機密★啟用前

房山區(qū)2024~2025學年度第一學期學業(yè)水平調(diào)研（二）

局一數(shù)學

本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.

第一部分（選擇題共50分）

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.在復平面內(nèi)，復數(shù)（3-4以對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知a=（l,0,2）,/?=（%,0,1）,如果。與b為共線向量，貝也的值為（）

11

A.1B.-C.一

23

19

3.二次函數(shù)y=的圖象是拋物線，該拋物線的焦點坐標為（）

A.（0,1）B.（1,0）CI。,'

4.已知空間中直線/的一個方向向量”=（—1,0,2）,平面a的一個法向量力=（2,1,1）,則（）

A.IllaB./cza

C.I±aD.直線/與平面a不相交

5.已知直線I：x+2ay—1=0與直線—1）尤—ay—1=。平行，則a的值為（）

A.0B-IC.1■或0D.1

6.已知圓C:（x—iy+（y—2）2=4與直線/：%—丁+m=0交于4,2兩點，若NACB=90°,則加的值為

()

A.-1B.3C.—1或3D.±3

7.條件。：他>。，”>0,條件，方程小/+町;2=i表示的曲線是橢圓，則p是q（）

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知雙曲線C的方程為三-V=i,點尸，。分別在雙曲線的左支和右支上，則直線PQ的斜率的取值范

4-

圍是()

A.B.(-2,2)

22

C.——)(―>+°°)D.(—oo,—2)I,(2,+8)

9.龐殿(圖1)建筑是古代傳統(tǒng)建筑中的最高型制.這種建筑形式常用于宮殿、壇廟一類皇家建筑，是北

京中軸線上主要建筑最常采取的形式.如故宮午門、太和殿、乾清宮等，都是虎殿式建筑.虎殿殿頂?shù)幕?/p>

本結(jié)構(gòu)包括四個坡面，坡面相交處形成5根屋脊，又稱“四阿殿”或“五脊殿”.圖2是根據(jù)虎殿頂構(gòu)造的多

面體模型，底面A3CD是矩形，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形，且等腰梯

形和等腰三角形所在的平面與平面A3CD的夾角都相等.若A5=25m,BC=10m,則所的長為

A.10mB.10-\/2mC.15mD.20m

22

10.己知橢圓C:=+I=l(a>6>0)左、右焦點分別是片(一c,0),F,(c,0),若離心率

ab~

6=避二1(070.618)，則稱橢圓C為“黃金橢圓”.則下列三個命題中正確命題的個數(shù)是()

①在黃金橢圓C中，及=收；

②在黃金橢圓C中，若上頂點、右頂點分別為E,B,則/耳防=90°；

③在黃金橢圓C中，以A(—a,0),B(a,0),D(0,-b),E(0,b)為頂點的菱形ADBE的內(nèi)切圓過焦點

K，

A.0B.1C.2D.3

第二部分(非選擇題共100分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.若復數(shù)z滿足z(l+2i)=5,則2=.

12.已知雙曲線C：三—22=1的左、右焦點分別為耳，方，則雙曲線C的離心率為；若以

49

是雙曲線C上任意一點，貝|!||兒曲|一|叫||=.

13.直線y加+2機-1經(jīng)過一定點。，則點C的坐標為,以點。為圓心且過原點的圓的方程為

14.一只盛水的圓柱形茶杯傾斜后得到橢圓形水面，若水面與底面所成的二面角為45，則水面橢圓

的離心率為.

15.在空間直角坐標系中，已知點人(0,0,2)、5(2,0,1),C(0,2,l),若點尸(x,y,0)在平面

ABC內(nèi)，則一個符合題意的點P的坐標為.

16.如圖，在邊長為1的正方體4G，中，E是棱AA上的一個動點，給出下列四個結(jié)論:

①三棱錐用-BED,的體積為定值;

②不存在點E,使得與。，平面3ER；

③對每一個點E,在棱。C上總存在一點尸，使得AP〃平面3E2；

④點E到DC1的距離的最小值為1.

其中正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.已知拋物線C：y2=2px(0>0)的焦點尸到準線的距離是2.

