PAGE19-第十屆全國周培源大學生力學競賽（個人賽）試題出題學校：本試卷共4題滿分120分時間3小時30分注意：答卷中各題所得的最后計算結果用分數表示或用小數表示均可。第1題（30分）(A)題1圖(B)AOv0BCCAv0sOB某工廠利用傳送帶運輸邊長為b的均質正方體貨箱。已知貨箱質量為m，繞自身中心軸的轉動慣量為J，并且，傳送帶A傾角為()，速度為，傳送帶C水平放置，(A)題1圖(B)AOv0BCCAv0sOB(1)若貨箱在O處由靜止輕輕放在傳送帶A上，如圖(A)所示，試判斷貨箱在到達剛性支承B之前是否會翻倒，并論證你的結論。(2)當貨箱運動到傳送帶A底部時，其角部恰好與剛性支承B的頂端發(fā)生撞擊，假設撞擊過程為完全非彈性碰撞，貨箱能順利翻過剛性支承B到達傳送帶C，如圖(B)所示，則釋放點O到傳送帶A底部的位置s應該滿足什么條件？（忽略兩個傳送帶之間的距離）第2題（25分）題2圖(A)(B)ORABdqROA題2圖(A)(B)ORABdqROAjB(1)如圖(A)所示，試求猴子處于距桿AB端點A距離為d時，桿的平衡位置？（用桿AB與水平線的夾角θ表示）(2)設兩只重量均為Q的猴子同時進行訓練。訓猴師首先讓猴甲靜坐在桿AB的A端，并且使猴甲-桿系統處于平衡，然后讓猴乙從桿的B端無初速的沿桿AB向猴甲運動，如圖(B)所示。試問猴乙應該如何走法才能不破壞原猴甲-桿系統的平衡狀態(tài)？第3題（30分）如圖傳送裝置中，AB是一段橫截面為矩形的梁，A端自由，B端固定。截面寬度為b，高度為。彈性模量為，泊松比為。設傳送帶連同帶上分布均勻的散裝物在單位長度上的重量為q，傳送帶給予AB梁單位長度的切向作用力為t。建立圖示的坐標系，考慮離A端為已知長度L的C截面，假定該截面中水平直線上的切應力均勻分布。(1)若q和t為已知，試確定C截面的上邊緣P點和下邊緣Q點的應力狀態(tài)，畫出單元體示意圖，并寫出各應力分量的表達式。(2)若q和t為已知，試求C截面上切應力的表達式。(3)事實上，q和t的數值不易直接得到。為了用電測法測定q和t的具體數值，擬在C截面所在區(qū)域且垂直于C截面的外表面上貼應變片。暫不考慮溫度補償片及組橋連接等事宜，先設計一個貼片最少的方案，并說明如何利用這些應變片的讀數來求得q和t的數值。AABCLABCLxyPQC題3圖第4題（35分）如圖橫梁的長度為，橫截面是底邊，高度的矩形。梁的左端A為固支端，右端B自由。材料性能常數，屈服極限和比例極限均為。今有一批質地均勻、每塊重量為、長度也為的軟金屬板需要整齊地疊放在梁上，如圖(A)所示?，F擬用一根長度為、直徑、材料與橫梁相同的圓桿來提高橫梁的承載能力。限于條件，只有梁下方處的地基可以對圓桿提供支撐；而且圓桿兩端都只能用球鉸與橫梁和地基相連接。兩個鉸支座的水平位置可以根據需要分別隨意調整，圓桿的長度也可以隨之而任意截取，如題圖(B)所示。(1)定性分析：如何使用這根圓桿，使之與橫梁形成合理的結構，才能盡可能多地放置金屬板？(2)不計橫梁和圓桿的重量，根據問題(1)的要求，設橫梁和圓桿的安全因數均為，設計和定量地計算這一結構。結果中長度精確到。(3)根據你的設計，加上支撐后的橫梁最多可以堆放多少塊金屬板？題題4圖(A)(B)1600BA1000BA第十屆全國周培源大學生力學競賽（個人賽）詳細參考解答及評分標準出題學校：評分總體原則各題均不限制方法。