形，：4840=30。，，NR4c=60。，"BC

是等邊三角形，該選項(xiàng)符合題意；

D、AD±BC,ABAD=ACAD,只能說(shuō)明△NBC是等腰三角形，該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

題型十等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合

例題

34.如圖，△/BC中，ZACB=90°,ZA=60°,。是48邊上一點(diǎn)，ABCD=30°,BD=4cm,則ANC￡）的

周長(zhǎng)為（）

A.6cmB.8cmC.12cmD.16cm

【答案】C

【分析】本題考查了三角形中等角對(duì)等邊，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明

BD=DC=4cm,是解答本題的關(guān)鍵.證明AD=DC=4cm,再證明是等邊三角形，即有

CD=ZO=/C,問(wèn)題得解.

【解析】解：:△NBC中，ZACB=90°,ZA=60°,

：.ZB=30°,

?：ZBCD=30°,BD=4cm,

NBCD=ZB,

：.BD=DC=4cm,

AACD=NACB-NBCD=60°,

：.ZACD=N4=60°,

ANCD是等邊三角形，

/.CD=4D=4C=4cm,

.?.“CO的周長(zhǎng)為：4C+4O+CD=4x3=12cm,

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

35.如圖，△45。是等邊三角形，點(diǎn)。為4C邊上一點(diǎn)，以BD為邊作等邊ABDE,連接CE.若CD=2,

CE=6,貝M=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，取5C上一點(diǎn)，使得CG=CQ,根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)得CQ=DG=CG=2,再利用SAS證得△ADG會(huì)△￡QC,進(jìn)而可求解，熟練掌握相關(guān)判定及

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：取3C上一點(diǎn)，使得CG二C。，如圖：

?.?△/5C是等邊三角形，

：.ZACB=60°,

.?.△CDG是等邊三角形，

CD=DG=CG=2,

???NBDG+ZEDG=60°,ZEDC+ZEDG=60°,

ZBDG=ZEDC,

在"DG和AEDC中,

'BD=DE

<ZBDG=ZEDC,

DG=DC

:MDG也△EDC(SAS),

/.BG=CE,

BC=BG+CG=CE+CD=8,

故選B.

題型十一直角三角形的兩個(gè)銳角互余及其逆定理

例題

36.如圖，在Rt448C中，44c8=90。，CD,48于點(diǎn)。.若44=35。，則/8CD的度數(shù)為（）

A.40°B.35°C.30°D.25°

【答案】B

【分析】本題考查同角的余角相等，垂線的定義，根據(jù)題意得出N/CO+ZBCA=90。=+是解題

關(guān)鍵.根據(jù)同角的余角相等結(jié)合題意可得出4CD=4=35。.

【解析】解：：N4C3=90°,CDA.AB,

：.ZACD+/BCD=90°=ZA+ZACD,

：./BCD=NA=35。.

故選B.

鞏固訓(xùn)練

37.如圖，己知直線?！?,ABla,垂足為2,Z1=48°,則//的度數(shù)是（）

A.32°B.42°C.48°D.52°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得//C8=/l=48。，再根據(jù)直

角三角形兩銳角互余即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：：?！?,4=48°,

?.44c3=/1=48°,

ABLa,

：.ZABC=90°,

Z.//=90°一NACB=90°-48°=42°,

故選：B.

38.在△/8C中，下列哪組條件不能判定△NBC是直角三角形（）

A.=2:2:4B.AB=5,AC=12,BC=13

C.ZC:ZB:ZA=3:4:5D./A+NC=NB

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，三角形內(nèi)角和，直角三角形的定義，掌握這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)勾股定理，直角三角形定義進(jìn)行判定即可.

4

【解析】解：A、ZA=——xl80°=90°,故△/8C是直角三角形，不符合題意；

2+2+4

B、AB-+AC2=52+122=132=BC2,故△48C是直角三角形，不符合題意；

C、最大角//=,$xl8（T=75。,故A/BC不是直角三角形，符合題意；

D、由+=//+/C+/B=180。，得2/8=180。，即/5=90。，故是直角三角形，不符

合題意；

故選：C.

題型十二“HL”

例題

39.如圖，AC1BC,DF±EF,AC=DF,AB=DE,則判定RtZ\/8C名RtZ\D跖的依據(jù)是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，能熟練地運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可.

【解析】解：：,DF±EF,

：.ZACB=ZDFE=90°,

在RtA^SC和RtADEF中

AC=DF

AB=DE

，也RtZ\DM（HL）.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

40.如圖，在中，ZACB=90°,E是48上一點(diǎn)，且BE=BC,過(guò)點(diǎn)E作。E工交ZC于點(diǎn)

連接8D,如果NC=3cm,則4D+DE等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.利用HL

證明RSBOE絲RSBOC,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OC=O￡,根據(jù)4D+OC=/C,等量代換即可

確定出4D+DE的長(zhǎng).