(1)求拋物線C的方程和準線方程;

(2)若斜率為1的直線/經(jīng)過拋物線C的焦點且與拋物線C相交于A,8兩點，求線段的長.

18.如圖，在長方體ABCD—44GA，AB=AD=2,9=4,點E為。2中點.

(1)若平面A31E與棱G2交于點求證點E為G。的中點;

(2)求平面與平面ABC。夾角的余弦值.

19.如圖，在四棱錐P—A3CD中，平面平面ABCD,底面ABCD為矩形，E為線段PD的中

點，AB—1,PA=AD=2,■

(1)求證：P5//平面ACE；

(2)從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知,

求(i)點P到平面ACE的距離；

(ii)直線AP與平面ACE的夾角的正弦值.

條件①：PB±AD；

條件②：AE=42

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

20.已知橢圓C：W+，=l(a>Z?>0)的離心率為且經(jīng)過點

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)斜率為g的直線與橢圓C交于“，N兩點(M，N不與A重合)，直線AM，AN與x軸分別交于

P，Q兩點，求證：△"口是等腰三角形.

21對于空間向量耿=(4，加2%)(4，為—€>!,左=0,1,2,3,),定義：lxa^=xk-yk-zk,

3J=4+%+Z/.且々+1=員一%I,yk+i=\yk-zk\，zk+l=\zk-xk\.

(1)若。0=(1,2,3),求(％)及［%］；

(2)是否存在［aJ=2025?若存在，寫出一個［；若不存在，說明理由；

(3)證明：對于任意%,必存在mcN+,使(冊)=0.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.在復平面內(nèi)，復數(shù)G一4講對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)運算法則，將復數(shù)化簡，即可得出其對應點的坐標，從而可得結(jié)果.

【詳解】因為(3—4i『=9-24i+16i2=-7-24i,

所以其在復平面內(nèi)對應的點為(-7,-24),位于第三象限；

故選：C

2.已知a=(1,0,2),/?=(%,0,1),如果a與人為共線向量，貝產(chǎn)的值為()

111

A.1B.—C.—D.一

236

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標表示可得答案.

Y1

【詳解】若。與8為共線向量，則1=1,

解得x=-.

2

故選：B.

1,

3.二次函數(shù)y=-d的圖象是拋物線，該拋物線的焦點坐標為（）

4

A.（0,1）B.（1,0）C'6,。］

【答案】A

【解析】

【分析】將拋物線方程化為標準方程，可得出其焦點坐標.

【詳解】拋物線的標準方程為必=4y，則2。=4,可得_|=1,故其焦點坐標為（0,1）.

故選：A.

4.已知空間中直線/的一個方向向量〃=（一1,0,2）,平面a的一個法向量〃=（2,1,1）,則（）

A.IllaB.Iua

C.I±aD.直線/與平面a不相交

【答案】D

【解析】

【分析】由方向向量與法向量關(guān)系可判斷直線與平面1關(guān)系.

【詳解】對于AB,因為".〃=（）,貝也可能與平面々平行，也可能在a內(nèi)，因題目條件不足，故AB選項

正誤無法判斷；

對于C,注意到a與〃不共線，貝U與2不垂直，故C錯誤；

對于D,由AB分析可知，直線/與平面&不相交，故D正確.

5.已知直線乙：x+2ay—1=0與直線］：—1）龍-ay—1=。平行，則a的值為（）

A.0B.1C.g或0D,1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)。的等式與不等式，解之即可.

【詳解】因為直線/i：x+2ay—l=0與直線/2：(a_l)x_ay_l=0平行,

—<7=2a(a-1)解得a=,或0.

則《

一(。-1)豐-12

故選：C.

6.已知圓C:(x—l『+(y—2)2=4與直線/：x—y+m=O交于A，3兩點，若NACB=90°,則加的值為

()

A.-1B.3C.—1或3D.±3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓的方程，得圓心坐標和半徑，再由NAC5=90°,得到圓心C到直線/：%-丁+機=。的距

離為=結(jié)合點到直線距離公式，列出方程求解即可.

