4.4數(shù)學(xué)歸納法

目錄

【題型歸納目錄】...............................................................2

【知識點梳理】.................................................................2

【曲型例題】4

題型一：對數(shù)學(xué)歸納法的理解.....................................................4

題型二：數(shù)學(xué)歸納法中的增項問題.................................................6

題型二?證明,恒等式9

題型四：證明不等式............................................................12

題型五：歸納一猜想一證明......................................................14

題型六：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題............................................19

題型七：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題..............................................22

【題型歸納目錄】

【思維導(dǎo)圖】

對于某些與自然數(shù)〃有關(guān)的命題常常采用卜面的方法來證明它的止確性：

《數(shù)學(xué)歸納法定義先證明當(dāng)“取笫?個值〃。時命題成立；然后假設(shè)當(dāng)”=1（.k^N*,kN〃。）時命題成立,

證明當(dāng)〃=*+1時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)打納法

數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完

全歸納法.

它的證明共分兩步：

①證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ).

但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的普遍性.在第一步中，考察結(jié)論成立的

最小正整數(shù)就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數(shù)，即使命題對這幾個

--------------------------X《數(shù)學(xué)歸納法的原理

數(shù)學(xué)歸納法的原理）---------------正整數(shù)都成立，也不能保證命題對其他正整數(shù)也成立；

②證明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù).

但沒有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ).只有把第一步和第二步結(jié)合在一

起，才能獲得普遍性的結(jié)論.

其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納基礎(chǔ)"（或稱特殊性），第

二步是遞推的證據(jù)，解決的是延續(xù)性問題（又稱傳遞性問題）.

數(shù)學(xué)歸納法具有證明的功能，它將無窮的歸納過程

根據(jù)歸納公理轉(zhuǎn)化為有限的特殊演繹（直接驗證和

演繹推理相結(jié)合）過程.

數(shù)學(xué)歸納法Y數(shù)學(xué)歸納法的功能和適用范圍〕一

數(shù)學(xué)歸納法般被用于證明某些與正整數(shù)〃（取無限多個值）

有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.但是，并不能簡單地說所有與正整數(shù)有關(guān)

的數(shù)學(xué)命題都可使用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）證明：當(dāng)〃取第一個值〃。結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)”〃（kGN*,k>nj時結(jié)論正確，

運用數(shù)學(xué)歸納法的步驟

證明當(dāng)〃=R+1時結(jié)論也正確

由（1）,（2）可知，命題對于從〃。開始的所有正整數(shù)〃都正確

【知識點梳理】

知識點一、數(shù)學(xué)歸納法的原理

1、數(shù)學(xué)歸納法定義：

對于某些與自然數(shù)〃有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)〃取第一個值“。時

命題成立；然后假設(shè)當(dāng)〃=左（左eN*,左2%）時命題成立，證明當(dāng)〃=左+1時命題也成立.這種證明方法就

叫做數(shù)學(xué)歸納法.

知識點詮釋：

即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0,如果當(dāng)n=n0時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)〃=人（keN*,k"）

時，命題成立.（這時命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當(dāng)〃=&+1時，命題也成立，那

么就可以遞推出對所有不小于"。的正整數(shù)%+1,%+2,…，命題都成立.

2、數(shù)學(xué)歸納法的原理：

數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法.

它的證明共分兩步：

①證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ).

但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的普遍性.在第一步中，考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了，沒有必要

再考察幾個正整數(shù)，即使命題對這幾個正整數(shù)都成立，也不能保證命題對其他正整數(shù)也成立；

②證明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù).

但沒有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ).只有把第一步和第二步結(jié)合在一起，才能獲得普遍性的結(jié)論.

其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納基礎(chǔ)”（或稱特殊性），第二步是遞推的證據(jù)，解決的是延續(xù)

性問題（又稱傳遞性問題）.

