重難點2-4導函數(shù)與原函數(shù)混合構(gòu)造

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預測

導函數(shù)與原函數(shù)構(gòu)造問題在高考中多以選擇題和2025年高考預計仍主要以選擇題和填空題為主，重

填空題形式出現(xiàn)，題目難度適中.通過構(gòu)造函數(shù)，點考查通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而比較函數(shù)值的大性、極值等性質(zhì)解決不等式問題及比較函數(shù)值大小

小及解不等式，重點考查學生對導數(shù)與原函數(shù)關系問題.

的理解和應用能力.

重難點題型解讀

題型1構(gòu)造/(X)士g(x)型函數(shù)題型6構(gòu)造函數(shù)/(外同優(yōu)

題型2構(gòu)造/)MX)啾X)/%)題型7構(gòu)造了(X)與"型函數(shù)

題型3構(gòu)造函數(shù)導函數(shù)與原函數(shù)混合構(gòu)造題型8構(gòu)造/(x)與出x型函數(shù)

題型4構(gòu)造函數(shù)/(x)/'題型9構(gòu)造/(x)與三角型函數(shù)

題型5構(gòu)造函數(shù)題型10其他綜合型函數(shù)構(gòu)造

題型1構(gòu)造“X)土g(x)型函數(shù)

對于不等式/''(X)>g。),構(gòu)造"(x)-g(x)]'=/'a)-g'(x)

對于不等式/'(x)>k(kw0),構(gòu)造[f(x)—(kx+/?)]'=/'(%)_k

i

對于不等式/r(%)>ax+b(a^O),構(gòu)造"QO-Sx?+bx+c)]'=f'^x^—ax—b

1.(23-24高三下?湖南婁底?月考)已知定義在R上的可導函數(shù)〃x),當尤e(O,y)時，/'(力-1>0恒成立,

且對任意的實數(shù)x,都有/(x)—〃f)=2x,^/(o)-a../(2-a)-(2-fl),則實數(shù)“的取值范圍是()

A.[-2,1)B.[0,1]C.[1,+co)D.[2,+oo)

【答案】C

【解析】設g(x)=〃x)-x,當x>0時,/,(JC)-1>0=>[/(X)-X]>0=>g'(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

〃x)—/(—x)=2xn〃x)—x=/(—x)—(-x)=g(x)=g(—x),所以g(x)為偶函數(shù)，

所以〃°)一。2/(2-。)-(2-a)og(a)2g(2—a)o同才2-同，兩邊平方解得aZl.故選:C

2.(24-25高三上?河南安陽?月考)已知定義在R上的函數(shù)〃尤)的導函數(shù)為/(x),若"1)=3,且VxeR,

廣(一力>1,貝IJ/(一x)<2—x的解集為()

A.(-co,-l)B.(-1,1)C.(1,+co)D.(-1,+co)

【答案】D

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(尤)=/(一尤)+尤，g(-l)=3-l=2,

g'(x)=-尸(-尤)+1<0,即函數(shù)gQ)在R上單調(diào)遞減，

“一力<2-元等價于g(x)<g(-l),解得x>-l.

即/(-x)<2-x的解集為(-1,+8).故選：D

3.(24-25高三上?福建南平?期中)定義在R上的函數(shù)/(可滿足/(x)<x,且/⑴=1,則不等式

16/⑶一4""<0解集為()

A.(-oo,l)B.(-<?,0)C.(l,+oo)D.(0,+ao)

【答案】C

【解析】不等式―工3<0等價于44㈤-<0,

可得2/(力</+1,即可得y(x)<F；

令函數(shù)g(尤)=/(尤卜?，可得g'(x)=f'(x)-X,

又(x)(尤可得g'(x)=/'(x)-尤<。恒成立，

l2.1

因此g(x)在R上單調(diào)遞減，又g⑴=〃1)一一=0,

2.1丫211

所以〃制<v胃■等價于〃尤)一胃■<(),即g(x)<g(l)；解得無>1,

所以不等式16/W-<+1<0解集為(1，”).故選：c

4.(24-25高三上?江蘇揚州?開學考試)設函數(shù)〃力在R上存在導數(shù):(x),VxeR,有/'(r)+〃x)=Y,

在(0,+e)上/'(x)<x,^f(3-2m)-/(2m)>|-6m,則實數(shù)，W的取值范圍是()