【詳解】因為圓C:(x—iy+(y—2)2=4的圓心為。(1,2),半徑為廠=2；

且圓。：(%—1)2+(丁—2)2=4與直線/:%—丁+m=0交于4，2兩點，ZACB=90°,

所以為等腰直角三角形，|C4|=|CB|=r=2,則|四|=近廠=2夜,

因此圓心C到直線/：X—丁+m=0的距離為；|4同=、歷，

l-2+m

=6,解得機=一1或3；

V2

故選：C

7.條件P：機＞。，”＞。，條件4：方程加/=1表示的曲線是橢圓，則p是q(

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的方程特征即可結(jié)合必要不充分條件的定義即可求解.

【詳解】方程陽？+爭2=1表示的曲線是橢圓,則需要滿足相＞0,”＞。且加

因此0：機>0〃7>0不能推出4：方程如2+",2=1表示的曲線是橢圓,

當時q：方程以2+爭2=1表示的曲線是橢圓能得到p：m>o,〃>o,

故p是q必要而不充分條件，

故選：B

8.已知雙曲線C的方程為^--y2=i,點尸，。分別在雙曲線的左支和右支上，則直線PQ的斜率的取值范

4

圍是()

A.B.(-2,2)

22

C.(—℃,—/)(―,+oo)D.(^o,—2)I(2,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的斜率求得直線尸。的斜率的取值范圍.

尤211

【詳解】雙曲線亍一寸=1的漸近線方程為丁二土萬％,斜率為士］,

依題意，點P，。分別在雙曲線的左支和右支上，

所以直線PQ的斜率的取值范圍是(-1，3.

22

故選：A

9.龐殿(圖1)建筑是古代傳統(tǒng)建筑中的最高型制.這種建筑形式常用于宮殿、壇廟一類皇家建筑，是北

京中軸線上主要建筑最常采取的形式.如故宮午門、太和殿、乾清宮等，都是尻殿式建筑.虎殿殿頂?shù)幕?/p>

本結(jié)構(gòu)包括四個坡面，坡面相交處形成5根屋脊，又稱“四阿殿”或“五脊殿”.圖2是根據(jù)龐殿頂構(gòu)造的多

面體模型，底面ABCD是矩形，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形，且等腰梯

形和等腰三角形所在的平面與平面A3CD的夾角都相等.若A3=25m,BC=10m,則所的長為

)

M1圖2

A.10mB.10拉mC.15mD.20m

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)點E在底面ABC。上的射影為G,作GA/L5C,GN工AB,垂足分別為N,設(shè)四個

側(cè)面與底面的夾角為。，即可得到NEMG=NE7VG=6?,根據(jù)三角形全等得到方程，整理即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)點E在底面ABCD上的射影為G,作GA/L3C,GNLAB,垂足分別為Af,

N.

則NEMG為側(cè)面EBC與底面ABCD的夾角，/HVG為側(cè)面EBAF與底面ABCD的夾角,

設(shè)四個側(cè)面與底面的夾角為。，則在RtEMG和Rtz\￡WG中，ZEMG=ZENG=0,

又GE為公共邊,所以GN=GM,即--------=——，整理得A5=5C+￡F.

22

因為AB=25m,BC=10m,則。=15m.

故選：C

22

10.已知橢圓C:二+當=1(4>6>0)的左、右焦點分別是￡(—c,0),工(C,O),若離心率

ab

e=Y旌°(e°0.618)，則稱橢圓C為“黃金橢圓”.則下列三個命題中正確命題的個數(shù)是()

①在黃金橢圓C中，及=ac；

②在黃金橢圓C中，若上頂點、右頂點分別為E,B,則/月仍=90°；

③在黃金橢圓C中，以A(—a,0),3(a,0),。(0,—勿，￡(0/)為頂點的菱形AD3E的內(nèi)切圓過焦點

片，F(xiàn)2.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)黃金橢圓的概念及〃=6一°2可判斷①，根據(jù)條件及勾股定理可判斷②，根據(jù)條件可求內(nèi)

切圓的半徑進而可判斷③.

