函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

CCC

【解密高考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

【題型二】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

【題型三】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參

【題型四】二分法

【題型五】等高線

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂

解密高考

考情分析:1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.

2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用

3.高考以選擇填空最后一題為主，難度較大

備考策略|

：深刻理解如下幾個(gè)概念

1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于一般函數(shù)＞=式尤），我們把使Mx）=O的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/（x）的零點(diǎn).

（2）函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

方程/（x）=0有實(shí)數(shù)解。函數(shù)y="x）有零點(diǎn)Q函數(shù)y=/（x）的圖象與無(wú)軸有公共點(diǎn).

（3）函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)＞=兀0在區(qū)間伍，句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有腦）昉）＜0,那么，函數(shù)＞=/（無(wú)）在區(qū)間

（。，6）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在ceg,b）,使得*。）=0,這個(gè)c也就是方程五尤）=0的解.

2.二分法

對(duì)于在區(qū)間伍，手上圖象連續(xù)不斷且觴）也）＜0的函數(shù)v=*尤）,通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,

使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近雯點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

?題型特訓(xùn)提分----------------

【題型一】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

【例1】函數(shù)"x）=2x+lnx-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】B

【分析】分析函數(shù)/（尤）的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-6、y=lnx在（0,+8）上均為增函數(shù)，故函數(shù)/（x）在（0,+<?）上為增函數(shù),

因?yàn)椤?）=T<。，/（2）=ln2-2<0,/⑶=ln3>0,貝廳（2）〃3）<0,

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)/（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（2,3）.

故選：B.

【例2】函數(shù)f（x）=入一4+xlogzX在區(qū)間［1,4）內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為（）

A.[-4,1)B.(T,l]C.[-1,4)D.(-1,4]

【答案】D

【分析】令83=左+1唱》-土分析可知函數(shù)8（力=4+1鳴》/在［1,4）上為增函數(shù),且該函數(shù)在區(qū)間［1,4）

XX

g⑴W。

內(nèi)有零點(diǎn),可得出,即可解得實(shí)數(shù)上的取值范圍.

g(4)>0

【詳解】當(dāng)xe［l,4）時(shí)，由/（x）=b;-4+xlog2X=0可得左flog2x-3=0,

4

令g（x）=^+log2尤一一，

X

因?yàn)楹瘮?shù)y=log/、>=左-"在［1,4）上均為增函數(shù)，

X

故函數(shù)g（x）=Z:+k）g2X-B在［1,4）上為增函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)“X）在區(qū)間［1,4）內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)g（x）在區(qū)間［1,4）內(nèi)有零點(diǎn),

K1)="440

所以,解得一1〈無(wú)V4,

g(4)=^+l>0

因此，實(shí)數(shù)％的取值范圍是（-1,4］.

故選：D.

【例3】(多選)下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求零點(diǎn)的是()

【答案】ABD

【分析】利用二分法的使用條件，結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在給定區(qū)間加上連續(xù)不斷,

并且有A、B中不存在/(x)<0,D中函數(shù)不連續(xù).

故選：ABD.

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y=/U)在區(qū)間［a,切上的圖象是否連續(xù)；再看是否有五

若有，則函數(shù)y=A尤)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).

(2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.

【變式1】已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足Vx,yeR,/(3xy-2)-/(x)=/(^)/(y)+3y-7,且

〃。)+,(--，設(shè)函數(shù)g⑴.叫「則()

A.g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在(-2,-1)內(nèi)

B.g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，且2個(gè)零點(diǎn)分別在(-1,0)和(0,1)內(nèi)

C.g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在(0,1)內(nèi)

D.g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，且2個(gè)零點(diǎn)分別在(0,1)和(1,2)內(nèi)

【答案】C

【分析】根據(jù)已知求得f(x)=3x-l,進(jìn)而由解析式判斷g(x)的單調(diào)性，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在

區(qū)間，即可得答案.

