試題PAGE1試題2023-2024學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2分）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．0.3，0.4，0.5 B．13，14，C．32，42，52 D．8，15，173．（2分）如圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．無(wú)法確定4．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，要使△ABC≌△CDA，可添加下列選項(xiàng)中的（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠CAB5．（2分）學(xué)校一角的形狀如圖所示，其中AB，BC，CD表示圍墻，若在線段右側(cè)的區(qū)域中找到一點(diǎn)P修建一座朗讀亭，使點(diǎn)P到三面墻的距離都相等．則點(diǎn)P在（）A．線段AC、BD的交點(diǎn) B．線段AB、BC垂直平分線的交點(diǎn) C．線段BC、CD垂直平分線的交點(diǎn) D．∠ABC、∠BCD角平分線的交點(diǎn)6．（2分）下列說(shuō)法中，正確的有（）①如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2一定成立；②如果△ABC不是直角三角形，那么a2+b2≠c2；③△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形；④△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）7．（2分）在直角三角形中，一個(gè)銳角是36°，另一個(gè)銳角是°．8．（2分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A＝°．9．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2，若S1＝31，S2＝15，則BC的長(zhǎng)為．10．（2分）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為16的等邊三角形，D是BC上一點(diǎn)，BD＝6，DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，則線段AE＝．11．（2分）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D，E，連接BE．若BD＝3cm，△ABC的周長(zhǎng)為16cm，則△BCE的周長(zhǎng)為cm．12．（2分）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且MN∥BC，若AB＝12，AC＝15，則△AMN的周長(zhǎng)是．13．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于點(diǎn)F，若DC＝7.8，BF＝3，則AF的長(zhǎng)為＝．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，AC＝9，則BD的長(zhǎng)是．15．（2分）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，則∠B的度數(shù)是．16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)M、N分別為BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AM+MN的最小值為．三、解答題（本大題共9小題，共68分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出演算步驟或文字說(shuō)明）17．（6分）如圖，已知點(diǎn)B、E、F、C在同一條直線上，BE＝CF，AF∥DE，AF＝DE，求證：AB∥CD．18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且滿足CD＝12，BD＝5．（1）判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求AC的長(zhǎng)．19．（6分）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接ME、MD、DE．（1）求證：△DEM為等腰三角形；（2）直接寫(xiě)出∠EMD與∠ABD之間的數(shù)量關(guān)系：．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，AD＝AE，BD、CE相交于點(diǎn)O．（1）求證：OB＝OC；（2）連接AO，求證：AO⊥BC．21．（8分）如圖，△ABE、△ACD都是等邊三角形，且B、E、C三點(diǎn)在一條直線上．（1）求∠AED的度數(shù)；（2）若點(diǎn)M、N分別是線段BC和DE的中點(diǎn)，連接AM，MN，NA，試判斷△AMN的形狀，并說(shuō)明理由．22．（8分）如圖，點(diǎn)E在BC上，AC⊥CB，DB⊥BC，且AC＝BE，AB＝DE．（1）求證：CE＝BD﹣AC；（2）若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，利用此圖證明勾股定理．23．（7分）如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A，B，C為格點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中畫(huà)圖．（友情提醒：保留作圖痕跡，并用黑筆描線加深）（1）AB的長(zhǎng)等于；（2）在圖1中，畫(huà)出△ABC的角平分線BD；（3）在圖2中，在線段BC上畫(huà)點(diǎn)Q，使得BP＝BQ．24．（8分）如圖，點(diǎn)A、D、E在一條直線上，AB＝AC，∠BDE＝∠CDE＜90°，求證：BD＝CD．小虎同學(xué)的證明過(guò)程如下：證明：∵∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，…第一步又∵AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD，…第二步∴BD＝CD．…第三步（1）小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫(xiě)出正確的證明過(guò)程．25．（9分）【教材呈現(xiàn)】如圖是蘇教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材65頁(yè)的部分內(nèi)容．定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．小明給出上述定理證明中的部分演繹推理的過(guò)程如下：已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的中線．求證：CD=1證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．【問(wèn)題解決】請(qǐng)結(jié)合圖2將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．【問(wèn)題再探】如圖3，將Rt△ABC的BC邊沿著斜邊上的中線CD折疊到CF，連接AF、BF．（1）求證：∠AFB＝90°；（2）若AC＝8，BC＝15，直接寫(xiě)出AF＝．