[)「1)r,\「3)

A.-,+ooIB.-,+℃IC.[l,+oo)D.-,+coI

【答案】D

【解析】因為/(—x)+『(x)=x2,所以〃-0)+〃0)=0,得到"0)=0,

因為『'(x)<x，所以/''(x)—x<0，令g(無)=/(尤)-；尤2，g(0)=/(0)=0

所以g(x)+g(_x)=/(x)-g尤2+/(一龍)=/(尤)+/(_尤)_%2,

因為〃-x)+/(x)=xt所以g(x)+g(f)=0,所以g(x)為奇函數(shù);

g'(x)=f'(x)-x,當x>0時，g,x)<0,g(x)單調(diào)遞減,因此g(x)在R上單調(diào)遞減;

g(3-2〃?)=/(3-2/77)-(3-2/7?)2,g(2?i)=〃2加)-,

11?Q

所以/(3_2m)_/(2m)=g(3-2m)+—(3—2m)?—(2m)=g(3—2m)—g(2m)+~-6m,

9Q9

因為/(3—2m)-/(2m)2耳一6根,所以g(3-2機)-g(2機)+萬一6機2萬一6機

即g(3-2m)-g(2m)>0,所以g(3-2/n)Ng(2m),

由于g(%)在R上單調(diào)遞減，所以3-2mK2機，解之得加2“故選：D

題型2構(gòu)造/(X)?g(x)或/(%)/9(%)

00

對于不等式r(x)g(?+/(%總'(%),構(gòu)造"a)g(九)r=r(x)g(x)+/(龍必‘(龍)

g工7*-r，/、/、r,、"、出."(X)Y/(x)g(x)—/(x)g'(x)

對于不等式f(九)g(x)-f(x)g(x),構(gòu)造[丁<]=------——--------

g(x)[g(x)]

1.(24-25高三上?全國?專題練習)設y=/(x)、y=g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當尤<0時,

/V)g(x)+/(x)g，(x)>0,且g(3)=0,則不等f(x)g(x)<0的解集是.

【答案】(F-3)50,3)

【解析】y=/(x)、y=g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

所以;'(一x)=—/■(%)、g(-x)=g(x),

令h(x)=/(x)g(x),則h(-x)=/(-x)g(-x)=-/(x)g(x)=-h(x),

因此函數(shù)/7(元)在R上是奇函數(shù)，

i?當尤<0時，h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,

...g)在(_8,0)上單調(diào)遞增，在(O,—)上單調(diào)遞增，且〃(0)=0,

g(3)=0,;.g(-3)=g(3)=0,

因為無(-3)=/(-3)g(-3)=0,M3)=f(3)g(3)=0,

所以尤<一3時，/i(x)=/(x)g(x)<0,-3<x<0時，h(x)=f(x)g(x)>0,

0<x<3時，fi(x)=f(x)g(x)<0,x>3時，〃(x)=/(x)g(x)>0,

不等式/(x)g(x)<0的解集是(y,—3)。(0,3).

2.(23-24高二下?寧夏銀川?期末)已知函數(shù)〃尤)是R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是R上無零點的偶函數(shù)，若

/(-2)=0,且r(x)g(x)>〃尤)g,x)在(9,0)恒成立，則斗斗<。的解集為________.

g(町

【答案】(一2,0)u(0,2)

【解析】因為g(X)肛設3)=陪,可知g)的定義域為R,關于原點對稱,

由題意可得：〃(-"=箕=-緇=⑴，可知八⑺為奇函數(shù),

又因為〃(x)J(x)g叱

且廣(X)g(X)>/(X)g'(尤)在(-8,0)恒成立，即f'(x)g(x)-/(x)g,(x)>0,

可得〃O)>0在(-力,0)恒成立，可知九0)在(-力,0)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知八(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

又因為/(—2)=0,可得網(wǎng)―2)=0,則乂2)=0,

對于不等式*<。，顯然“。不合題意，則有:

若xe(—8,0),可得器>0,Bp/i(x)>/z(-2),解得—2<x<0；

若x6(0,+8),可得號<0,即Mx)</z(2),解得0<x<2；

綜上所述：瑞<。的解集為(一2,0)。(0,2).