【解析】解:;DE工AB,

ZDEB=90°=ZC,

在R3BED和RtASCD中

\BD=BD

|BE=BC,

Rt△阻涇RtABCZ)(HL),

DE二DC,

AD+DE=AD+CD=AC=3cm,

故選：B.

41.如圖，在△48C中，ZC=90°,AC=12,BC=6,P、。兩點(diǎn)分別在ZC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于/C的射

線可上運(yùn)動(dòng)，PQ=AB,當(dāng)△P/。與△4BC全等時(shí)，"的長(zhǎng)度為（）

X

A.6B.6或12C.8D.8或12

【答案】B

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，如

SSS、SAS、ASA、AAS、HL等.結(jié)合已知條件，根據(jù)“HL”判定三角形全等即可.

【解析】解：：NC=90。，AXLAC,

：.ZC=NQAP=90°,

①當(dāng)/尸=6=8C時(shí)，在RtZUCB和中，

\AB^QP

\BC^AP'

：.RUACB絲RtA0N尸(HL)；

②當(dāng)/尸=12=/C時(shí)，在和RSP/。中,

UB=QP

\AC=AP,

：.Rt^ACBgRtAP/°(HL).

綜上所述，當(dāng)△P/0與△/3C全等時(shí)，"的長(zhǎng)度為6或12.

故選：B.

42.如圖，在等腰中,AB=AC,NB=50。,點(diǎn)。為邊2C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊48上，

ZAED=69°.若點(diǎn)尸是等腰△48C的腰/C上的一點(diǎn)，當(dāng)△￡0尸為等腰三角形時(shí)，則NEAP的度數(shù)是

()

A.69°B.100°C.142°D.100°或142°

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過(guò)。作。DGVAB,易證

RaDEG公RtADP[H,RLDEG空RtADRH,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和360。即可得到答案.

【解析】解：連接ND,

A

?：AB=AC,NB=50。,

：.ABAC=180。一50°-50°=80°,

???點(diǎn)尸是等腰△45。的腰/C上的一點(diǎn)，AB=AC,。為3c的中點(diǎn)，

ABAD=ACAD,

過(guò)。作。H_L4C,DGLAB,,

：.DG=DH,

在RtZXDEG與RGDRH中，

[DG=DH

[DE=DPX'

：.R3DEG絲R3D4H(HL),

.?.AAPXD=ZAED=69°,

???NBAC=80。,

：./EDP、=360°-ZAED-ZAP{D-ABAC=360°-69°-69°-80°=142°,

同理可得RMQEG四Rt△。6"(HL)

.?.AEDG=ZP2DH,

.?.ZEDP2=ZGDH=360。一80°-90°-90°=100°,

綜上，ZE7乃的度數(shù)是100?；?42。，

故選：D.

題型十三直角三角形的30。角的性質(zhì)

例題

43.如圖，在△ABC中，NACB=90。,8是高，ZA=30°fBD=2,則的長(zhǎng)為（）

c

【答案】c

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì).首先在RtACM中根據(jù)直角三角形中30。的銳角所對(duì)的直角邊等于

斜邊的一半可知CB=4,在Rt^ABC中再次利用直角三角形中30。的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到

AB=8.

【解析】解：??,CD是高，

ZCDA=90°,

又；//=30°,

:.ZACD=60°,

ZACB=90°,

:"BCD=NACB-ZACD=90°-60°=30°,

在RMC5。中，CB=2BD=2x2=4,

在RIANBC中，AB=2CB=2x4=8.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

44.如圖，在△N3C中，ZACB=90°,CD是高，44=30。，AB=4.貝BD長(zhǎng)為()

C

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30。角的直角三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.利用含30。

角的直角三角形的性質(zhì)即可得到答案.

【解析】解：??.在RtZUBC中，ZACB=90°,44=30。，AB=4,

/.BC=-AB=-x4=2,

22

???CDAB,

NADC=ZBDC=90°,

ZACD=90°—/A=90°-30°=60°,

'：ZACD+ZBCD=90°f

/BCD=90°-ZACD=90°-60。=30°,

二.BD=—BC=—x2=1,

22

.?.8。的長(zhǎng)為1.

故選：A

45.如圖，在ZX/BC中，N5=30。，NBAC=105。，AC=3^,則5C的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔

助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)4作。于點(diǎn)。，易得出NA4Q=60。，AB=2AD,從而可求

出/CUC=/C=45。，即得出4。=。。，再結(jié)合勾股定理求解即可.

【解析】解：過(guò)點(diǎn)4作/。于點(diǎn)。，

ABAD=60°,AB=2AD.

NB4c=105。,

???/D4c=45。,

???ZC=45°,

AD=CD.