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2分）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，判斷即可．【解答】解：B選項(xiàng)圖形無(wú)法找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，不是軸對(duì)稱圖形；A，C，D選項(xiàng)均能找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，為軸對(duì)稱圖形；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．2．（2分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．0.3，0.4，0.5 B．13，14，C．32，42，52 D．8，15，17【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)中，較小兩個(gè)數(shù)的平方和等于較大一個(gè)數(shù)的平方，且3個(gè)數(shù)都為正整數(shù)，這組數(shù)為勾股數(shù)逐一判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵0.3，0.4，0.5與13，14，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)，∴AB不符合題意；∵92+162≠252，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)，∴C不符合題意；∵82+152＝172，∴這組數(shù)是勾股數(shù)，∴D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)的判定，熟練掌握勾股數(shù)的判定是解題的關(guān)鍵．3．（2分）如圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可知∠α是a、b邊的夾角，然后寫(xiě)出即可．【解答】解：∵兩個(gè)三角形全等，∴∠α的度數(shù)＝180°﹣60°﹣70°＝50°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的夾角準(zhǔn)確確定出對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．4．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，要使△ABC≌△CDA，可添加下列選項(xiàng)中的（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠CAB【分析】根據(jù)已知可得到∠B＝∠D，AC＝AC，然后根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的條件，分別判斷即可．【解答】解：A、添加AB＝CD，不能證明△ABC≌△CDA，不符合題意；B、添加AD＝BC，不能證明△ABC≌△CDA，不符合題意；C、添加AB∥CD，得出∠BAC＝∠DCA，利用AAS證明△ABC≌△CDA，符合題意；D、添加∠B＝∠CAB，不能證明△ABC≌△CDA，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．5．（2分）學(xué)校一角的形狀如圖所示，其中AB，BC，CD表示圍墻，若在線段右側(cè)的區(qū)域中找到一點(diǎn)P修建一座朗讀亭，使點(diǎn)P到三面墻的距離都相等．則點(diǎn)P在（）A．線段AC、BD的交點(diǎn) B．線段AB、BC垂直平分線的交點(diǎn) C．線段BC、CD垂直平分線的交點(diǎn) D．∠ABC、∠BCD角平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出答案．【解答】解：點(diǎn)P是∠ABC、∠BCD角平分線的交點(diǎn)，理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，如圖所示：∵點(diǎn)P是∠ABC、∠BCD角平分線的交點(diǎn)，∴PE＝PF，PH＝PF，∴PE＝PF＝PH，即點(diǎn)P到AB，BC，CD的距離相等．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，理解角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2分）下列說(shuō)法中，正確的有（）①如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2一定成立；②如果△ABC不是直角三角形，那么a2+b2≠c2；③△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形；④△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由勾股定理和勾股定理的逆定理分別對(duì)各個(gè)說(shuō)法進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①如果△ABC是直角三角形，且c是斜邊，那么a2+b2＝c2一定成立；故①不正確；②△ABC不是直角三角形，則任何兩邊的平方和都不等于第三邊的平方，故②正確；③∵a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，故③正確；④△ABC中，如果a2+b2≠c2，且c是最長(zhǎng)邊，那么△ABC不是直角三角形，故④不正確；綜上所述，正確的說(shuō)法有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）7．（2分）在直角三角形中，一個(gè)銳角是36°，另一個(gè)銳角是54°．【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算即可．【解答】解：∵直角三角形的一個(gè)銳角是36°，∴另一個(gè)銳角是：90°﹣36°＝54°，故答案為：54．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．8．（2分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A＝80°．【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可直接得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣50°×2＝80°．故答案為：80．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等解答．9．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2，若S1＝31，S2＝15，則BC的長(zhǎng)為4．