3.(23-24高三下.江西新余.模擬預測)(多選)已知定義在［。,以上恒正且可導的函數(shù)f(x)與g(x)滿足

rC\/⑺g'(x)

4)>g(a)，KJ>而則()

A.f(b)g(a)>f(a)g(b)B./(6)g(a)V〃a)g(》)

C.f(x)>g(x)恒成立D.〃尤)與g(x)的大小關系無法確定

【答案】AC

【解析】令h(x)=器,則“(X)/'(x)gO)一/(1)，(九)

g(x)g2(x)

且得〉jS/(x)與g(H恒正，

:.f'(x)g(x)>f(x)g'(x)=>h'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，

\h(a)<h(b),即:要〈坐nf(6)g(a)>>/(a)g?,故A正確，B錯誤.

法一：/?(元)=僅>%。)=44>1,.?"(x)>g(x)成立，故C正確，D錯誤.

法二：令/(x)=l時(x),G(x)=lng(尤)，^(x)=F(x)-G(x),

O'(x)="(x)-G(x)=-需>0,0(x)單調(diào)遞增,

又破(a)>0,故破(x)>0,

.?I(x)>G(x)n/G)>g(x).故C正確，D錯誤.故選：AC

4.(24-25高三上?全國?專題練習)已知〃x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，g(x)wO，r(x)g(x)</(x)g，(x),

〃x)=Qg(x),嚕+U<，在有窮數(shù)列坐5=12,1。)中，任意取前左項相加，則前左項和

OX1/O\L)\fl1

大于大的概率是()

4

D.

7

【答案】B

—瑞則"「一。,

故。(%)=優(yōu)單調(diào)遞減，所以Ovavl.

“1)+，(T)…1.5解得?=；,

g⑴g(Ta2

則數(shù)列’)]=，其前n項和S=，

g(〃)l2jl2j

因為1一(口>—,所以”>6,故尸=±=2.故選：B

⑵64105

題型3構(gòu)造函數(shù)〃x)x"

Iigee

對于不等式W'(x)+7礦(x)N0,構(gòu)造，〃X)I=X"/'(X)+/T/(X)=X"TW'(X)+4(X)]

(注意X的符號)

特別的：對于不等式獷'(x)+/(x)20,構(gòu)造W(x)I=/(x)+/(x)

1.(23-24高三下?江西南昌?三模)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且〃2)=-1,對任意xeR,/(x)+?'(x)<0,

則不等式(x+l)〃x+l)>-2的解集是()

A.(-?,1)B.(-00,2)C.D.(2,+co)

【答案】A

【解析】設g(x)=4(x)，則g⑵=2〃2)=-2,

對任意xeR,f{x}+xf\x)<G,

g'(尤)=/?+xf'(x)<0恒成立，即g。)在R上單調(diào)遞減，

由(升1)/卜+1)>-2可得g(x+l)>g⑵，.”+1<2,解得x<l,即解集為(-8,1).故選：A

2.(24-25高三上?海南海口?月考)已知函數(shù)在R上滿足〃r)=-〃x),且當時，

〃x)+V'(x)<0成立，若a=2叫/。)，6=ln2"(ln2),。=-/卜嗎￡|,則a",c的大小關系是()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.0a>b

【答案】c

【解析】令/7(X)=#(X),貝！]/?(-X)=-V(-X)=-X?[/(%)]=VW=/?(%),故版x)為偶函數(shù).

當xe(-co,0]時，〃在)=f(x)+4(x)<0,所以人(無)在(-00,。]上為減函數(shù)，

由h(x)為偶函數(shù)得h(x)在(0,+oo)上增函數(shù).

4=2g〃2。")=刈2。)8=ln2"(ln2)=〃(ln2),c=-/flog2=(-1).f(-1)=/z(-l)=/z(l),

因為2°">1>如2,所以/7(2"')>/7(l)>/7(ln2),即a>c>6.故選:C.

3.(23-24高三下?上海?月考)已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為尸⑴，且當尤<0時，

2/(x)+xf\x)<0,則不等式(無一2023)22023)-/(-I)>0的解集為.