3、數(shù)學(xué)歸納法的功能和適用范圍

（1）數(shù)學(xué)歸納法具有證明的功能，它將無窮的歸納過程根據(jù)歸納公理轉(zhuǎn)化為有限的特殊演繹（直接驗

證和演繹推理相結(jié)合）過程.

（2）數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明某些與正整數(shù)〃（“取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.但是，并不能

簡單地說所有與正整數(shù)〃有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都可使用數(shù)學(xué)歸納法證明.

知識點二、運用數(shù)學(xué)歸納法的步驟與技巧

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：

（1）證明：當(dāng)"取第一個值小結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)”=左QkwN*,kN%）時結(jié)論正確，證明當(dāng)〃=左+1時結(jié)論也正確

由（1）,（2）可知，命題對于從％開始的所有正整數(shù)w都正確.

2、用數(shù)學(xué)歸納法證題的注意事項

（1）弄錯起始小.小不一定恒為1,也可能%=2或3（即起點問題）.

（2）對項數(shù)估算錯誤.特別是當(dāng)尋找左與〃=左+1的關(guān)系時，項數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤（即跨度問題）.

（3）沒有利用歸納假設(shè).歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個

證明過程也就不正確了（即偽證問題）.

（4）關(guān)鍵步驟含糊不清.“假設(shè)”=左時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明”=左+1時結(jié)論也成立“是數(shù)學(xué)歸納

法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴(yán)謹

性、規(guī)范性（即規(guī)范問題）.

3、用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵：

運用數(shù)學(xué)歸納法由"=發(fā)到”=左+1的證明是證明的難點，突破難點的關(guān)鍵是掌握由〃=左到"=左+1的

推證方法.在運用歸納假設(shè)時，應(yīng)分析由〃=左到〃=左+1的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，

或從歸納假設(shè)出發(fā)，或從〃=左+1時分離出〃=左時的式子，再進行局部調(diào)整；也可以考慮二者的結(jié)合點，以

便順利過渡.

知識點三、用數(shù)學(xué)歸納法證題的類型：

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)〃有關(guān)的恒等式；

對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應(yīng)及時把結(jié)論和推導(dǎo)過程對比，也就是我們通常所說的兩

邊湊的方法，以減小計算的復(fù)雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問題的證明有目的性.

2、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)〃有關(guān)的整除性問題；

用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余

的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學(xué)歸納法證明問題的一大技巧.

3、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)〃有關(guān)的幾何問題；

數(shù)學(xué)歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何、解析幾何等知識相結(jié)合來考查，對于此類問題解決的關(guān)

鍵往往在于抓住對問題的所劃分標(biāo)準(zhǔn)，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個數(shù)與交點、交線間的

關(guān)系等.

4、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)〃有關(guān)的不等式.

用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與〃有關(guān)的不等式時，推導(dǎo)“〃=左+1”時成立，有時要進行一些簡單的放縮，有

時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等.

5、用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題.

由有限個特殊事例進行歸納、猜想，從而得出一般性的結(jié)論，然后加以證明是科學(xué)研究的重要思想方

法.在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題中，此思想方法尤其重要.

【典型例題】

題型一：對數(shù)學(xué)歸納法的理解

【典例11】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2++（2〃+1）=（"+1）（2"+1）,在驗證”=1成立時，左邊所得的代數(shù)

式是（）

A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4

【答案】C

【解析】當(dāng)〃=1時，2n+l=2xl+l=3,所以左邊為1+2+3.

故選：C.

【典例12］（2024?高二?上海?隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3++（〃+3）=（"+?〃+4）

（〃eN,府1）時，第一步驗證”=1時，左邊應(yīng)取的項是（）

A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4

【答案】D

【解析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：

當(dāng)〃=1時，等式的左邊是1+2+3+4.

故選：D.