若方法與本文不同，只要結果和主要步驟正確，即給全分；若方法不同而結果不正確，各地自行統一酌情給分。本文中多處用圖形解釋，若試卷中未出現相應圖形但已表達了同樣的意思，則同樣給分。計算結果用分數或小數表達均可。本文中用淺黃色標識的公式和文字是給分的關鍵點，其后圓圈內的數字僅為本處的所得分值。第1題（30分）(A)題1圖(B)AOv0BCCAv0sOB某工廠利用傳送帶運輸邊長為b的均質正方體貨箱。已知貨箱質量為m，繞自身中心軸的轉動慣量為J，并且，傳送帶A傾角為（），速度為，傳送帶C水平放置，(A)題1圖(B)AOv0BCCAv0sOB(1)若貨箱在O處由靜止輕輕放在傳送帶A上，如圖(A)所示，試判斷貨箱在到達剛性支承B之前是否會翻倒，并論證你的結論。(2)當貨箱運動到傳送帶A底部時，其角部恰好與剛性支承B的頂端發(fā)生撞擊，假設撞擊過程為完全非彈性碰撞，貨箱能順利翻過剛性支承B到達傳送帶C，如圖(B)所示，則釋放點O到傳送帶A底部的位置s應該滿足什么條件？（忽略兩個傳送帶之間的距離）解答及評分標準(1)（本小題12分）首先分析貨箱在傳送帶上的運動。圖1-a(A)(B)GFFNa1FGFI1M圖1-a(A)(B)GFFNa1FGFI1Mx1FN由質心運動定理，，(1-1a)。(1-1b)式中，。由式(1-1)得貨箱質心的加速度。①(1-2)當貨箱與傳送帶同速的瞬間，二者相對靜止，無滑動摩擦。貨箱的最大靜摩擦力。(1-3)圖1-b(A)(B)GFFNa圖1-b(A)(B)GFFNa2GFFI2Nx2FN。(1-4)由上式解得。(1-5)按照上述方法求解得該階段貨箱的加速度。②(1-6)當，貨箱與傳送帶同速后將一起以速度作勻速運動。再分析貨箱是否會傾倒。貨箱相對于傳送帶滑動過程中，可能存在兩種傾倒情況：初始加速階段繞右下角M點傾倒，或同速后再次加速階段繞左下角N點傾倒②。在貨箱上考慮慣性力，記貨箱在上述兩種情況下的慣性力分別為和，利用達朗貝爾原理求解。如果考生只考慮了一種貨箱可能翻倒的情況，此處只給①分。首先分析貨箱繞右下角M點傾倒情況。設距M點距離為，如圖1-a(B)所示，根據達朗貝爾原理，，，①(1-7a)，。(1-7b)式中，。(1-8)由式(1-7)、(1-8)得。①(1-9)再分析貨箱繞左下角N點傾倒情況。設距N點距離為x2，如圖1-b(B)所示，同樣有，，②(1-10a)，，(1-10b)式中，。(1-11)利用式(1-10)、(1-11)得。②(1-12)由于，所以式(1-9)和式(1-12)滿足，。(1-13)即貨箱在傳送帶A上運動時不會翻倒。①如果考生只分析了一種貨箱可能翻倒的情況，但仍然得出“不會翻倒”這一結論，則此處不給分。(2)（本小題18分）設貨箱運動到底部與鋼支承B撞擊之前質心速度為。貨箱從O點開始運動，直到到達傳送帶C整個運動過程分三個階段。第一階段：從O點運動到傳送帶底部并獲得速度；第二階段：撞擊剛性支承B；第三階段：撞擊后貨箱運動到傳送帶C。先分析撞擊過程。由于貨箱和支承B碰撞過程為完全非彈性，所以撞擊后貨箱不會彈起，而是繞著碰撞點B作轉動①，碰撞前后質心速度方向發(fā)生突變。設碰撞后貨箱質心速度為，角速度為，碰撞前后的速度方向及碰撞沖量如圖1-c所示。圖圖1-c(A)(B)(C)v1BHIBHBHv22由圖1-c(B)，碰撞沖量滿足，(1-14)所以撞擊前后貨箱對B點的動量矩守恒，即②(1-15)式中，碰撞后速度，為貨箱相對于質心的轉動慣量。