【答案】(2022,2024)

【解析】令網(wǎng)力=//(力，則FQ)=2V(X)+X2/'(X)=X[2/(X)+#'(X)],

當x<0時，2/(力+獷'(龍)<0,

所以當尤<0時，r(x)=x[2/(x)+VV)]>0,

即尸⑺在(-雙0)上是增函數(shù)，由題意是定義在R上的偶函數(shù)，

所以f(一行=/(%),又F(-x)=(T)"(-X)=￡f(x)=F(x),

所以F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在(0,+s)上遞減，

所以F(x-2023)=(x-2023)2f(x-2023),F(-l)=(-l)2/(-D=/(-I)，

即不等式等價為F(^-2023)>F(-l),

所以|x-2023|<l,所以2022Vx<2024.

故答案為：(2022,2024).

4.(24-25高三上?遼寧沈陽?開學考試)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，((x)

是的導函數(shù)，當x>0時，3/(x)+V'W>0,且"2)=2,則不等式(x+l)?(x+l)>16的解集為()

A.(1,+(?)B.(-co,-2)L,(2,+co)

C.(-℃,1)D.(-oo,-3)u(l,+oo)

【答案】D

【解析】令g(x)=J〃x),貝必'(%)=3尤2/(*)+尤3/'(*)=爐[3/'(》)+#’(尤)],

因為當x>0時，3/(x)+礦(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又〃無)為奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，所以g(元)為偶函數(shù)，

由(X+1)3/(X+1)>23/(2),得歸+1]>2,解得x<-3或x>l.故選：D.

題型4構(gòu)造函數(shù)/(x)/x

對于不等式如X)-5及。，構(gòu)造［里］'=—7:/⑴=談⑴型⑴(注意X的符號)；

特別的：對于不等式獷'⑴-/(xRO,構(gòu)造［也］'=二⑴；)⑴I

XX'

1.(24-25高三上?河北張家口?月考)定義在(0,+8)上的函數(shù)/(X)的導函數(shù)為尸(%),若獷'(尤)-/。)<0,

且"3)=0,則不等式(尤-2)/(尤)<0的解集為()

A.(0,2)u(2,3)B.(0,2)1,(3,+8)

C.(0,2)。(2,+oo)D.(0,3)iJ(3,+oo)

【答案】B

【解析】依題意，令g(x)=&,求導得g'Q)=W'W；/(x)<0,則g(x)在(。,+⑼上單調(diào)遞減，

XX

由/(3)=。，得g(3)=0,不等式(％—2)/(%)v0o(%—2)v。o(%—2)g(x)v0,

x

x-2<0Jx-2>0\x<2|x>2

8(%)>0或1(幻<0即…<3或x>3'解得℃<2或》>3,

所以不等式(無-2"。)<0的解集為(0,2)1(3,+s).故選：B

2.(24-25高三上?重慶?月考)已知定義在R上的奇函數(shù)〃尤)的導函數(shù)為尸(無)，/(1)=0,當x<0時,

((同<?，則不等式(x-的解集為()

A.(-1,0)B.(-l,0)u(l,+w)

C.(3,一1)3。，1)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】A

【解析】尤<0時，生上即［*1］>o,；.g(x)=卓在(一與0)上單增，

乂〃x)為奇函數(shù)，；.g(x)=4。為偶函數(shù)，，g(x)在(0,+8)上單減，

g(l)=/(l)=。，故g(T)=g(l)=。，

所以光<一1或%>1時g(%)<0,當一1<%<0或0〈尤<1時g(%)>0,

當x〉］時,(x-l)-/(x)>0<=>y(x)>0<=>g(%)>0,XG0；

當x<l時，(x-l)?/(x)>0o/(x)<0,若0<x<l貝ijg(%)<0,XG0,

若x<0貝>0,-l<x<0,

若x=0則40)=0,(x-l)/(x)=0,不符合題意；

綜上，xe(—1,0),故選：A.