【方法技巧與總結(jié)】

即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)物,如果當(dāng)w=小時，命題成立,再假設(shè)當(dāng)〃=k（keN*,k"）

時，命題成立.（這時命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當(dāng)〃=左+1時，命題也成立，那

么就可以遞推出對所有不小于小的正整數(shù)%+1,%+2,…，命題都成立.

【變式11］已知“為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-!+：-;+…+」；=2（—二+11+,,?+：］時,若已

234n-1\n+2n+42nJ

假設(shè)”=%（k>2,左為偶數(shù)）時命題為真，則還需要再證（）

A.〃=左+1時等式成立B.〃=左+2時等式成立

C.〃=2左+2時等式成立D.〃=2（%+2）時等式成立

【答案】B

【解析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè)〃=%（k>2,左為偶數(shù)）時命題為真，

還需要再證明下一個偶數(shù)，即〃=左+2時等式成立.

故選：B

【變式12］（2024?高二?上海?期末）現(xiàn)有命題：

1-2+3-4+5-6++（-1廣。=；+（-1廣］；+3（〃6*）,用數(shù)學(xué)歸納法探究此命題的真假情況，下

列說法正確的是（）

A.不能用數(shù)學(xué)歸納法判斷此命題的真假

B.此命題一定為真命題

C.此命題加上條件〃>9后才是真命題，否則為假命題

D.存在一個無限大的常數(shù)加，當(dāng)〃〉相時，此命題為假命題

【答案】B

【解析】①當(dāng)〃=1時，左邊=1,右邊=1,左邊=右邊，即〃=1時，等式成立;

②假設(shè)〃笈Nl?eN*）時，等式成立，

即1—2+3—4+5—6++（―1）A+1k=—+（―1）I+11~|>則當(dāng)“=左+1時，

4142）

1-2+3-4+5-6++k+（—1）*+2（左+1）=；（一1）人|+g]+（—1）人2（上+1）

4142）

即當(dāng)a=k+1時，等式成立.

綜上，對任意weN+，

等式1-2+3-4+5-6++（-l）"+,M=y+（-l）"+1f7+^恒成立，

4142J

所以ACD錯誤.

故選：B.

【變式13］（2024?高二?遼寧沈陽?期中）平面上〃個圓最多把平面分成。“個區(qū)域，通過歸納推理猜測為的

表達式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，當(dāng)〃=左+1時，需證4+1=必+（）.

A.左+1B.k2-k+2C.左（左+1）D.2k

【答案】D

【解析】1個圓分把平面分成2個區(qū)域，2個圓把平面最多分成2+1x2個區(qū)域，3個圓把平面最多分成

2+lx2+2x2個區(qū)域，

依此類推，可得“個圓最多把平面分成2+lx2+2x2++（”-1"2=〃義（"-1）+2個區(qū)域，

歸納得=〃2-”+2,

2

假設(shè)當(dāng)時，^ak=k-k+2,

貝U當(dāng)〃=左+1時，/+i=a*+2A.

故選：D.

【變式14］（2024.高二.上海寶山.階段練習(xí)）已知%=1+!+：++」，貝|怎+「歐共有（）

23n

A.1項B.左項C.2左項D.2后+1項

【答案】D

【解析】由4=i+:+J++3可得見=i+〈+；++J,

?111111

k+,23k2F+lk2+2（k+1）2

故為+i-%的表達式中共有項數(shù)為（4+1）2-（左~+1）+1=2左+1.

故選：D.

題型二：數(shù)學(xué)歸納法中的增項問題

【典例21］（2024?高二.陜西榆林?階段練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

1+J+；+的過程中，由〃=上到〃=左+1時，左邊增力口了（）

A.2k-1項B.2*項C.左項D.1項

【答案】B

【解析】當(dāng)〃=上時，不等式左邊為1+:+1++/二，

23Z—1

當(dāng)"=z+i時'不等式左邊為i+g+g++2」_］，

故增加的項數(shù)為：（2印-1）一（2&-1）=2X2上一2上=2t

故選：B.