【詳解】令x=y=0,得/(_2)-/(0)="(0)『-7,又/(0)+/(-2)=-8,

所以"(。)『+2/(0)+1=0,解得八0)=-1,所以/(-2)=-7,

令x=0,得f(_2)-/(0)=/(y)/(0)+3y-7,所以〃y)=3y-l,即〃x)=3x-l.

—X+1]

函數(shù)g（無(wú)）=/（尤）+II=3x-l+2-在R上單調(diào)遞增，且g(0)=--<0<g⑴=3.

故選：C

【變式2】已知函數(shù)/(x)=tan[x+]J-sinx

則在下列區(qū)間中，函數(shù)/（》）一定有零點(diǎn)的是（)

7171兀3兀3兀

A.B.D.

畤4922?TT,JI

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及零點(diǎn)存在定理判斷即可.

【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作〉=13口+1[,y=sinx圖象，如圖,

由圖象可排除AB選項(xiàng),

.3兀7t42^3V2

-sin—=tan----------<------------<0,

412232

/（7i）=tan（7i+]）-sin7i=tang=g>0,

7137r37r

所以由零點(diǎn)存在定理及圖象可知，函數(shù)“X）在上無(wú)零點(diǎn)，在彳，兀上有零點(diǎn)，

所以C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合函數(shù)圖象可判斷函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，再由零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.

【題型二】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

【例1】若函數(shù)y=/（x）（xwR）滿足/（x+2）=/（x）,且時(shí)，f（x）=l-x2,已知函數(shù)

則函數(shù)內(nèi))=—)在區(qū)間S內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.14B.13C.12D.11

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性畫(huà)出/(%)的圖象，結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象畫(huà)出圖象數(shù)形結(jié)合得出交點(diǎn)個(gè)

數(shù)即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】V/(x+2)=/(%),

/.v=/(x)(xeR)是周期為2函數(shù)，

：時(shí)/(尤)=1-尤2,貝獨(dú)=/(尤)，g(x)=?甲的圖象如下：

［ex,x<0

xv0時(shí)g(x)￡(0,1)且遞增，0<%<1時(shí)g(x)G(0,+oo)且遞減,

x>1時(shí)gM￡(。,+8)且遞增,

又/(-6)=l>g(—6),/(l)=g(l)=0,/(6)=l>g(6),

如

產(chǎn)於)1尸g(x)

-6-5^3-1O\135~6x

由圖知：區(qū)間［-6,6］上函數(shù)交點(diǎn)共有12個(gè).

故選：C.

【例2】若函數(shù)/(工)=%3+加+陵+(7有極值點(diǎn)占，%,且％</，〃%)=%，則關(guān)于尤的方程

3(〃x)y+24(x)+6=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】求導(dǎo)數(shù)t(x),由題意知4，%是方程3/+2℃+6=0的兩根，從而關(guān)于〃司的方程

3(〃x)y+24(無(wú))+6=0有兩個(gè)根，作出草圖，由圖象可得答案.

2

【詳解】f'(x)=3x+2ax+b,x1,9是方程3d+26+6=0的兩根，

由3(〃尤))~+24(無(wú))+6=0，得了(力=%或/(")="，

即3(〃x)y+24(耳+6=0的根為/(》)=石或/(力=%2的解.

,.1%<%,/(%)=%,根據(jù)題意畫(huà)圖：

由圖象可知/(X)/有2個(gè)解，/(X)氣有1個(gè)解，因此3(〃無(wú))y+24(x)+6=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念、以及對(duì)嵌套型函數(shù)的理解，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

【例3】已知是定義在R上的函數(shù)，且有〃x+l)=/(x)+l,當(dāng)0<尤41時(shí),f(x)=3x+l,則方程

〃x)=4的根的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由已知，討論x的范圍，求出函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后判斷方程根的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】/⑺是定義在R上的函數(shù)，且有/(尤+1)=〃力+1,

當(dāng)0cxW1時(shí)，/(x)=3x+l,

貝時(shí)，0<x+lWl,貝！j/(x)=/(x+l)-l=3x+3,

1<%<2時(shí)，0<了一141,/(耳=/(尤一1)+1=3左一1,

2<xW3時(shí)，0<x—2W1,/1(尤)=/'(%—2)+2=3x—3,

3<xV4時(shí)，尤)=/(x-3)+3=3x-5,

畫(huà)出函數(shù)/(x)與函數(shù)y=4的圖象，

4

3

/1fl.IIII

/1TIII?