將兩式代入式(1-15)可得撞擊后貨箱的角速度。②(1-16)再分析撞擊后貨箱的運動。由于碰撞結束后貨箱運動過程中只有重力做功。故可利用機械能守恒求解。撞擊結束瞬間，如圖1-d(A)所示，貨箱的動能②(1-17)選取B點為零勢能點，則在該位置貨箱勢能圖1-d(A)(B)圖1-d(A)(B)BHv33Bv22Hh2h3只有貨箱跨過圖1-d(B)位置，才能到達傳送帶C，設該位置貨箱的動能為，撞擊后，貨箱能翻到傳送帶C的條件是①。貨箱的勢能為。(1-19)根據機械能守恒定律。(1-20)將式(1-17)~(1-19)代入上式得。①(1-21)由上式解得。(1-22)因此，要滿足，需有。①(1-23)從圖1-d中易求得，。將以上各式連同式(1-16)代入式(1-23)，得貨箱能夠達到傳送帶C的條件是，(1-24)即貨箱滑到底部，與剛支承B碰撞前至少具有如下速度。③(1-25)最后分析撞擊前貨箱能達到該最小速度的條件。由問題(1)可知，當，貨箱與傳送帶同速后，將以速度作勻速運動，此時若，則貨箱釋放點位置應滿足。①(1-26)若，s不管取何值，均無法滿足要求。①當，貨箱與傳送帶同速后還將繼續(xù)向下作加速運動，此時若，則貨箱速度未與傳送帶同步之前已經達到，s的表達式同式(1-26)①；若，則貨箱與傳送帶同速之后還需繼續(xù)向下運動直至速度達到，并且。(1-27)將式(1-2)、式(1-6)和式(1-25)代入得。②(1-28)第2題（25分）動物園要進行猴子雜技表演，訓猴師設計了如下裝置：在鉛垂面內固定一個帶有光滑滑槽，半徑為的圓環(huán)，取一根重為P，長為的均質剛性桿AB放置在圓環(huán)滑槽內，以便重為Q的猴子沿桿行走，已知。(1)如圖(A)所示，試求猴子處于距桿AB端點A距離為d時，桿的平衡位置？（用桿AB與水平線的夾角θ表示）題題2圖(A)(B)ORABdqROAjB(2)設兩只重量均為Q的猴子同時進行訓練。訓猴師首先讓猴甲靜坐在桿AB的A端，并且使猴甲-桿系統處于平衡，然后讓猴乙從桿的B端無初速的沿桿AB向猴甲運動，如圖(B)所示。試問猴乙應該如何走法才能不破壞原猴甲-桿系統的平衡狀態(tài)？ROROABxyNBNAPCQK（本小題10分）解法一：采用分析靜力學方法，利用虛位移原理尋求猴-桿系統的平衡位置。建立坐標系如圖2-a所示，用表示猴子的位置。由于A、B處為理想約束，約束力和在相應的虛位移不做功，系統只有重力做功。設AB桿的質心為C，則圓心O到桿AB質心C的距離圖2圖2-a顯然，在中，，所以質心C坐標。①(2-1)猴的坐標。①(2-2)將式(2-1)和(2-2)分別取變分得，②(2-3a)。②(2-3b)根據虛位移原理，猴-桿系統平衡時有。①(2-4)將式(2-3)代入得。③(2-5)圖2-bN圖2-bNBNAROABxyPCQKq解法二：采用剛體靜力學方法，直接列平衡方程求解。系統受力如圖2-b所示，建立圖示坐標系，垂直于桿方向為x軸,沿AB軸方向為y軸。用表示猴子的位置。對系統列平衡方程，，，，，，，由上面第一式和第二式得。代入第三式得。圖2-cQROAj0BsNANBPCj0FIQs(2)（本小題15分）根據第(1)題的結論，當猴甲靜坐在桿A端時，，代入式(2圖2-cQROAj0BsNANBPCj0FIQs。