【典例22］（2024.高二.上海.期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明一二+二二+」=+…2（"21,〃eN）,由

n+1n+2n+32n24、7

〃=上到九=左+1時，不等式左邊應(yīng)添加的項是（）

A-J-B---L

?2k+l?2k+lk+1

1111

C.-----1------D.------------

2k+12左+22k+l2k+2

【答案】D

【解析】當(dāng)""時,左邊的代數(shù)式為告+出+熹+...+!’

當(dāng)〃=左+1時，左邊的代數(shù)式為--------------1-----------------F...H-----------------1------------

Z+1+1k+1+2k+l+k2k+2

故用〃=左+1時左邊的代數(shù)式減去〃二左時左邊的代數(shù)式的結(jié)果為:

11111

---------------1-----------------------=-------------------------

%+1+%2k+2%+12k+12k+2

故選：D.

【方法技巧與總結(jié)】

在利用歸納假設(shè)論證〃=左+1時等式也成立時，應(yīng)注意分析〃=左和〃=左+1時兩個等式的差別.

【變式21］（2024.高二.上海青浦?階段練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+:+：++-^—<f（n）

232-1

"22,且〃eN*）的過程，由"=%到”=左+1時，左邊增加了（）

A.項B.2上項

C.I項D.左項

【答案】B

【解析】當(dāng)〃=%（a2,%eN*）時，不等式左邊為1+K++^-,

232-1

當(dāng)”=k+1時，不等式左邊為1+：+；++^T［+~^+^T+\++2」_］，

增加的項為1+4++TJ—=^+^-+\K，共有2*項.

2k2"+1T-12k2k+12k+2k-1

故選：B

【變式22】（2024?高二?上海?隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：l+J+；++5匕（*（〃eN,“21）時，在

第二步證明從77=%到":上+1成立時，左邊增加的項數(shù)是（）

A.2"B.2k-1C.D.2t+1

【答案】A

【解析】從"=%到〃=%+i成立時，左邊增加的項為占，....2二，

22+12-1

因此增加的項數(shù)是2"-1-0+1=2與

故選：A.

【變式23］（2024?高二?遼寧?階段練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式l+g+g+...+=</（〃21,“eN*）

的過程中，由〃=%（左21）變至！］〃=左+1時，左邊增加了（）

A.1項B.左項C.3"一項D.2x3"項

【答案】D

【解析】由題意，不等式的左邊中分子都為1,分母是從1開始到（30-1）,故共有3,-1項,

又由〃=%變至lja=k+1時，左邊由（3上一1）項增加到（3"-1）項，

從而左邊增加了（31一1）一（311）=2x3k項.

故選：D.

【變式24］（2024?高二?遼寧大連?期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“l(fā)+g+；+的過程

中，從〃=左（左eN*,左>1）至左+1時，左邊增加的項數(shù)為（）

A.2kB.2"-1C.D.k

【答案】A

+<k

【解析】〃=%時，可得：1+1+1+Y~l

,111,,

〃=左+1時，可得：1+-+T++-T—j-<&+1,

232K十

故增加了2"1—1—（2A—1）=2火項.

故選：A

【變式25］（2024?高二?河南南陽?專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（n+l）（n+2）（n+3）（n+n）=2nxlx3x5x義（2〃—l）x（2〃+l）（〃￡N*）時，從〃=左至！J〃=左+1,等式的左邊

需要增乘的代數(shù)式是（）

2左+1

A.2上+1B.

k+1

2左+3

C.D.2(2k+1)

Z+1

【答案】D

【解析】從〃=%到〃=左+1,等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是

（左+2）（左+3）2左-（2%+1＞（2匕+2）

=2（2左+1）.

（■+1）仕+2）（＞+3）~~-2k

故選：D.

題型三：證明恒等式

【典例31］（2024?高二?全國?課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的正整數(shù)

”,2+6+10++（4〃—2）=2"?.