3.(24-25高三上?吉林長春?模擬考試)已知定義在(0,舟)上的函數(shù)〃x),f'(x)是的導函數(shù)，滿足

xf'(x)-2f(x)<0,且/⑵=4,則不等式/(2、)-4，>0的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+<?)D.(-oo,l)

【答案】D

【解析】設g(x)=駕，貝Ug'(x)=、叫2/(x),

因為尤>0,Vr(x)-2/?<0,所以g'(%)<0,可得g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

不等式“2，)>4"即/—'「IM,即土?>/曹，所以g(21>g(2),

4X4(2X)2

因為g。)在(o,+8)上單調(diào)遞減，所以2工<2，解得：X<1,

所以不等式的解集為：(f,D,故選：D

4.(24-25高三上?河北石家莊?期中)已知定義在R上的函數(shù)/(2x-l)關于1g,01寸稱./(-2)=0,且當x>0

時，3/(x)-x-r(x)<0,則不等式r(x—1)>0的解集為.

【答案】(—,—1)(0,1)(3,田)

【解析】因為“21)關于心,。]對稱，故〃21)+/[2(1-月一1]=0,

故/(2x—1)+/。—2x)=0,=-/(%),故為奇函數(shù)，

設g(x)="d，貝ijg'(尤)=其中》>0,

XJi

故g(x)在(0,+力)為增函數(shù)，而g(-x)="：)=g(x),

—X'

故g(x)在(-00,0)3。,+00)為偶函數(shù)，故g(x)在(-00，。)為增函數(shù)，

而g(-2)=￡^=0,

-O

故當一2Vx<2,xw0時，g(x)<0；

當xv-2或x>2時，g(x)>0,

故當一2<x<0或X〉2時，/(x)>0,當0<尤<2或無<一2時，/(x)<0,

/、fx>0fx<0

而獷(1)>°等價于由1)>。或'1)<。,

當%>0時，一2vx-l<0或尤一1>2時，故0<x<l或x>3；

當X<0時，0<%—1<2或工一1<一2,故犬<一1,

故加X—1)>0的解集為(一8,—1)3?！?33，+8).

題型5構(gòu)造函數(shù)/(x)e

九

對于不等式f(x)+nf(x)，構(gòu)造"(x)e"=f'(x)e,lx+nf(x)em=*"'(x)+叭切

I

，特別的：/'(x)+/(x)>0,構(gòu)造[e"(x)]'=eY/'(x)+/(x)]

1.(24-25高三上?新疆烏魯木齊?月考)已知函數(shù)〃尤)的導函數(shù)為f(x),且/a)+/'(x)>0在R上恒成立,

則不等式e2j+1/(2x+1)>e3-'/(3-x)的解集是.

【答案】

【解析】令g(x)=e"(x),貝必G)=e，[〃x)+「(》)]>0,

故g(x)在R上單調(diào)遞增，

由e2x+1/(2x+1)>e3-'/(3-x)可得g(2x+l)>g(3-x),

2

故2x+l>3-%，解得

故不等式的解集為'尤>||,

2.(24-25高三上?上海?期中)定義在R上的奇函數(shù),滿足/(x)+r(-x)>0,/(2)=1,則不等式

〃x+l)>9的解集為.

【答案】(1,+⑹

【解析】因為/(》)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(-尤)=-/(?.

兩邊求導，得到((一無)=/(無).已知〃尤)+((一幻>0,可得/(無)+/'(尤)>0.

令g(x)=ei/(x),g，Q)=e-/(x)+ei尸(x)=e^"(尤)+((初.

由于f(x)+f'(x)>0,又e>2>0,所以g'(x)>0,這表明g(x)在R上單調(diào)遞增.

不等式f(x+l)>4r可化為(尤+1)>1，

不等式/-"(*+1)>1即/"2/。+1)>62-2/(2),即g(x+l)>g(2).

因為g。)單調(diào)遞增，所以x+l>2,解得x>L

故不等式"x+D>的的解集為a+8).

3.(24-25高三上?安徽合肥?月考)定義在R上的奇函數(shù)〃x),且對任意實數(shù)x都有了(-"-W+"=0,

f(2024)=j.若〃x)+/'(r)>0,則不等式〃彳+1)>［的解集是()

A.(3,+oo)B.(^?,3)C.(1,+<?)D.