【分析】由以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2，且S1＝31，S2＝15，得AB2＝31，AC2＝15，即可根據(jù)勾股定理求得BC．【解答】解：∵以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2，且S1＝31，S2＝15，∴AB2＝31，AC2＝15，∵∠ACB＝90°，∴BC=A∴BC的長(zhǎng)為4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2分）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為16的等邊三角形，D是BC上一點(diǎn)，BD＝6，DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，則線段AE＝4．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝16，∠B＝60°，再根據(jù)垂直定義可得∠EDB＝90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠BED＝30°，從而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BE＝12，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝16，∠B＝60°，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠BED＝90°﹣∠B＝30°，∵BD＝6，∴BE＝2BD＝12，∴AE＝AB﹣BE＝16﹣12＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形，以及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2分）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D，E，連接BE．若BD＝3cm，△ABC的周長(zhǎng)為16cm，則△BCE的周長(zhǎng)為10cm．【分析】由已知條件，利用垂直平分線的性質(zhì)可得其兩條邊AE＝BE，然后等效替換即可求出周長(zhǎng)．【解答】解：∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∴AD＝BD＝3cm，AB＝6cm，∵△ABC的周長(zhǎng)為16cm，∴AC+BC＝16﹣6＝10（cm），△BCE的周長(zhǎng)＝BC+CE+AE＝BC+CE+AE＝10（cm）．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定及垂直平分線的性質(zhì)；進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．12．（2分）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且MN∥BC，若AB＝12，AC＝15，則△AMN的周長(zhǎng)是27．【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MB＝MO，NO＝NC，然后利用等量代換可得△AMN的周長(zhǎng)＝AB+AC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MB＝MO，NO＝NC，∵AB＝12，AC＝15，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝12+15＝27，故答案為：27．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于點(diǎn)F，若DC＝7.8，BF＝3，則AF的長(zhǎng)為＝1.8．【分析】根據(jù)AAS證明△DBF與△ABC全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵DE⊥AC于E，∴∠FDB+∠C＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠D+∠DFB＝90°，∴∠C＝∠BFD，在△DBF與△ABC中，∠C=∠BFD∠ABC=∠DBF=90°∴△DBF≌△ABC（AAS），∴BF＝BC，∵DC＝7.8，BF＝3，∴AF＝AB﹣BF＝BD﹣BF＝DC﹣BF﹣BF＝7.8﹣3﹣3＝1.8，故答案為：1.8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，AC＝9，則BD的長(zhǎng)是152【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由AAS證明△ACD≌△AED（AAS），得出AE＝AC＝9，DE＝CD，再由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，設(shè)BD＝x，則CD＝DE＝12﹣x，在Rt△BDE中由勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，又∵AD＝AD，∠C＝∠DEA＝90°，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AE＝AC＝9，DE＝CD，∴BE＝AB﹣AE＝15﹣9＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=A設(shè)BD＝x，則CD＝DE＝12﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2＝BD2，∴（12﹣x）2+62＝x2，解得x=15∴BD=15故答案為：152【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，則∠B的度數(shù)是48°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，AE＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AEC＝∠ACE，求出∠AEC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠BAC＝28°，∴∠AEC＝∠ACE=12（180°﹣∠∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，∴∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，∴∠B＝∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°，故答案為：48°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，注意：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，②等邊對(duì)等角．