【解析】當(dāng)〃=1時，左邊=2=2x1?=右邊;

假設(shè)〃=左（左21,）時，原等式成立，則〃=左+1時,

等式左邊=［2+6+10++（4無-2）］+（4左+2）=2氏2+4左+2=2（左+1）2,因此〃=k+1時原等式也成立.

綜上，V"eN*者B有2+6+1。++（4〃-2）=2獷.

【典例32］（2024?高二?上海?期中）已知等差數(shù)列｛%｝的首項為0，公差為d,前"項和為S".若q=d=l,

用數(shù)學(xué)歸納法證明：￡?,3=S；（neN,?＞l）.

Z=1

【解析】等差數(shù)列｛%｝中，an=ai+（n-l）d=n,5“=叱%）=蟲篝

當(dāng)〃=1時，s；=i,原等式成立；

假設(shè)當(dāng)”=4AeN*）時，原等式成立，即之蛭=朦，火兀3=［空也匕

z=lz=l2

貝!IXaM=￡a；+靖+1=/+（左+1）3=［'+D『+（左+1）3

4=1Z=12

=勺￡［公+4（%+川=心?￡.仕+2）2=?+*+2），5窘,

即當(dāng)幾=k+1時，原等式成立，

所以對一切〃eN*,等式成立.

1=1

【方法技巧與總結(jié)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結(jié)構(gòu)，即：

（1）〃=小時，等式的結(jié)構(gòu).

（2）〃“至1］〃=左+1時，兩個式子的結(jié)構(gòu)：及=左+1時的代數(shù)式比〃=左時的代數(shù)式增加（或減少）的

項.

這時一定要弄清三點：

①代數(shù)式從哪一項（哪一個數(shù)）開始，即第一項.

②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律.

③代數(shù)式中最后一項（最后一個數(shù)）與幾的關(guān)系.

【變式31］（2024.高二?江蘇.專題練習(xí)）有下列命題：1+3+5+…+（2〃-1）=?5￡N*）；使用數(shù)學(xué)歸納法

證明

【解析】當(dāng)〃=1時，左邊=1,右邊=a=i，則原等式成立；

假設(shè)當(dāng)幾=左（左wN*）時，原不等式成立，即1+3+5+…+（2左-1）=42成立，

貝IJ當(dāng)〃=左+1時，1+3+5+…+（2左一1）+（2左+1）=左2+2左+1=（攵+1）2,即當(dāng)〃=左+1時原等式成立，

所以1+3+5+…+（2〃-1）="對于任意〃￡N*成立.

【變式32](2024?高二?全國?課后作業(yè))用數(shù)學(xué)歸納法證明：(cose+isin。)"=cos適+isin〃6(〃￡N+).

【解析】證明：當(dāng)〃=1時，等式顯然成立，

假設(shè)當(dāng)〃=左(左￡N+)時，等式成立，(cos+isin0^=coskO+isink6,

貝ij當(dāng)孔=左+1時，(cose+isine)"+i=(cos6^+isin0^?(cos+isin

=(coske+isin左。)(cos9+isin8)

=(coskOcos。一sink8sin夕)+i(sin左。cos0+coskOsin8)

=cos[(k+l)e]+isin[(k+l)e],

這說明當(dāng)〃=左+1時，等式成立，

因此，對任意的〃EN+,(cose+isin。)"=cosn^+isinn^(nGN+).

【變式33］（2024?高二.上海.課后作業(yè)）是否存在常數(shù)。、b、c,使等式

1-（712-12）+2-（?2-22）++分（"2-〃2）=4〃4+加2+c對任何正整數(shù)〃都成立？證明你的結(jié)論.

【解析】假設(shè)存在。，b,c,使得所給等式成立.

1

a=-

a+b+c=04

令n=1,2,3代入等式得＜16〃+4Z?+c=3,解得<b=--

4

8let+9b+c=18

c=0

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1（*-12）+2（*-22）+++2-/）=+4-%2對一切正整數(shù)〃都成立.