【答案】C

【解析】因為/(無)是奇函數(shù)，可得((力是偶函數(shù)，

又因為〃x)+1(f)>0,所以f(x)+因(x)>0,

令g(x)=e"(x),可得g，(x)="(x)+「(切1>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

因為/(-犬)-/1+丫)=。-1=1/(%)是奇函數(shù)，

可得/仔+尤］=/(-"=一小)，貝|］〃》+3)="4+尤)+芻=一忌+》)=〃龍)，

所以〃尤)的周期為3的周期函數(shù)，

因為〃2024)=〃674X3+2)=〃2)=L所以g(2)=e?x，=e,

ee

則不等式〃X+1)>，，即為e*〃x+l)>e,即g(x+l)>g(2),

又因為g(x)在R上單調(diào)遞增，所以x+l>2,解得x>l,

所以不等式+的解集為(1,+8).故選：C.

4.(23-24高二下?安徽滁州?期中)(多選)己知函數(shù)/(x)的定義域為R,其導函數(shù)為尸(x),且對任意的xeR,

都有/(x)+2尸⑺>0,則下列正確的是()

A.V2/(ln2)</(O)B.72/(in2)<^/(1)

C.^/(2)</(1)D.〃2)<學⑷

【答案】BD

【解析】4g(%)=e2f(X)-所以，(尤)=ge2/(x)+e2-(x)=ge2[〃x)+2廣(切,

因為/。)+2"(力>。所以g'(x)>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

所以g(。)<g(In2)<g(1)<g⑵<g(4),

即“0)〈夜/(山2)<五/⑴<W⑵<e2〃4),

則府⑵>/⑴,/(2)<ef(4),故AC錯誤，BD正確.故選：BD.

題型6構(gòu)造函數(shù)〃x)/e

對于不等式/'(%)—力?(%)，構(gòu)造［第］'=泮一尸

特別的：構(gòu)造［與］'=03￡=巫寧區(qū)

1.(24-25高三上?吉林?模擬預測)定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為r(x),若〃1)=0,f'(x)>f(x),

則不等式〃x)>0的解集為()

A.(0,+e)B.(1,+?)C.(0,1)D.(0,1)(1,y)

【答案】B

【解析】令g(x)=W，則g(x)的定義域為R,且g，(x)⑺,

因為/'(x)>/(x),即/'(尤)一因(x)>。,注意到e，>0,可得g'(x)>o,

可知g(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，且g6=?=0,

當尤>1時，g(x)="^>0,即〃力>0；

e

當x<l時，g(x)=^<0,即〃x)<0；

所以不等式/(力>0的解集為(1,+8).故選：B.

2.(24-25高三上?山西晉中?月考)已知定義在(-3,3)上的函數(shù)〃x)滿足〃尤)+e4"(―尤)=0,〃1)=/(x)

為〃尤)的導函數(shù)，當無目0,3)時，fr(x)>2f(x),則不等式e2"(2-x)<e4的解集為_____.

【答案】(L5)

【解析】令g(x)=萼,所以〃x)=e2，g(x),

e

因為/(x)+e4V(-x)=0,所以e?Jg(x)+e4'.-g(r)=0,

化簡得g")+g(T)=O,所以g(x)是(-3,3)上的奇函數(shù)；

易知(X)=.(小二2/)(可=尤),

7e4%e2x

因為當0Vx<3時，r(x)>2/(x),

所以當xe[0,3)時，g'(x)>0,從而g(x)在[0,3)上單調(diào)遞增，

又g(x)是(-3,3)上的奇函數(shù)，所以g(x)在(-3,3)上單調(diào)遞增；

考慮到8⑴二等=，=1,由e2"(2—x)<e4,得e2T(2f)g(2-x)<e4,

即g(2-x)<l號g⑴,

/、/、3<2—x<3

又g(x)在(-3,3)上單調(diào)遞增，得，解得1<尤<5,

[2—%<1

所以不等式e2V(2-x)<e4的解集為(1,5),

3.(24-25高三上?湖南?月考)已知函數(shù)“力是定義域為R的奇函數(shù)，當x>0時，/'(T)>2/(X),且〃1)=0,

則不等式“X)>0的解集為.

【答案】(一1,0)口(1,-)

【解析】因為/(X)為奇函數(shù)，定義域為R,

所以〃r)=-〃x)，兩邊同時求導可得一「(一司=一「(司，即廣(―x)=/'(x)且〃0)=0,

又因為當尤>0時，/(-%)>2/(%),所以/'(x)>2〃x).