/I?II?

4O|~1234*

由圖象可知方程/(%)=4的根的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

IN

(1)直接法：令式無(wú))=0,方程有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則八勸有多少個(gè)零點(diǎn).

(2)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.

(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式1］(多選)函數(shù)/'(x)=lnx+ox2-4依的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，將/("=0化簡(jiǎn)得到兩個(gè)函數(shù).討論兩

個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，并作出兩個(gè)函數(shù)圖像，即可得解.

［詳解］由/⑺=111?+依2_4依=0,XG(0,+oo),f#—=-a(x-4),

求函數(shù)/(力=hx+加-4依的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于求函數(shù)y=產(chǎn)和y=的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

函數(shù)>=￥的導(dǎo)函數(shù)，=—三，當(dāng)x?0,e)時(shí)y'>0；當(dāng)xe(e,+e)時(shí)y'<0.

所以函數(shù)y=?在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+力)單調(diào)遞減.

%=e時(shí)有最大值Lx=l時(shí)y=0,

e

%>1時(shí)y>0,龍f+8,y->0.

過(guò)定點(diǎn)(4,0)的直線y=-a(x-4),與函數(shù)丁=笥的圖像的交點(diǎn)數(shù)為1個(gè)或2個(gè)，如圖所示.

所以函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)或2個(gè).

故選：BC.

【變式2】已知函數(shù)〃尤)=1,g(x)=f(x)-〃z,若相e(0,l),則g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

2-x-1,x>l

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

1-3",x<0

【分析】根據(jù)已知有/(x)=3，-1,0<X<1并畫(huà)出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

l-3r,x<0

【詳解】由題設(shè)/(x)=3To〈尤<1,函數(shù)大致圖象如下,

-,x>l

其中當(dāng)X趨近于-?>時(shí)，當(dāng)X趨近于+8時(shí)，->0,

判斷y=/(x)的圖象與直線y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

由圖知，%e(o,l)時(shí)它們有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以函數(shù)g(x)=/(x)-加的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：B

【變式3】函數(shù)/(尤)=印的函數(shù)值表示不超過(guò)尤的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4,[2.1]=2,則方程W-sinx=0

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】利用〃》)=[劃的定義，進(jìn)行分段討論，找出與〉=011》圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】由題，Lx]=sinx,故-lWx<0時(shí)，印=-1,與丫=$1月沒(méi)有交點(diǎn),

當(dāng)X<T時(shí)，HIV-2,與丫=5]11%沒(méi)有交點(diǎn)，

當(dāng)0vx<1時(shí),印=0,與y=sinx有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)lVx<2時(shí)，W=l,與〉=5m》有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)2W尤時(shí)，[%]>2,與丁=$山彳沒(méi)有交點(diǎn)，

故共有2個(gè)交點(diǎn)，

故選：C.

【題型三】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參

【例1】已知函數(shù)/G）=sin笥+，皿5-也＞0）,xeR.若/（x）在區(qū)間（&2%）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則。的取

值范圍是.

【答案】HU!：

【分析】先把/（X）化成/（元）=］sin［。尤-弓］,求出/（x）的零點(diǎn)的一般形式為+）丘Z'根據(jù)了⑸

在區(qū)間（兀,2兀）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)可得關(guān)于左的不等式組，結(jié)合左為整數(shù)可得其相應(yīng)的取值，從而得到所求的取值范

圍.

1-COSG%1.1<2.(兀、

【詳解】由題設(shè)有/（%）=----------------1--——=——sincox——

2222I4)

令〃x）=0,則有ox-==fai#eZ,即_^+4,7

4X—，/C￡/

①

因?yàn)?（X）在區(qū)間（兀,2兀）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，

,71,5K

故存在整數(shù)%,使得竺Ng兀＜2兀＜竺五，

3CD

CO＞k+—

即，;，因?yàn)椤＃?,所以發(fā)NT且％+工4幺+』，故左=—1或左=0,

/5428

［28

所以0＜GW工或

848

iiri5-

故答案為：0,—u—.