①(2-6)當猴乙運動到桿上任意位置時其慣性力方向及系統受力如圖2-c所示。對猴-桿系統運用達朗貝爾原理，，。⑤(2-7)將式(2-6)代入整理得。③(2-8)上式即為保持原猴甲-桿系統平衡狀態(tài)不變的情況下，猴乙的運動應滿足的微分方程。上式對應的齊次方程的通解為，(2-9)易知微分方程(2-8)的一個特解可取為，代入式(2-8)可得。(2-10)故微分方程(2-8)的通解為。③(2-11)式中，A和B為積分常數，可由初始條件確定。當t0時，猴乙在桿的B端，而且初速度為0，所以初始條件為：當t0時，，。(2-12)利用上述條件，可求得積分常數，。(2-13)將式(2-13)代入式(2-11)可得猴B的行走規(guī)律。③(2-14)即猴乙按照上述規(guī)律運動時，不會破壞原猴甲-桿系統的平衡狀態(tài)。第3題（30分）如圖傳送裝置中，AB是一段橫截面為矩形的梁，A端自由，B端固定。截面寬度為b，高度為。彈性模量為，泊松比為。設傳送帶連同帶上分布均勻的散裝物在單位長度上的重量為q，傳送帶給予AB梁單位長度的切向作用力為t。建立圖示的坐標系，考慮離A端為已知長度L的C截面，假定該截面中水平直線上的切應力均勻分布。(1)若q和t為已知，試確定C截面的上邊緣P點和下邊緣Q點的應力狀態(tài)，畫出單元體示意圖，并寫出各應力分量的表達式。(2)若q和t為已知，試求C截面上切應力的表達式。(3)事實上，q和t的數值不易直接得到。為了用電測法測定q和t的具體數值，擬在C截面所在區(qū)域且垂直于C截面的外表面上貼應變片。暫不考慮溫度補償片及組橋連接等事宜，先設計一個貼片最少的方案，并說明如何利用這些應變片的讀數來求得q和t的數值。ABABCLPABPABCLxyCCQQ題題3圖解答及評分標準(1)（本小題6分）AB部分可簡化為上表面承受均布的豎向荷載q和切向荷載t的懸臂梁，如圖3-a所示。在梁中截取坐標為x的截面，如圖3-b所示。由平衡條件可導出，該截面上各內力分量為（注意，所有已知量按實際方向畫出，所有待求量按正向畫出），，。(3-1)截面上的正應力由拉伸應力和彎曲應力構成。對于坐標為x的截面上坐標為y的點，，，。(3-2)圖圖3-a圖3-bxyqxyqtMFNFStt特別地，在C截面，。其上邊沿P點處，，故。①(3-3)此外，易于由平衡條件得，①。①此處的第二式若無負號，但單元體圖正確，也給①分。P點處于雙向應力狀態(tài)，其單元體示意圖如圖3-c所示。sxtxysy圖sxtxysy圖3-c①sx圖3-d①。①(3-4)由于梁的下表面是自由表面，故，。Q點處于單向應力狀態(tài)，其單元體示意圖如圖3-d所示。(2)（本小題10分）為了導出截面上任意處的切應力的一般表達式，在C截面附近截取梁中的一個微段，再截取其坐標為y的水平面以上直到上邊沿的部分，如圖3-e所示。其左截面（圖中灰色區(qū)域）正應力的合力按照實際的方向（即圖中所標識的方向）應為。故有。②(3-5)式中，是圖中灰色區(qū)域關于截面形心軸的靜矩，是該區(qū)域的面積，即，。②(3-6)圖圖3-e形心軸qtF+dFFy中性軸tsytydx形心軸tss+dsq圖4-e中右截面上的正應力的合力可記為。記微元區(qū)段左截面上坐標為y處的切應力為，方向向上。根據切應力互等定理可知圖3-e所示區(qū)域中，下截面上的切應力數值也為，且方向向右。