【詳解】對①，因為工=苴二1,所以a=?lc，貝U

a22

b。=a2-c1=b2一片卜=ac,故①正確；

對②，因為在"助中，閨同=0閨同=。+。,怛3「="+匕2,由①知，白=ac，

所以閨印=(A+C)2=fl2+c2+2?c=a2+2b~+c2=2a~+/=閨￡「+\EBf,

即/耳防=90°,故②正確;

對③，由題可知以A(-?,O),B(?,O),。(0,-b),E(0力)為頂點的菱形ADBE的內(nèi)切圓是以原點為圓心，設(shè)

圓心的半徑為r,

aba-Ja-Vcajc

所以y/a2+b2\/a2+ac

代入離心率得到r=叵口a=c，所以圓過焦點可，居，故③正確.

2

故選：D.

第二部分(非選擇題共100分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.若復數(shù)z滿足z(l+2i)=5,則2=.

【答案】l-2i##-2i+l

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法可化簡得出復數(shù)z.

【詳解】因為z(l+2i)=5,則2=------="~-------L

、)1+21(l+2i)(l-2i)5

故答案為：1—2i.

12.已知雙曲線G三-乙=1的左、右焦點分別為耳，鳥，則雙曲線C的離心率為；若Af

49

是雙曲線C上任意一點，貝UIIM司—|曬||=.

【答案】①.叵②.4

2

【解析】

【分析】根據(jù)離心率公式以及雙曲線的定義即可求解.

【詳解】由題意可得。=2,6=3,故0=日片+/=后,

則e，=巫，

a2

由于|也用|—|沙||=2〃=4,

故答案為：巫，4

2

13.直線y=mr+2〃z-l經(jīng)過一定點C,則點C的坐標為,以點C為圓心且過原點的圓的方程為

【答案】?.(-2,-1)②.(x+2)2+(y+l)2=5

【解析】

【分析】通過分離參數(shù)，可求出直線所過定點；求出點C到原點距離，即為所求圓的半徑，可求出圓的方

程.

【詳解】由丁=痛+2加一1得y=根(％+2)—1,即y+l=m(x+2),

由直線的點斜式方程可知，y+l=m(x+2)是斜率為加，過定點(—2,-1)的直線,

故點C的坐標為(—2,—1)；

x+2=0x=—2

(或由，c解得｛,,即C的坐標為(―2,—D)

y+l=O[y=-l

點C到原點。的距離|co|=J(-2-0)2+(-1-0)2=非,

即以點C為圓心且過原點的圓的半徑r=I=右，

故以點C為圓心且過原點的圓的方程為：(x+2)2+(y+l)2=5.

故答案為：(-2,-1)；(%+2)2+(y+l)2=5.

14.一只盛水的圓柱形茶杯傾斜后得到橢圓形水面，若水面與底面所成的二面角為45，則水面橢圓

的離心率為

【答案】@

2

【解析】

【分析】如圖，可得橢圓的長軸與短軸，據(jù)此可得答案.

【詳解】如圖，AC為橢圓長軸，=為橢圓短軸，

因水面與底面所成的二面角為45，則NAC3=二，則變=cos^=^

4AC42

故答案為：—

15.在空間直角坐標系中，已知點人(0,0,2)、5(2,0,1),C(0,2,l),若點尸(x,y,0)在平面

ABC內(nèi)，則一個符合題意的點尸的坐標為.

【答案】(2,2,0)(答案不唯一，只需滿足x+y=4即可)

【解析】

【分析】求出平面ABC的一個法向量機的坐標，根據(jù)AP?機=0可得出x、y所滿足的關(guān)系式，即可得解.

【詳解】設(shè)平面ABC的法向量為加=（。,4c）,AB=（2,0,-l）,AC=（0,2,-1）,

m-AB=2a-c=0

則,取c=2,可得加=(1,1,2),

m-AC=2b-c=Q

因為P在平面ABC內(nèi)，則APu平面ABC,且AP=（羽y,—2）,

AP-m=x+y-4-=0,

故滿足條件的一個點P的坐標為（2,2,0）.

故答案為：（2,2,0）（答案不唯一，只需滿足x+y=4即可）.

16.如圖，在邊長為1的正方體ABC。-44G2中，E是棱AA上的一個動點，給出下列四個結(jié)論:

②不存在點E,使得與。，平面BED］；

③對每一個點E,在棱。C上總存在一點尸，使得AP〃平面3E2；

④點E到DC1的距離的最小值為1.