①當(dāng)〃=1時，由以上可知等式成立；

②假設(shè)當(dāng)〃=時等式成立，

即1（左2_12）+2,2_22）++左（左2,

當(dāng)幾=左+1時,

l^+l）2-l2]+2[（A:+l）2-22]++耳信+1）2-k2]+化+1）[任+1）2_（左+[）2]

2

=1,2—F）+2,2—22）++k（^k-F）+[（2A:+l）+2（2fc+l）++左（24+1）]

TT-）?產(chǎn)=*卜一

=；（/+4左3+5k2+2k）=；［（/+4k3+6k2+4k+1）-（k2+2k+1）］

=；（左+1）4一;（《+1『-

即〃=左+1時等式成立.

由①②知等式對于一切正整數(shù)〃都成立.

故存在a=b=c=0,使等式對一切正整數(shù)〃都成立.

44

【變式34】（2024.高二?全國?課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明以下恒等式（〃wN+）：

（l）-l+3-5+L+（-1）"（2〃-1）=（-1）"〃；

⑵（"+f）（〃+2）（”+"）=2"xlx3x..x（2n-l）.

【解析】（1）①當(dāng)”=1時，左邊=-1,右邊=（-）X1=-1,左邊與右邊相等，即”=1時等式成立;

②假設(shè)當(dāng)”=左（左€9）時，等式成立，

即一1+3-5++（-l）'（2Z:-l）=（-l）^,

貝I］當(dāng)“=左+1時，左邊=_I+3-5+L+（-1）*（2左一1）+（-1）小（2左+1）

=（一琰k+（-1廣（2a+1）=（-l）k［k-（2k+1）］=（-1/（k+l）x（-l）=（―1廣（左+1）=右邊，

即當(dāng)”=k+1時，等式也成立；

綜上所述，由①②可知，對于任意正整數(shù)，-1+3—5+L+（-1）"（2〃-1）=（-1）""成立.

（2）①當(dāng)〃=1時，左邊=1+1=2,右邊=）=2，左邊與右邊相等，即〃=1時等式成立;

②假設(shè)當(dāng)〃=左（左€'）時，等式成立，

即（左+1）（左+2）.（1+A:）=2/xlx3x…x（2左一1）,

貝U當(dāng)〃=左+1時，左邊=（無+1+1）（無+1+2）（無+1+左+1）=（無+2）（左+3）（無+左+2）

xlx3xx（2k-l）,、/、力

-----（.+]/-----+左+1）（%+左+2）=2ixlx3x.x（2左一1）x（2左+1）=

右邊,

即當(dāng)〃=左+1時，等式也成立;

綜上所述，由①②可知，對于任意正整數(shù)，（?+1）（?+2）（〃+〃）=2"xlx3xx（2〃-1）成立.

題型四：證明不等式

【典例41](2024?高三.全國?專題練習(xí))證明：不等式』x*xZx...x型IN而1成立.

2462n

【解析】①當(dāng)”=1時，左邊=|>行=右邊，，不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)』時不等式成立，即4+…筌〉GL

③當(dāng)〃=左+1時，

2k+l2k+3

x_____x_____

2k2k+2

2左+3(2左+3>

>〃+lx

2k+24(^+1)

_4(%+琰+4(左+1)+1

"4(171)

當(dāng)〃=z+l時,不等式也成立.

綜上可得，原不等式恒成立.

【典例42](2024?高三?全國?專題練習(xí))設(shè)/(“)=(1+3"-〃，其中”為正整數(shù).

n

⑴求”1),/(2),/⑶的值；

(2)猜想滿足不等式/(")<0的正整數(shù)”的范圍，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

11117

【解析】⑴/(1)=(1+1)*1-1=1,/(2)=(1+-)2-2=-,/(3)=(1+-)3-3=--.