由這個區(qū)域在x方向上的力平衡可得。②故有。將式(3-1)代入上式便可得。將式(3-6)代入上式便可整理得。(3-7a)特別地，在C截面上，。④(3-7b)計算方向實際方向圖3-f這就是所求的切應力的表達式。負號說明切應力的實際方向與圖3-e計算方向實際方向圖3-f如果考生在圖3-e中，假設切應力的方向是向左的，那么式(3-7)中就沒有負號。(3)（本小題14分）在C截面所在區(qū)域的各外表面中，上表面有傳送帶覆蓋，貼應變片不大現實。故只有側面和下表面比較合適。同時，太靠近棱邊的區(qū)域貼片，可能導致數據不夠真實，也是應該避免的。由于各應力分量沿y方向連續(xù)分布，因此可以預料，在截面上存在著應力分量，和。其中對沿坐標軸方向的線應變沒有影響，但對其他方向的線應變有影響，因此，如果所貼應變片是沿坐標軸方向的，一枚沿軸向，記為，另一枚垂直于軸向，記為，那么，由平面問題的廣義胡克定律，，，可得，。②(3-8)上式涉及正應力分量，這個分量可按下述方法進行分析。在圖4-e中，根據式(4-7a)，微段左截面上坐標為y的水平線以上的部分切應力的合力為。⑤由y方向上的力平衡，如圖4-e，有，①即得，即。②(3-9)這樣，和的一般表達式分別由式(3-2)和式(3-9)給出?？稍贑截面區(qū)域的側面的不同位置粘貼應變片，從而構成不同的貼片方案。第一種方案：可選擇在側面中線的K處貼片，如圖3-g所示。在該處，e(2)e(1)KC圖e(2)e(1)KC圖3-g由式(3-8)可知，，，故有，①(3-10a)。①(3-10b)圖3-he(1)e(2)SCh/圖3-he(1)e(2)SCh/4，。②由式(3-8)可知，，，故有，①(3-11a)。①(3-11b)在第二種方案中，貼片處與中線的距離可以不是。原則上，到中線的距離遠一些為好，但應避免取。若考生所取距離不是，只要算式正確，均算全對。注意：如果考生沒有求出的表達式，直接考慮貼片，那么，應變片可用3片。以下的三種方案，若算式都正確，則本小題統一給⑥分。e(2)Ke(1)e(3)C圖3-i第三種方案：可選擇在側面中線的e(2)Ke(1)e(3)C圖3-i。由式(3-7)可知，在K處的切應力按照其實際方向，可寫為，故有。在K處沿45°方向上的線應變，故有。第四種方案：除了在中線K處沿坐標軸方向貼片之外，再在底面沿軸向貼片，如圖3-j所示。應變片共計仍用3片。圖3-je(2)e(1)e(3)KC與第一、第二種方案類似，由和圖3-je(2)e(1)e(3)KC。在C截面所在底面處沿軸向貼一枚應變片，該處處于單向應力狀態(tài)，由式(3-4)可知，，將式(3-10a)代入上式即可得。第五種方案：在第四種方案中，應變片和不一定要選擇在側面的中線K處，也可選擇在側面的S處貼片，該處的縱坐標為，如圖3-k所示。由式(3-2)可知，e(3)e(2)ee(3)e(2)e(1)Sy0C圖3-k即。另外，在C截面所在底面處沿軸向貼一枚應變片，與第四種方案相同，。上兩式構成關于和的線性方程組，聯立求解可得，。顯然，側面的兩枚應變片也可以貼在中線的下方。第4題（35分）如圖橫梁的長度為，橫截面是底邊，高度的矩形。梁的左端A為固支端，右端B自由。材料性能常數，屈服極限和比例極限均為。今有一批質地均勻、每塊重量為、長度也為的軟金屬板需要整齊地疊放在梁上，如圖(A)所示?