其中正確結(jié)論的序號是

【答案】①②④

【解析】

【分析】連接穌片，，求出三棱錐用-BED1的體積可判斷①；根據(jù)。片與BQ不垂直可判斷

②；當點E與點A重合時，AP與平面BED1相交可判斷③；根據(jù)A&LAD,CDLAD得異面直線

A4,CD之間的距離為1可判斷④.

【詳解】對于①，連接BD,EBrBR,因為A4〃平面，

所以A/上所有點到平面的距離相等，為等，

因為sB=!與2X=走，所以三棱錐4—BED,的體積

D\DLf\21112

=!為定值，故正確;

6

對于②，連接5。,與。，因為BB1=1,B］R=拒,所以四邊形3DD］用為長方形,

所以。用與BA不垂直，故不存在點￡,使得用。，平面BE，，故正確;

AP與平面3E，相交，故錯誤;

AB

對于④，因為平面GOu平面￡>℃￡),所以A。，。］。,

又異面直線44,CD之間的距離為1,

所以當點E在棱AA］上運動時，點E到。a的距離的最小值為I,故正確.

故答案為：①②④

【點睛】思路點睛：對于①，根據(jù)44〃平面旦，得出A4上所有點到平面g的距離相等,

再求出SB、BD、，可得三棱錐用-BED,的體積為定值.

三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.已知拋物線C：y=2px(p>0)的焦點/到準線的距離是2.

(1)求拋物線C的方程和準線方程；

(2)若斜率為1的直線/經(jīng)過拋物線C的焦點E，且與拋物線C相交于A,3兩點，求線段A3的長.

【答案】(1)/=4%,x=-l

(2)8

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)，焦點E到準線的距離是，=2,可得解；

(2)根據(jù)拋物線焦點弦公式求解.

【小問1詳解】

焦點/到準線的距離是p=2,

拋物線C的方程為V=2px,即/=4x.

準線方程為x=—1.

【小問2詳解】

由⑴知焦點廠(1,0),直線/的方程為y=

由y"=x*-1‘消去'得入6川=0,

貝!J%+無2=6,%無2=l,A=62-4>0,

AB=%+々+.=6+2=8

18.如圖，在長方體ABC?！?與CQi，AB=AD=2.A4,=4,點E為。，中點.

(1)若平面ABE與棱CQi交于點尸，求證點尸為G。的中點；

(2)求平面A31E與平面A3CD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵逅.

6

【解析】

【分析】(1)方法1：由面面平行性質(zhì)可證：ABJ/EF,可得EF//DC],即可完成證明;

方法2,連結(jié)。G，由A與〃￡>G可得。G〃平面AB]E,再由線面平行性質(zhì)可完成證明;

方法3,建立空間直角坐標系，由向量法可完成證明；

(2)建立空間直角坐標系，求出平面與平面ABCD的法向量，即可得答案.

【小問1詳解】

解法一：ABHCD,A\HDDX,ABAAl=A,CDDD、=D,

：.平面ABBA/1平面CDD6.

又.平面ABBX\平面ABXE=ABX,平面平面ABiE=EF,

ABJ/EF.

又AD/電G，AD=Bg,四邊形A4G。為平行四邊形.

ABJ/DC,,EFHDC}.

又點E為。2中點，，點E為G。的中點.

解法二：連結(jié)DG，在長方體ABCD-A4GA中，AD"B\G，AD=BC，

四邊形AB^D為平行四邊形，，ABJ/DC,.

ABtu平面ABXE,DC1<Z平面AB}E,

DG〃平面

又DC,U平面CDRG,平面AB[En平面CDDXCX=EF,

EF//DC,.

又點E為中點，點、F為CR中點.

解法三：建立空間直角坐標系。-孫z,（建系及求法向量見小問2詳解），

設(shè)下（0,加4）,則衣=（-2,%4）,

由“叢尸二。，得一2-2y+4=0,

y=i,...點/為G。的中點.