(2)猜想：“23時，/(M)=(l+-)"-n<0,

n

證明：①當(dāng)〃=3時，，(3)=-=<0成立,

②假設(shè)當(dāng)〃=上伏23,%eN*)時，猜想正確,

即/(幻=(1+；)上_左<0,

k

(1H—)"vk,

k

(1+-^—/+1=(1+-^—)"?(1+-^-)<(1+-/?(l+-^—)<)t-(l+-^—)=A:+-^<^+l,

k+1k+1k+1kk+\k+1k+1

.?.(1+」-嚴(yán)〈人+1,

k+l

即/(左+1)=(1+-1-廣包一(左+1)<0成立，

k+1

由①②可知，對于,后3時，/(〃)=(1+與-〃<0成立.

n

【方法技巧與總結(jié)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵

(1)驗證第一個〃的值時，要注意〃。不一定為1,若n>k"為正整數(shù))，則%"+1.

(2)證明不等式的第二步中，從〃=左到〃=左+1的推導(dǎo)過程中，一定要用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)

的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因為缺少歸納假設(shè).

(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與〃有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證

明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小.對第二類形式往往要先對〃取前/個值的情況分別驗證

比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個人值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由時成立，得〃=左+1時成立，主要方法有比較法、放縮

法等.

111

【變式4。(2024?高二?廣西玉林?期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：—+—7+…+三洲卜z金川,〃〉1

nn+\n'

【解析】證明：①當(dāng)”=2時，左邊”=2時成立

②假設(shè)當(dāng)〃=左(左之2)時成立，即

1111

那么當(dāng)〃=左+1時，左邊二萬1+—+^^+…+西/

1111111

—I----------1------------1----------F???H-----------1--------------------

kk+1k+2k+3k2+2k(k+1)2k

〉1H----------1-------------------1-***H-----------------------------

F+lk2+2(左+1)2k

kkX

>1+(2左+1)——^-->l+z~~>i.

(/:+1)k[e+2k+\)k

：.〃=左+1時也成立

根據(jù)①②可得不等式對所有的n>l都成立.

【變式42](2024?高二?全國?課后作業(yè))用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意的xeR,neN*,不等式

〃sin?%之sinxsin幾x恒成立.

【解析】“sirxNsinxsinnx等價于

nsin2x—sinxsinnx=sinx(Hsinx—sinnx)20.

當(dāng)sin尤=0時，結(jié)論顯然成立.

sinnx

當(dāng)sinxwO時，轉(zhuǎn)化為證明<n.

sinx

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)〃=1時，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)〃=歡eN*)時，結(jié)論成立，即任也4機

\7sinx

sin(女+l)xsinkxcosx+coskxsinx

貝lj當(dāng)〃=左+1時，一1-二二--------：-----------

sinxsinx

.sinfcr/IIIsinkx

=cosAx+cosx------<cos0T+cosx\----------

sinxsinx

sinAx

<1+<1+^,

sinx

故當(dāng)〃=左+1時，結(jié)論成立.

由①②，知當(dāng)sinxwO時，半竺

sinx

綜上所述，對任意的x￡氏，neN*,

sinx(nsinx—sinnx)>0,即nsin2x>sinxsinnxte^AZl.

題型五：歸納一猜想一證明

【典例51](2024?高二?全國?課后作業(yè))已知數(shù)列｛見｝的首項4=1,且。用=含(〃=1,2,3,1),試猜想

出這個數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解析】=1,“2=5,/=]'"4=Z

猜想：

n

證明如下：

(1)當(dāng)〃=1時，41=1,猜想成立；

(2)假設(shè)當(dāng)〃二左(左￡N)時，猜想成立，

貝U當(dāng)兒=z+i時，％+i==-j--—，

i+久i+j_k+i

k

所以當(dāng)〃=k+1時，W+i=猜想也成立.