I5」l_4?_

x+2尤V0

【例2】（多選）已知函數(shù)”元）=［旭J：。，若方程/⑴-時(shí)⑴-1=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則下列選

項(xiàng)正確的為（）

A.方程/（x）=0有2個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

B.函數(shù)/■（*）在（。,+8）上單調(diào)遞增

C.函數(shù)〃x）無(wú)最值

D.實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為,0

【答案】AC

【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象可以判斷ABC是否正確，對(duì)于D選項(xiàng)，將方程「（力-時(shí)（"一1=0是為

一元二次方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合分段函數(shù)的圖象性質(zhì)，得到根的分布，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.

x+2,x<0

【詳解】由函數(shù)〃x)=<解析式，可得函數(shù)圖象如圖:

|lgx|,x>0

由圖知方程/(尤)=0有2個(gè)的不相等實(shí)數(shù)根，函數(shù)/(%)沒(méi)有最值，故A、C正確；

函數(shù)f(x)在(0』)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

由于方程/⑺-對(duì)(x)T=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令f=/(x),

則產(chǎn)=0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以A=m2+4>0恒成立，

設(shè)產(chǎn)-加-1=0兩個(gè)不等的實(shí)根為k，<與)，由韋達(dá)定理知：?1+/2=m,r1?2=-l,

則卬L異號(hào)，由圖可知：匕<。，0<12<2,

即函數(shù)y=產(chǎn)一加一1有兩零點(diǎn)八?-p0),才2e(0,2]

3

22-2m-l>0,解得m(7，故D錯(cuò)誤.

2

故選：AC.

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)(范圍).

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【變式1】(多選)設(shè)函數(shù)了(力=2%3-3依?+1,則()

A.當(dāng)4=1時(shí)，“X)有兩個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)。<。時(shí)，*=。是/(》)的極大值點(diǎn)

C.當(dāng)a=2時(shí)，點(diǎn)(1,7■⑴)為曲線y=〃尤)的對(duì)稱(chēng)中心

D.當(dāng)a>0時(shí)，y=f(尤)在區(qū)間上單調(diào)遞增

【答案】ACD

【分析】根據(jù)因式分解可得函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像去研究函數(shù)的極大值、對(duì)稱(chēng)中心與單調(diào)性.

【詳解】已知/(%)=2城一3加+1,所以/(x)=6x?-6依=6x(x-。)，

當(dāng)4=1時(shí)，2x3-3d+l=(x-l)(2x2-x-l)=(x-l)2(2x+l)=0,方程有兩個(gè)根，所以A正確，

當(dāng)。<0時(shí),1(x)=6x(x-“)>0的解集為(-co,a)50,+oo),r(x)=6x(x—a)<0的解集為(a,0),

所以/(x)在0)上單調(diào)減，在(0,+s)上單調(diào)增，所以/(x)在0處取極小值，所以B錯(cuò)誤，

當(dāng)a=2時(shí)，/(X)+/(2-X)=2X3-6X2+1+2(2-X)3-6(2-X)2+1=-6=2/(1),

所以4》)關(guān)于(11(1))中心對(duì)稱(chēng)，所以C正確，

當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=6x(x-a)>0的解集為(一?,0)□(a，+00)，而(~°°，-。)U(-°°,0),所以/(%)在上單

調(diào)遞增，所以D正確.

故選：ACD

【題型四】二分法

【例1】已知函數(shù)/(X)=/-2x-1,現(xiàn)用二分法求函數(shù)〃X)在(1,3)內(nèi)的零點(diǎn)的近似值，則使用兩次二分法

后，零點(diǎn)所在區(qū)間為()

【答案】A

【分析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理結(jié)合二分法，不斷把區(qū)間一分為二計(jì)算求解.