【小問2詳解】

因為D4,DC,。。]兩兩互相垂直，以。為坐標原點，如圖所示建立空間直角坐標系。-孫z,

則0(0,0,0),4(2,0。)，3(220),C(0,2,0),E(0,0,2),AE=(-2,0,2)，

A(2,0,4),D、(0,0,4),C,(0,2,4)，1(2,2,4),AB,=(0,2,4).

n-AB,=0

設(shè)平面AB*的法向量為n=(x,y,z)，則{

n-AE{=0

令x=l,得”=2,1).

平面ABC。的法向量為%=(0,0,1),

設(shè)平面ABCD與平面ABA夾角為°,

|m-n|1

所以cos6=cos(m,n

平面ABC。與平面ABXE夾角的余弦值為

19.如圖，在四棱錐P—A5CO中，平面R4Z)_L平面ABCD,底面ABCD為矩形，E為線段尸D的中

點，AB-1，PA=AD=2"

(1)求證：P5//平面ACE；

(2)從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知,

求(i)點尸到平面ACE的距離；

(ii)直線”與平面ACE的夾角的正弦值.

條件①：PB±AD；

條件②：AE=42-

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)證明見解析

(2)(i)如；(ii)亞

36

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線線平行，即可由線面平行的判定求解，

(2)不管是選擇①還是條件②，都是根據(jù)空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化證明出以，進而根據(jù)面面垂直的性

質(zhì)得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求解平面法向量，根據(jù)點到線的距離公式求解(i),根

據(jù)線面角的幾何法或者向量法即可求解(ii).

【小問1詳解】

連接交AC于點尸，

E是尸。的中點，E是中點

EF//PB.

又一EFu平面ACE,平面ACE,

。5//平面4。石.

【小問2詳解】

選條件①：LAD作為已知，

PB±AD,ABYAD,ABcPB=B,平面Q4B,

???AD,平面a45,2Au平面JR45.

AD±PA,

選條件②：AE=拒作為已知，

因為等腰三角形？AD中，E為線段尸。的中點，所以

AE=亞得PE=ED=日

所以24?+A￡)2;0斤，故A￡)_LB4.

因此不管選①還是②，都得到ADLH

平面75Ao_L平面ABCD,交線為AD，ABYAD,ABu平面ABCD,

AB，平面？AD,1B4u平面？AD,，AB±PA.

建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-孫z.則A(0,0,0,),C(l,2,0),E(0,l,l),

AE=(0,1,1),AC=(1,2,0).

n-AC=0

設(shè)平面ACE的法向量為〃=(x,y,z),貝卜

n-AE=0.

x+2y=Q

「?<八令x=2，則y=-1，z=1.

y+z=0.

〃=(2,—1,1)是平面ACE的一個法向量.

AP=(0,0,2),

二點P到平面ACE的距離為d=印g=|0x：+0x(f生=.

同百+㈠門+儼3

設(shè)直線AP與平面ACE所成角為6,則直線”與平面ACE所成角的正弦值為

.?.sin^=—=—

AP6

解法二：AP=(0,0,2),?=(2,-1,1)

/…\APn0x0+0x(-l)+2xl瓜

'/網(wǎng)網(wǎng)2xy/22+(-l)2+l26-

sin6=cos(AP,〃)=-

20.已知橢圓C：，+，=l(a>6>0)的離心率為且經(jīng)過點

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)斜率為3的直線與橢圓C交于M，N兩點(M，N不與A重合)，直線A〃，AN與x軸分別交于

P，Q兩點，求證：△AP。是等腰三角形.

22

【答案】(1)—+^-=1

43

(2)證明見解析

【解析】

分析】（1）根據(jù)題意列方程組計算求出即可得解；

（2）設(shè)直線/的方程為y=gx+zn,M（X］，x）,N（乙,%），聯(lián)立方程，利用韋達定理求出

%+々,%工2，再證明Aw+的"=0即可.

【小問1詳解】

1

a—2

a2

由題意得=02又a>>0,解得<b=y/3,

9c=1

—+^=1

U2b2

所以橢圓C的標準方程為三+二=1.

43

【小問2詳解】

122

設(shè)直線方程為y=—x+根，代入土+匕=