綜合（1）（2）,可知猜想%=!對于任意“cN*都成立.

n

【典例52]（2024?高二?陜西渭南?期中）在數(shù)列｛風(fēng)｝中，q=g,an+l=^-^（n=1,2,3,■■■）

(1)求生，"3'04；

（2）猜想數(shù)列｛%｝的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

11

1

【解析】（1）%=詈72=出_4_J_

2a.+12x-+l"2a2+I2x-+l6

24

1

252小18

（2）猜想數(shù)列｛%｝的通項公式為%=5，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論正確.

證明：①當(dāng)〃=1時，左邊=4=,，右邊=/一=]，結(jié)論成立,

22x12

②假設(shè)當(dāng)〃=依左21）時，結(jié)論成立，即為=：，

1

A?_4_2k_]_]

那&ak+l-、77-]—.—z'

2。攵+12x，+]O2Zk+02O7+n1）

2k

也就是說，當(dāng)〃=左+1時結(jié)論成立,

根據(jù)①和②可知，結(jié)論對任意正整數(shù)〃都成立，即

2〃

【方法技巧與總結(jié)】

（1）利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納一猜想

—證明

（2）“歸納一猜想一證明”的基本步驟是“試驗一歸納一猜想一證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最

常見的問題.這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項公式.

【變式51]（2024.高二.上海.隨堂練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛q,｝的前幾項和為S“，對任意“eN,九.1都有

⑴求$2，S3,。的值;

（2）猜想S”的表達式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

11C_1_1/

【解析】（1）S?=——,E=令〃=1,則2一2一51一01一3;

+l2

。13

令〃=2,$3=二心"

令〃=$4=-——=—;

3,—

Zo3D

n

（2）猜想S,=-

n+1

①當(dāng)”=1時，滿足上式；

②假設(shè)”=左時，上式成立，即S“=工，

k+1

_11_-+1_k+1

貝！J當(dāng)〃=左+1時，k+1~2-S.一廠—晨工―左+1+1，

k+1

顯然，猜想成立，所以邑=<.

b

【變式52］（2024?高二?上海?期末）已知點小%,b）滿足*=*+i，且點耳的坐標(biāo)為

nIT?！?/p>

（1,-1）.

（1）求過點:、鳥的直線/的方程；

（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意“eN,〃N1,點匕都在（1）中的直線/上；

（3）試求數(shù)列｛〃“｝、偽”｝的通項公式.

【解析】（1）由弋的坐標(biāo)為（1,T）知，4=1,4=一.

b.11

所以％—「4a2—§,的=H=§.

所以點鳥的坐標(biāo)為（；，；），

-1--

所以直線/的斜率為心一^=-2,

1--

3

直線方程為y+l=-2（x-l）,即2x+y=l.

（2）證明：①當(dāng)”=1時，

2q+4=2xl+（-l）=l成立.

②假設(shè)〃=左（左EN*,左21）時，2以+4=1成立，

b

貝|J2以+i+4+i=2ak-瓦+i+d+1=]_4a2Q%+D

4_1_24_]

1—2ak1—2。女

.??當(dāng)〃=k+1時，命題也成立.

由①②知，對〃eN*,都有24+%=1,

即點4在直線/上.

(3)由(2)知，2a,+2=1，所以2。,=l-b”,

b“b?1

所以％+i=

135…，猜想〃=袈=，〃

因為4=T,b2=->%=,eN*;

2n-l

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：因為〃=1時,4=T,假設(shè)"=%時成立，即為=守一

2K-1

12%—12伏+1)—3

則〃=左+1時，%=

-2k~32%+1—2伏+1)-1,

22k-l

所以力=%+1時也成立,

所以對于任意〃N*都成立，即止窘

所以喜

【變式53](2024?高二?四川成都.期中)數(shù)列｛%｝滿足q=g1

a,+i7；(ns

(1)計算。2，a3,猜想數(shù)列｛4｝的通項公式并證明;

(2)求數(shù)列｛%(〃+1)3〃｝的