16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)M、N分別為BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AM+MN的最小值為245【分析】作A關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DM，DN，BD，推出AM＝MD，CD＝AC＝3，由三角形三邊關(guān)系得到NM+AM≥DN，當(dāng)DN⊥AB時(shí)，DN長(zhǎng)最小，由勾股定理求出BC=AB2?AC2=4，由三角形面積公式得到△ABD的面積=12AB?DN=12AD?【解答】解：作A關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DM，DN，BD，∴AM＝MD，CD＝AC＝3，∵M(jìn)N+MD≥DN，∴NM+AM≥DN，當(dāng)DN⊥AB時(shí)，DN長(zhǎng)最小，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC=A∵△ABD的面積=12AB?DN=12∴5DN＝6×4，∴DN=∴AM+MN的最小值是245故答案為：245【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，關(guān)鍵是由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到DM＝AM，由三角形三邊關(guān)系得到NM+AM≥DN，由三角形的面積公式即可求出DN的長(zhǎng)．三、解答題（本大題共9小題，共68分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出演算步驟或文字說(shuō)明）17．（6分）如圖，已知點(diǎn)B、E、F、C在同一條直線上，BE＝CF，AF∥DE，AF＝DE，求證：AB∥CD．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等式的性質(zhì)得出∠AFB＝∠DEC，BF＝CE，進(jìn)而利用SAS證明△AFB與△DEC全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC，在△AFB與△DEC中，AF=DE∠AFB=∠DEC∴△AFB≌△DEC（SAS），∴∠B＝∠C，∴AB∥CD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用SAS證明△AFB與△DEC全等解答．18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且滿足CD＝12，BD＝5．（1）判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）由BC＝13，CD＝12，BD＝5，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BCD為直角三角形，（2）由（1）推出∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理可求出AC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）△BCD為直角三角形，理由如下：∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，∴BC2＝BD2+CD2，∴△BCD為直角三角形；（2）設(shè)AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵△BCD為直角三角形，且∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣5）2+122，解得x＝16.9，∴AC＝16.9．【點(diǎn)評(píng)】此題考查逆定理的應(yīng)用、勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理推出△BCD為直角三角形．19．（6分）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接ME、MD、DE．（1）求證：△DEM為等腰三角形；（2）直接寫(xiě)出∠EMD與∠ABD之間的數(shù)量關(guān)系：∠EMD＝2∠ABD．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠CEB＝∠CDB＝90°，然后利用直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)可得EM＝BM=12BC，DM＝CM=12BC，從而可得（2）利用（1）的結(jié)論和等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠MEB，∠DCM＝∠CDM，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EMB＝180°﹣2∠ABC，∠DMC＝180°﹣2∠ACB，然后利用平角定義以及三角形內(nèi)角和定理可得可得∠EMD＝180°﹣∠EMB﹣∠DMC＝180°﹣2∠A，再根據(jù)垂直定義可得∠ADB＝90°，從而可得∠A＝90°﹣∠ABD，最后進(jìn)行計(jì)算可得∠EMD＝2∠ABD，即可解答．【解答】（1）證明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠CEB＝∠CDB＝90°，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴EM＝BM=12BC，DM＝CM=∴EM＝DM，∴△DEM為等腰三角形；（2）解：∠EMD＝2∠ABD，理由：∵EM＝MB，DM＝CM，∴∠ABC＝∠MEB，∠DCM＝∠CDM，∴∠EMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MEB＝180°﹣2∠ABC，∠DMC＝180°﹣∠ACB﹣∠CDM＝180°﹣2∠ACB，∴∠EMD＝180°﹣∠EMB﹣∠DMC＝180°﹣（180°﹣2∠ABC）﹣（180°﹣2∠ACB）＝2∠ABC+2∠ACB﹣180°＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝2（180°﹣∠A）﹣180°＝360°﹣2∠A﹣180°＝180°﹣2∠A，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABD，∴∠EMD＝180°﹣2（90°﹣∠ABD）＝2∠ABD，即：∠EMD＝2∠ABD，故答案為：∠EMD＝2∠ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線是解題的關(guān)鍵．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，AD＝AE，BD、CE相交于點(diǎn)O．（1）求證：OB＝OC；（2）連接AO，求證：AO⊥BC．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，可證∠OBC＝∠OCB，可得OB＝OC．（2）根據(jù)SAS證明△AEO與△ADO全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：在△ABD與△ACE中，AB=AC∠A=∠A∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC．（2）證明：連接AO，∵△ABD≌△ACE，∴∠AEO＝∠ADO，BD＝CE，∵OB＝OC，∴EO＝OD，在△AEO與△ADO中，AE=AD∠AEO=∠ADO∴△AEO≌△ADO（SAS），∴∠EAO＝∠DAO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABE≌△ACD是本題的關(guān)鍵．21．（8分）如圖，△ABE、△ACD都是等邊三角形，且B、E、C三點(diǎn)在一條直線上．（1）求∠AED的度數(shù)；（2）若點(diǎn)M、N分別是線段BC和DE的中點(diǎn)，連接AM，MN，NA，試判斷△AMN的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝60°，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出∠BAC＝∠EAD，再根據(jù)“邊角邊”得出△ABC≌△AED，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出∠AED的度數(shù)；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵△ABE，△ACD都是等邊三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝60°，∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△AED中，AB=AE∠BAC=∠EAD∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠AED＝∠ABC＝60°；（2）解：如圖；△AMN為等邊三角形，理由如下：由（1）可知，△ABC≌△ACD，∴BC＝ED，∠B＝∠AED，∵點(diǎn)M、N分別是線段BC和DE的中點(diǎn)，∴BM=12BC，EN=∴BM＝EN，在△BAM與△EAN中，AB=BE∠B=∠AED∴△BAM≌△EAN（SAS），∴∠BAM＝∠EAN，AM＝AN，∵∠BAM﹣∠EAM＝∠EAN﹣∠EAM，∴∠BAE＝∠MAN＝60°，∴△AMN是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)“邊角邊”得出△ABC≌△AED解答．22．（8分）如圖，點(diǎn)E在BC上，AC⊥CB，DB⊥BC，且AC＝BE，AB＝DE．（1）求證：CE＝BD﹣AC；（2）若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，利用此圖證明勾股定理．【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△ABC與Rt△EBD全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）連接AD，AE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和面積公式證明勾股定理解答即可．【解答】（1）證明：∵AC⊥CB，DB⊥BC，∴∠C＝∠DBC＝90°，在Rt△ABC與Rt△EBD中，AC=BEAB=DE∴Rt△ABC≌Rt△EBD（HL），∴BC＝BD，AC＝BE，∴CE＝BC﹣BE＝BD﹣AC；（2）解：由（1）可知Rt△ABC≌Rt△EBD，∴DE＝AB＝c，EB＝AC＝b，BD＝BC＝a，∠ABC＝∠EDB，∵∠ABC+∠ABD＝90°，∴∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠DOB＝180°﹣90°＝90°，連接AD，AE，S梯形ACBD=1∵S梯形ACBD＝S△ACE+S△AED+S△BED=1=1=1=1∴12即a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明Rt△ABC與Rt△EBD全等解答．23．（7分）如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A，B，C為格點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中畫(huà)圖．（友情提醒：保留作圖痕跡，并用黑筆描線加深）（1）AB的長(zhǎng)等于5；（2）在圖1中，畫(huà)出△ABC的角平分線BD；（3）在圖2中，在線段BC上畫(huà)點(diǎn)Q，使得BP＝BQ．【分析】（1）由勾股定理可得AB＝5；（2）取格點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)交AC于D，BD即為所求；（3）取格點(diǎn)K，使BK＝BA，連接KP交BD于T，連接AT并延長(zhǎng)交BC于Q，Q即為所求的點(diǎn)．【解答】解：（1）AB=3故答案為：5；（2）取格點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)交AC于D，如圖：BD即為所求；理由：由圖可知AB＝5，BE＝25，AE=5∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，過(guò)E作EF⊥AB于F，∵2S△ABE＝AE?BE＝AB?EF，∴EF=AE?BE∴E到AB的距離等于E到BC的距離，∴BD是△ABC的角平分線；方法2：在BC上取點(diǎn)F，使BF＝5，連接AF，取AF的中點(diǎn)E，連接BE交AC于D，如圖：BD即為所求；（3）取格點(diǎn)K，使BK＝BA，連接KP交BD于T，連接AT并延長(zhǎng)交BC于Q，如圖：Q即為所求的點(diǎn)；理由：∵AB＝BK，∠ABT＝∠KBT，BT＝BT，∴△ABT≌△KBT（SAS），∴∠BAT＝∠BKT，∵∠ABQ＝∠KBP，AB＝BK，∴△ABQ≌△KBP（ASA），∴BQ＝BP．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與涉及作圖，解題的關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特征和全等三角形判定與性質(zhì)定理．24．（8分）如圖，點(diǎn)A、D、E在一條直線上，AB＝AC，∠BDE＝∠CDE＜90°，求證：BD＝CD．小虎同學(xué)的證明過(guò)程如下：證明：∵∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，…第一步又∵AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD，…第二步∴BD＝CD．…第三步（1）小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫(xiě)出正確的證明過(guò)程．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，利用HL證明Rt△ABF≌RtACG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C，利用AAS證明△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】解：（1）小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：二；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵∠BDE＝∠CDE，∠BDE＝∠ADF，∠ADG＝∠CDE，∴∠ADG＝∠A