【詳解】由二分法可知，第一次計(jì)算/(2)=3>0,X/(l)=-2<0,f(3)=20>0,

由零點(diǎn)存在性定理知零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上，

所以第二次應(yīng)該計(jì)算了［幻一在。，又〃2)>0,

所以零點(diǎn)在區(qū)間(|,2］上.

故選：A.

［例2］已知函數(shù)〃x)=x-er的部分函數(shù)值如表所示:

X10.50.750.6250.5625

“尤)0.6321-0.10650.277600897-0.0007

那么函數(shù)/(X)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確度為0.1)為()

A.0.55B.0.57C.0.65D.0.7

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析零點(diǎn)所在區(qū)間，再根據(jù)二分法可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題干所給數(shù)據(jù)可知，/(0.625)>0,/(0.5625)<0,且函數(shù)/(x)=x—?一”在R上為增函數(shù)，

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)“X)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間(0.5625,0.625)內(nèi)，

區(qū)間長(zhǎng)度為0.625-0.5625=0.0625<0.1,結(jié)合選項(xiàng)可知，其近似值為0.57.

故選：B.

【變式1】用二分法求方程3工=8-3》在(L2)內(nèi)的近似解時(shí)，記/(x)=3*+3x-8,若

/(1)<0,/(1.25)<0,/(1.5)>0,/(1.75)>0,據(jù)此判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間內(nèi).

【答案】(1.25,1.5)

【分析】由題意可得了(125)/(1.5)<0,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理以及單調(diào)性求得函數(shù)的零點(diǎn)所在的

區(qū)間.

【詳解】根據(jù)題意可得“X)在R上單調(diào)遞增，且〃1.25)/(1.5)<0,

所以函數(shù)/⑺的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(125,1.5).

故答案為：(1.25,1.5).

【題型五】等高線

2-|x|,x<l

【例1】已知函數(shù)/(尤)=[]0。(二ur>1，且關(guān)于X的方程y(x)=a恰有四個(gè)不同的根，從小到大依次

為西,工2，兀3，工4，則()

A.?e[l,2)B.玉+%2+4%3+Z最小值為9

C./(/(力)一/(力=。恰有6個(gè)不同的根D.3k,使得了(/(x))=左恰有8個(gè)不同的根

【答案】ABD

【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象后可判斷A的正誤，由圖象的局部對(duì)稱(chēng)性可判斷B的正誤，利用換元法可判斷CD

的正誤.

【詳解】/(X)圖像如下,

可知。目1,2)時(shí)，與V=a恰有四個(gè)不同交點(diǎn)，所以A正確:

由對(duì)稱(chēng)性可知占+無(wú)2=。，而log2a-l)=~bg2(ZT)，所以(wTN-1)=1，

貝！11=1,所以4退+%=(4退1=4+1+—H->9,

X3X4I尤3X4)X3X4

3

當(dāng)且僅當(dāng)X3=/,%=3,。=1時(shí)等號(hào)成立，B成立：

對(duì)于/(/(x))-/(x)=0,令t=/(x),

則/?)=，有兩個(gè)不同根，％4/2?1,2),

“力士,/(龍)=馬各有四個(gè)不同根，共有八個(gè)不同根，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令/=/(%),/?)=左在左=2時(shí)有三個(gè)根：r1=0,r2G(l,2)J3>2,

而/(x)=0有2個(gè)不同根，〃力=/2有4個(gè)不同根，/(x)j有2個(gè)不同根，

共8個(gè)，所以D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：嵌套方程的零點(diǎn)問(wèn)題，一般刻畫(huà)出內(nèi)外兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，再根據(jù)外方程的解

判斷內(nèi)方程的解，從而得到原方程的解的個(gè)數(shù).

f2國(guó)+1Y<1

【例2】已知函數(shù)〃到=2/<j若"尤)=機(jī)有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解毛，Z，%，匕，下列說(shuō)法正

x—4x+6,x21

確的是()

A.有最小值2B.機(jī)的取值范圍是2〈機(jī)W3

C.%+尤2+W+X4=4D.方程/=有4個(gè)不同的解

【答案】ACD

【分析】由題意作出函數(shù)/(x)的圖像，由圖像即可判斷AB；根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)

合圖象即可判斷C；令/(力=心數(shù)形結(jié)合即可判斷D.