,/AD2+CD1=AC2

：.2AD~=（376），

：.CD=AD=3拒,

：.AB=2AD=673，

BD=yjAB2-AD2=9,

：.BC=BD+CD=9+3y/3.

故選B.

題型十四勾股定理及其逆定理

例題

46.一直角三角形斜邊長(zhǎng)為10,一直角邊長(zhǎng)為9,則另一直角邊長(zhǎng)為.

【答案】V19

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.直接利用勾股定理計(jì)算即可.

【解析】解：由勾股定理得：另一直角邊長(zhǎng)=而下=曬，

故答案為：J歷.

鞏固訓(xùn)練

47.如圖，在△/BC中，AB1AC,垂足為4AD是4c邊上的中線，48=5cm,4D=6cm,則2C的長(zhǎng)

是.

【答案】13cm

【分析】本題考查了勾股定理，由題意得2/。=12cm,根據(jù)8c=5/笈+/。2即可求解.

【解析】解：：是NC邊上的中線，

:.AC=2AD=\2cm,

VAB1AC,

BC=ylAB2+AC2=13cm

故答案為：13cm

48.如下圖以直角三角形三條邊為分別向外作三個(gè)正方形，其中兩個(gè)正方形的面積分別為225和289,則圖

中正方形字母/所代表的正方形的面積為.

【分析】本題考查勾股定理，正方形的面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理可直接求得

正方形字母4所代表的正方形的邊長(zhǎng).

?.?其中兩個(gè)正方形的面積分別為225和289,

：.BD2=225,CD2=289.

???ASCD為直角三角形，

/.BC2=CD2-BD2=64,

正方形字母/所代表的正方形的面積為64.

故答案為:64.

49.一塊鋼板形狀如圖所示，若43=3,5c=4,AB±BC,C￡>=12,40=13,則這塊鋼板的面積為

【答案】36

【分析】四邊形/BCD是不規(guī)則圖形無(wú)法直接計(jì)算，連接/C,將四邊形分割成兩個(gè)直角三角形進(jìn)行計(jì)

算.先算出/。=存弄=5,再運(yùn)用勾股逆定理得出乙48=90。，故這塊鋼板的面積

3x45x1?

=S.〃Bc+S“s=;—+—=36,即可作答.本題考查了勾股定理以及勾股逆定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)

容是解題的關(guān)鍵.

【解析】如解圖，連接4C,

ABLBC,

：./5=90。，

VAB=3,BC=4,

AC—J32+4?=5，

,/52+122=132,

Z.ZACD=90°,

3x45x19

鋼板的面積=S"+Leo="+己一=36.

故答案為：36

50.如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1,連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,可得△ZBC,則邊BC上的高

為.

【分析】本題考查了勾股定理，由圖形，根據(jù)勾股定理可得BC=師，然后根據(jù)三角形的面積和正方形的

面積，求得X―進(jìn)而根據(jù)等面積法，即可求解.

【解析】解：依題意，BC=Vl2+32=V10-

S,=3x3--xlx2--x2x3--xlx3=9-l-3-1.5=3.5,

./Bser222

27

...邊3c上的高為義5=7師,

國(guó)10

故答案為：—Vio.

51.如圖,折疊長(zhǎng)方形ABCD一邊AD,使。落在2C邊的點(diǎn)尸處，已知=6,8C=10,則CE的長(zhǎng).

【分析】本題考查折疊問(wèn)題，勾股定理，根據(jù)折疊，得到。E=M,AF=AD,勾股定理求出期的長(zhǎng)，進(jìn)

而求出CF的長(zhǎng)，設(shè)CE=x,在RtZkCM中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【解析】解：：折疊長(zhǎng)方形48co一邊AD,使。落在3c邊的點(diǎn)尸處，

CD=AB=6,AF=AD=BC=10,DE=EF,AB=ZC=90°,

BF=4AF2-AB-=8，

CF=BC-BF=2,

設(shè)CE=x,貝lj：DE=EF=6-x,

,s

在RtZiC環(huán)中，由勾股定理，得:（6-x）=1+22,解得：x=-,

/.CE=--

3

Q

故答案為：I

題型十五互逆命題與互逆定理

例題

52.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.每個(gè)命題不一定都有逆命題

B.每個(gè)定理都有逆定理

C.真命題的逆命題仍是真命題

D.假命題的逆命題未必是假命題

【答案】D

【分析】本題考查的是命題與定理的區(qū)別，（1）判斷正確的命題叫定理；（2）任何一個(gè)命題都有逆命題，

但不一定是真命題；不是任何一個(gè)定理都有逆定理.

根據(jù)逆命題的概念、真假命題的概念判斷即可.

【解析】解：A、每個(gè)命題都有逆命題，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、每個(gè)定理都有逆命題，不一定有逆定理，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、假命題的逆