構(gòu)造函數(shù)/z(x)=U2,則”(X)J"””,

ee

所以當x>0時，/?x)>0,〃(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

又因為"1)=0,所以旗l)=0,〃(x)在(1,內(nèi))上大于零，在(0,1)上小于零，

又因為e">0,所以f(無)在(1,+8)上大于零，在(0』)上小于零，

因為〃尤)為奇函數(shù)，所以/'⑺在T)上小于零，在(TO)上大于零，

綜上所述，〃x)>0的解集為(—1,0)51，心).

4.(24-25高三上?全國?專題練習)已知函數(shù)〃尤)的定義域為R,其導函數(shù)為f'(x),/(0)=|.若

/'(x)-3/⑺+1<0對于VxeR恒成立，則不等式3/(%)-3e3jr>1的解集為

【答案】(f,0)

【解析】設g(x)=^-1,xeR,

則小士/)?中

廣(力-3/(耳+1<0對VxeR恒成立,

二g'(x)<0對VxwR恒成立,

二g(X)在(-00,+00)上單調(diào)遞減.

由3/(x)—3e">1,得

〃。)1=41

又()=19

g0=--3e°-3-3

??.g(x)>g(O),「<0,.?.不等式的解集為(-嗎0).

題型7構(gòu)造Ax)與優(yōu)型函數(shù)

；對于不等式，(x)+Inaf(x)>0(<0),構(gòu)[a"(x)]‘uaX/'aHaXlnq/Xx)0口)]

1.(24-25高三上?全國?專題練習)已知〃x)在R上是奇函數(shù)，且(⑴為〃x)的導函數(shù)，對任意xeR,

均有成立，若〃-2)=2,則不等式的解集為()

In2

A.(-2,+oo)B.(2,+oo)C.(-oo,-2)D.(-00,2)

【答案】D

【解析】f(x)>f'(x)-ln2'/(x)<0.

令g(x)=守，則g'(x)=〃x)[(x”n2,

所以，(x)<0,則g(尤)在R上是減函數(shù).

由〃-2)=2,且外力在R上是奇函數(shù)，得〃2)=-2,則g(2)=%=-g,

又〃”>-2,708口)=手>-；=8出，

所以x<2,即不等式的解集為(-8,2).故選：D

2.(24-25高三上?全國?模擬預測)己知定義在R上的函數(shù)“力的圖象關于點(0,0)對稱，若對任意的xeR

有尸⑺+"x)xln2>。(/'(X)是函數(shù)f(無)的導函數(shù))成立，且〃l)=g,則關于尤的不等式

—2"2<〃X)<2T的解集是()

A.(-1,4-00)B.(-8,-1)C.(-1,1)D.(1,4-00)

【答案】C

【解析】因為函數(shù)/(力的圖象關于點(0,0)對稱，所以函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，

因為尸(x)+〃x)xln2>0,所以=2'[r(x)+〃x)ln2]>0.

令g(x)=/(x)x2，,則g(x)在R上單調(diào)遞增.

又〃l)=g/(-l)=-p所以g⑴=〃1)X2=；X2=1,4一1)="一》9一；.

因為-2"2<小)<2-*,所以一;</(力2*<1,即一”(力<1,

所以g(-l)<g(x)<g⑴，所以-Icxcl.故選：C.

3.(24-25高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?月考)已知/(x)是R上的奇函數(shù)，且對任意的X6R均有了(幻+《孚>。

m3

成立.若=則不等式/(x)<3j的解集為.

【答案】(-?」)

【解析】由“無)+曾>0得/'(x)+f(x)ln3>0.

m3

令g(無)=3"(x),則g'(x)=3r(ln3-/(x)+f(x))>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

又/?(-1)=T,/(x)為奇函數(shù)，

所以/⑴=1,g⑴=3")=3,

貝IJ/(%)<31o3'/(%)<3og(x)<g(l)ox<1.

故答案為：(-8,1).