，F擬用一根長度為、直徑、材料與橫梁相同的圓桿來提高橫梁的承載能力。限于條件，只有梁下方處的地基可以對圓桿提供支撐；而且圓桿兩端都只能用球鉸與橫梁和地基相連接。兩個鉸支座的水平位置可以根據需要分別隨意調整，圓桿的長度也可以隨之而任意截取，如題圖(B)所示。(1)定性分析：如何使用這根圓桿，使之與橫梁形成合理的結構，才能盡可能多地放置金屬板？(2)不計橫梁和圓桿的重量，根據問題(1)的要求，設橫梁和圓桿的安全因數均為，設計和定量地計算這一結構。結果中長度精確到。(3)根據你的設計，加上支撐后的橫梁最多可以堆放多少塊金屬板？題題4圖(A)(B)1600BA1000BA解答及評分標準(1)（本小題7分）橫梁的右部增加一個斜撐，實際上增加了一個向上的力和向右的力。向上的力可以改善橫梁的彎曲強度，故不可缺少。但向右的力使橫梁產生拉彎組合變形，加大了橫梁橫截面上的最大正應力，故該項作用力對強度不利。若要完全消除向右的作用力，則圓桿應處于鉛垂位置。另一方面，對斜撐而言，由于是受壓桿，可能存在穩(wěn)定問題。圓桿越長，穩(wěn)定性越差。因此，圓桿處于鉛垂位置具有最好的穩(wěn)定性。所以，使圓桿處于鉛垂位置是應該采用的方案。（關鍵詞：鉛垂放置③）在圓桿處于鉛垂的情況下，圓桿的左右位置的調整也是一個可以提高橫梁強度的措施。（關鍵詞：左右調整②）同時，還可以將圓桿的長度取得比略長，利用裝配應力（即預應力）來提高橫梁的強度。（關鍵詞：裝配應力②）(2)（本小題26分）金屬板的重量可簡化為作用在懸臂梁上的均布荷載。記豎桿安置在距右端B為的C處，把豎桿的支撐簡化為向上的作用力，其力學模型和彎矩圖如圖4-a所示。在這種情況下，彎矩存在著三個峰值，即位于AC之間的，A截面的，以及C截面的。要使橫梁的強度得到充分利用，應有。①(4-1)以B端為原點，x坐標向左。C截面的彎矩圖4-aaLACqBR圖4-aaLACqBRACBMAMKxKxMC在C截面左面，彎矩為，其極值點，該截面的彎矩。①(4-2b)固定端A處的彎矩。①(4-2c)式(4-2)的三式聯立，即可解得，②(4-3a)和。②(4-3b)故有。由于橫梁的抗彎截面系數，故強度條件是，由此可得許用荷載。②(4-4)相應地，C處的支承反力。(4-5)記橫梁橫截面慣性矩為，下面用不同的方法計算在和的共同作用下C處的撓度。方法一（疊加法）：C處的撓度可按圖4-b所示的簡化模型計算，即（向上為正）。⑥(4-6a)上式中代入，等數據，可得。①(4-6b)或者：可以直接用來表達。圖4-b圖4-bL-aACqRqa2/2qa。在上式中代入等數據，即有?；蛘撸哼€可以直接代入數值計算。，，，，。方法二（圖乘法）：將原有荷載分解為如圖4-c左方所示的三種荷載，畫出相應的彎矩圖。同時，在C處加上向上的單位力，畫出其彎矩圖。各彎矩圖如圖4-c右方所示。故有：LL-aaR1qqR(L-a)L-aq(L-a)2/2qa(L-a/2)qa2/2圖4-c，故有。將代入上式，即可得。為正，說明豎桿的長度應比基本長度更長。記豎桿的長度為，豎桿的橫截面積為，由于豎桿為壓桿，故有協調條件：，②故有①。所以，應取立柱高度。①(4-7)下面校核立柱的安全性。由于立柱承受壓力，故考慮其柔度。由已知，，，①，①故撐桿是大柔度桿，應該考慮其穩(wěn)定性。記為撐桿橫截面慣性矩，由于軸力，故有，③(4-8)所以撐桿安全。由此看