【詳解】解：由題意作出函數(shù)“X)的圖像，如圖所示：

可得4(0,2),吊(1,3),C(2,2),0(3,3),

所以/(x)有最小值2,故A正確；

M有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解9，%,X4,可得2<〃Z<3,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?泗+1為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

又y=X2-4x+6的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=2,

所以由對(duì)稱(chēng)性可知%+X?=0,x3+x4=4,可得玉+尤2+$+匕=4,故C正確；

令/(x)=/,則方程/(/(%))=|可化為方程/(0=|)

結(jié)合圖像得〃/)=■!有4個(gè)解”24W，且T<：<0,0<f2<1,l<t3<2,2<r4<3,

因?yàn)椤▁)有最小值2,所以只有當(dāng)2</<3時(shí)，〃x)=r有4個(gè)不同的x與之對(duì)應(yīng)，

故方程/(〃司)=|有4個(gè)不同的解，故D正確，

故選：ACD.

【變式1】(多選)已知函數(shù)〃尤)='",令h(x)=f(x)-k,則下列說(shuō)法正確的是()

[-2+Inx,x>0

A.函數(shù)的增區(qū)間為(0,+s)B.當(dāng)〃(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，丘《-3]

C.當(dāng)左=-2時(shí)，，7(x)的所有零點(diǎn)之和為—1D.當(dāng)上e(-s,T)時(shí)，人(無(wú))有1個(gè)零點(diǎn)

【答案】BD

【分析】函數(shù)=結(jié)合二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，作函數(shù)/(x)的圖象，根據(jù)

[-2+Inx,x>0

圖象找出單調(diào)增區(qū)間即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)圖象觀察函數(shù)y=f(x)和y=上圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)上的取值范圍

即可判斷選項(xiàng)B；解方程/(為=-2即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)左e(-叫-4)時(shí)，觀察函數(shù)丫=/口)和、=左的圖象的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】作出函數(shù)/'(工)」二十〃一3"：°的圖象如圖所示，/(_1)=_4)/(0)=-3,

-2+Inx,x>0

對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(-L0]和(0,+8),故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

h(x)的零點(diǎn)是函數(shù)y=/(x)和y=左圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，當(dāng)力(無(wú))有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，上e(T,-3],故B選項(xiàng)正確；

x>01W0_

對(duì)于C選項(xiàng),由和入2,-3=-2得E或尤=一1一3,即當(dāng)"一2時(shí)，3)有兩個(gè)零點(diǎn),

—2+Inx=-2

-1-&和1,所有零點(diǎn)之和為-0,故c選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)左€(-8,-4)時(shí)，函數(shù)＞=/(尤)和'=左的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即〃(X)有1個(gè)零點(diǎn)，故D選項(xiàng)

正確.

故選：BD.

|2x-l|,x＜2

【變式2］已知函數(shù)”x)=3，若方程/(%)=〃有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

——,x＞2

—1

A.(1,3)B.(0,1)C.(0,2)D.[0,1]

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，作出函數(shù)y=/(x)的圖象，將方程實(shí)根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題求解.

【詳解】方程〃x)=a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=a有三個(gè)不同交點(diǎn),

作函數(shù)＞=/(無(wú))的圖象如圖所示，/(2)=3,

觀察圖象，得當(dāng)。＜。＜1時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=a有三個(gè)交點(diǎn),

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).

故選：B

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合以及作圖的規(guī)范

例1已知人是函數(shù)=de，+lnx的零點(diǎn),則1。.In%=

【解析】由題可知，((x())=*e而+ln/=0,

nx

所以=-lnx0n/e*=-^°-J-inJ->Q,

X。兀0%0

令/(x)=xe\(x>0)，則/(x)單調(diào)遞增，且“無(wú)。)=/

,11,

所以x°=ln一,所以ex。=一

所以砂-111%=工(-天0)=-1.故答案為：_i

%

例2、函數(shù)/(x)=2sinxsin(x+0)—x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為