4.(23-24高三上?江西宜春?開學考試)已知函數(shù)f(尤)是R上的奇函數(shù)，對任意的xeR均有成

立.若〃T)=T，則不等式〃x)<3i的解集為()

A.{尤I尤>1}B.{x\x<1}C.{JC|x>~l}D.{x\x<-l]

【答案】B

【解析】由“尤)得解(x)—/(x)ln3>0,

v7ln3

設g(x)=『，則g'(x)=.⑺?)->0.g(x)在R上單調(diào)遞增.

又/(—1)=-1,〃力為奇函數(shù)，

???/(-1)=-/(1)=-1-???/(1)=(1)=4^=

〃x)<3io^^<；og(x)<g⑴ox<l.故選：B.

題型8構(gòu)造了⑴與也x型函數(shù)

;對于不等式/''(x)lnx+/^>(<0),構(gòu)造"(x)In燈=r(x)lnx+y(x)，

XX

1.（23-24高三下?重慶?月考）（多選）已知函數(shù)在定義域（1,+8）內(nèi)恒大于0,且滿足了（xA獷'Mlnx〉。,

則下列不等式正確的是（）

A./（2）ln3>/（3）ln2B./（2）ln3<f（3）ln2

C.2/（2）>/（4）D.2/（2）</（4）

【答案】AC

r鏟辯］人<\/（I/i\皿?1［礦

【角牛析】令g（#=，XW（l,+8）,則X_”」

3，g⑴-（W一同L

由/（%）—才（x）lnx>0得,鼠）=/獷（x）lnx一〃切

」（Inx）2

所以g（x）在（1,+8）上單調(diào)遞減，

所以g（2）>g（3）,即:印>翟

所以f（2）ln3>/（3）ln2,故A正確，B錯誤；

/(2)/(4)_/(4)

又8出>8(4),即------------7---------------------------

ln2ln42In2

所以2〃2)>〃4),故C正確，D錯誤.故選：AC.

2.(24-25高三上?全國?專題練習)已知了(力是可導函數(shù)，且，(x)<xlnx?尸(x)對于也>0恒成立，貝I」()

A.2/(8)<3/(4)<6/(2)B.6/(2)<3/(4)<2/(8)

C.3/(4)<6/(2)<2/(9)2D.2/(8)<6/(2)<3/(4)

【答案】B

【解析】令g(x)=平，則g，⑺"

Inx%(inxi

當x>l時，由〃x)<xlnx?尸(x)得g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)=岑在(1,+8)上是增函數(shù)，

/(2)/(4)/(8)

于是g(2)<g(4)<g⑻，即-------<--------<-------

In2In4In8In221n23In2

化簡得，6/(2)<3/(4)<2/(8),故選：B.

3.(23-24高三上.重慶渝中?月考)已知函數(shù)/(無)是奇函數(shù)〃x)(xeR)的導函數(shù)，且滿足尤>0時，

lnx-f(X)+^f(x)<0,則不等式(x-985)/(x)>0的解集為()

A.(985,小)B.(-985,985)C.(-985,0)D.(0,985)

【答案】D

【解析】令函數(shù)g(x)=lnx"(x),則，(x)=J"(x)+lnx?尸(x)<0,即當尤>0時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,

因為g(l)=0,所以當0<x<l時，g(x)>0,當x>l時，g(x)<0.

因為當0<x<l時，lnx<0,當x>l時，lnx>0,所以當xe(0,l)-(1,+co)時，/(x)<0.

X/，(l)-lnl+/(l)<0,/(1)<0,所以當尤>0時，f(x)<0；

又/(x)為奇函數(shù)，所以當x<0時，/(x)>0,

/、/、[x<0[x>0

所以不等式(x-985),(x)>0可化為_或_,解得0<x<985,

IXJ>UIXJ<U

所以不等式的解集為(0,985),故選：D.

4.(23-24高二下?天津北辰?期中)已知〃尤)是定義在(0,")上的奇函數(shù)，((無)是〃尤)的導函數(shù),

〃1)NO,且滿足;(x)lnx+/a<0,則不等式(尤-2)〃x)<0的解集為.

【答案】(9,0)(2,口)

【解析】令g(x)=/(x)lnx(x>0),貝！|g(x)=/'(x)ln尤+乎<0,

可知g(x)=〃x)lnx在(0,口)上為減函數(shù)，而